MOT SO PHUONG PHAP GIAI PHUONG TRINH VO TI

Dùng bất đẳng thức A  m Một số phương trình được tạo ra từ dấu bằng của bất đẳng thức:  nếu dấu bằng B  m của hai bất phương trình cùng dạt được tại x0 thì x0 là nghiệm của phương t[r]

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ

I Phương pháp đặt ẩn phụ

1 Sử dụng ẩn phụ để đưa về phương trình bậc hai

a Dạng phương trình: 2 2

ax bx c px qxr (ap 0) và a p

p  q

Đặt : 2

t px qxr Đưa phương trình đã cho về phương trình bậc hai: 2

0

At BtC

Ví dụ 1: Giải phương trình: x2 x211 11

Giải:

Phương trình đã cho tương đương với: 2 2

(x 11) x 11 42 0

Đặt: 2

11 0

t x   , ta được phương trình: 2 7

6

t

t

 





 Với t = 6 thì 2

x    x 

Ví dụ 2: Giải phương trình: 2 2

x  x  x  x Giải:

2

t x  x  x  x  t 

10 2

t

t







t x  x x x 

Với t10x22x480x6; x 8

Ví dụ 3: Giải phương trình: 2x25x22 2x25x61 ( ĐH Sư phạm Tp HCM – 2000)

Giải:

Đặt: t 2x25x6 0 khi đó: 2x25x2 t28

Phương trình trở thành:

2

8 1 2

t    t

2

1 2

t



 



 



 t 1

1

2

x

x







  



b Dạng Phương trình: aP x( )bQ x( )c P x Q x( ) ( ) 0 (abc0)

Cách giải:

 Xét Q x( )  0 P x( )  0

 Xét Q x ( ) 0, chia cả hai vế của phương trình cho Q x( ) và đặt: ( )

( )

P x t

Q x

Đưa phương trình đã cho về dạng: 2

0

at ct b

( )

P x t

Q x

  f x t( , )  0 (x là ẩn),

từ đó suy ra điều kiện của t

Ví dụ 1: Giải phương trình: 2x25x 1 7 x31 (1)

Giải:

ĐK: x 1

2(x  x 1) 3(  x 1)  7 (x 1)(x  x 1) (2)

Vì x 1 không phải là nghiệm của (2) nên chia hai vế của (2) cho x 1 ta được:

 

Đặt:

0 1

t

x

 



    Nên có điều kiện của t là:

0 3 2 3

0

x

t

t







 



(4)

Khi đó (3) trở thành: 2

2t  7t  3 0

3 1 2

t t









 



Kết hợp với (4) suy ra t = 3

Với t = 3 ta có: 2

x  x  x  thoả mãn điều kiện của x Vậy phương trình có nghiệm: x  4 6

Chú ý:

 Hoàn toàn bình đẳng, các bạn có thể thực hiện phép chia cho P x( ) hoặc

( ) ( )

P x Q x

 Các bạn có thể giải bài toán trên bằng cách đặt: P x( ) t Q x( ) hoặc ngược lại

Ví dụ 2: Giải phương trình: 5x214x 9 x2 x 20 5 x1 (1)

Giải:

5x 14x 9 x x 20 5 x 1

2

20 0

1 0

x

   



  





25 (2)

2 5 2 5 ( 4)( 5)( 1) (3)

x





 



3(x 4) 2(x 4x 5) 5 (x 4)(x 4x 5)

Nhận thấy: x  4 không phải là nghiệm của (4)

x t x  x ( t 0), Khi đó (3) trở thành:

2 2 2

1 ( 4 5)(3 5 2) 0 3 5 2 0 2

3

t

t







 



Với t 1 ta có: 2 5 61

2

x x  x x 

Kết hợp với (2) và (3) ta có: 5 61

2

x 

Với 2

3

t  ta có: 2

8 4

9

4

x

x







  



Kết hợp với (2) và (3) ta có: x 8

Vậy phương trình có hai nghiệm: 5 61

2

x  và x 8

Chú ý: Nếu phương trình: aP x( )bQ x( )c P x Q x( ) ( ) 0 (abc0) thoả mãn: ( ) ( )

P x Q x k thì bài toán trở nên đơn giản đi rất nhiều Ta xét ví dụ sau:

Ví dụ 3: Giải phương trình: 8 1 8 2

2

Giải:

Đặt: 8 1

0 2

x t x



 

 khi đó: 8 2 1

1

x

x t





Phương trình trở thành: t 1 2

t

   t 1

2

t  x xx thoả mãn phương trình đã cho

Vậy =

c Dạng Phương trình:

a P x Q x b P x  Q x  a P x Q x  c

0

a b  )

Cách giải: Đặt P x( ) Q x( )t  t2 P x( )Q x( ) 2 P x Q x( ) ( )

