Theorem de Sondat

Tại [1], tác giả người Pháp Jean-Louis Ayme đưa ra một chứng minh sơ cấp khá thú vị cho định lý Sondat về hai tam giác trực giao có tâm thấu xạ.. Hướng chứng minh của tác giả rất đặc sắc[r]

Chứng minh định lý Sondat dựa theo ý tưởng Jean-Louis Ayme Nguyễn Văn Linh Năm 2015 Giới thiệu Tại [1], tác giả người Pháp Jean-Louis Ayme đưa chứng minh sơ cấp khá thú vị cho định lý Sondat hai tam giác trực giao có tâm thấu xạ Hướng chứng minh tác giả đặc sắc sử dụng phép vị tự để đưa hai tam giác có chung tâm trực giao Tuy nhiên phần sau tác giả khá dài và có đoạn lí luận chưa chặt chẽ Trong bài viết này tôi xin chứng minh lại định lý Sondat dựa theo ý tưởng tác giả cùng phần đã chỉnh sửa Chứng minh Trước tiên xin giới thiệu tới bạn đọc khái niệm hai tam giác trực giao Định lý Cho hai tam giác ABC và A0 B C Khi đó các đường vuông góc kẻ từ A, B, C tới B C , C A0 , A0 B đồng quy P và các đường vuông góc kẻ từ A0 , B , C tới BC, CA, AB đồng quy Q Ta gọi ABC và A0 B C là hai tam giác trực giao, P là tâm trực giao tam giác A0 B C ứng với điểm A, B, C, Q là tâm trực giao tam giác ABC ứng với điểm A0 , B , C A B' C' P Q B C A' Chứng minh Áp dụng định lý Carnot, các đường vuông góc kẻ từ A, B, C tới B C , C A0 , A0 B đồng quy và (AB 02 − AC 02 ) + (BC 02 − BA02 ) + (CA02 − CB 02 ) = Hay (B A2 − B C ) + (A0 C − A0 B ) + (C B − C A2 ) = tương đương các đường vuông góc kẻ từ A0 , B , C tới BC, CA, AB đồng quy Ta có đpcm Định lý (Pierre Sondat) Cho hai tam giác ABC và A1 B1 C1 trực giao có tâm trực giao là P và Q Giả sử hai tam giác ABC và A1 B1 C1 thấu xạ theo tâm O Khi đó O, P, Q thẳng hàng Chứng minh Trước tiên ta cần hai bổ đề sau Bổ đề (Định lý Dergiades) Cho tam giác ABC đường tròn ωa , ωb , ωc qua các cặp đỉnh B, C; C, A; A, B Gọi D, E, F là giao điểm thứ hai đường tròn này Đường thẳng Qua D vuông góc với AD cắt BC X Tương tự xác định Y, Z Khi đó X, Y, Z thẳng hàng Chứng minh A E F J D X C B Đặt ∠BEC = ∠BF C = α, ∠ADC = ∠AF C = β, ∠AEB = ∠ADB = γ, bán kính ωa , ωb , ωc Ra , Rb , Rc XB BD · sin ∠XDB BD · (− cos ∠ADB) BD · cos γ = = = Ta có XC CD · sin ∠XDC CD · (− cos ∠ADC) CD · cos β XB Y C ZA BD CE AF Chứng minh tương tự suy · · = · · XC Y A ZB CD AE BF BD 2Rc sin ∠BAD Ta lại có = Tương tự và áp dụng định lý Céva sin cho tam giác ABC với các CD 2Rb sin ∠CAD BD CE AF · · = đường AD, BE, CF đồng quy tâm đẳng phương ωa , ωb , ωc ta thu CD AE BF Vậy X, Y, Z thẳng hàng Bổ đề Cho hai tam giác ABC và XY Z thỏa mãn các đường vuông góc kẻ từ A, B, C tới Y Z, ZX, XY và các đường vuông góc kẻ từ X, Y, Z tới BC, CA, AB cùng đồng quy O Khi đó hai tam giác ABC và XY Z thấu xạ Chứng minh F X A E Y' Z' O P Z t B C D Y K H Gọi X , Y , Z là hình chiếu X, Y, Z trên BC, CA, AB D, E, F là giao BC và Y Z, AC và XZ, AB và XY Gọi H, K là giao AB và OY , AC và OZ Do O là trực tâm tam giác AHK nên AO ⊥ HK Mà AO ⊥ Y Z nên Y Z k HK Lại có HZ Y K là tứ giác nội tiếp nên áp dụng định lý Reim suy Y, Z, Y , Z cùng nằm trên đường tròn ωx Tương tự có ωy , ωz Áp dụng định lý Dergiades cho tam giác XY Z và đường tròn ωx , ωy , ωz suy D, E, F thẳng hàng Theo định lý Desargues ta có hai tam giác ABC và XY Z thấu xạ Trở lại định lý Sondat O A A1 Q A2 P P' C1 C'2 C2 B C B1 B'2 B2 Gọi A2 là điểm nằm trên AA1 cho P A2 ⊥ BC, B2 , C2 là hai điểm trên BB1 , CC1 cho A2 B2 k A1 B1 , A2 C2 k A1 C1 Do A1 A2 , B1 B2 , C1 C2 đồng quy O nên hai tam giác A1 B1 C1 và A2 B2 C2 vị tự theo tâm O Suy B1 C1 k B2 C2 P là tâm trực giao tam giác A2 B2 C2 ứng với tam giác ABC Gọi D, E, F là giao điểm B2 C2 với BC, A2 C2 với AC, A2 B2 với AB Do hai tam giác A2 B2 C2 và ABC thấu xạ nên theo định lý Desargues, D, E, F thẳng hàng Qua P kẻ đường thẳng vuông góc với AC, AB cắt A2 B2 , A2 C2 B20 , C20 Do các đường vuông góc kẻ từ B2 tới AC, C2 tới AB cắt điểm P trên A2 P nên hai tam giác P B20 C20 và P B2 C2 vị tự theo tâm A2 Suy B20 C20 k B2 C2 và đó P là tâm trực giao hai tam giác A2 B20 C20 và ABC Theo bổ đề trên suy A2 B20 C20 và ABC thấu xạ Theo định lý Desargues, giao điểm D0 B20 C20 với BC nằm trên EF Mà D và D0 cùng nằm trên BC nên D ≡ D0 hay hai tam giác ABC và A2 B2 C2 có chung tâm trực giao P Ta có hai tam giác A2 P B2 và A1 QB1 có cạnh tương ứng song song nên vị tự theo tâm O Suy O, P, Q thẳng hàng Nhận xét Tại [1], kết luận A2 B2 C2 và ABC có chung tâm trực giao đưa sau chứng minh P là tâm trực giao A2 B2 C2 ứng với ABC Điều này có vẻ không hiển nhiên tôi nhận thấy việc chứng minh nó khá khó khăn Tài liệu [1] Jean-Louis Ayme, Le théorème de Sondat une preuve simple et purement synthétique http://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/vol1.html [2] Sondat P., Question 38, L’intermédiaire des mathématiciens (1894) 10 Email: Lovemathforever@gmail.com