Đang tải... (xem toàn văn)
Tính tổng bằng phương pháp giải phương trình làm trôi Trong một số trường hợp khi gặp bài toán tính tổng của một dãy số viết theo thứ tự tăng giảm mà các số hạng của tổng quan hệ với n[r]
(1)GIÁO ÁN BỒI DƯỠNG TOÁN I §Þnh nghÜa phÐp chia Cho số nguyên a và b đó b ta luôn tìm đợc hai số nguyên q và r nhÊt cho: a = bq + r Víi r b Trong đó: a là số bị chia, b là số chia, q là thơng, r là số d Khi a chia cho b cã thÓ xÈy b sè d r {0; 1; 2; …; b} Đặc biệt: r = thì a = bq, đó ta nói a chia hết cho b hay b chia hết a Ký hiÖu: ab hay b\ a VËy: a b Cã sè nguyªn q cho a = bq II C¸c tÝnh chÊt Víi a a a NÕu a b vµ b c a c Víi a a NÕu a, b > vµ a b ; b a a = b NÕu a b vµ c bÊt kú ac b NÕu a b (a) (b) Víi a a (1) NÕu a b vµ c b a c b NÕu a b vµ cb a c b 10 NÕu a + b c vµ a c b c 11 NÕu a b vµ n > an bn 12 NÕu ac b vµ (a, b) =1 c b 13 NÕu a b, c b vµ m, n bÊt kú am + cn b 14 NÕu a b vµ c d ac bd 15 TÝch n sè nguyªn liªn tiÕp chia hÕt cho n! III Mét sè dÊu hiÖu chia hÕt Gäi N = an a n− a a DÊu hiÖu chia hÕt cho 2; 5; 4; 25; 8; 125 + N a0 a0{0; 2; 4; 6; 8} + N a0 a0{0; 5} + N (hoÆc 25) a1 a0 (hoÆc 25) + N (hoÆc 125) a2 a1 a0 (hoÆc 125) DÊu hiÖu chia hÕt cho vµ + N (hoÆc 9) a0+a1+…+an (hoÆc 9) Mét sè dÊu hiÖu kh¸c + N 11 [(a0+a1+…) - (a1+a3+…)] 11 + N 101 [( a1 a0 + a5 a +…) - ( a3 a2 + a7 a6 +…)]101 + N (hoÆc 13) [( a2 a1 a0 + a8 a a +…) - [( a5 a a3 + a11 a10 a +…) 11 (hoÆc 13) + N 37 ( a2 a1 a0 + a5 a a3 +…) 37 + N 19 ( a0+2an-1+22an-2+…+ 2na0) 19 IV §ång d thøc a §Þnh nghÜa: Cho m lµ sè nguyªn d¬ng NÕu hai sè nguyªn a vµ b cho cïng sè d chia cho m thì ta nói a đồng d với b theo modun m Ký hiÖu: a b (modun) VËy: a b (modun) a - b m b C¸c tÝnh chÊt Víi a a a (modun) NÕu a b (modun) b a (modun) (2) NÕu a b (modun), b c (modun) a c (modun) NÕu a b (modun) vµ c d (modun) a+c b+d (modun) NÕu a b (modun) vµ c d (modun) ac bd (modun) NÕu a b (modun), d Uc (a, b) vµ (d, m) =1 a b a b d ≡ d (modun) NÕu a b (modun), d > vµ d Uc (a, b, m) d ≡ d (modun m ) d V Một số định lý §Þnh lý Euler NÕu m lµ sè nguyªn d¬ng (m) lµ sè c¸c sè nguyªn d¬ng nhá h¬n m vµ nguyªn tè cïng víi m, (a, m) = Th× a(m) (modun) C«ng thøc tÝnh (m) Ph©n tÝch m thõa sè nguyªn tè m = p11 p22 … pkk víi pi p; i N* Th× (m) = m(1 - )(1 p1 ) … (1 p2 ) pk §Þnh lý Fermat NÕu t lµ sè nguyªn tè vµ a kh«ng chia hÕt cho p th× ap-1 (modp) §Þnh lý Wilson NÕu p lµ sè nguyªn tè th× ( P - 1)! + (modp) (3) phÇn II: c¸c ph¬ng ph¸p gi¶i bµi to¸n chia hÕt Ph¬ng ph¸p 1: Sö dông dÊu hiÖu chia hÕt VÝ dô 1: T×m c¸c ch÷ sè a, b cho a56b 45 Gi¶i Ta thÊy 45 = 5.9 mµ (5 ; 9) = để a56b 45 a56b và XÐt a56b b {0 ; 5} NÕu b = ta cã sè a56b a + + + a + 11 a=7 NÕu b = ta cã sè a56b a + + + a + 16 a=2 VËy: a = vµ b = ta cã sè 7560 a = vµ b = ta cã sè 2560 Ví dụ 2: Biết tổng các chữ số số là không đổi nhân số đó với Chứng minh số đó chia hết cho Gi¶i Gọi số đã cho là a Ta cã: a vµ 5a chia cho cïng cã sè d 5a - a 4a mµ (4 ; 9) = a (§pcm) … 111 81 ⏟ VÝ dô 3: CMR sè 111 81 sè Gi¶i Ta thÊy: 111111111 … 111 = 111111111(1072 + 1063 + … + 109 + 1) ⏟ Cã 111 81 sè Mµ tæng 1072 + 1063 + … + 109 + cã tæng c¸c ch÷ sè b»ng 1072 + 1063 + … + 109 + … 111 81 (§pcm) ⏟ VËy: 111 81 sè Bµi tËp t¬ng tù Bµi 1: T×m c¸c ch÷ sè x, y cho a 34x5y vµ b 2x78 17 Bµi 2: Cho sè N = dcba CMR a N (a + 2b) b N 16 (a + 2b + 4c + 8d) 16 víi b ch½n c N 29 (d + 2c + 9b + 27a) 29 Bµi 3: T×m tÊt c¶ c¸c sè cã ch÷ sè cho mçi sè gÊp lÇn tÝch c¸c ch÷ sè cña sè đó Bài 4: Viết liên tiếp tất các số có chữ số từ 19 đến 80 ta đợc số A = 192021… 7980 Hái sè A cã chia hÕt cho 1980 kh«ng ? V× sao? Bµi 5: Tæng cña 46 sè tù nhiªn liªn tiÕp cã chia hÕt cho 46 kh«ng? V× sao? … 11 22 … 22 lµ tÝch cña sè tù nhiªn liªn tiÕp ⏟ ⏟ Bµi 6: Chøng tá r»ng sè 11 100 sè 100 sè Híng dÉn - §¸p sè Bµi 1: a x = vµ y = x= vµ y = b 2x78 = 17 (122 + 6x) + 2(2-x)17 x = Bµi 2: a N4 ab 4 10b + a4 8b + (2b + a) 4 a + 2b4 b N16 1000d + 100c + 10b + a16 (4) (992d + 96c + 8b) + (8d + 4c + 2b + a) 16 a + 2b + 4c + 8d16 víi b ch½n c Cã 100(d + 3c + 9b + 27a) - dbca 29 mµ (1000, 29) =1 dbca 29 (d + 3c + 9b + 27a) 29 Bµi 3: Gäi ab lµ sè cã ch÷ sè Theo bµi ta cã: ab = 10a + b = 2ab (1) ab 2 b {0; 2; 4; 6; 8} thay vµo (1) a = 3; b = Bµi 4: Cã 1980 = 22.32.5.11 V× ch÷ sè tËn cïng cña a lµ 80 vµ A vµ Tæng c¸c sè hµng lÎ 1+(2+3+…+7).10+8 = 279 Tæng c¸c sè hµng ch½n 9+(0+1+…+9).6+0 = 279 Cã 279 + 279 = 558 A 279 - 279 = 11 A 11 Bµi 5: Tæng sè tù nhiªn liªn tiÕp lµ sè lÎ nªn kh«ng chia hÕt cho Cã 46 sè tù nhiªn liªn tiÕp cã 23 cÆp sè mçi cÆp cã tæng lµ sè lÎ tæng 23 cÆp kh«ng chia hÕt cho VËy tæng cña 46 sè tù nhiªn liªn tiÕp kh«ng chia hÕt cho 46 … 11 22 … 22 = 11 … 11 100 … 02 ⏟ ⏟ ⏟ ⏟ Bµi 6: Cã 11 100 sè Mµ 100 … 02 = ⏟ 100 sè 99 sè 11 … 11 ⏟ 100 sè 99 sè 33 … 34 ⏟ 99 sè 22 … 22 ⏟ 33 … 33 33 … 34 = ⏟ ⏟ (§pcm) 100 sè 100 sè 100 sè 99 sè Ph¬ng ph¸p 2: Sö dông tÝnh chÊt chia hÕt * Chó ý: Trong n sè nguyªn liªn tiÕp cã vµ chØ sè chia hÕt cho n CMR: Gäi n lµ sè nguyªn liªn tiÕp m + 1; m + 2; … m + n víi m Z, n N* Lấy n số nguyên liên tiếp trên chia cho n thì ta đợc tập hợp số d là: {0; 1; 2; … n - 1} * NÕu tån t¹i sè d lµ 0: gi¶ sö m + i = nqi ; i = 1,n m+in * NÕu kh«ng tån t¹i sè d lµ kh«ng cã sè nguyªn nµo d·y chia hÕt cho n ph¶i cã Ýt nhÊt sè d trïng Gi¶ sö: m + i = nqi + r m + j = qjn + r ¿ ¿{ ¿ 1≤ i; j ≤ n i - j = n(qi - qj) n i - j n mµ i - j< n i - j = i = j m+i=m+j Vậy n số đó có số và số đó chia hết cho n… VÝ dô 1: CMR: a TÝch cña sè nguyªn liªn tiÕp lu«n chia hÕt cho b TÝch cña sè nguyªn liªn tiÕp chia hÕt cho Gi¶i a Trong sè nguyªn liªn tiÕp bao giê còng cã sè ch½n Số chẵn đó chia hết cho VËy tÝch cña sè nguyªn liªn tiÕp lu«n chia hÕt cho TÝch sè nguyªn liªn tiÕp lu«n chia hÕt cho nªn tÝch cña sè nguyªn liªn tiÕp lu«n chia hÕt cho b Trong s« nguyªn liªn tiÕp bao gi¬ còng cã sè chia hÕt cho Tích số đó chia hết cho mà (1; 3) = VËy tÝch cña sè nguyªn liªn tiÕp lu«n chia hÕt cho VÝ dô 2: CMR: Tæng lËp ph¬ng cña sè nguyªn liªn tiÕp lu«n chia hÕt cho (5) Gi¶i Gäi sè nguyªn liªn tiÕp lÇn lît lµ: n - , n , n+1 Ta cã: A = (n - 1)3 + n3 + (n + 1)3 = 3n3 - 3n + 18n + 9n2 + = 3(n - 1)n (n+1) + 9(n2 + 1) + 18n Ta thÊy (n - 1)n (n + 1) (CM VÝ dô 1) 3(n - 1)n (n + 1) mµ ¿ 9(n2+ 1) ⋮ 18 n⋮ ¿{ ¿ A (§PCM) VÝ dô 3: CMR: n4 - 4n3 - 4n2 +16n 84 víi n ch½n, n4 Gi¶i Vì n chẵn, n4 ta đặt n = 2k, k2 Ta cã n4 - 4n3 - 4n2 + 16n = 16k4 - 32k3 - 16k2 + 32k = đặt 16k(k3 - 2k2 - k + 2) = đặt 16k(k - 2) (k - 1)(k + 1) Với k nên k - 2, k - 1, k + 1, k là số tự nhiên liên tiếp nên số đó có số chia hÕt cho vµ sè chia hÕt cho (k - 2)(k - 1)(k + 1)k Mµ (k - 2) (k - 1)k ; (3,8)=1 (k - 2) (k - 1) (k + 1)k 24 16(k - 2) (k - 1) (k + 1)k (16,24) VËy n4 - 4n3 - 4n2 +16n 384 víi n ch½n, n Bµi tËp t¬ng tù Bµi 1: CMR: a n(n + 1) (2n + 1) b n5 - 5n3 + 4n 120 Víi n N Bµi 2: CMR: n4 + 6n3 + 11n2 + 6n 24 Víi n Z Bµi 3: CMR: Víi n lÎ th× a n2 + 4n + b n3 + 3n2 - n - 48 c n12 - n8 - n4 + 512 Bµi 4: Víi p lµ sè nguyªn tè p > CMR : p2 - 24 Bµi 5: CMR: Trong 1900 sè tù nhiªn liªn tiÕp cã sè cã tæng c¸c ch÷ sè chia hÕt cho 27 Híng dÉn - §¸p sè Bµi 1: a n(n + 1)(2n + 1) = n(n + 1) [(n + 1) + (n + 2)] = n(n + 1) (n - 1) + n(n + 1) (n + 2) b n5 - 5n3 + 4n = (n4 - 5n2 + 4)n = n(n2 - 1) (n2 - 4) = n(n + 1) (n - 1) (n + 2) (n - 2) 120 Bµi 2: n4 + 6n3 + 6n + 11n2 = n(n3 + 6n2 + + 11n) = n(n + 1) (n + 2) (n + 3) 24 Bµi 3: a n2 + 4n + = (n + 1) (n + 3) b n3 + 3n2 - n - = n2(n + 3) - (n + 3) = (n2 - 1) (n + 3) = (n + 1) (n - 1) (n + 3) = (2k + 4) (2k + 2) (2k víi n = 2k + 1, k N) = 8k(k + 1) (k +2) 48 12 c n - n8 - n4 + = n8 (n4 - 1) - (n4 - 1) = (n4 - 1) (n8 - 1) = (n4 - 1)2 (n4 + 1) = (n2 - 1)2 (n2 - 1)2 (n4 + 1) (6) = 16[k(k + 1)2 (n2 + 1)2 (n4 + 1) Víi n = 2k + n2 + vµ n4 + lµ nh÷ng sè ch½n (n2 + 1)2 n4 + n12 - n8 - n4 + (24.22 22 21) VËy n12 - n8 - n4 + 512 Bµi 4: Cã p2 - = (p - 1) (p + 1) v× p lµ sè nguyªn tè p > p ta cã: (p - 1) (p + 1) vµ p = 3k + hoÆc p = 3k + (k N) (p - 1) (p + 1) VËy p - 24 Bµi 5: Gi¶ sö 1900 sè tù nhiªn liªn tiÕp lµ n, n +1; n + 2; … ; n + 1989 (1) 1000 tù nhiªn liªn tiÕp n, n + 1; n + 2; …; n + 999 có số chia hết cho 1000 giả sử n0, đó n0 có tận cùng là chữ số giả sử tổng các chữ số n0 là s đó 27 số n 0, n0 + 9; n0 + 19; n0 + 29; n0 + 39; …; n0 + 99; n0 + 199; … n0 + 899 (2) Cã tæng c¸c ch÷ sè lÇn lît lµ: s; s + … ; s + 26 Cã sè chia hÕt cho 27 (§PCM) * Chó ý: n + 899 n + 999 + 899 < n + 1989 C¸c sè ë (2) n»m d·y (1) Ph¬ng ph¸p 3: xÐt tËp hîp sè d phÐp chia VÝ dô 1: CMR: Víi n N Th× A(n) = n(2n + 7) (7n + 7) chia hÕt cho Gi¶i Ta thÊy thõa sè n vµ 7n + lµ sè ch½n Víi n N A(n) Ta chøng minh A(n) Lấy n chia cho ta đợc n = 3k + (k N) Víi r {0; 1; 2} Víi r = n = 3k n A(n) Víi r = n = 3k + 2n + = 6k + A(n) Víi r = n = 3k + 7n + = 21k + 15 A(n) A(n) víi n mµ (2, 3) = VËy A(n) víi n N VÝ dô 2: CMR: NÕu n th× A(n) = 32n + 3n + 13 Víi n N Gi¶i V× n n = 3k + r (k N); r {1; 2; 3} A(n) = 32(3k + r) + 33k+r + = 32r(36k - 1) + 3r (33k - 1) + 32r + 3r + ta thÊy 36k - = (33)2k - = (33 - 1)M = 26M 13 33k - = (33 - 1)N = 26N 13 víi r = 32n + 3n + = 32 + +1 = 13 13 32n + 3n + 13 víi r = 32n + 3n + = 34 + 32 + = 91 13 32n + 3n + VËy víi n th× A(n) = 32n + 3n + 13 Víi n N Ví dụ 3: Tìm tất các số tự nhiên n để 2n - Gi¶i LÊy n chia cho ta cã n = 3k + (k N); r {0; 1; 2} Víi r = n = 3k ta cã 2n - = 23k - = 8k - = (8 - 1)M = 7M víi r =1 n = 3k + ta cã: 2n - = 28k +1 - = 2.23k - = 2(23k - 1) + mµ 23k - 2n - chia cho d (7) víi r = n = 3k + ta cã : 2n - = 23k + - = 4(23k - 1) + mµ 23k - 2n - chia cho d VËy 23k - n = 3k (k N) Bµi tËp t¬ng tù Bµi 1: CMR: An = n(n2 + 1)(n2 + 4) Víi n Z Bµi 2: Cho A = a1 + a2 + … + an B = a + a5 + … + a n Bµi 3: CMR: NÕu (n, 6) =1 th× n2 - 24 Víi n Z Bài 4: Tìm số tự nhiên W để 22n + 2n + Bài 5: Cho số tự nhiên m, n để thoả mãn 24m4 + = n2 CMR: mn 55 Híng dÉn - §¸p sè Bµi 1: + A(n) + LÊy n chia cho n = 5q + r r {0; 1; 2; 3; 4} r = n A(n) r = 1, n2 + A(n) r = 2; n2 + A(n) A(n) A(n) 30 Bµi 2: XÐt hiÖu B - A = (a51 - a1) + … + (a5n - an) Chỉ chứng minh: a5i - 30 là đủ Bµi 3: V× (n, 6) =1 n = 6k + (k N) Víi r {1} r = 1 n2 - 24 Bµi 4: XÐt n = 3k + r (k N) Víi r 2n{0; 1;n 2} Ta cã: + + = 22r(26k - 1) + 2r(23k - 1) + 22n + 2n + Lµm t¬ng tù VD3 Bµi 5: Cã 24m4 + = n2 = 25m4 - (m4 - 1) Khi m mn Khi m th× (m, 5) = m4 - (V× m5 - m (m4 - 1) m4 - 5) n2 ni5 VËy mn Ph¬ng ph¸p 4: sö dông ph¬ng ph¸p ph©n tÝch thµnh nh©n tö Gi¶ sö chøng minh an k Ta cã thÓ ph©n tÝch an chøa thõa sè k hoÆc ph©n tÝch thµnh c¸c thõa sè mµ c¸c thừa số đó chia hết cho các thừa số k VÝ dô 1: CMR: 36n - 26n 35 Víi n N Gi¶i Ta cã 36n - 26n = (36)n - (26)n = (36 - 26)M = (33 + 23) (33 - 23)M = 35.19M 35 VËy 36n - 26n 35 Víi n N VÝ dô 2: CMR: Víi n lµ sè tù nhiªn ch¨n th× biÓu thøc A = 20n + 16n - 3n - 232 Gi¶i Ta thÊy 232 = 17.19 mµ (17;19) = ta chøng minh A 17 vµ A 19 ta cã A = (20n - 3n) + (16n - 1) cã 20n - 3n = (20 - 3)M 17M 16n - = (16 + 1)M = 17N 17 (n ch½n) A 17 (1) ta cã: A = (20n - 1) + (16n - 3n) cã 20n - = (20 - 1)p = 19p 19 cã 16n - 3n = (16 + 3)Q = 19Q 19 (n ch½n) (8) A 19 (2) Tõ (1) vµ (2) A 232 VÝ dô 3: CMR: nn - n2 + n - (n - 1)2 Víi n >1 Gi¶i n Víi n = n - n + n - = vµ (n - 1)2 = (2 - 1)2 = nn - n2 + n - 1 (n - 1)2 với n > đặt A = nn - n2 + n - ta có A = (nn - n2) + (n - 1) = n2(nn-2 - 1) + (n - 1) = n2(n - 1) (nn-3 + nn-4 + … + 1) + (n - 1) = (n - 1) (nn-1 + nn-2 + … + n2 +1) = (n - 1) [(nn-1 - 1) + … +( n2 - 1) + (n - 1)] = (n - 1)2M (n - 1)2 VËy A (n - 1)2 (§PCM) Bµi tËp t¬ng tù 2n +1 2n +2 Bµi 1: CMR: a + 7 4 b mn(m - n ) 30 Bµi 2: CMR: A(n) = 3n + 63 72 víi n ch½n n N, n Bµi 3: Cho a vµ b lµ sè chÝnh ph¬ng lÎ liªn tiÕp CMR: a (a - 1) (b - 1) 192 Bµi 4: CMR: Víi p lµ sè nguyªn tè p > th× p4 - 240 Bµi 5: Cho sè nguyªn d¬ng a, b, c vµ tho¶ m·n a2 = b2 + c2 CMR: abc 60 Híng dÉn - §¸p sè Bµi 1: a 32n +1 + 22n +2 = 3.32n + 2.2n = 3.9n + 4.2n = 3(7 + 2)n + 4.2n = 7M + 7.2n b mn(m4 - n4) = mn(m2 - 1)(m2 + 1) - mn(n2 - 1) (n2 + 1) 30 Bµi 3: Cã 72 = 9.8 mµ (8, 9) = vµ n = 2k (k N) cã 3n + 63 = 32k + 63 = (32k - 1) + 64 A(n) Bµi 4: §Æt a = (2k - 1)2; b = (2k - 1)2 (k N) Ta cã (a - 1)(b - 1) = 16k(k + 1)(k - 1) 64 vµ Bµi 5: Cã 60 = 3.4.5 §Æt M = abc Nếu a, b, c không chia hết cho a2, b2 và c2 chia hết cho d a2 b2 + c2 Do đó có ít số chia hết cho Vậy M Nếu a, b, c không chia hết cho a2, b2 và c2 chia d b2 + c2 chia th× d 2; hoÆc a2 b2 + c2 Do đó có ít số chia hết cho Vậy M NÕu a, b, c lµ c¸c sè lÎ b2 vµ c2 chia hÕt cho d b2 + c2 (mod 4) a2 b2 + c2 Do đó số a, b phải là số chẵn Gi¶ sö b lµ sè ch½n NÕu C lµ sè ch½n M NÕu C lµ sè lÎ mµ a2 = b2 + c2 a lµ sè lÎ b2 = (a - c) (a + b) b a+ c = 2 ( ) ( )( a−2 c ) b ch½n b m VËy M = abc 3.4.5 = 60 Phơng pháp 5: biến đổi biểu thức cần chứng minh dạng tæng (9) Giả sử chứng minh A(n) k ta biến đổi A(n) dạng tổng nhiều hạng tử và chứng minh hạng tử chia hết cho k VÝ dô 1: CMR: n3 + 11n víi n z Gi¶i 3 Ta cã n + 11n = n - n + 12n = n(n - 1) + 12n = n(n + 1) (n - 1) + 12n V× n, n - 1; n + lµ sè nguyªn liªn tiÕp n(n + 1) (n - 1) vµ 12n VËy n3 + 11n VÝ dô 2: Cho a, b z tho¶ m·n (16a +17b) (17a +16b) 11 CMR: (16a +17b) (17a +16b) 121 Gi¶i Cã 11 sè nguyªn tè mµ (16a +17b) (17a +16b) 11 16a +17b ⋮11 ¿ 17a +16b ⋮11 (1) ¿ ¿ ¿ ¿ Cã 16a +17b + 17a +16b = 33(a + b) 11 (2) Tõ (1) vµ (2) 16a +17b ⋮11 ¿ 17a +16b ⋮11 ¿ ¿ ¿ ¿ VËy (16a +17b) (17a +16b) 121 VÝ dô 3: T×m n N cho P = (n + 5)(n + 6) 6n Gi¶i Ta cã P = (n + 5)(n + 6) = n2 + 11n + 30 = 12n + n2 - n + 30 Vì 12n 6n nên để P 6n n2 - n + 30 6n ¿ n2 - n ⋮ 30 ⋮6n ⇔ ¿ n(n - 1)⋮ 3(1) 30 ⋮ n(2) ¿{ ¿ Tõ (1) n = 3k hoÆc n = 3k + (k N) Tõ (2) n {1; 2; 3; 5; 6; 10; 15; 30} VËy tõ (1); (2) n {1; 3; 6; 10; 15; 30} Thay c¸c gi¸ trÞ cña n vµo P ta cã n {1; 3; 10; 30} lµ tho¶ m·n VËy n {1; 3; 10; 15; 30} th× P = (n + 5)(n + 6) 6n Bµi tËp t¬ng tù Bµi 1: CMR: 13 + 33 + 53 + 73 23 Bµi 2: CMR: 36n2 + 60n + 24 24 Bµi 3: CMR: a 5n+2 + 26.5n + 2n+1 59 b 2n + 14 Bµi 4: T×m n N cho n3 - 8n2 + 2n n2 + Híng dÉn - §¸p sè Bµi 1: 13 + 33 + 53 + 73 = (13 + 73) + (33 + 53) = 8m + 8N 23 Bµi 2: 36 + 60n + 24 = 12n(3n + 5) + 24 (10) Ta thấy n và 3n + không đồng thời cùng chẵn cùng lẻ n(3n + 5) §PCM Bµi 3: a 5n+2 + 26.5n + 2n+1 = 5n(25 + 26) + 2n+1 = 5n(59 - 8) + 8.64 n = 5n.59 + 8.59m 59 2n b + 14 = 2n - + 15 = (81n - 1) + 15 = 80m + 15 Bµi 4: Cã n - 8n + 2n = (n2 + 1)(n - 8) + n + (n2 + 1) n + n2 + NÕu n + = n = -8 (tho¶ m·n) NÕu n + n + 8 n2 + n +8 ≤ -n − Víi n ≤ −8 ¿ n +8 ≥ n +1 Víi n ≥− ¿ ⇒ ¿ n2 +n+ 9≤ Víi n ≤ −8 ¿ n −n −7 ≤ Víi n ≥ −8 ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ n {-2; 0; 2} thö l¹i VËy n {-8; 0; 2} Ph¬ng ph¸p 6: Dïng quy n¹p to¸n häc Gi¶ sö CM A(n) P víi n a (1) Bớc 1: Ta CM (1) đúng với n = a tức là CM A(n) P Bớc 2: Giả sử (1) đúng với n = k tức là CM A(k) P với k a Ta CM (1) đúng với n = k + tức là phải CM A(k+1) P Bíc 3: KÕt luËn A(n) P víi n a VÝ dô 1: Chøng minh A(n) = 16n - 15n - 225 víi n N* Gi¶i Với n = A(n) = 225 225 n = đúng Gi¶ sö n = k nghÜa lµ A(k) = 16k - 15k - 225 Ta ph¶i CM A(k+1) = 16 k+1 - 15(k + 1) - 225 ThËt vËy: A(k+1) = 16 k+1 - 15(k + 1) - = 16.16k - 15k - 16 = (16k - 15k - 1) + 15.16k - 15 = 16k - 15k - + 15.15m = A(k) + 225 mµ A(k) 225 (gi¶ thiÕt quy n¹p) 225m 225 VËy A(n) 225 VÝ dô 2: CMR: víi n N* vµ n lµ sè tù nhiªn lÎ ta cã m2 −1 ⋮ 2n+2 Gi¶i Víi n = m - = (m + 1)(m - 1) (v× m + 1; m - lµ sè ch½n liªn tiÕp nªn tÝch cña chóng chia hÕt cho 8) Gi¶ sö víi n = k ta cã m2 −1 ⋮ 2k+2 ta ph¶i chøng minh n k k+1 m2 −1 ⋮ 2k+3 ThËt vËy m2 −1 ⋮ 2k+2 k k m −1=2k+ q( q ∈ z) (11) k m2 =2k+ q+1 cã m2 −1=( m2 )2 − 1=( k+2 q+ )2 − 1=2k+ q 2+ 2k+3 q = 2k+3 ( 2k+1 q2 +q) ⋮ 2k+3 VËy m2 −1 ⋮ 2n+2 víi n Bµi tËp t¬ng tù 3n+3 Bµi 1: CMR: - 26n - 27 29 víi n Bµi 2: CMR: 42n+2 - 15 Bài 3: CMR số đợc thành lập 3n chữ số giống thì chia hết cho 3n với n là số nguyªn d¬ng Híng dÉn - §¸p sè Bµi 1: T¬ng tù vÝ dô Bµi 2: T¬ng tù vÝ dô aa a Bµi 3: Ta cÇn CM ⏟ 3n (1) sèa Víi n = ta cã aa a ¿ 111a ⋮ a ⏟ Giả sử (1) đúng với n = k tức là aa 3k sèa Ta chứng minh (1) đúng với n = k + tức là phải chứng minh aa a ⏟ 3k+1 ta cã 3k+1 = 3.3k = 3k + 3k +3k k+1 k n n k Cã k+ sè a aa a=a⏟ a a⏟ a a⏟ a ⏟ k+ sèa 3 k ¿ aa a ( 10 ⏟ k 3 k k k k+1 k k ¿ aa a 102 +aa a 103 +a a ⏟ 3k +10 +1 ) ⋮ k Phơng pháp 7: sử dụng đồng d thức Giải bài toán dựa vào đồng d thức chủ yếu là sử dụng định lý Euler và định lý Fermat VÝ dô 1: CMR: 22225555 + 55552222 Gi¶i Cã 2222 - (mod 7) 22225555 + 55552222 (- 4)5555 + 45555 (mod 7) L¹i cã: (- 4)5555 + 42222 = - 45555 + 42222 = - 42222 (43333 - 1) = - 2222 (( 43 )1111 − 1) V× 43 = 64 (mod 7) ⇒ ( 43 )1111 −1 ≡0 (mod 7) 22225555 + 55552222 (mod 7) VËy 22225555 + 55552222 VÝ dô 2: CMR: 32 +3 +5 ⋮ 22 víi n N Gi¶i Theo định lý Fermat ta có: 310 (mod 11) 210 (mod 11) Ta t×m d phÐp chia lµ 24n+1 vµ 34n+1 cho 10 Cã 24n+1 = 2.16n (mod 10) 24n+1 = 10q + (q N) Cã 34n+1 = 3.81n (mod 10) 34n+1 = 10k + (k N) Ta cã: 32 +3 +5=310 q+2 +210 k+3 = 32.310q + 23.210k + 1+0+1 (mod 2) (mod 2) mµ (2, 11) = VËy 32 +3 +5 ⋮ 22 víi n N VÝ dô 3: CMR: 22 +7 ⋮ 11 víi n N Gi¶i 4n+1 Ta cã: (mod) (mod 10) 24n+1 = 10q + (q N) n+ n+ n+ 4n +1 4n +1 n+1 4n +1 (12) n+1 22 =210q +2 Theo định lý Fermat ta có: 210 (mod 11) 210q (mod 11) n+1 22 +7=210 q+2 +7 4+7 (mod 11) (mod 11) VËy 22 +7 ⋮ 11 víi n N (§PCM) Bµi tËp t¬ng tù Bµi 1: CMR 22 +3 ⋮ 19 víi n N Bµi 2: CMR víi n ta cã 52n-1 22n-15n+1 + 3n+1 22n-1 38 Bµi 3: Cho sè p > 3, p (P) CMR 3p - 2p - 42p Bài 4: CMR với số nguyên tố p có dạng 2n - n (n N) chia hÕt cho p Híng dÉn - §¸p sè Bµi 1: Lµm t¬ng tù nh VD3 Bµi 2: Ta thÊy 52n-1 22n-15n+1 + 3n+1 22n-1 MÆt kh¸c 52n-1 22n-15n+1 + 3n+1 22n-1 = 2n(52n-1.10 + 6n-1) V× 25 (mod 19) 5n-1 6n-1 (mod 19) 25n-1.10 + 6n-1 6n-1.19 (mod 19) (mod 19) Bµi 3: §Æt A = 3p - 2p - (p lÎ) DÔ dµng CM A vµ A A NÕu p = A = 37 - 27 - 49 A 7p NÕu p (p, 7) = Theo định lý Fermat ta có: A = (3p - 3) - (2p - 2) p §Æt p = 3q + r (q N; r = 1, 2) A = (33q+1 - 3) - (23q+r - 2) = 3r.27q - 2r.8q - = 7k + 3r(-1)q - 2r - (k N) víi r = 1, q ph¶i ch½n (v× p lÎ) A = 7k - - - = 7k - 14 VËy A mµ A p, (p, 7) = A 7p Mµ (7, 6) = 1; A A 42p Bµi 4: NÕu P = 22 - = Nếu n > Theo định lý Fermat ta có: 2p-1 (mod p) 2m(p-1) (mod p) (m N) XÐt A = 2m(p-1) + m - mp A p m = kq - Nh p > p có dạng 2n - n đó N = (kp - 1)(p - 1), k N chia hết cho p n+1 6n +2 Ph¬ng ph¸p 8: sö dông nguyªn lý §irichlet NÕu ®em n + thá nhèt vµo n lång th× cã Ýt nhÊt lång chøa tõ trë lªn VÝ dô 1: CMR: Trong n + sè nguyªn bÊt kú cã sè cã hiÖu chia hÕt cho n Gi¶i Lấy n + số nguyên đã cho chia cho n thì đợc n + số d nhận các số sau: 0; 1; 2; …; n - cã Ýt nhÊt sè d cã cïng sè d chia cho n Gi¶ sö = nq1 + r 0r<n aj = nq2 + r a1; q2 N aj - aj = n(q1 - q2) n VËy n +1 sè nguyªn bÊt kú cã sè cã hiÖu chia hÕt cho n NÕu kh«ng cã tæng nµo c¸c tæng trªn chia hÕt cho n nh vËy sè d chia tổng trên cho n ta đợc n số d là 1; 2; …; n - (13) VËy theo nguyªn lý §irichlet sÏ tån t¹i Ýt nhÊt tæng mµ chi cho n cã cïng sè d (theo VD1) hiÖu cïadr tæng nµy chia hÕt cho n (§PCM) Bµi tËp t¬ng tù Bµi 1: CMR: Tån t¹i n N cho 17n - 25 Bµi 2: CMR: Tån t¹i béi cña sè 1993 chØ chøa toµn sè Bµi 3: CMR: Víi 17 sè nguyªn bÊt kú bao giê còng tån t¹i tæng sè chia hÕt cho Bµi 4: Cã hay kh«ng sè cã d¹ng 19931993 … 1993000 … 00 1994 Híng dÉn - §¸p sè Bµi 1: XÐt d·y sè 17, 172, …, 1725 (t¬ng tù VD2) Bµi 2: Ta cã 1994 sè nguyªn chøa toµn bé sè lµ: 11 111 … 111 … 11 ⏟ 1994 sè Khi chia cho 1993 th× cã 1993 sè d theo nguyªn lý §irichlet cã Ýt nhÊt sè cã cïng sè d Giả sử đó là = 1993q + r r < 1993 aj = 1993k + r i > j; q, k N aj - aj = 1993(q - k) 111 … 11 00 … =1993(q − k ) ⏟ ⏟ i-j 1994 sè i sè 111 … 11 10 j =1993(q − k ) ⏟ i-j 1994 sè mµ (10j, 1993) = 111 … 11 1993 (§PCM) ⏟ 1994 sè Bµi 3: XÐt d·y sè gåm 17 sè nguyªn bÊt kú lµ a1, a2, …, a17 Chia các số cho ta đợc 17 số d phải có số d thuộc tập hợp{0; 1; 2; 3; 4} NÕu 17 sè trªn cã sè chia cho cã cïng sè d th× tæng cña chóng sÏ chia hÕt cho NÕu 17 sè trªn kh«ng cã sè nµo cã cïng sè d chia cho tån t¹i sè cã sè d kh¸c tæng c¸c sè d lµ: + + + + = 10 10 VËy tæng cña sè nµy chia hÕt cho Bµi 4: XÐt d·y sè a1 = 1993, a2 = 19931993, … … 1993 ⏟ a1994 = 1993 1994 sè 1993 ®em chia cho 1994 cã 1994 sè d thuéc tËp {1; 2; …; 1993} theo nguyªn lý §irichlet cã Ýt nhÊt sè h¹ng cã cïng sè d Gi¶ sö: = 1993 … 1993 (i sè 1993) aj = 1993 … 1993 (j sè 1993) aj - aj 1994 i < j 1994 ni … 1993 10 ⋮ 1993 ⏟ 1993 j-i sè 1993 Ph¬ng ph¸p 9: ph¬ng ph¸p ph¶n chøng §Ó CM A(n) p (hoÆc A(n) p ) + Gi¶ sö: A(n) p (hoÆc A(n) p ) + CM trªn gi¶ sö lµ sai + KÕt luËn: A(n) p (hoÆc A(n) p ) VÝ dô 1: CMR n2 + 3n + 121 víi n N Gi¶ sö tån t¹i n N cho n2 + 3n + 121 4n2 + 12n + 20 121 (v× (n, 121) = 1) (14) (2n + 3)2 + 11 121 (1) (2n + 3)2 11 V× 11 lµ sè nguyªn tè 2n + 11 (2n + 3)2 121 (2) Tõ (1) vµ (2) 11 121 v« lý VËy n2 + 3n + 121 VÝ dô 2: CMR n2 - n víi n N* Gi¶i XÐt tËp hîp sè tù nhiªn N* Gi¶ sö n 1, n N* cho n2 - n Gọi d là ớc số chung nhỏ khác n d (p) theo định lý Format ta có 2d-1 (mod d) m < d ta chøng minh m\n Gi¶ sö n = mq + r (0 r < m) Theo gi¶ sö n2 - n nmq+r - n 2r(nmq - 1) + (2r - 1) n 2r - d v× r < m mµ m N, m nhá nhÊt kh¸c cã tÝnh chÊt (1) r = m\n mµ m < d còng cã tÝnh chÊt (1) nªn ®iÒu gi¶ sö lµ sai VËy n2 - n víi n N* Bµi tËp t¬ng tù Bµi 1: Cã tån t¹i n N cho n2 + n + 49 kh«ng? Bµi 2: CMR: n2 + n + víi n N* Bµi 3: CMR: 4n2 - 4n + 18 289 víi n N Híng dÉn - §¸p sè Bài 1: Giả sử tồn n N để n2 + n + 49 4n2 + 4n + 49 (2n + 1)2 + 49 (1) (2n + 1)2 V× lµ sè nguyªn tè 2n + (2n + 1)2 49 (2) Tõ (1); (2) 49 v« lý Bµi 2: Gi¶ sö tån t¹i n2 + n + víi n (n + 2)(n - 1) + (1) v× lµ sè nguyªn tè n+ 2⋮ ¿ n −1 ⋮3 ¿ ¿ ¿ ¿ (n + 2)(n - 1) (2) Tõ (1) vµ (2) v« lý Bài 3: Giả sử n N để 4n2 - 4n + 18 289 (2n - 1)2 + 17 172 (2n - 1) 17 17 lµ sè nguyªn tè (2n - 1) 17 (2n - 1)2 289 17 289 v« lý Đề số ĐỀ CHỌN HỌC SINH GIỎI MÔN: TOÁN Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề) ***************** Bài (1,0 điểm): Tính giá trị biểu thức (Tính nhanh có thể) a) 53.39 +47.39 – 53.21 – 47.21 (15) 13 + + + + b) 2.1 1.11 11.2 2.15 15.4 Bài 2(1,5 điểm): 1.Tìm x, biết: x 1 10 a) 2.Tìm x, y để 56x3 y90 b) x ( 1) 2012 2008 Bài 3(2 điểm): So sánh: a) A = 2009 +1 2009 2009 +1 2009 với B = 2009 +1 2010 2009 +1 b) 3111 và 1714 Bài 4(2 điểm):a) Cho A = + 32 + 34 + 36 + +32004 + 32006 Chứng minh A chia 13dư 10 b) Chứng tỏ 2n + và 2n + ( n N) là hai số nguyên tố cùng Bài (2,5 điểm): Cho AOB và BOC là hai góc kề bù Biết BOC 5 AOB a) Tính số đo AOB và BOC b) Gọi OD là tia phân giác BOC Tính số đo AOD c) Trên cùng nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng AC chứa tia OB và OD, vẽ thêm n tia phân biệt (không trùng với các tia OA, OB, OC,OD ) Trên hình vẽ có tất bao nhiêu góc? Bài (1,0 điểm): Tính tổng: S = 12 + 22 + 32 + + 1002 HẾT - (16) Đề số HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HSG MÔN: TOÁN Bài Lời giải a) 53(39– 21) +47.(39 – 21) = 18(53 + 47) = 18.100 = 1800 (1,0đ) 13 ) 2.7 7.11 11.14 14.15 15.28 1 1 1 1 1 1 13 7.( ) 7.( ) 3 7 11 11 14 14 15 15 28 28 4 b) 7.( x 3 5 10 16 x 1 10 10 10 10 10 a) (1,5đ) b) Điểm 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 x 1 x – = x – = - x = x = 0,25 0,25 56x3 y 90 56x3 y 9và 56x3910 56x3 y 10 y 0 0,25 56x3 y 9 (5 x 0)9 (14 x)9 Mà x là chữ số nên x = Vậy x = 4;y = a) Thực qui đồng mẫu số: (2,0 đ) (20092008 +1)(20092010 +1) 20094018 + 20092010 +20092008 + = A= (20092009 +1)(20092010 +1) ( 20092009 +1)(20092010 +1) (20092009 +1)(20092009 +1) 20094018 + 20092009 +20092009 + = B= (20092010 +1)(20092009 +1) (20092010 +1)(20092009 +1) 20092010 +20092008 =20092008 (20092+ 1) 20092009 +20092009 =20092008 (2009+2009) Do (20092 +1) > (2009+2009) nên A > B (Có thể chứng tỏ A - B > để kết luận A > B) b) Ta có 3111< 3211= (25)11=255 255< 256= (24)14 =1614< 1714 Vậy 3111< 1714 a) A có (2006 – 0):2 + = 1004 ( số hạng) mà 1004 chia dư (2,0 đ) A =(1 + 32)+( 34 + 36 + 38) +(310 + 312 + 314)+ +(32002 +32004+32006) A = 10 + 34( + 32 + 34) + 310( + 32 + 34) + + 32002(1 + 32 + 34) A = 10 + 34.91 + 310.91 + + 32002.91 A = 10 + 34 13 + 310 13 + + 32002.7.13 A = 10 + 13.