hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán Tr-êng thpt l-¬ng thÕ vinh Hµ néi.. Hàm số không có cực trị.[r]
(1)hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán Tr-êng thpt l-¬ng thÕ vinh Hµ néi đề thi thử thpt quốc gia năm 2015 M«n thi: To¸n - LÇn thø Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề Ngµy 16.5.2015 N¨m häc 2014 - 2015 3x hoctoancapba.com x 1 a) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị ( C ) hàm số đã cho Câu (2,0 điểm) Cho hàm số y b) Tìm các giá trị m để đường thẳng d : y x m cắt đồ thị ( C ) hai điểm phân biệt Câu (1,0 điểm) 3 5 và tan Tính M sin sin sin 2 2 2i b) Cho số phức z thỏa mãn hệ thức: (i 3) z (2 i) z Tìm môđun số phức w z i i a) Cho góc thỏa mãn: Câu (0,5 điểm) Giải bất phương trình: log2 ( x 2) log0,5 x Câu (1,0 điểm) Giải bất phương trình: x x x x x x 3x Câu (1,0 điểm) Tính tích phân: I x x cos x dx Câu (1,0 điểm) Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình thang vuông A và B ; AB BC a; AD 2a ; SA ( ABCD) Góc mặt phẳng (SCD) và mặt phẳng ( ABCD) 450 Gọi M là trung điểm AD Tính theo a thể tích khối chóp S.MCD và khoảng cách hai đường thẳng SM và BD Câu (1,0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có phương trình đường phân giác góc A là d : x y Hình chiếu vuông góc tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC lên đường thẳng AC là điểm E (1;4) Đường thẳng BC có hệ số góc âm và tạo với đường thẳng AC góc 450 Đường thẳng AB tiếp xúc với đường tròn (C ) : x y Tìm phương trình các cạnh tam giác ABC Câu (1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm A 1; 1;0 và đường thẳng x y 1 z Lập phương trình mặt phẳng ( P) chứa A và d Tìm tọa độ điểm B thuộc trục Ox 3 cho khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng ( P) d: Câu (0,5 điểm) Trong đợt xét tuyển vào lớp 6A trường THCS năm 2015 có 300 học sinh đăng ký Biết 300 học sinh đó có 50 học sinh đạt yêu cầu vào lớp 6A Tuy nhiên, để đảm bảo quyền lợi học sinh là nhau, nhà trường định bốc thăm ngẫu nhiên 30 học sinh từ 300 học sinh nói trên Tìm xác suất để số 30 học sinh chọn trên có đúng 90% số học sinh đạt yêu cầu vào lớp 6A Câu 10 (1,0 điểm) Cho các số thực a, b dương và thỏa mãn ab 1 32 T Tìm giá trị nhỏ biểu thức 1 a 1 b 2a(1 a) 2b(1 b) HẾT -Thí sinh không sử dụng tài liệu Cán coi thi không giải thích gì thêm (2) hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán Tr-êng thpt l-¬ng thÕ vinh Hµ néi đáp án – thang điểm đề thi thử thpt quốc gia năm 2015 M«n thi: To¸n – LÇn thø Nă m họ c 2014 – 2015 - Đ áp án có 06 trang Đáp án Câu Đ iể m 3x a) (1,0 điểm) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y (2,0đ) x 1 Tập xác định: D \ {1} lim y 3; lim y suy tiệm cận ngang y x x lim y ; lim y suy tiệm cận đứng đồ thị hàm số là đường thẳng x 1 x 1 0,25 x Đạo hàm: y ' 1 x 1 x Hàm số luôn