Chứng minh rằng: Tứ giác BCKF là hình thang cân và KE.EC = ED.EF 1 b Cho tam giác ABC nhọn, các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H.[r]
(1)ĐỀ THI HSG LỚP – LỘC HÀ – NĂM HỌC 2015 – 2016 Thời gian làm bài 90 phút ( Từ câu đến câu 10 ghi đáp số Từ câu 11 đến câu 12 trình bày lời giải đầy đủ) Câu 1: Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn: x2y2 – x2 – 3y2 – 2x – = Câu 2: Cho số a, b, c thỏa mãn a2 + 2b + = b2 + 2c + = c2 + 2a + = Tính giá trị biểu thức P = a2015 + b2015 + c2015 a2 b2 Câu 3: Tìm giá trị nhỏ biểu thức Q = + (a> 1, b> 1) b− a −1 Câu 3: Cho hình vuông ABCD cạnh a và điểm E trên cạnh BC Tia Ax vuông góc với AE cắt cạnh CD F, đường thẳng AE cắt CD M Kẽ trung tuyến AI tam giác AEF và kéo dài cắt cạnh CD K Đường thẳng qua E và song song với AB cắt AI G 1 + a) Tứ giác EGFK là hình gì? b) Tính AE AM2 Câu 5: Cho tam giác ABC, Gọi Mlaf điểm nằm tam giác, các đường thẳng AM, BM, CM cắt các cạnh BC, CA, AB D, E, F Tính giá trị AM BM CM P= + + AD BE CF y2 Câu 6: Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn: x + + =4 tích xy đạt giá trị lớn x Câu 7:Cho tam giác ABC, gọi O là trung điểm cạnh BC Vẽ góc xOy 600 cho Ox cắt cạnh AB M, Oy cắt cạnh AC N Tính tỉ số BC2:(BM.CN) Câu 8: Tìm số có chữ số cho ta lấy chữ số hàng đơn vị đặt bên trái số gồm hai chữ số còn lại thì số có chữ số lớn chữ số ban đầu 765 đơn vị Câu 9: Cho đa thức f(x) = x4 + mx3 + 29x2 + nx + (x nguyên) Tìm số nguyên dương m, n để giá trị f(x) là số chính phương Câu 10 Trong hình vẽ bên cạnh hình vuông chia thành đoạn Tính tỉ số diện tích phần tô đậm với diện tích hình vuông lớn Câu 11: a) Giải phương trình: √ x3 +2 x 2+ √ x − 1= 12 x 2+ x+1 b) Cho x, y, z hữu tỉ đôi khác Chứng minh rằng: x − y ¿2 ¿ y − z ¿2 ¿ z − x ¿2 ¿ là số hữu tỉ ¿ ¿ ¿ ¿ A= √¿ Câu 12: a) Cho tam giác ABC đều, E là điểm thuộc cạnh AC (E khác A), K là trung điểm AE, đường thẳng EF qua E và vuông góc với đường thẳng AB (F thuộc AB) cắt đường thẳng qua C và vuông góc với đường thẳng BC D Chứng minh rằng: Tứ giác BCKF là hình thang cân và KE.EC = ED.EF b) Cho tam giác ABC nhọn, các đường cao AD, BE, CF cắt H Giả sử HD= AD Chứng minh rằng: tanB.tanC = (2)