(34 + 310 + + 32002) A :13 dư10 b) Gọi d = ƯCLN(2n + 1,2n + 3) Ta có d là số lẻ vì 2n + và 2n + lẻ Và d Ư(2n + 1) và d Ư(2n + 3) Mà (2n + 3) – ( 2n + 1) = 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,5 0,25 0,5 0,25 0,25 0,25 (17) Do đó d Ư(2); d lẻ nên d = Vậy 2n + 1; 2n + là hai số nguyên tố cùng 0,25 0,25 0,25 Vẽ hình đúng B D 0,25 C A O a) Ta có: AOB BOC 180 ( AOB và BOC là hai góc kề bù ) 0,25 mà BOC 5 AOB (2,5đ) AOB 1800 AOB 300 ; BOC 1500 1 D DOC BO BOC 750 b)Ta có:: ( OD là tia phân giác BOC ) AOD DOC 1800 AOD DOC mà ( và là hai góc kề bù ) 0,25 0,25 0,25 0,25 AOD 180 DOC 180 75 105 0 0 c)Tất có n + tia phân biệt Cứ tia n + tia đó tạo với n + – = n + tia còn lại tạo thành n + góc Có n + tia nên tạo thành ( n + 4)( n+ 3) góc, góc tính lần n n 3 Vậy có tất góc S = + 2(1 + 1) + 3(2 + 1) +4(3 + 1) + …+ 100( 99+ 1) = + 1.2+2 + 2.3 + + + 3.4 + 4+…+ 99.100 + 100 = ( 1.2 +2.3 + 3.4 + …+99.100)+ (1 + + + + …+ 100) (1,0 đ) Đặt M = 1.2 +2.3 + 3.4 + …+99.100 3M = 1.2.3 + 2.3.( – 1) +3.4.( – 1) + …+ 99.100.(101 – 98) 3M = 99.100.101 nên M = 333300 Do đó A = 333300 + 5050 =338350 HẾT Đề số ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI Môn: Toán Thời gian: 120 phút Bài 1: (2,0 điểm)Tính nhanh: A = 6.4.57 + 12.29.2 + 3.14.8 100 B= 10 10 10 10 1400 C = 56 140 260 Bài 2: (2,0điểm)Tìm số tự nhiên x biết: a) 3x + 17x = 340 b) 2x 3 0,25 0,25 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 (18) x x 1 x 2 c) 1053 Bài 3:( 2,0điểm) Cho abc chia hết cho 27 Chứng minh bca chia hết cho 27 31 32 60 1.3.5 59 2 2 Chứng tỏ Bài 4:(3,0 điểm) 1) Trên đường thẳng xy cho m điểm phân biệt Hỏi có bao nhiêu tia trên hình vẽ 2) Cho hai góc kề bù xOt và góc yOt cho xOt 50 Trên nửa mặt phẳng bờ xy có chứa tia Ot vẽ tia Oz cho yOz 80 a) Tia Oz có nằm hai tia Oy và Ot không Vì b) Chứng tỏ tia Ot là tia phân giác góc xOz 1 Bài 5:(1,0 điểm) : Tìm các số tự nhiên a và b biết a b 143 và b - a = Hết Đề số Câu 1a 1b 1c Nội dung A = 24.57 + 24.29 + 24.14 = 24(57 + 29 + 14) = 24 100 = 2400 99 B = 100 1.2.3 99 2.3.4 100 100 5 5 C 28 70 130 700 HƯỚNG DẪN CHẤM HSG MÔN: Toán §iểm 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 (19) 1 3 3 5 4.7 7.10 10.13 25.28 5 1 = 28 5 = 14 14 3x + 17x = 340 2.a 2b 2c 3.a x.(3 + 17) = 340 20x= 340 x = 17 2x 3 2x+ = 2x + = -3 Nếu 2x+ = 2x = 2x=1 Nếu 2x+ = - 2x = -4 x = -2 x 1; 2 Vậy 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 3x 3x 1 3x 2 1053 3x 1053 0.25 3x.13 1053 3x 81 34 x 4 0.25 0.25 abc27 10abc27 1000a bc027 999a bca 27 mà 999a = 9.111.a=37.27.a 27 Suy bca 27 Ta có 0.25 0.25 0.25 0.25 31 32 60 31.32 60 2 230 0.25 31.32 60 1.2.3 30 230 1.2.3 30 0.25 3.b 0,25 1.2.3 60 = 2.4.6 60 = 0.25 0.25 1.3.5 59 2.4.6 60 1.3.5 59 2.4.6 60 (20) 4.1 Mỗi điểm trên đường thẳng là gốc chung hai tia đối Trên đường thẳng xy có m điểm phân biệt nên hình vẽ có 2m tia t x 4.2.a z O 0.25 Tính 1300 yOt Trên nửa mặt phẳng bờ Oy có 0.5 80 130 yOz yOt Tia Oz nằm hai tia Ot và Oy 4.2.b 100 Tính xOz 500 Tính tOz Suy tOz xOz xOt Tia Ot là phân giác góc xOz 1 a b 143 b a 2 ab 143 ab 143 ab 143 Lại có 143 = 1.143 = 11 13 a = 1, b = 143 a = 11, b = 13 (vì a < b) Nếu a = 1, b = 143 thì b - a = 142 ≠2 Nếu a = 11, b = 13 thì b - a = thoả mãn 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 y (21) Vậy a = 11, b = 13 Học sinh làm cách khác Số ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI MÔN : TOÁN Thời gian : 120 phút (Không kể thời gian giao đề) Bài (2 điểm) : Thực phép tính (tính nhanh có thể) A = 21 72 – 11 72 + 90 72 + 49 125 16 2 2 B 15 35 63 99 899 C = + + + + 99 100 Bài (1,5 điểm) : Tìm x, biết x 3 27 22 11 a) b) (x – 3).(2x – 7) = c) (x – 1) + (x – 2) + (x – 3) + … + (x – 100) = 4950 Bài (1,5 điểm) : M 8n 193 4n Tìm số tự nhiên n để phân số a Có giá trị là số tự nhiên b Với giá trị nào n khoảng từ 150 đến 170 thì phân số M rút gọn Bài (1,5 điểm) : Tìm số tự nhiên a nhỏ cho a chia cho dư 4, chia cho dư 5, chia cho 11 dư ? Bài (2,75 điểm) : Cho tam giác ABC và BC = 5cm Điểm M thuộc tia đối tia CB cho CM = cm a Tình độ dài BM b Cho biết BAM = 800 , BAC = 600 Tính CAM c Vẽ các tia Ax, Ay là tia phân giác BAC và CAM Tính xAy Bài (0,75 điểm) : 1 1 1 1 2 2 2011 2012 Chứng minh - Hết Số HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HSG MÔN : TOÁN (22) A = 72.(21 – 11 + 90 + 125.16) = 49.(21 – 11 + 90 + 2000) = 49 2100 = 102900 0,25đ 0,25đ 2 2 B 3.5 5.7 7.9 9.11 29.31 Bài (2,0đ) 0,25đ 1 1 1 1 1 29 31 = 5 7 9 11 0,25đ 1 28 = 31 = 93 0,25đ 3.C = (1.2 + 2.3 + 3.4 + + 99.100).3 = 1.2.3 + 2.3.3 + 3.4.3 + + 99.100.3 = 1.2.3 + 2.3.(4 – 1) + 3.4.(5 – 2) + + 99.100.(101 – 98) = 1.2.3 – 1.2.3 + 2.3.4 – 2.3.4 + 3.4.5 – – 98.99.100 + 99.100.101 = 99.100.101 Suy C = 99.100.101: = 33 100 101 = 333300 a) x 6 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ x + = x + = -6 suy x = x = -9 Bài b) x – = 2x – = Suy x = x = 7/2 (1,5đ) c) 100x – (1 + + + … + 100) = 4950 100x – 5050 = 4950 100x = 10000 suy x = 100 8n 193 2(4n 3) 187 187 M 2 4n 4n 4n a) Để M N thì 187 ⋮ 4n + => 4n + 3 {1, 11, 17, 187} +) 4n + = => n = -1/2 (loại) +) 4n + = 11 => n = +) 4n + = 17 => 4n = 14 => không có n N (loại) Bài +) 4n + = 187 => n = 46 (1,5đ) Vậy n = 2; 46 1441 131 M 627 57 b) n = 156 => 1513 89 M 663 39 n = 165 => 1529 139 M 671 61 n = 167 => 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ Vì a chia cho d 4, chia cho d 5, chia cho 11 d nên (a + 16) ⋮ 5; 7; 11 Bài => a + 16 BC(5; 7; 11) (1,5đ) BCNN(5; ; 11) = 5.7.11 = 385 => BC(5; 7; 11) = {0; 385; 770, 1155; …} Do a là số tự nhiên nhỏ nên a + 16 = 385 => a = 369 Bài (2,75đ Vẽ hình đúng A ) B x 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,5đ C M (23) a) Do M, B thuộc tia đối CB và CM => C nằm B và M Ta có BC + CM = BM thay số 5cm + 3cm = BM => BM = 8cm b) Do điểm C nằm hai điểm B,M => Tia AC nằm hai tia AB và AM nên BAC + CAM = BAM Thay số 600 + CAM = 800 => CAM = 200 c Có xAy = xAC + CAy = = 2 BAC + (BAC + CAM) = BAM = 80 = 40 1 1 1 1 2 2 1.2 ; 2.3 ; 3.4 ; … ; 2012 2011.2012 Ta có 1 1 1 2 2 2011 2012 1.2 2.3 1 1 1 1 2 2 2011 2012 2 1 1 1 2 2 2011 2012 2012 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,5đ CAM Bài (0,75đ ) 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 1 3.4 2011.2012 0,25đ 1 1 3 2011 2012 2011 = 2012 < 0,25đ (HS làm đúng theo các khác cho điểm tối đa) Số ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI MÔN: TOÁN Thời gian: 120 phút (Không kể thời gian giao đề) Bài 1:( 2,75 điểm) Thực phép tính a, ( 12 + 22 + 32 + + 20122)(91 – 273 : 3) b, (- 284).172 +( - 284 ).( - 72) 1 1 1 1 1 c, Bài 2:( điểm) a, Tìm số tự nhiên nhỏ nhất, biết số đó chia cho 2, cho 3, cho 4, cho 5, cho dư chia cho thì không còn dư b, Tìm các chữ số x, y biết số 71x1ychia hết cho 45 Bài ( 2,25 điểm) a, Cho a, b N 7.a + 3.b 23 thì 4a + 5b 23, điều ngược lại có đúng không b, Cho S = + 32 + 33 + + 31997 + 31998 (24) Chứng minh S 26 Bài 4:( 1,5 điểm) Cho góc xOy =700 Vẽ tia Oz cho góc xOz = 400 Tính số đo góc yOz Bài 5:( 1,5 điểm) a, Vẽ sơ đồ trồng 10 cây thành hàng, hàng cây b, Cho 2012 đường thẳng đó không có hai đường thẳng nào song song và không có ba đường thẳng nào đồng quy Tìm số giao điểm các đường thẳng ấy./ ============= HẾT ============== (25) Số Câu a b c a HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HSG MÔN: TOÁN Đáp án Điểm 2 2 ( + + + + 2012 ).0 = 0,75 (-284).(172 – 72) = (-284).100 = - 28400 1 1 1 1 1 5 6 7 8 9 - Gọi x là số phải tìm (ĐK: x N ) Theo bài: x – chia hết cho 2, cho 3, cho 4, cho 5, cho x – BC (2;3; 4;5;6) Ta có: BCNN(2;3;4;5;6) = 60 x BC (2;3; 4;5;6) B(60) 0;60;120;180; 240;300; x 1;61;121;181; 241;301; Mặt khác: x là số nhỏ chia hết cho Do đó x = 301 b Vì 45 = 5.9 và (5;9) = nên 71x1 y 45 71x1y 5 và 71x1y 9 Ta có: 71x1 y 5 y 0;5 * Với y = ta đựơc số 71x10 71x10 9 x 9 nên x 0;9 a b 0,75 0,75 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 đó ta các số 71010 và 71910 chia hết cho 45 * Với y = ta tìm x = đó ta các số 71415 chia hết cho 45 Vậy ta tìm các số 71010; 71910; 71415 Vì 6.