DEDATOANTXHSG20152016

Lập phương trình đường thẳng d đi qua M và tạo với các trục tọa độ một tam giác có diện tích S = 4... 2 Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh bằng a, cạnh bên bằng 2a.[r]

SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO LÀO CAI KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THPT CẤP TỈNH NĂM HỌC 2015 - 2016 Môn: TOÁN - GDTX Thời gian: 180 phút ( không kể thời gian giao đề) (Đề thi gồm 05 câu, 01 trang) ĐỀ CHÍNH THỨC Câu 1.(5,0 điểm) Cho hàm số: f ( x)   x   m  1 x   m   x  1) Tìm giá trị m để hàm số nghịch biến trên tập xác định 2) Với giá trị nào m thì đồ thị hàm số qua điểm A(-3;15) Câu 2.(4,0 điểm) 1) Tính giới hạn : lim x  x  x2 4x   2) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số: f  x   x  x trên đoạn  0; 1 Câu 3.(5,0 điểm 1) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm M ( 2;1 ) Lập phương trình đường thẳng d qua M và tạo với các trục tọa độ tam giác có diện tích S = 2) Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác cạnh a, cạnh bên 2a Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a Câu 4.(4,0 điểm) 1) Giải phương trình: cos x  sin 2x   sin x  x  y  2xy   2) Giải hệ phương trình:  2  x  y  2x  y   Câu 5.(2,0 điểm) Cho a, b, c là các số dương Chứng minh rằng: 1 1 1 2 a bb c  c a      a b c 2 a b c ……………… Hết……………………… Thí sinh không sử dụng tài liệu Cán coi thi không giải thích gì thêm SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO LÀO CAI KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THPT CẤP TỈNH NĂM HỌC 2015 - 2016 ĐỀ CHÍNH THỨC HƯỚNG DẪN CHẤM Môn: TOÁN - GDTX (Hướng dẫn chấm gồm có 04 trang) I Hướng dẫn chấm Cho điểm lẻ đến 0,25 Điểm toàn bài là 20 Tổng điểm bài là các phần cộng lại không làm tròn Học viên giải cách khác cho điểm tương đương đáp án quy định II Biểu điểm Câu Nội dung 1) Tìm m để hàm số nghịch biến trên R Câu ( 5,0 điểm) Tập xác định D = R f '( x)   x  2(m  1) x  m  Hàm số nghịch biến trên R f ( x)  với x  R   x  2( m  1) x  m   0, x      m  m   1 1 m 2 1 1 Vậy với m thì hàm số nghịch biến trên R 2  2) Đồ thị hàm số qua điểm M( -3; 15) Đồ thị hàm số qua M( -3; 15)   (3)3  (m 1).(3)2  (m  2).(3)   15 m Vậy với m  thì đồ thị hàm số qua điểm M(-3; 15) Điểm 3,0 0,25 0,5 0,75 0,5 0,75 0,25 2,0 0,5 1,25 0,25 1) Tính Câu (4,0 điểm) ( x  x  2)( x  x  2)( x   3) lim x  x  = lim x2 x2 ( x   3)( x   3)( x  x  2) 4x   ( x  x  2)( x   3)  lim x 2 (4x  8)( x  x  2) = lim x2 0,5 ( x  1)( x   3) = 4( x  x  2) Hàm số f  x   x  x liên tục trên đoạn  0; 1 Ta có f '  x    x  x2  x2   2x  x2  x   0; 1   2x 2 f ' x       2x     1 x   0; 1 x    2  2    Ta có f    0, f 1  0, f   2    Vậy f  x   f    f 1  , max f  x   f  0;1 Câu (5 điểm) 0,5 0,5 ( x  1)( x  2)( x   3) x2 4(x  2)( x  x  2) = lim 2,0  0;1 0,5 0.5 0.5 0.5 0.5 3,0  Gọi A(a;0) , B(0;b) (ĐK a,b  ) là giao điểm d với Ox,Oy, suy 0.5 d có dạng : x y  1 a b 2    2b  a  ab Theo giả thiết, ta có:  a b   a.b   a.b    Khi ab = thì 2b + a = Nên b = và a =  d : x + 2y - = 0.5 0.5  Khi ab = -8 thì 2b + a = - 8.Ta có : b  4b    b  2  2 + Với b  2  2  d : (1  2) x  2(1  + Với b  2  2  d : (1  2) y   2) x  2(1  2) y   0.5 0.5 0.5 S 2a 2a 2a A a H a I B C a - Gọi H là trọng tâm tam giác ABC, đó SH vuông góc với mặt đáy ABC 3 Nên V  B.h  SABC SH - Mà S ABC  1 a2 AB AC.sin A  a.a.sin 600  2 2 2 a a - Ta lại có: AH  AI  AB  BI  a    3 3 2 Xét SAH vuông S, có: a 3 a 33 SH  SA2  AH  (2a )       Vậy, thể tích hình chóp S.ABC là: 1 a a 33 a 11 V  S ABC SH   (đvtt) 3 12 Câu (4,0 điểm) 1) phương trình cos x  sin 2x   sin x 0.5 2 0.5 cos x  sin 2x   sin x  cos x  sin x  sin 2x   cos2x  sin 2x  0.5 0.5 2,0 0,5    cos  2x    3   2x    x  0,75  k 2 , k   0,5 0,25  k , k    x  y  2xy   2) Giải hệ phương  2  x  y  x  y 1  Đặt S = x + y, P = x.y ( S2 – 4P  ) S  2P   Ta hệ phương trình   S  2S  P 1  Giải hệ phương trình ta (S1 = 1, P1 =1)(loại) (S2 = - 2, P2 =  ) 2 S2  2, P2   thì x, y là nghiệm phương trình Với X  2X     x      2X  4X   0,5 0,75 0,5 2 2   2 2  ,y ,y  ,  x   , 2   2  Vậy nghiệm hệ phương đã cho là 0,25 Chứng minh bất đẳng thức 2,0  2 2   2 2  ; ;   ,   2   2   Vì a, b, c là các số dương, nên theo BĐT Cô si ta có Câu (2,0 điểm) 2,0 1 1 1 1  a b    a;  b c    b; 2 b 2 c 1 1 c a    c 2 a 1 1 1 1 1 1   a 2b     b c     c a    a  b  c 2 b  2 c  2 a 1,0 0,50 Hay : 1 1 1 2 a bb c  c a      a b c 2 a b c Dấu ˝ =˝ xảy và a = b =c =1 0,25 0,25