nghịch biến trên khoảng ;1 và 1; Hàm số không có cực trị Bảng biến thiên: x 0,25 y' y - - 0,25 Đồ thị: (Hs có thể lấy điểm (2; 4); (0; 2) ) b) (1,0 điểm) Tìm các giá trị m để d : y x m cắt đồ thị ( C ) hai điểm phân biệt 3x x m x 1 f ( x) x2 (2 m) x m (1) ( x 1) Phương trình tương giao: f (1) 0,25 0,25 ĐK: (1) có nghiệm phân biệt khác 0,25 m2 4m 12 m 6; m 0,25 0,25 3 a) (0,5 điểm) Cho tan Tính (1,0đ) 5 M sin sin sin 2 2 1 3 tan cos cos x cos 1 M sin cos cos 2 sin cos 2cos2 cos2 cos 5 Ta có 0,25 0,25 (3) hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán 2i (2 i) z Tìm môđun số phức w z i i Gọi z a ib a, b R, i 1 Từ giả thiết ta có: b) (0,5 điểm) Cho (i 3) z (i 3)(a bi ) 2i (2 i)(a bi ) a 1 a (a 1) (2a 5b 2)i z 1 i 2a 5b b 26 25 Giải bất phương trình: log2 ( x 2) log0,5 x Từ đó: | z i || 1 i | 0,25 0,25 (0,5đ) Điều kiện: x Bpt log x log x log x 2x x 2 x2 x2 1 2 x x 0,25 0,25 Kết hợp điều kiện ta nghiệm bpt là x 3 (1,0đ) Giải bất phương trình: x x x x x x 3x 2 Bpt x x x x 1 x ( x 1) x 0 ( x 2) | x | x x 1 x (1) x : (1) 2 (loại) x : (1) 2 2 x : (1) ( x 2) x x 1 Chia vế cho x ( x 2) ta được: (1) Xét hàm f (t ) t t , t f '(t ) x 2 0,25 (loại) 1 1 1 1 1 x x2 x x 2 t 1 t2 t f (t ) đồng biến 0,25 t 1 x x2 x x x x x 4; x Kết hợp x x x 2: (1) ( x 2) x x 1 x (1) Chia vế cho 0,25 x ( x 2) ta được: (1) Xét hàm f (t ) t t , t f '(t ) biến t Từ đó (1) 1 1 1 1 x x2 x x 2 t 1 t2 1 t2 t 1 t2 t f (t ) đồng 1 Trường hợp này vô nghiệm vì x2 x x2 Đáp số: x Cách 2: ĐK x (mỗi dấu + ứng với ¼ điểm) 0,25 (4) hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán x không là nghiệm Xét x : + (1) x 2 x 1 x2 5x x3 x x x3 3x x 1 x3 x x x3 3x x 1 x 1 f ( x) x x x 1 + Xét g ( x) x 2 x3 x x x 3x Nếu x thì g ( x) + Nếu x 1: x x Ta có: x3 3x x 1 x 2 x 1 x 1 x 2 x 2 (1) x x 1 x x x3 x x x3 3x x 1 x 1 x 1 x 1 x 3 x x x x 3x x x x x x 1 (2) Từ (1) và (2) suy 3 2 x x x x 3x g ( x) x + f ( x) x x Kết hợp ĐK suy đáp số: x (1,0đ) Tính tích phân: I x x cos x dx hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán 2 I x dx x cos xdx Ta có A x dx x 24 0 2 2 0,25 B x cos xdx Đặt u x u ' v ' cos x v sin x B 0,25 12 x sin x 02 sin xdx 20 1 1 2 cos x 1 1 2 2 0 I A B 3 ( I 0,792) 24 S ABCD đáy là hình thang vuông A và B ; AB BC a; AD 2a ; (1,0đ) SA ( ABCD) Góc (SCD) và ( ABCD) 450 M là trung điểm AD Tính thể tích S.MCD , d (SM , BD) Ta có (SCD) ( ABCD) CD CD SA, AC CD ( SAC ) SC CD SCA 450 0,25 0,25 0,25 (5) hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán 1 VS MCD SA.SMCD SA AC a 2; SMCD a 3 a 1 Suy VS MCD a a Gọi N là trung điểm AB BD //(SMN ) 0,25 S Suy ra: d (SM , BD) d ( BD,(SMN )) d ( D,(SMN )) d ( A,(SMN )) AP MN P MN , AH SP H SP Kẻ 0,25 AH ( SMN ) d ( A,( SMN )) AH 1 Tam giác vuông SAP có 2 AH AS AP 1 1 1 11 2 2 2 2 a AS AN AM 2a a 2a a 22 a 22 Suy AH d (SM , BD) 11 11 H A M 0,25 