(7a + 3b) + (4a + 5b) = 46a +23b = 23(2a + b) 23 Do đó: Nếu (7a + 3b) 23 thì 4a + 5b 23 Nếu 4a + 5b 23 thì (7a + 3b) 23 S = (3 + 32) + (33 + 34) + +(31997 + 31998) = 12(1 + 32 + 34 + + 31996) 2 S = (3 + 32 +33) + + (31996 + 31997 +31998) = 39(1+ + 31995) 13 Vì 26 = 13.2 và (2; 13) = đó S 26 TH1: Tia Ox và Oy cùng thuộc nmp có bờ chứa tia 0x Vì tia Ox và Oy cùng thuộc nửa mặt phẳng có bờ chứa tia Ox 0,25 mà xOy > xOz (700 > 400) nên tia Oz nằm hai tia Ox và Oy 0,25 xOz + zOy = xOy Thay số tính zOy = 300 TH2: Tia Oz và Oy thuộc hai nmp đối có bờ chứa tia Ox nên tia Ox nằm hai tia Oz và Oy xOy zOy xOz + = ta có Thay số tính zOy = 1100 0,5 0,25 0,25 0, 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 (26) a b có ba cách , cách cho 0,25 điểm - Mỗi đường thẳng cắt 2011 đường thẳng còn lại tạo thành 2011 giao điểm - Có 2012 đường thẳng nên có 2012.2011 giao điểm Mặt khác: giao điểm tính hai lần nên có: 2012.2011: (giao điểm) Vậy có tất 2012.2011: (giao điểm) 0,75 0,25 0,25 0,25 - HẾT Số ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI MÔN: TOÁN Thời gian : 120 phút ( Không kể thời gian giao đề ) Câu 1( điểm ): Tính nhanh: A = 35.34 + 35.86 + 65.75 + 65.45 B= 2 + 11 : 7 + 11 1 + 7 + 10 C = + 22 + 23 + 24 +……+ 220 Câu ( điểm ): Tìm x biết : a) 5x = 125 b) (x + 1) + ( x + 2) + ( x + ) + … + (x + 100) = 5750 c) 261x chia hết cho và chia cho dư Câu (2 điểm): a) So sánh phân số A= 20122012 +1 20122011 +1 B = 20122013 +1 và 20122012 +1 b) Tìm số tự nhiên n để giá trị phân số : C= 8n +193 4n + là số tự nhiên ? Câu ( điểm): · · o · a) Cho xOy = 100 Vẽ tia Oz cho zOy = 35 Tính xOz ? b) Trên đoạn thẳng AB lấy 2013 điểm khác đặt tên theo thứ tự từ A đến B là : A, A1,A2,A3, , A2011,B.Từ điểm M không nằm trên đoạn thẳng AB , ta nối M với các điểm A, A1,A2,A3, , A2011,B Tính số tam giác tạo thành ? Câu ( điểm ): Chứng minh : 1 1 1 - + + < 16 32 64 (27) HẾT Số Bài điểm HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HSG Đáp án A = 35.( 34 + 86 ) + 65 ( 75 + 45 ) = 35.120 + 65 120 = 120.( 35 + 65) = 120 100 = 12 000 æ 2.ç ç ç5 è æ 7.ç ç ç è B= 2 điểm MÔN: TOÁN ö æ 1÷ + ÷ 2ç ç ÷ ç6 11ø è : ö æ 1÷ ç + ÷ ç ø ç è6 11÷ 1ö + ÷ ÷ ÷ 2 10 ø = : =1 ö 7 1÷ + ÷ ø 10 ÷ Điểm 0,5 đ 0.75 đ C = + 22 + 23 + 24 +……+ 220 2C = + 23 + 24 + 25 + … + 220 + 221 2C – C = – ( + 22 ) + ( 23 – 23 ) + ( 24 – 24 ) + … +( 220 – 220 ) + 221 C = 221 a) 5x = 125 5x = 53 x=3 b) x + + x + + x + + … + x + 100 = 5750 (1 + + + …+ 100) + (x + x + x + …+ x) = 5750 101 50 + 100.x = 5750 5050 + 100 x = 5750 100 x = 5750 – 5050 100.x = 700 x =7 x Î { 0; 2; 4; 6;8} c) + 261x M2 thì 0,75 đ 0,5 đ 0,75 đ Số 261x có tổng các chữ số là : + + + x = + x 0,75 đ 261x + Để chia cho dư thì ( + x ) chia cho dư x Î {1; 4; 7} Nên + Để 261x chia hết cho và chia cho dư thì x = điểm a) Ta có : 2012.A = 20122013 + 2012 2011 =1+ 2013 2012 +1 20122013 +1 (1) 2012 2012 + 2012 2011 =1+ 2012 2012 +1 20122012 +1 2011 2011 < 2013 2012 Từ (1) và (2) ta thấy : 2012 +1 2012 +1 2012.B = Suy : 2012.A < 2012.B Vậy A < B 0,5 đ (2) 0,5 đ (28) C= 8n +193 2(4n + 3) +187 187 = =2+ 4n + 4n + 4n + b) Để C là số tự nhiên thì 187 phải chia hết cho 4n + hay Î 1;11;17;187} 4n + là ước 187 Suy 4n + { Ï N Nếu 4n + = Þ n = (loại) Þ Î Nếu 4n + = 11 n = N Ï N 4n + = 17 Þ n = 4n + = 187 Þ n = 46 Î N Vậy n Î { 2; 46} điểm a)- Trường hợp 1: tia Oz nằm hai tia Ox và Oy x z 0,5 đ 0,5 đ - Trường hợp 2:tia Oy nằm 0.75 đ hai tia Ox và Oz z x 0,75 đ O o · Tính xOz = 65 y O y o · Tính xOz = 135 b)Trên đoạn thẳng B có các điểm A, A1,A2,A3, , A2011,B đó , tổng số điểm trên đoạn thẳng AB là 2013 điểm , có 2013 đoạn thẳng nối từ M đến các điểm 0,5 đ đó Mỗi đoạn thẳng có thể kết hợp với 2012 đoạn còn lại và 0,5 đ các đoạn thẳng tương ứng trên đoạn thẳng Ab để tạo thành 2012 tam giác Như 2013 đoạn thẳng tạo thành 2012.2013 = 050 156 tam giác , tam giác tính hai lần Do đó số tam giác thực có là : 050 156 :2 = 025 078 tam 0,5 đ giác Vậy số tam giác tạo thành là : 025 078 điểm Đặt A= 1 1 1 1 1 1 - + + = - 2+ 3- 4+ 5- 16 32 64 2 2 2 1 1 1- + - + - Þ 2.A = 2 2 Þ A + 2A = - 26 1 26 - 6 3A = - = < Suy A < 0,5 đ (29) 1 1 1 - + + < Vậy : 16 32 64 0,5 đ ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI MÔN: TOÁN Thời gian: 90 phút (Không kể thời gian giao đề) Bài 1:( điểm) Thực các phép tính sau cách hợp lý 10 a) 112 122 : 132 142 b) 1.2.3 2013 1.2.3 2012 1.2.3 2012 12 0,25 : 0,75 b) 1 1 1 2352 2450 c) 12 20 Bài : (2 điểm) Tìm x biết: 19x 2.5 :14 13 8 a) 42 x x x x 30 1240 b) b) x là số tự nhiên lớn có chữ số mà chia cho 56; 64; 88 dư 31 c) Tìm x, y N biết: 2x + 624 = 5y Bài : (1,5 điểm) Cho S = 1+3+32 +33+ .+348 +349 a ) Chứng tỏ S chia hết cho b) Tìm chữ số tận cùng S 350 c) Chứng tỏ S = Bài 4: (3,5 điểm) 1.Cho đoạn thẳng AB, điểm O thuộc tia đối tia AB Gọi M,N thứ tự là trung điểm OA, OB a) Chứng tỏ OA < OB b) Trong ba điểm O, M, N điểm nào nằm hai điểm còn lại ? c) Chứng tỏ độ dài đoạn thẳng MN không phụ thuộc vào vị trí điểm O Cho góc AOB và góc BOC là hai góc kề bù Biết góc BOC năm lần góc AOB a) Tính số đo góc b) Gọi OD là tia phân giác góc BOC Tính số đo góc AOD c) Trên cùng nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng AC chứa tia OB,OD, vẽ thêm 2006 tia phân biệt (không trùng với các tia OA;OB;OC;OD đã cho) thì có tất bao nhiêu góc? Bài 5: ( điểm ) Cho C= 1.2+2.3+3.4+…+99.100 a) Tính giá trị biểu thức C b) Dùng kết câu a , tính giá trị biểu thức D = 22+42+62+…+982 (30) - HẾT - HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HSG MÔN: TOÁN Bài Đáp án 2 2 a) 10 11 12 : 13 14 100 121 144 : 169 196 365 : 365 1 b) 1.2.3 2013 1.2.3 2012 1.2.3 20122 1.2.3 2012. 2013 2012 1.2.3 2012.0 0 Bài ( điểm) Bài ( điểm) 5 28 c) : 12 = 12 15 19 = 4= 1 1 1 d ) 12 20 2352 2450 1 1 1.2 2.3 3.4 48.49 49.50 1 1 1 1 2 3 49 50 49 1 50 50 19x 2.5 :14 13 8 a) (19x + 50) : 14 19x + 50 19x x b) Điểm 42 =9 = 126 = 76 = 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 x x 1 x x 30 1240 x x x 30 1240 30. 30 31x 1240 31x 1240 31.15 775 x 25 31 0,25 0,25 (31) c)Ta có x-31 chia hết cho 56; 64; 88 Mà BCNN(56; 64; 88) = 4928 nên x-31 = 4928k (k là số tự nhiên) => x = 4928k +31 99999 => k lớn là 20 đó x = 98591 d)Nếu x = thì 5y = 20 + 624 = + 624 = 625 = 54 y = (y N) Nếu x thì vế trái là số chẵn, vế phải là số lẻ với x, y N (vô lý ) Vậy: x = 0, y = a )Ta có: S = (1+3)+(32+33)+ .+(348+349) = 4+32(1+3)+ + 348(1+4) 4 b) S = (1+3+32 +33)+(34+35+36+37)+ +348 +349 Các tổng số hạng chia hết cho 10 đó có tận cùng Mặt khác 338 + 349 = 34.12 + 348 = .1 + = .4 Vậy S có chữ số tận cùng Bài 3 48 49 (1,5điểm) c) S = 1+3+3 +3 + .+3 +3 48 3S = +3+3 +3 + .+3 +349+ 350 3S – S = 350 – 2S = 350 – 350 Suy S = Bài 1.( 1,5điểm) ( 3,5điểm) o m a b n OA OB ; ON 2 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 OM MN ON MN ON OM OB OA AB MN 2 Vì AB có độ dài không đổi, nên MN có độ dài không đổi, hay độ dài đoạn thẳng MN không phụ thuộc vào vị trí điểm O (O thuộc tia đối tia AB) 2.(2 điểm) Vẽ hình đúng B D C O 0,25 0,25 0,25 Vì OA < OB, nên OM < ON Hai điểm M và N thuộc tia OB, mà OM < ON nên điểm M nằm hai điểm O và N Vì điểm M nằm hai điểm O và N, nên ta có : A 0,25 0,25 Hai tia AO, AB đối nhau, nên điểm A nằm hai điểm O và B suy : OA < OB Ta có M và N thứ tự là trung điểm OA, OB, nên : OM 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 (32) a)Vì góc AOB và góc BOC là hai góc kề bù nên: AOB + BOC =180 mà BOC = 5AOB nên: 6AOB = 1800 Do đó: AOB = 1800 : = 300 ; BOC = 300 = 1500 b)Vì OD là tia phân giác BOC nên BOD = DOC = 0,25 BOC 0,25 =750 Vì góc AOD và góc DOC là hai góc kề bù nên: AOD + DOC =180 Do đó AOD =1800 – DOC = 1800- 750 = 1050 c)Tất có 2010 tia phân biệt Cứ tia 2010 tia đó tạo với 2009 tia còn lại thành 2009 góc Có 2010 tia nên tạo thành 2010.2009 góc, góc 0,5 2010.2009 tính hai lần Vậy có tất =2 019 045 góc Bài ( điểm) a)C= 1.2+2.3+3.4+…+99.100 3C = 3.1.2+3.2.3+…+ 3.99.100 =(1.2.3- 0.1.2)+(2.3.4-1.2.3) + …+ (99.100.101- 98.99.100) = 99.100.101 C= (99.100.101) : C= 33.100.101= 36300 b)C= 1.2+2.3+3.4+…+99.100 = (1.2 + 2.3) + (3.4 + 4.5) + + (97.98 + 98.99) + 99.100 = (1+3)2 + (3+5)4+ +(97+99)98 + 99.100 = 2.2.2 + 2.4.4 + + 2.98.98 + 9900 = 2(22 + 42+…+ 962+ 982) + 9900 Vây 2(22 + 42+…+ 962+ 982) = C - 9900 = 36300 – 9900 = 26400 22 + 42+…+ 962+ 982= 13200 Tổng 0,25 0,25 0,25 0,25 10.0 điểm * Chú ý : Trong quá trình chấm, giáo viên cần chú ý đến sáng tạo học sinh, đúng, hợp lý cho điểm tối đa, không quá cứng vào hướng dẫn chấm ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI MÔN: TOÁN Thời gian: 120 phút (Không kể thời gian giao đề) Bài 1: (1,5đ) 23.33.53.7.8 a) Rút gọn phân số sau: 3.2 14 (33) 2 b) Tính B = 14: ( 12 ) + 14 4 Bài 2: (2đ): Tìm x biết: a/ + 2x -1 = 24 – [42 – (22 - 1)] b/ (x+1) + (x+2) + (x+3) + + (x+100) = 205550 c/ x = 18 + 2.