c Tìm giá trị của m để khoảng cách từ gốc tọa độ đến đờng thẳng d có giá trị lớn nhất... EF là đờng trung bình của tam giác AHB hay EF// BC c Gọi giao điểm của NH với đờng thẳng BM là [r]
(1)đề thi học sinh giỏi môn toán Câu I: Cho đờng thẳng y = (m-2)x + (d) a) Chứng minh đờng thẳng (d) luôn qua điểm cố định với m b) Tìm m để khoảng cách từ gốc tọa độ đến đờng thẳng (d) c) Tìm giá trị m để khoảng cách từ gốc tọa độ đến đờng thẳng (d) có giá trị lớn C©uII: Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh: a) √ x +2 x +1+ √ x −6 x +9=6 b) √ x+2 √ x −1+ √ x − √ x −1=1 C©u III: xy yz zx a) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña: A= víi x, y, z lµ sè d¬ng vµ x + y + z= + + z x y ¿ x − y −2 z − = = b) Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh: x − y+ z =12 ¿{ ¿ 2 x+ √ x −2 x x − √ x −2 x c) B = − x − √ x −2 x x + √ x − x Tìm điều kiện xác định B Rót gän B Tìm x để B<2 C©u IV: Cho tam giác vuông ABC vuông A, với AC < AB; AH là đờng cao kẻ từ đỉnh A Các tiếp tuyến A và B với đờng tròn tâm O ngoại tiếp tam giác ABC cắt M Đoạn MO cắt cạnh AB E Đoạn MC cắt đờng cao AH F Kéo dài CA cho cắt đờng thẳng BM D Đờng thẳng BF cắt đờng thẳng AM N a) Chøng minh OM//CD vµ M lµ trung ®iÓm cña BD b) Chøng minh EF // BC c) Chøng minh HA lµ tia ph©n gi¸c cña gãc MHN d) Cho OM =BC = 4cm TÝnh chu vi tam gi¸c ABC Câu V: Cho (O;2cm) và đờng thẳng d qua O Dựng điểm A thuộc miền ngoài đờng tròn cho các tiếp tuyến kẻ từ A với đờng tròn cắt đờng thẳng d B và C tạo thành tam giác ABC có diện tích nhỏ §¸p ¸n C©u Néi dung §iÓm I a) y luôn qua điểm cố định với m 0.5 (3®) b) Xác định giao (d) với Ox là A và Oy là B, ta có: OA = 2: (|2 - m|); OB = 0.5 +OH là khoảng cách từ O đến AB Do OH = Thay vào tính 0.5 m = - √ hoÆc m = + √ 0.5 + Các đờng thẳng tơng ứng y = √ x + và y = - √ x + 0.5 c) OH đạt GTLN m - 4m + đạt GTNN m = 0.5 + §êng th¼ng y = vµ OH = { II (4®) III (6®) a) §a vÒ d¹ng: 2|x+1| + |x-3| = + Xác định ĐK x: + Víi x < -1 cã x = + Víi -1 x < cã x =1 ¿ + Víi x > cã x = ∉ TX§ ¿ KÕt luËn : x = vµ x =1 lµ nghiÖm b) §KX§: x + §a vÒ d¹ng: 2x + √ x2 − 4( x −1)=4 + Pt : x + | - x| = + KÕt luËn 1 x lµ nghiÖm a) Dïng B§T C« si xy yz xy yz hay xy + yz ≥ 2y + ≥2 z x z x z x yz zx t¬ng tù + ≥2z ; x y √ 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 (2) zx xy + ≥2x y z 0.5 KL: A nhá nhÊt b»ng víi x = y = z = 0.5 b) ¸p dông tÝnh chÊt d·y tØ sè b»ng ®a vÒ d¹ng: ¿ 3(x −1) 2( y −2) z −2 = = 15 x − y + z=12 ¿{ ¿ Gi¶i t×m hÖ sè tØ lÖ lµ Tính đúng x = 6; y = 5; z = 0.5 0.5 { c) T×m §KX§ cña B lµ x 0 vµ x 2 Biến đổi và rút gọn có kết B = √ x2 −2 x B< √ x2 −2 x < ( x - 1)2 < KÕt luËn gi¸ trÞ cña x: 1- √ < x< vµ 2 x < 1+ IV (5®) V (2®) 0.5 0.5 0.5 √2 + Vẽ hình đúng chính xác , đẹp và ghi GT , KL đúng chính xác a) + OM // CD ( cïng vu«ng gãc víi AB) + Do O lµ trung ®iÓm cña BC vµ OM // CD M lµ trung ®iÓm cña BD b) Do AH // DB ( cïng vu«ng gãc víi BC) AF FH theo (a) MD = MB, theo định lí Ta lét = DM MB AF = FH hay F lµ trung ®iÓm cña AH + Chỉ E là trung điểm AB EF là đờng trung bình tam giác AHB hay EF// BC c) Gọi giao điểm NH với đờng thẳng BM là P Do AH//MP và F là trung điểm AH ChØ B lµ trung ®iÓm cña MP + Tam giác HMD cân đỉnh H ( HB vừa là trung tuyến, vừa là đờng cao HB là phân gi¸c gãc MHD + V× HA vu«ng gãc víi HB nªn suy AH lµ tia ph©n gi¸c cña gãc MHN d) + Chứng minh đợc ABC = BMO ( c.h- g.n) cã OB = 2cm; OM = 4cm + Tính đợc BM = √ ( cm) BC = 4cm; AC = BO = 2cm tÝnh AB = √ + Tính đợc chu vi ABC ( + √ ) cm + Vẽ hình đúng, chính xác , đẹp + Diện tích ABC là S, viết đợc S = AB OH+ AC OH + Tính đợc S + Do Smin = AB = AC, AC = CI VËy tam gi¸c ABC ph¶i vu«ng c©n t¹i A Từ đó có cách dựng điểm A 0.5 0.25 0.25 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.25 0.25 0.5 0.5 5 0.5 (3)