DE THI HSG TOANLop 8 20142015 HH

Trên đây chỉ là sơ lược các bước giải, lời giải của học sinh cần lập luận chặt chẽ, hợp logic.. Nếu học sinh trình bày cách làm khác mà đúng thì cho điểm các phần theo thang điểm tương ứ[r]

PHÒNG GD&ĐT HẠ HÒA KÌ THI HỌC SINH GIỎI LỚP Năm học: 2014 – 2015 Môn: Toán Ngày thi: 10 tháng năm 2015 Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề) ( Đề thi có trang) Đề chính thức Câu (3,0 điểm) 2 Phân tích đa thức sau thành nhân tử: P 2a  7a b  7ab  2b Câu (5,0 điểm) 1) Cho biểu thức: R= ( x −1 x +1 4030 + − : x x −2 x x +2 x x − x ) Tìm x để biểu thức xác định, đó hãy rút gọn biểu thức 2) Giải phương trình sau: (x+ 1)(x +2)( x+ 3)( x + 4)=840 Câu (4,0 điểm) 1) Cho n là số tự nhiên lẻ Chứng minh n  n chia hết cho 24 2) Tìm số tự nhiên n để n  4n  2013 là số chính phương Câu (7,0 điểm) 1) Cho hình thang ABCD vuông A và D Biết CD=2AB=2AD và BC a a) Tính diện tích hình thang ABCD theo a b) Gọi I là trung điểm BC, H là chân đường vuông góc kẻ từ D xuống AC  Chứng minh HDI 45 2) Cho tam giác ABC có BC a, CA b, AB c Độ dài các đường phân giác tam giác kẻ từ các đỉnh A, B, C là la , lb , lc 1 1 1      l lb lc a b c a Chứng minh rằng: Câu (1,0 điểm) Cho hai số không âm a và b thoả mãn a+b ≤ Tìm giá trị lớn biểu thức: S a b  a 1 b 1 -Hết -Cán coi thi không giải thích gì thêm Họ và tên thí sinh: Số báo danh: HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN Ngày thi: 10 tháng năm 2015 Hướng dẫn chấm có 04 trang Câu Hướng dẫn giải P 2  a  b   ab  a  b  Ta có 2  a  b   a  ab  b   7ab  a  b   a  b   2a  2b  5ab  (3.0 điểm) (3.0 điểm) 0,5 0.5  a  b   2a  4ab  2b2  ab  0.5  a  b   2a  a  2b   b  b  2a   0.5  a  b   2a  b   a  2b  0.5 Kết luận P  a  b   2a  b   a  2b  Câu 0.5 (5,0 điểm)  x  x x 1  R     x  x   x  x   x  x    4030 Ta có x  x   0 0.5  x 0   x 2 0.5 ĐK: (2.5 điểm) (2,5 điểm) Khi đó:  x  x 1      4030  x  x  x    x  1  x     x  1  x     4030 x2  2  x  4   4030 x  2015  x 0  R 2015 Vậy R xác định  x 2 và R ( x+1)( x +2)(x+3)( x + 4)=840   x  1  x    x    x  3 840 0.5 0.5 0.5 0.5   x  x    x  x   840 Đặt x  x   y (y  0) phương trình trở thành 0.5  y  1  y  1 840  y  840  y 841  y 29 Với y = 29 ta có: x  x  29 0.5 0.5 x  x  29     x  x  24 0 x  3x  x  24 0 x( x  3)  8( x  3) 0 ( x  3)( x  8) 0 0.5  x 3   x  KL: Phương trình có tập nghiệm S  3,  8 Câu (4 điểm) Ta có n  n n  n  1  n  1 0.5 Vì n  1; n; n  là ba số tự nhiên liên tiếp nên có ba số (2 điểm) n đó chia hết cho Do đó   n  3 (1) Vì n là số tự nhiên lẻ nên n  và n  là hai số tự nhiên chẵn liên  n  1  n 1 8   n3  n  8 tiếp Do đó (2) Vì và là hai số nguyên tố cùng nên kết hợp với (1), (2) suy n + Giả sử  n  24 0.5 (đpcm) 0.5 0.5 n  4n  2013 m ,  m   n  2 + Suy  2  2009 m  m   n   2009 0.5   m  n    m  n   2009 + Mặt khác 2009 2009.1 287.7 49.41 và m  n   m  n  nên có các trường hợp sau xảy ra: (2 điểm)   m  n  2009   m  n    TH1:  m 1005   n 1002 m  n  287  m 147    n 138 TH1: m  n  7 m  n  49  m 45   TH3: m  n  41 n 2  Vậy các số cần tìm là: 1002; 138; 0.5 0.5 0.5 Câu (6 điểm) B A H I D 0.5 C E a) + Gọi E là trung điểm CD, ABED là hình vuông và BEC là tam giác vuông cân + Từ đó suy AB  AD a; BC 2a (4,5 điểm) + Diện tích hình thang ABCD là S  AB  CD  AD a  2a  a 3a    2 ADH  ACD b) + (1) (hai góc nhọn có cặp cạnh tương ứng vuông góc) + Xét hai tam giác ADC và IBD vuông D và B có AD IB   DC BD , đó hai tam giác ADC và IBD đồng dạng ACD BDI  Suy 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 (2)  + Từ (1) và (2), suy ADH BDI 0      + Mà ADH  BDH 45  BDI  BDH 45 hay HDI 45 0.5 0.5 0.5 + Gọi AD là đường phân giác góc A, qua C kẻ đường thẳng song song với AD cắt đường thẳng AB M   Ta có BAD  AMC (hai góc vị trí đồng vị)  DAC  ACM (hai góc vị trí so le trong) (2,5 điểm)     Mà BAD DAC nên AMC  ACM hay tam giác ACM cân A, suy AM  AC b AD BA c   + Do AD//CM nên CM BM b  c CM  AM  AC 2b  + Mà + Tương tự ta có 0.5 0.5 c AD 11 1       b  c 2b la  b c  (1) 11 1 1 1         lb  c a  (2); la  b c  (3) 0.5 0.5 Cộng (1), (2), (3) theo vế, ta có đpcm Câu 1điểm 1   + Chứng minh với hai số dương x, y thì x y x  y 0.25   S 2      2  a 1  b 1  a 1 b 1  + Do đó 0.5 a b  + Kết luận: GTLN S là , đạt 0.25 Điểm toàn bài (20 điểm) Lưu ý chấm bài: Trên đây là sơ lược các bước giải, lời giải học sinh cần lập luận chặt chẽ, hợp logic Nếu học sinh trình bày cách làm khác mà đúng thì cho điểm các phần theo thang điểm tương ứng