(-8) d/ (3x – 24 ) 75 = 2.76 2009 Bài 3: (1đ): Tìm các số tự nhiên x, y cho : (2x+1)(y-5) = 12 Bài 4: (1đ): Tính tổng: S= 1.2 2.3 3.4 98.99 99.100 Bài 5: (1,5đ): 5 Cho biểu thức A = n a, Tìm các số nguyên n để biểu thức A là phân số b, Tìm các số tự nhiên n để biểu thức A là số nguyên Bài 6: (3đ): Cho góc AMC = 600 Tia Mx là tia đối tia MA, My là phân giác góc CMx, Mt là phân giác góc xMy a Tính góc AMy b Chứng minh MC vuông góc với Mt ––––– Hết ––––– (34) HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HSG MÔN: TOÁN Câu Đáp án Điểm a/ Kết : 18 (1,5điểm) (2 điểm) (1 điểm) 0,75đ 14 11 b/ Kết : 15 a) + 2x-1 = 24 – [42 – (22 - 1)] + 2x-1 = 24 – 42 + 2x-1 = 24 – 42 2x-1 = 22 x -1 = x =3 b, ( x +1)+ (x + 2) + (x + 3) + + (x +100) = 205550 x + x + x + + x+1+2+3+ +100 = 205550 100x + 5050 = 205550 100x = 200500 x = 2005 c/ x = x = 3; 0,5đ 0,5đ 0,5đ Ta có 2x+1; y-5 là ước 12 12= 1.12=2.6=3.4 2x+1 lẻ => 2x+1 =1 2x+1=3 2x+1=1 => x=0; y-5=12 => y=17 Hoặc 2x+1=3=> x=1; y-5=4=>y=9 Vậy (x,y) = (0,17); (1,9) 0,25đ S = 1.2 (1,5điểm) 0,5đ d/ x = 30 (1 điểm) 0,75đ = 2( 2.3 3.4 1.2 2.3 3.4 0,25đ 0,25đ 0,25đ 98.99 99.100 0,25đ 98.99 99.100 ) 0,25đ 1 1 1 1 1 98 99 99 100 ) = (1 2 3 0,25đ 1 99 99 49 1 = ( 100 ) = 100 = 50 50 0,25đ a/ n Z và n 2 0,5đ 0,25đ 1; 5 b/ (n - ) Ư( -5) = (35) n n 1 n n 5 0,5đ n 1 N n 3 N n N n 7 N 0,25đ Vậy n = 1;3;7 (3 điểm) 0,5đ C y t 600 A x M a) Tia Mx là tia đối tia MA, gócAMx là góc bẹt: Góc AMx 1800 => MC nằm MA và Mx AMC CMx AMx 600 CMx 1800 nên:góc thay số: 0,25đ =>góc CMx 1800 600 1200 0,25đ My là phân giác góc CMx nên: My nằm MC và Mx và 1 xMy yMC xMC 1200 600 2 góc 0,5đ Tia Mx là tia đối tia MA, góc AMx là góc bẹt: AMx 1800 => My nằm MA và Mx AMy yMx AMx 600 yMx 1800 nên:góc thay số: yMx 180 60 120 0 =>góc 0,5đ b) Do My là phân giác góc CMx nên Mx và MC nằm trên hai nửa mặt phẳng đối có bờ là tia My Mt là phân giác góc yMx nên Mt nằm trên cùng nửa mặt phẳngbờ chứa tia My Vậy Mt và MC nằm trên hai nửa mặt phẳng đối có bờ chứa tia My hay My nằm MC và Mt nên:góc 0,5đ CMy yMt CMt (*) Lại có tia Mt là phân giác góc xMy nên: góc xMt tMy xMy 600 300 2 thay số vào(*) ta có: góc CMt 600 300 900 hay MCvuông góc với Mt (đpcm) - HẾT - ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI MÔN: TOÁN Thời gian: 120 phút (Không kể thời gian giao đề) 0,5đ 0,5đ (36) Câu (2 điểm): Tính nhanh A= 3.136.8 + 14.6 -14.150 11 4 B : 9 11 33 1 1 C 10 15 21 120 Câu (2 điểm): So sánh a) 2711 và 818 b)536 và 1124 c) 339 và 1121 Câu (1 điểm): Chứng minh Cho A = 999111 + 51234 Chứng tỏ chia A và A Câu (1,5 điểm): Bạn An nghĩ số có chữ số, bớt số đó đơn vị thì số chia hết cho 7, bớt số đó đơn vị thì số chia hết cho 8, bớt số đó 10 đơn vị thì số chia hết cho Hỏi bạn An nghĩ số nào? Câu 5: (3,5 điểm): a) Cho điểm A,B,C biết AB= 18 cm; AC= 13 cm; BC= 30 cm Ba điểm A,B,C có thẳng hàng hay không? Vì sao? b) Lấy thêm 17 điểm phân biệt khác điểm A,B,C cho trước Hỏi có tất bao nhiêu đoạn thẳng c) Nếu có tất 1770 đoạn thẳng thì phải lấy thêm bao nhiêu điểm phân biệt khác điểm A,B,C cho trước - HẾT (37) HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HSG MÔN: TOÁN Bài Đáp án A= 24.136 + 24.14 - 14.150 Điểm 0,25 = 24.(136 + 14)- 14.150 Câu (2điểm) = 24.150 - 14.150 0,25 = 150 (24- 14)=150.10 =150 0,25 0,25 11 11 B 9 33 11 9 33 11 1 33 2 2 C 20 30 42 240 1 15.16 4.5 5.6 6.7 1 2 4 1 2 4 Câu (2điểm) 1 1 1 1 5 6 15 16 3 2 16 16 0,25 0,25 0,25 0,25 a) 2711 = (33)11=333 0,25 818 = (34)8 = 332 0,25 Vì 333 > 332 nên 2711 > 818 b) 536 = (53)12=12512 0,25 0,25 1124 = (112)12=12112 0,25 Vì 12512>12112 nên 536>1124 c) 339<340= (34)10= 8110 và 1121>1120=(112)10=12110 0,25 0,25 Vì 12110>8110 nên 1121>339 999111 = 0,25 0,25 51234 = 0,25 A=999111 + 51234 = + = 0,25 0,25 Câu Vì A có tận cùng là nên A và A Gọi số bạn An nghĩ là A (1,5điểm) Vì (A-8) 7 (A-1) - 7 (A-1) 0,25 Vì (A-9) 8 (A-1) - 8 (A-1) 0,25 Vì (A-10) 9 (A-1) - 9 (A-1) 0,25 Do đó: (A-1) là bội chung 7,8,9 và A là số có chữ số nên 0,25 Câu (1điểm) (38) 99<A< 1000 Câu (3,5điểm) Từ đó giải và tìm A-1 = 504 0,25 Suy :A= 505 a) Ta có: 18+13 = 31 ≠ 30 hay AB+AC≠ BC 0,25 A không nằm B và C 0,5 -Bằng cách tương tự B không nằm A và C; 0,5 C không nằm A và B 0,5 Trong điểm A; B; C không có điểm nào nằm điểm còn lại 0,25 0,25 A, B,C không thẳng hàng b) Lấy thêm 17 điểm phân biệt khác điểm A,B,C cho trước thì có tất 17+3=20 điểm phân biệt 0,25 -Chọn điểm số 20 điểm, nối điểm đó với 19 điểm còn lại ta 19 đoạn thẳng làm với tất 20 điểm, ta được: 19.20 0,25 đoạn thẳng Như đoạn thẳng tính lần đó số đoạn thẳng vẽ 0,25 19.20 190 là đoạn thẳng 0,25 (nếu Hs kết luận số đoạn thẳng là 20.19 thì cho 0,5 điểm) c)-Gọi số điểm để vẽ 1770 đoạn thẳng là n Ta có: n.(n-1):2=1770 , tìm n= 60 Số điểm thêm vào là 57 điểm 0,5 ĐỀ SỐ I Thời gian làm bài 120 phút Câu : (2 điểm) Cho biểu thức A= a + a −1 a +2a +2 a+1 a, Rút gọn biểu thức b, Chứng minh a là số nguyên thì giá trị biểu thức tìm câu a, là phân số tối giản Câu 2: (1 điểm) −2 ¿ Tìm tất các số tự nhiên có chữ số abc cho abc=n2 −1 và ncba=¿ Câu 3: (2 điểm) a Tìm n để n2 + 2006 là số chính phương b Cho n là số nguyên tố lớn Hỏi n + 2006 là số nguyên tố hay là hợp số Câu 4: (2 điểm) a+n a a Cho a, b, n N* Hãy so sánh b+n và b b Cho A = 1011 −1 ; 1012 −1 B= 1010+ 1011 +1 So sánh A và B (39) Câu 5: (2 điểm) Cho 10 số tự nhiên : a 1, a2, ., a10 Chứng minh nào có số tổng số các số liên tiếp dãy trên chia hết cho 10 Câu 6: (1 điểm) Cho 2006 đường thẳng đó bất kì đườngthẳng nào cắt Không có đường thẳng nào đồng qui Tính số giao điểm chúng ĐỀ SỐ II Thời gian làm bài 120 phút Câu1: a Tìm các số tự nhiên x, y cho (2x+1)(y-5)=12 b.Tìm số tự nhiên cho 4n-5 chia hết cho 2n-1 c Tìm tất các số B= 62xy427, biết số B chia hết cho 99 Câu 12 n+ a chứng tỏ 30 n+2 b Chứng minh : là phân số tối giản 1 1 <1 + + + + 2 100 Câu3: Một bác nông dân mang cam bán Lần thứ bán 1/2số cam và 1/2 quả; Lần thứ bán 1/3 số cam còn lạivà 1/3 ; Lần thứ bán 1/4số cam còn lại và 3/4 Cuối cung còn lại 24 Hỏi số cam bác nông dân đã mang bán Câu 4: Cho 101 đường thẳng đó hai đường thẳng nào cắt nhau, không có ba đường thẳng nào đồng quy Tính số giao điểm chúng ĐỀ SỐ III Thời gian làm bài: 120’ Bài 1:(1,5đ) Tìm x a) 5x = 125; Bài 2: (1,5đ) b) 32x = 81 ; c) 52x-3 – 2.52 = 52.3 Cho a là số nguyên Chứng minh rằng: a a Bài 3: (1,5đ) Cho a là số nguyên Chứng minh rằng: a Nếu a dương thì số liền sau a dương b Nếu a âm thì số liền trước a âm c Có thể kết luận gì số liền trước số dương và số liền sau số âm? Bài 4: (2đ) Cho 31 số nguyên đó tổng số là số dương Chứng minh tổng 31 số đó là số dương Bài 5: (2đ) Cho các số tự nhiên từ đến 11 viết theo thứ tự tuỳ ý sau đó đem cộng số với số thứ tự nó ta tổng Chứng minh các tổng nhận được, tìm hai tổng mà hiệu chúng là số chia hết cho 10 Bài 6: (1,5đ) (40) Cho tia Ox Trên hai mặt phẳng đối nhău có bờ là Ox Vẽ hai tia Oy và Oz cho góc xOy và xOz bắng 1200 Chứng minh rằng: a xOy xOz yOz b Tia đối tia Ox, Oy, Oz là phân giác góc hợp hai tia còn lại ĐỀ SỐ IV Thời gian làm bài 120 phút Câu Tính: a A = + 2 + + + + 20 b tìm x biết: ( x + 1) + ( x + 2) + + ( x + 100) = 5750 Câu a Chứng minh nếu: ( ab+ cd+eg ) ∶ 11 thì abc deg ∶ 11 b Chứng minh rằng: 10 28 + ∶ 72 Câu Hai lớp 6A;6B cùng thu nhặt số giấy vụn Lớp 6A có bạn thu 26 Kg còn lại bạn thu 11 Kg ; Lớp 6B có bạn thu 25 Kg còn lại bạn thu 10 Kg Tính số học sinh lớp biết số giấy lớp thu khoảng 200Kg đến 300 Kg Câu Tìm số có tổng 210, biết số thứ 11 số thứ và số thứ Câu Bốn điểm A,B,C,Dkhông nằm trên đường thẳng a Chứng tỏ đường thẳng a không cắt, cắt ba, cắt bốn đoạn thẳng AB, AC, AD, BC, BD, CD -ĐỀ SỐ V Thời gian làm bài 120 phút Bài (3đ): a) So sánh: 222333 và 333222 b) Tìm các chữ số x và y để số x y chia hết cho 36 c) Tìm số tự nhiên a biết 1960 và 2002 chia cho a có cùng số dư là 28 Bài (2đ): Cho : S = 30 + 32 + 34 + 36 + + 32002 a) Tính S b) Chứng minh S ⋮ Bài (2đ): Tìm số tự nhiên nhỏ nhất, biết chia số này cho 29 dư và chia cho 31 dư 28 Bài (3đ): Cho góc AOB = 1350 C là điểm nằm góc AOB biết góc BOC = 900 a) Tính góc AOC b) Gọi OD là tia đối tia OC So sánh hai góc AOD và BOD ĐỀ SỐ VI (41) Thời gian làm bài 120 phút Bài 1( điểm Tìm chữ số tận cùng các số sau: a) 571999 b) 931999 Cho A= 9999931999 - 5555571997 Chứng minh A chia hết cho a ( a<b) cùng thêm m đơn vị vào tử và mẫu thì phân số b a lớn hay bé b ? Cho số 155 ∗710 ∗ ∗16 có 12 chữ số chứng minh thay các dấu * Cho phân số các chưc số khác ba chữ số 1,2,3 cách tuỳ ý thì số đó luôn chia hết cho 396 chứng minh rằng: 1 1 1 1 99 100 a) − + − 16 + 32 − 64 < ; b) − + − + .