Chuyển phương trình đã cho về phương trình bậc 2 ẩn t

Ví dụ 1: Giải phương trình: 2

x  x  x   x (1) Giải:

t x  x   t  x x 

Khi đó (1) trở thành: 2

t  t    t

Với t = -2 thì x 2 x2  2 x2 ( thoả mãn (1))

Vậy phương trình có nghiệm x 2

d Phương pháp đặt ẩn phụ không hoàn toàn

Ví dụ 1: Giải phương trình : 2  2  2

Giải:

2 2

1

t

t x







Ví dụ 2: Giải phương trình :   2 2

x x  x  x  Giải:

Đặt : t  x22x3, t  2

Khi đó phương trình trở thành :   2

Biến đổi trình ta được :

1

t

t x







Ví dụ 3 Giải phương trình sau : 4 x  1 1 3x2 1x 1x2

Giải:

Đặt t  1x, phương trình tương đương:

4 1x 3x2tt 1x+1 (1)

Ta có : 3x 1x2 1 x-1

Thay vào phương trình (1) ta được:

4√1 + = −(1 − ) + 2(1 + ) − 1 + 2 + √1 + + 1

Phương trình tương đương

− + 2 + √1 + + 2(1 + ) − 4√1 + = 0

ó ∆= (3√1 + − 2)

e Đặt nhiều ẩn phụ đưa về tích

Ví dụ 1: Giải phương trình :x 2x 3x 3x 5x 5x 2x

Giải :

Đặt

2 3 5









, ta có :

2

2

2

2 2





,

giải hệ ta được: 30 239

Ví dụ 2: Giải phương trình sau :

2x  1 x 3x2  2x 2x 3 x  x 2

Giải:

Ta đặt :

2

2

2

2

2













, khi đó ta có : a b2 2c 2d 2 x 2

  



  





f Đặt ẩn phụ đưa về hệ thông thường

Đặt u x v,  x và tìm mối quan hệ giữa  x và  x từ đó tìm được hệ theo u,v

Ví dụ 1: Giải phương trình: 3 3 3 3

Đặt y 335x3  x3y335

Khi đó phương trình chuyển về hệ phương trình sau: 3( 3 ) 30

35

xy x y







, giải hệ này ta

tìm được ( ; )x y (2;3)(3; 2) Tức là nghiệm của phương trình là x {2;3}

Ví dụ 2: Giải phương trình: 4

4

1

2 1

2

Điều kiện: 0x 2 1

4

2 1









Ta đưa về hệ phương trình sau:

4 4

2

4

1 1

2 2

1

2

u v



 



Giải phương trình thứ 2:

2

4

1

2

v  v  

  , từ đó tìm ra v rồi thay vào tìm

nghiệm của phương trình

Ví dụ 3: Giải phương trình sau: x 5 x  1 6

Điều kiện: x 1

Đặt a x1,b 5 x1(a0,b0) thì ta đưa về hệ phương trình sau:

2

2

5

5





 



2

x    x  x   x x 

3

Giải

Điều kiện:  5 x5

Đặt u 5x v,  5y 0u v,  10

Khi đó ta được hệ phương trình:

2

( ) 1 2( )

3 3

u v

u z

uv





Bài tập áp dụng : giải các phương trình sau:

1 2

1 1

x  x 

2 x 2x  1 x 2x  1 2

3 x9 5 2x4

4 4 3 10 3   x x 2

5 3 x343 x31

6 35x735x12 1

9  x  1 7  x 1  4

8 3 x 1 3 x2 3 2x3

24  x  5  x  1

10 2 2

x  x  x  x 

11 2 x  2 x  1 x  1 4

12 2 2

15x2x  5 2x 15x11

13 2 3 3

2(x 1)5 x 1

14 2 4

4x 2 2x 4 x 1

15 2 3 4 2

3

x  x   x x 

16

2

2 2

x x 

17

2

35 12 11

x x

x



4 1x 1 3x2 1 x 1x

2 2 xx 3( x 1x)

2x 3 x 1 3x 2x 5x 3 16

II PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ

1 Dùng hằng đẳng thức :

Từ những đánh giá bình phương : A2B2  , ta xây dựng phương trình dạng 0

2 2

0

A B 

2 Dùng bất đẳng thức

Một số phương trình được tạo ra từ dấu bằng của bất đẳng thức: A m











nếu dấu bằng của hai bất phương trình cùng dạt được tại x thì 0 x là nghiệm của phương trình A0  B

Đôi khi một số phương trình được tạo ra từ ý tưởng :  

( )

 







 khi đó :

 

 

 



  





