Ep tich he

Cách tìm nhân tử hai biến bằng máy tính CASIO: Để tìm ra nhân tử hai biến chúng ta sử dụng công cụ SOLVE kết hợp với TABLE trong máy tính CASIO để truy tìm những biểu thức liên hợp và từ[r]

I Cách tìm nhân tử hai biến máy tính CASIO: Để tìm nhân tử hai biến chúng ta sử dụng công cụ SOLVE kết hợp với TABLE máy tính CASIO để truy tìm biểu thức liên hợp và từ đó sử dụng các kỹ thuật liên hợp ngược, đảo căn, dồn căn, đặt ẩn phụ đã nêu các mục trước để kết nối các nhân tử với Tuy nhiên có ba loại liên hợp thường gặp:  Liên hợp với đa thức hai biến ( x  y   x  y )  Liên hợp với (Ví dụ: x3  y   x  y )  Sử dụng ẩn phụ không hoàn toàn II Ép tích với liên hợp với căn: Ví dụ 1: Sử dụng phương pháp phân tích nhân tử giải phương trình hai biến sau: x2  5xy  y  x  y   y   Phân tích Bước 1: Đặt y  100 , ta được: x2  500 x  20000  x  301  501  Sử dụng công cụ SOLVE ta được: x  200  2.100  y Bước 2: Sử dụng công cụ CALC thay các giá trị x  200, y  100 vào các thức  x  y   501 ta được:   y   501 Do đó nhân tử cần tìm chính là:  x  3y   5y   Đến đây chú ý liên hợp ngược:  x  3y   5y    x  3y   5y   x  y   Do cần tách nhân tử  x  y  từ x2  5xy  y Điều này hoàn toàn không khó khăn bởi: x2  5xy  y   x  y  x  y  Chú ý: Công đoạn phân tích nhân tử hai biến không chứa có thể thực cách khác sau: Đặt y  100 , ta được: x2  500 x  20000 Sử dụng máy tính cầm tay giải phương trình bậc ta thu các nghiệm:  x1  200  2.100  y 100 y   x2  50  2 Do đó ta có thể viết lại sau: x2  5xy  y   x  y  x  y  Bài giải Điều kiện xác định: x  y   0,5 y   Ta có: x2  5xy  y  x  y   y     x  y  x  y         x  3y   5y   x  3y   5y  x  3y   5y      x  3y   5y   2x  y     x  3y   5y     x  3y   5y   2x  y    Đến đây bài toán đã phân tích nhân tử thành công Ví dụ 2: Sử dụng phương pháp phân tích nhân tử giải phương trình hai biến sau: x  y   x   x  y  1   Phân tích Bước 1: Đặt y  100 , ta được: x  101  x3   101x2   Sử dụng công cụ SOLVE ta được: x  101  100   y  Bước 2: CALC x  101, y  100 :  x   1015.036945    x  y  1   1015.036945 Do đó nhân tử cần tìm chính là:  x   x  y  1  Đến đây chú ý liên hợp ngược:  x   x  y  1     x   x  y  1   x  x  y   Tuy nhiên khác với Ví dụ 1, bài toán này ta không thể tách nhân tử x2  x  y  1 từ biểu thức  x  y  1 bên ngoài Chính vì ta cần nhân hai vế với x , điều này là hoàn toàn có sở điều kiện xác định bài toán đó là x  Chú ý: Trong các bài tập tương tự, nhóm biểu thức nhân thêm vào cần phải khẳng định là các nhóm biểu thức luôn khác với các giá trị x , y điều kiện xác định, không xuất nghiệm ngoại lai không mong muốn Bài giải Điều kiện xác định: x  1, x2  y  1  Ta có: x  y   x   x  y  1    x  x  y  1  x     x   x  y  1   x   x  y  1    x   x  y  1   x  Đến đây bài toán đã phân tích nhân tử thành công III Ép tích với liên hợp với đa thức hai biến: Ví dụ 3: Sử dụng phương pháp phân tích nhân tử giải phương trình hai biến sau: x2  y  x   x x  y  Phân tích Bước 1: Đặt y  100 , ta được: x2  99  x  x x2  100  Sử dụng công cụ SOLVE ta được: x  5.116450524 Bước 2: Sử dụng công cụ CALC thay các giá trị x  5.116450524, y  100 vào thức ta được: x2  y  11.23290105 Chú ý rằng: 2x  10.23290105 Do đó ta có đánh giá: x2  y  2x  Vậy biểu thức cần tìm là:  Chú ý liên hợp ngược:   x2  y  2x   x2  y  2x   x  y  x   y  3x  x  Bài giải Điều kiện xác định: x  y  Ta có: x2  y  x   x x  y     x  y  x   x  x  1  x    y  3x  x   x   x2  y  2x   2x    x  y  x  1 x2  y  2x  x2  y  2x     x2  y  2x      x2  y  2x   x2  y   Đến đây bài toán đã phân tích nhân tử thành công Ví dụ 4: Sử dụng phương pháp phân tích nhân tử giải phương trình hai biến sau: x  y   x  y  y   xy  Phân tích Trong bài toán trước chúng ta đã phân tích cách sử dụng SOLVE để truy tìm nhân tử liên hợp, ví dụ này chúng ta đề cập dạng bài toán phân tích nhân tử mà ý tưởng tác giả muốn chúng ta sử dụng phương pháp đánh giá Tuy nhiên chúng ta có thể hóa