D N P B C Tam giác ABC có phân giác góc A là d : x y Hình chiếu tâm (1,0đ) đường tròn nội tiếp tam giác ABC lên AC là E (1;4) BC có hệ số góc âm và tạo với đường thẳng AC góc 450 Đường thẳng AB tiếp xúc với (C ) : x y Tìm phương trình các cạnh Gọi F là điểm đối xứng với E qua d F (1;2) Nhận xét: (C ) có tâm I (2;0), bán kính R và F (C ) Từ đó AB qua F và vuông góc với IF nên có phương trình AB : x y AB d A(3;0) AC : x y Gọi J là tâm đường tròn nội tiếp ABC Đường thẳng qua 10 E , AC : x y d J ; 3 Gọi vtpt đường thẳng BC là n (a; b), a b2 Ta có: A | 2a b | cos 450 a b 2a b a b 2 3a 8ab 3b 0,25 E H I a : suy b (loại) a : chọn a b (thỏa mãn hệ số góc âm), F J (loại) B D Suy phương trình BC : x y C Do J là tâm đường tròn nội tiếp ABC nên d ( J , AC ) d ( J , BC ) 10 | | | 10 C | 29 10 29 10 C Suy 3 (thỏa mãn); C 3 10 29 10 (loại vì đó A, J nằm phía BC ) Từ đó: BC : x y 29 10 Đáp số: AB : x y ; AC : x y ; BC : x y b 0,25 0,25 C 0,25 (6) hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán (1,0đ) A 1; 1;0 , x y 1 z 3 B Ox : d ( B, Ox) Lập d: ( P) chứa A và d Tìm Đường thẳng d qua M 1;1;0 và có vtcp u (2;1; 3) Ta có MA (2; 2;0) ( P) qua A 1; 1;0 và có vtpt n MA, u 6;6;6 Chọn n (1;1;1) 0,25 Phương trình tổng quát ( P) là: 1( x 1) 1( y 1) 1( z 0) x y z 0,25 Gọi B(b;0;0) Ox; d ( B,( P)) |b| 3 0,25 | b | b 3 B(3;0;0) Đáp số: ( P) : x y z ; B(3;0;0) 0,25 Có 300 học sinh đăng ký Có 50 học sinh đạt yêu cầu vào lớp 6A Bốc thăm ngẫu (0,5đ) nhiên 30 học sinh từ 300 học sinh nói trên Tìm xác suất để có đúng 90% số học sinh đạt yêu cầu Gọi A là biến cố: “Chọn 90% học sinh đạt yêu cầu” 30 Chọn ngẫu nhiên 30 học sinh từ 300 học sinh có C300 cách chọn Chọn 90% học sinh đạt yêu cầu, tức là chọn 27 em Chọn 27 học sinh từ 50 học sinh có C5027 cách Chọn nốt em từ 250 em còn lại có C250 cách Số cách chọn học sinh đạt yêu cầu là: C5027 C250 C5027 C250 1,6.1021 Xác suất biến cố A là P( A) 30 C300 0,25 0,25 1 32 10 Cho a, b : ab Tìm GTNN T (1,0đ) 1 a 1 b 2a(1 a) 2b(1 b) Ta có: 1 , a b ab ab 1 Thật vậy: Quy đồng, chuyển vế, bđt trên tương đương với a b ab (Đúng) 0,25 1 2 Suy ra: a b ab ab ab.1 ab ab 2 Ta có: a(1 a) b(1 b) a b a b 2 2ab 2 ab ab Lại có: Suy ra: 2a(1 a) 2b(1 b) ab 12 1 32 32 2a(1 a) 2b(1 b) 2a(1 a) 2b(1 b) ab ab 12 ab 0,25 T 16 ab 16 ab 16 Đặt t ab T f (t ) t 3 t 3 8t (t 3)2 t (t 3) t f '(t ) (t 3)2 (t 3) t (t 3) (t 3) t 0,25 (7) hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán Xét M (t 3) t (t 3) t (t 3) t t t t t t t 6t t 3t (t t ) 3t (Đúng t 1) Suy f '(t ) t f (t ) đồng biến t Từ đó: MinT f (1) 7 t a b t 1 Cách 2: Có thể dồn biến u a b ab sau: 1 4 1 a 1 b 1 a 1 b u a(1 a) b(1 b) a b a b2 a b a 2b2 a b u Suy ra: 2a(1 a) 2b(1 b) 2u 12 T 1 2a(1 a) 2b(1 b) 2u 12 32 f (u), u Chứng minh f '(u) u tương tự u2 2u 12 cách Kết luận: MinT f (2) 7 u a b u 2 Hế t 0,25 (8)