Chú ý: Nếu ta đoán trước được nghiệm thì việc dùng bất đẳng thức dễ dàng hơn, nhưng

có nhiều bài nghiệm là vô tỉ việc đoán nghiệm không được, ta vẫn dùng bất đẳng thức để đánh giá được

Ví dụ 1;Giải phương trình : 2 2 9

Giải: Đk x  0

Ta có :  

2

1

x

x

7

Ví dụ 2:Giải phương trình : 13 x2x4 9 x2x4 16

Giải: Đk:  1 x 1

Phương trình tương đương : 2 2 22

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki:

13 13 1x 3 3 3 1x  13 27 13 13  x  3 3x 40 16 10 x

Áp dụng bất đẳng thức Côsi:  

2

2

x  x   

 

Dấu bằng

2 2

2 1

5 1

3

2

10 16 10

5

x x

x

x











Ví dụ 3: Giải phương trình: x3`3x28x40 8 4 4 x4 0

Ta chứng minh : 8 44 x4x13 và 3 2   2 

3 Xây dựng bài toán từ tính chất cực trị hình học

3.1 Dùng tọa độ của véc tơ

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, Cho các véc tơ: u x y1; 1, vx y2; 2

khi đó ta có

u v  u  v  x x  y y  x y  x y

Dấu bằng xẩy ra khi và chỉ khi hai véc tơ u, v

cùng hướng 1 1

2 2

0

k

    , chú ý tỉ

số phải dương

 u v   u v  .cos  u v 

, dấu bằng xẩy ra khi và chỉ khi cos  1 uv 3.2 Sử dụng tính chất đặc biệt về tam giác

 Nếu tam giác ABC là tam giác đều , thì với mọi điểm M trên mặt phẳng tam giác,

ta luôn có MA MB MC OA OB OC  với O là tâm của đường tròn Dấu bằng xẩy

ra khi và chỉ khi M O

 Cho tam giác ABC có ba góc nhọn và điểm M tùy ý trong mặt mặt phẳng Thì MA+MB+MC nhỏ nhất khi điểm M nhìn các cạnh AB,BC,AC dưới cùng một góc 120 0 Bài tập áp dụng

Giải các phương trình sau

2) 4 x41x x 1x  248

3) 2x4 8 4 4x4 4 x44

4) 16x4 5 6 43 x3x

5) x3`3x28x40 8 4 4 x4 0

6) 8x3  64x3 x48x228

7) 2 x2 2 12 4 x 1

III PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ

1.Xây dựng phương trình vô tỉ dựa theo hàm đơn điệu

Dựa vào kết quả : “ Nếu y f t  là hàm đơn điệu thì f x  f t x ” t

Ví dụ 1:Giải phương trình :    2   2 

2x1 2 4x 4x4 3x 2 9x 3  0

Giải:

Phương trình

Xét hàm số    2 

f t t  t  , là hàm đồng biến trên R, ta có 1

5

x  

Ví dụ 2:Giải phương trình x34x25x 6 37x29x 4

Giải Đặt y 37x29x4, ta có hệ :

3 2

3 3







Xét hàm số :   3

f t t t, là hàm đơn điệu tăng Từ phương trình

5

2

x

x







 



IV PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC HÓA

Phương pháp giải

Nếu : x   thì đặt sin t1  với x ;

t  

  hoặc xcosy với y0;

Nếu 0x  thì đặt sin t1  , với x 0;

2

t  

  

  hoặc xcosy, với y 0;2



  

 

Nếu : x , y là hai số thực thỏa: 2 2

1

x y  , thì đặt xsin ,t ycost với0 t 2

Nếu x  , ta có thể đặt : a

sin

a x

t

2 2

t    

  

  , tương tự cho trường hợp khác

X là số thực bất kỳ thi đặt : tan , ;

2 2

Ví dụ 1: Giải phương trình sau :    

2

3 3

x

Giải:

Điều kiện : x  1

Với x  [ 1;0]: thì 1x3  1x3  (ptvn) 0

Với x [0;1] ta đặt : cos , 0;

2

    Khi đó phương trình trở thành:

2 6 cos 1 sin 2 sin cos

x  t  t  t 

1 6

x 

Ví dụ 2: Giải phương trình :  

2 2 2

2

2

1 1

1

x x

x





 Giải: đk x0,x  1

Ta có thể đặt : tan , ;

2 2

Khi đó hương trình tương đương:

2sin cos 2t tcos 2t 1 0sin 1 sint  t2sin t  0

Kết hợp với điều kiện ta có nghiệm 1

3

x 

Bài tập áp dụng

3 2x  1 1 x 1 3 x8 2x 1

2) 2

x  x x 

4x1 x  1 2x 2x1

4) 2x x 1 1 1 3 x 1



5x 14x9 x  x 205 x1

6) 36x 1 8x34x1

THE END