giải cách phân tích nhân tử thong qua chức TABLE kết hợp SOLVE: Bước 1: Đặt y  100 , ta được: x  99  x  101 99  200 x  Sử dụng công cụ SOLVE ta thu được: x  200  2.100  y Bước 2: Tuy nhiên điều cần kiểm chứng là tính chất bội nghiệm trên Nghiệm hữu tỷ có thể rơi vào trường hợp nghiệm bội, vì vậy: Sử dụng công cụ TABLE với: F  x   x  99  x  101 99  200 x Lựa chọn START = 195, END = 205, STEP = để kiểm tra Ta nhận thấy rõ rang nghiệm x  200  y là nghiệm bội kép Tất nhiên nghiệm này có thể thu thong qua cách sử dụng phương pháp đánh giá (Hầu các bài toán bội kép có thể đánh giá được) Tuy nhiên điểm yếu phương pháp đánh giá là phải sử dụng đến yếu tố bất đẳng thức Trong chuyên đề “Ép tích” này, chúng ta tập trung vào phương pháp phân tích nhân tử, vì để có thể hóa giải bài toán trên, ta tìm nhân tử giống cách tìm nhân tử nghiệm kép cho phương trình vô tỷ biến Đặt ax  b  x  101 99 , để tìm các giá trị a , b ta giải hệ phương trình:  ax  b  x  101 99  x  200 a        ax  b '  x  101 99 ' b  1    x  200  Nhân tử cần tìm là : 1   x   x  101 99  hay x   x  y  y    Tương tự ta tìm nhân tử thứ hai là:     x  2y   xy  Chú ý: Việc tìm nhân tử thứ hai dễ dàng ta hiểu rằng, sau tạo nhân tử thứ nhất, tất phần còn lại tạo nhân tử thứ hai Chú ý liên hợp ngược:  x   x  y  y  x   x  y  y    x  y 2    x  y  2 xy x  y  2 xy   x  y         Để xây dựng nhân tử ta cần đến kỹ thuật đảo liên hợp ngược Bài giải     1 PT  x   x  y  y   x  y  2 xy  2  x   x  y  y  x  y  2 xy  x  y  2 xy x  y  2 xy   x   x  y  y  x  y  2 xy  x   x  y 1 y 1 x   x  y 1 y 1   x   x  y  y   x  1  y  xy  x  y  y                 Đến đây bài toán đã phân tích nhân tử thành công  Chú ý:  Bản chất kỹ thuật tìm liên hợp với đa thức chứa hai biến chính là kỹ thuật ép tích cho bài toán nhân tử biến đó biến đã bị tham số hóa “tạm thời”  Để giải tốt các bài toán này, học sinh cần phải nắm vững các kỹ thuật tìm nhân tử liên hợp đã gồm: o Tìm nhân tử nghiệm vô tỷ đơn o Tìm nhân tử nghiệm vô tỷ bội o Tìm nhân tử nghiệm hữu tỷ đơn o Tìm nhân tử nghiệm hữu tỷ bội o Tìm nhân tử đa nghiệm hữu tỷ IV Ép tích phương pháp ẩn phụ không hoàn toàn: Ví dụ 5: Giải hệ phương trình:   y  x  y  x  y  3xy    y   x  y  y  x (Trích đề thi thử THPT Quốc Gia 2015 – THPT Chuyên Hưng Yên) Điều kiện: y  1 Ta có: 1  y  x  y  x  y  3xy    x2  y  x  y   x2  y  x  y   *  Phân tích Việc tách nhân tử bài toán trên là không đơn giản Để có thể tách nhân tử thế, ta có thể sử dụng kỹ thuật đặt ẩn phụ không hoàn toàn cho hai biến sau: Đặt t  x  y , đó ta giả sử tồn số  cho: 1  y   x  y  x  y  3xy      x2  y  1  y  x  y   x  y   x  y  3xy       t  1  y  t   x  y   x  y  3xy   Phương trình bậc hai ẩn t , hai tham số x , y cần tìm hệ số  cho phương trình này có biệt thức:   1  y   4  x2  y   x  y  3xy    là đẳng thức theo các giá trị x , y Để làm điều đó, ta gán các giá trị sau: 9801 400000004 10302   Đặt x  100, y  ,  100 10000 10000 25 Khi đó ta tìm giá trị  cho:   9801 400000004 10302    10000 10000 25 có giá trị là số hữu tỷ Để làm điều đó ta sử dụng công cụ quen thuộc đó là TABLE: Xét công cụ TABLE (mode 7) cho: 9801 400000004X 10302X F( X )    10000 10000 25 Với các giá trị: START = 9 , END = 9, STEP = Khi đó ta tìm giá trị X cho F(X) nhận giá trị hữu tỷ và đồng thời X khác Dựa vào bảng giá trị TABLE trên, ta nhận thấy với X = thì:  2x  3y  F(X)  201.03  200   100 Vậy lựa chọn   thì:   2x  y  X 3 2 1 F(X) 598.9697… 398.9697… 198.9697… 0.99 201.03 401.0301… 601.0301… 801.0301… 1001.0301… 1201.0301… 1401.0301… Khi đó phương trình có nghiệm:  y 1   y   2x  y  t t   2    y 1  t  y   2x  y  t   2  Vậy t  x  y  t  x  y  Do phương trình viết lại thành: t  x  y t  x  y  1     x2  y  x  y   x2  y  x  y  BÀI TẬP ÁP DỤNG  x   2x  y   y  x   x    BÀI 1:  y  x  y  xy  x       y  xy  3x  y    x  y   x  y    BÀI 2:  1 x3     x4 xy  x    x   x  y   x  y  x  y   x   BÀI 3:   x   x  y   x3  x2   y   