+ 99 − 100 < 16 3 3 Bài 2: (2 điểm ) Trên tia Ox xác định các điểm A và B cho OA= a(cm), OB=b (cm) a) Tính độ dài đoạn thẳng AB, biết b< a b) Xác định điểm M trên tia Ox cho OM = (a+b) ĐỀ SỐ VII Thời gian làm bài: 120 phút A – Phần số học : (7 điểm ) Câu 1:( điểm ) a, Các phân số sau có không? Vì sao? 23 99 ; 23232323 99999999 ; 2323 9999 ; 232323 999999 b, Chứng tỏ rằng: 2x + 3y chia hết cho 17 ⇔ 9x + 5y chia hết cho 17 Câu 2:( điểm ) Tính giá trị biểu thức sau: 1 A = ( + 23 (30 1009 – 160) Câu :( điểm ) - 1009 1 ):( 23 + 1 - 1009 1 + 1 23 1009 ) + 1: 23 a, Tìm số tự nhiên x , biết : ( + + + 10 ).x = 45 b,Tìm các số a, b, c , d N , biết : 30 43 = a+ b+ c+ d Câu : ( điểm ) Một số tự nhiên chia cho 120 dư 58, chia cho 135 dư 88 Tìm a, biết a bé B – Phần hình học ( điểm ) : Câu1: ( điểm ) (42) Góc tạo tia phân giác góc kề bù, bao nhiêu? Vì sao? Câu 2: ( điểm) Cho 20 điểm, đó có a điểm thẳng hàng Cứ điểm, ta vẽ đường thẳng Tìm a , biết vẽ tất 170 đường thẳng ĐỀ SỐ VIII Thời gian làm bài : 120’ Bài : (3 đ) Người ta viết các số tự nhiên liên tiếp đến 2006 liền thành số tự nhiên L Hỏi số tự nhiên L có bao nhiêu chữ số Bài : (3đ) Có bao nhiêu chữ số gồm chữ số đó có chữ số ? Bài : (4đ) Cho băng ô gồm 2007 ô sau : 17 36 19 Phần đầu băng ô trên Hãy điền số vào chố trống cho tổng số ô liền 100 và tính : a) Tổng các số trên băng ô b) Tổng các chữ số trên băng ô c) Số điền ô thứ 1964 là số nào ? ĐỀ SỐ IX Thời gian làm bài: 120 phút Bài 1:(1,5đ) Tìm x, biết: a) 5x = 125; b) 32x = 81 ; c) 52x-3 – 2.52 = 52.3 Bài :(1,5đ) Cho a là số nguyên Chứng minh rằng: a 5 5a 5 Bài 3: (1,5đ) Cho a là số nguyên Chứng minh rằng: a) Nếu a dương thì số liền sau a dương b) Nếu a âm thì số liền trước a âm c) Có thể kết luận gì số liền trước số dương và số liền sau số âm? Bài 4: (2đ) Cho 31 số nguyên đó tổng số là số dương Chứng minh tổng 31 số đó là số dương (43) Bài 5: (2đ) Cho các số tự nhiên từ đến 11 viết theo thứ tự tuỳ ý sau đó đem cộng số với số thứ tự nó ta tổng Chứng minh các tổng nhận được, tìm hai tổng mà hiệu chúng là số chia hết cho 10 Bài 6: (1,5đ) Cho tia Ox Trên hai mặt phẳng đối nhău có bờ là Ox Vẽ hai tia Oy và Oz cho góc xOy và xOz bắng 1200 Chứng minh rằng: a) xOy xOz yOz b) Tia đối tia Ox, Oy, Oz là phân giác góc hợp hai tia còn lại -ĐỀ SỐ X ( Lưu ý- ghi Thời gian làm bài: 120 phút Câu 1: a- Chứng tỏ số: 101995 + rồi) là số tự nhiên b- Tìm số tự nhiên có tổng 432 và ƯCLN chúng là 36 Câu 2: Tính nhanh: a35.34 + 35.86 + 65.75 + 65.45 ; b21.72 - 11.72 + 90.72 + 49.125.16 ; Câu 3: So sánh: 920 và 2713 Câu 4: Tìm x biết: a, |2x - 1| = ; b, ( 5x - 1).3 - = 70 ; Câu 5: Chứng minh tổng sau chia hết cho A = 21 + 22 + 23 + 24 + + 259 + 260 ; Câu 6: Để chuẩn bị cho kỳ thi học sinh giỏi, học sinh giải 35 bài toán Biết bài đạt loại giỏi thưởng 20 điểm, bài đạt loại khá, trung bình thưởng điểm Còn lại bài yếu, kém bị trừ 10 điểm Làm xong 35 bài em đó thưởng 130 điểm Hỏi có bao nhiêu bài loại giỏi, bao nhiêu bài loại yếu, kém Biết có bài khá và trung bình Câu 7: Cho 20 điểm đó không có điểm nào thẳng hàng, điểm ta vẽ đường thẳng Có tất bao nhiêu đường thẳng ĐỀ SỐ XI Thời gian làm bài: 120 phút I TRẮC NGIỆM: Điền dấu x vào ô thích hợp:( điểm) Câu Đúng 1 a Số -5 –5 + 80 (0.25 điểm) Sai (44) II TỰ LUẬN: Câu 1:Thực các phép tính sau: (4 điểm) a b c 2181 729+243 81 27 92 234+ 18 54 162 9+723 729 1 1 + + +⋯+ + 2 3 98 99 99 100 1 1 + + +⋯+ <1 32 1002 15 − 99 − 320 d 29 19 −7 229 276 Câu 2: (2 điểm) Một quãng đường AB Giờ đầu đường AB Giờ thứ kém đầu là 12 quãng quãng đường AB, thứ đI kém thứ 12 quãng đường AB Hỏi thứ tư quãng đường AB? Câu 3: (2 điểm) a Vẽ tam giác ABC biết BC = cm; AB = 3cm ;AC = 4cm b Lấy điểm tam giác ABC nói trên.Vẽ tia A0 cắt BC H, tia B0 cắt AC I,tia C0 cắt AB K Trong hình đó có có bao nhiêu tam giác Câu 4: (1 điểm) a Tìm hai chữ số tận cùng các số sau: 2100; 71991 b.Tìm bốn chữ số tận cùng số sau: 51992 ĐỀ SỐ XII Thời gian làm bài: 120 phút Bài 1( điểm ) Tìm chữ số tận cùng các số sau: a) 571999 b) 931999 Cho A= 9999931999 - 5555571997 Chứng minh A chia hết cho a ( a<b) cùng thêm m đơn vị vào tử và mẫu thì phân số lớn b a hay bé b ? Cho số 155 ∗710 ∗ ∗16 có 12 chữ số chứng minh thay các dấu * Cho phân số các chưc số khác ba chữ số 1,2,3 cách tuỳ ý thì số đó luôn chia hết cho 396 (45) Chứng minh rằng: 1 1 1 1 a) − + − 16 + 32 − 64 < 3 99 100 b) − + − + .+ 99 − 100 < 16 3 3 Bài 2( điểm ) Trên tia Ox xác định các điểm A và B cho OA= a(cm), OB=b (cm) a) Tính độ dài đoạn thẳng AB, biết b< a b) Xác định điểm M trên tia Ox cho OM = (a+b) -ĐỀ SỐ XIII Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian chép đề) Bài 1( điểm) a, Cho A = 9999931999 - 5555571997 Chứng minh A chia hết cho 1 1 b, Chứng tỏ rằng: 41 + 42 + 43 + …+ 79 + 80 > 12 Bài ( 2,5 điểm) Tổng số trang loại ; loại và loại là 1980 trang Số trang loại số trang loại Số trang loại số trang loại Tính số trang loại Bài 3: (2 Điểm) Tìm số tự nhiên n và chữ số a biết rằng: 1+ 2+ 3+ …….+ n = aaa Bài4 ; (2,5 điểm) a, Cho tia chung gốc Có bao nhiêu góc hình vẽ ? Vì b, Vậy với n tia chung gốc Có bao nhiêu góc hình vẽ ĐỀ SỐ XIV Thời gian làm bài 120 phút – (không kể thời gianchép đề) Bài 1(3 điểm) a.Tính nhanh: 1.5.6 2.10.12 4.20.24 9.45.54 A = 1.3.5 2.6.10 4.12.20 9.27.45 b.Chứng minh : Với k N* ta luôn có : k k 1 k k 1 k k 1 3.k k 1 Áp dụng tính tổng : S= Bài 2: (3 điểm) 1.2 2.3 3.4 n n 1 thì : abc deg11 a.Chứng minh : 60 b.Cho A = Chứng minh : A ; ; 15 Bài 3(2 điểm) Chứng minh : ab cd eg 11 1 1 n 2 2 < (46) Bài 4(2 điểm) a.Cho đoạn thẳng AB = 8cm Điểm C thuộc đường thẳng AB cho BC = 4cm Tính độ dài đoạn thẳng AC b.Cho 101 đường thẳng đó hai đường thẳng nào cắt và không có ba đường thẳng nào cùng qua điểm Tính số giao điểm chúng ĐỀ SỐ XV Thời gian làm bài 120 phút – (không kể thời gianchép đề) Câu 1: Cho S = + 52 + 53 + ………+ 52006 a, Tính S b, Chứng minh S M126 Câu Tìm số tự nhiên nhỏ cho số đó chia cho dư 1; chia cho dư ; chia cho dư 3; chia cho dư và chia hết cho 11 3n Câu Tìm các giá trị nguyên n để phân số A = n có giá trị là số nguyên Câu Cho số 18, 24, 72 a, Tìm tập hợp tất các ước chung số đó b, Tìm BCNN số đó Câu Trên tia õ cho điểm A, B, C, D biết A nằm B và C; B nằm C và D ; OA = 5cm; OD = cm ; BC = cm và độ dài AC gấp đôi độ dài BD Tìm độ dài các đoạn BD; AC ĐỀ SỐ XVI Thời gian làm bài: 120 phút Câu 1: (2 điểm) Cho tậo hợp A = n N / n (n + 1) ≤12 B = x Z / x < 3 a Tìm giao tập hợp b có bao nhiêu tích ab (với a A; b B) tạo thành, cho biết tích là ước Câu 2: ( điểm) a Cho C = + 32 + 33 + 34 ………+ 3100 chứng tỏ C chia hết cho 40 b Cho các số 0; 1; 3; 5; 7; Hỏi có thể thiết lập bao nhiêu số có chữ số chia hết cho từ sáu chữ số đã cho Câu 3: (3 điểm) Tính tuổi anh và em biết 5/8 tuổi anh 3/4 tuổi em là năm và 1/2 tuổi anh 3/8 tuổi em là năm Câu 4: (2 điểm) a Cho góc xoy có số đo 1000 Vẽ tia oz cho góc zoy = 350 Tính góc xoz trường hợp b Diễn tả trung điểm M đoạn thẳng AB các cách khác (47) -ĐỀ SỐ XVII Thời gian làm bài: 120 phút A/ ĐỀ BÀI Câu 1: (2,5 điểm) Có bao nhiêu số có chữ số đó có đúng chữ số 5? Câu 2: Tìm 20 chữ số tận cùng 100! Câu 3: Người ta thả số Bèo vào ao thì sau ngày bèo phủ kín đầy mặt ao Biết sau ngày thì diện tích bèo tăng lên gấp đôi Hỏi : a/ Sau ngày bèo phủ nửa ao? b/ Sau ngày thứ bèo phủ phần ao? Câu 4: Tìm hai số a và b ( a < b ), biết: ƯCLN( a , b ) = 10 và BCNN( a , b ) = 900 Câu 5: Người ta trồng 12 cây thành hàng, hàng có cây Hãy vẽ sơ đồ vị trí 12 cây đó ĐỀ SỐ XVIII Thời gian làm bài: 120 phút Câu 1: (2đ) Với q, p là số nguyên tố lớn chứng minh rằng: P4 – q4 ⋮ 240 Câu 2: (2đ) Tìm số tự nhiên n để phân bố A= n+193 n+ a Có giá trị là số tự nhiên b Là phân số tối giản c Với giá trị nào n khoảng từ 150 đến 170 thì phân số A rút gọn Câu 3: (2đ) Tìm các nguyên tố x, y thỏa mãn : (x-2)2 (y-3)2 = - Câu 4: (3đ) Cho tam giác ABC và BC = 5cm Điểm M thuộc tia đối tia CB cho CM = cm a Tình độ dài BM b Cho biết góc BAM = 800 , góc BAC = 600 Tính góc CAM c Vẽ các tia Ax, Ay là tia phân giác góc BAC và CAM Tính góc xAy d Lấy K thuộc đoạn thẳng BM và CK = cm Tính độ dài BK Câu 5: (1đ) 2 2 Tính tổng: B = + + 10 + + 97 100 -ĐỀ SỐ XIX Thời gian làm bài: 120 phút Câu 1(1đ): Hãy xác định tập hợp sau cách tính chất đặc trưng các phần tử nó M: Tập hợp các số tự nhiên chia hết cho và bé 30 (48) P: Tập hợp các số 1; 4; 9; 16; 25; 36; 49; 64; 81 Câu 2(1đ): Chứng minh các phân số sau đây 41 4141 414141 88 ; 8888 ; 888888 27425 27 27425425 27425 99900000 99900 ; Câu 3(1,5đ): Tính các tổng sau cách hợp lí a) 1+ 6+ 11+ 16+ + 46+ 51 52 52 52 52 52 52 b) 1.6 6.11 11.16 16.21 21.26 26.31 Câu 4(1,5đ): Tổng kết đợt thi đua kỷ niệm ngày nhà giáo Việt Nam 20/11, lớp 6A có 43 bạn từ điểm 10 trở lên; 39 bạn từ điểm 10 trở lên; 14 bạn từ điểm 10 trở lên; bạn điểm 10, không có trên điểm 10 Tính xem đợt thi đua đó lớp 6A có bao nhiêu điểm 10 Câu 5(1,5đ): Bạn Nam hỏi tuổi bố Bố bạn Nam trả lời: “Nếu bố sống đến 100 tuổi thì 6/7 7/10 số tuổi bố lớn 2/5 7/8 thời gian bố phải sống là năm” Hỏi bố bạn Nam bao nhiêu tuổi Câu 6(2đ): Cho tam giác ABC có BC = 5cm Điểm M thuộc tia đối tia CB cho CM = 3cm a) Tính độ dài BM b) Cho biết góc BAM = 800, góc BAC = 600 Tính góc CAM c) Tính độ dài BK K thuộc đoạn thẳng BM và CK = 1cm Câu 7(1,5đ): Cho tam giác MON có góc M0N = 1250; 0M = 4cm, 0N = 3cm a) Trên tia đối tia 0N xác định điểm B cho 0B = 2cm Tính NB b) Trên nửa mặt phẳng có chứa tia 0M, có bờ là đường thẳng 0N, vẽ tia 0A cho góc M0A = 800 Tính góc A0N ĐỀ SỐ XX Thời gian làm bài: 120 phút Câu 1: (2đ) Thay (*) các số thích hợp để: a) 510* ; 61*16 chia hết cho b) 261* chia hết cho và chia dư Câu 2: (1,5đ) Tính tổng S = 1.2 + 2.3 + 3.4 + + 99.100 Câu 3: (3,5 đ) Trên đường qua địa điểm A; B; C (B nằm A và C) có hai người xe máy Hùng và Dũng Hùng xuất phát từ A, Dũng xuất phát từ B Họ cùng khởi hành lúc để cùng đến C vào lúc 11 cùng ngày Ninh xe đạp từ C phía A, gặp Dũng luc và gặp Hùng lúc 24 phút Biết quãng đường AB dài 30 km, vận tốc ninh 1/4 vận tốc Hùng Tính quãng đường BC Câu 4: (2đ) Trên đoạn thẳng AB lấy 2006 điểm khác đặt tên theo thứ từ từ A đến B là A1; A2; A3; ; A2004 Từ điểm M không nằm trên đoạn thẳng AB ta nối M với các điểm A; A1; A2; A3; ; A2004 ; B Tính số tam giác tạo thành Câu 5: (1đ) (49) Tích hai phân số là 15 Thêm đơn vị vào phân số thứ thì tích 56 là 15 Tìm hai phân số đó ĐỀ SỐ XXI Thời gian làm bài: 120 phút Câu 1: (1.5đ) Chứng minh các phân số sau đây nhau: 25 ; 53 2525 5353 ; 252525 535353 Câu 2: (1,5đ) Không quy đồng mẫu hãyáo sánh hai phân số sau: 37 67 và 677 (x − 5) 30 20 x = +5 100 100 Câu 3: (2đ) Tìm số tự nhiên x, biết: 377 Câu 4: (3đ) Tuổi trung bình đội văn nghệ là 11 tuổi Người huy là 17 tuổi Tuổi trung bình đội tập (trừ người huy) là 10 tuổi Hỏi đội có người Câu 5: (2đ) Cho góc xOy và góc yOz là hai góc kề bù Góc yOz 300 a.Vẽ tia phân giác Om góc xOy và tia phân giác On góc yOz b.Tính số đo góc mOn -ĐỀ SỐ XXII Thời gian làm bài: 120 phút Câu I : 3đ Thực phép tính cách hợp lí : 1) A = 2) B= 636363 37 −373737 63 1+2+3+ +2006 12 12 12 4 12+ − − 4+ + + 19 37 53 17 19 2006 124242423 : 41 3 5 237373735 3+ − − 5+ + + 37 53 17 19 2006 ( ) Câu II : 2đ a b⋮ 45 Tìm các cặp số (a,b) cho : Câu III : 2đ Cho A = 31 +32+33 + .+ 32006 a, Thu gọn A b, Tìm x để 2A+3 = 3x Câu IV : đ So sánh: A = Câu V: 2đ 20052005 +1 20052006 +1 và B = 20052004 +1 20052005 +1 (50) Một học sinh đọc sách ngày Ngày thứ đọc sách; ngày thứ đọc 5 số trang số trang sách còn lại; ngày thứ đọc 80% số trang sách còn lại và trang cuối cùng Hỏi sách có bao nhiêu trang? -ĐỀ SỐ XXIII Thời gian làm bài: 120 phút Bài (1,5đ): Dùng chữ số 3; 0; để ghép thành số có chữ số: a Chia hết cho b Chia hết cho c Không chia hết cho và Bài (2đ): a Tìm kết phép nhân A = 33 x 99 50 chữ số 50 chữ số b Cho B = + 32 + 33 + + 3100 Tìm số tự nhiên n, biết 2B + = 3n Bài (1,5 đ): Tính a 101 100 99 98 C = 101 100 99 98 3737.43 4343.37 D = 100 b Bài (1,5đ): Tìm hai chữ số tận cùng 2100 Bài (1,5đ): Cho ba đường a1, a2, a3 từ A đến B, hai đường b 1, b2 từ B đến C và ba đường c1, c2, c3, từ C đến D (hình vẽ) a1 a2 A b1 B C b2 a3 c1 c2 D c3 Viết tập hợp M các đường từ A dến D qua B và C Bài (2đ): Cho 100 điểm đó không có ba điểm nào thẳng hàng Cứ qua điểm ta vẽ đường thẳng có tất bao nhiêu đường thẳng -ĐỀ SỐ XXIV Thời gian làm bài: 120 phút Bài 1(2đ) 27+ 4500+135+550 a Tính tổng S = 2+ 4+ 6+ 14 +16+18 2006 b So sánh: A = Bài (2đ) 2006 +1 2007 2007 +1 2005 và B = 2006 +1 2006 2006 +1 (51) a Chứng minh rằng: C = + 22 + + +… + 299 + 2100 chia hết cho 31 b Tính tổng C Tìm x để 22x -1 - = C Bài (2đ) Một số chia hết cho dư 3, chia cho 17 dư 9, chia cho 19 dư 13 Hỏi số đó chia cho1292 dư bao nhiêu Bài (2đ) Trong đợt thi đua, lớp 6A có 42 bạn từ điểm 10 trở lên, 39 bạn điểm 10 trở lên, 14 bạn từ điểm 10 trở lên, bạn điểm 10, không có trên điểm 10 Tính xem đợt thi đua lớp 6A bao nhiêu điểm 10 Câu (2đ) Cho 25 điểm đó không có điểm thẳng hàng Cứ qua điểm ta vẽ đường thẳng Hỏi có tất bao nhiêu đường thẳng? Nếu thay 25 điểm n điểm thì số đường thẳng là bao nhiêu ĐỀ SỐ XXV Thời gian làm bài: 120 phút Tính các giá trị biểu thức a A = 1+2+3+4+ .+100 3 4 4 (3+ − − ) + + + 53 17 19 2003 : b B = -1 3 5 3+ − − 5+ + + 37 53 17 19 2003 1 1 c C = + + + + + 99 100 So sánh các biểu thức : a 3200 và 2300 121212 404 10 b A = 171717 + 17 − 1717 với B = 17 Cho 1số có chữ số: *26* Điền các chữ số thích hợp vào dấu (*) để số có chữ số khác chia hết cho tất 4số : 2; ; ; Tìm số tự nhiên n cho : 1! +2! +3! + +n! là số chính phương? Hai xe ôtô khởi hành từ hai địa điểm A,B ngược chiều Xe thứ khởi hành từ A lúc Xe thứ hai khởi hành từ B lúc 10 phút Biết để quãng đường AB Xe thứ cần , xe thứ hai cần Hỏi sau xe gặp lúc giờ? Cho góc xOy có số đo 1200 Điểm A nằm góc xOy cho: AOy =75 Điểm B nằm ngoài góc xOy mà : BOx =135 Hỏi điểm A,O,B có thẳng hàng không? Vì sao? ĐỀ SỐ XXVI Thời gian làm bài: 120 phút 1 1 A 100 3 3 Câu 1: Tính tổng Câu 2: Tìm số tự nhiên a, b, c, d nhỏ cho: a b 12 c b ; c 21 ; d 11 (52) Câu 3: Cho dãy số tự nhiên 1, 2, 3, , 50 a-Tìm hai số thuộc dãy trên cho ƯCLN chúng đạt giá trị lớn b-Tìm hai số thuộc dãy trên cho BCNN chúng đạt giá trị lớn Câu 4: Cho bốn tia OA, OB, OC, OD, tạo thành các góc AOB, BOC, COD, DOA không có điểm chung Tính số đo mổi góc biết rằng: BOC = AOB ; COD = AOB ; DOA = AOB ĐỀ SỐ XXVII Thời gian làm bài: 120 phút Câu 1: (3đ) a Kết điều tra lớp học cho thấy: Có 20 học sinh thích bóng đá, 17 học sinh thích bơi, 36 học sinh thích bóng chuyền, 14 học sinh thích đá bóng và bơi, 13 học sinh thích bơi và bóng chuyền, 15 học sinh thích bóng đá và bóng chuyền, 10 học sinh thích ba môn, 12 học sinh không thích môn nào Tính xem lớp học đó có bao nhiêu học sinh? b Cho số: A = 10 11 12 …….58 59 60 - Số A có bao nhiêu chữ số? - Hãy xóa 100 chữ số số A cho số còn lại là: + Nhỏ + Lớn Câu 2: (2đ) a Cho A = + 52 + … + 596 Tìm chữ số tận cùng A b.Tìm số tự nhiên n để: 6n + chia hết cho 3n + Câu 3: (3đ) a Tìm số tự nhiên nhỏ biết chia số đó cho dư 2, cho dư 3, cho dư và cho 10 dư b Chứng minh rằng: 11n + + 122n + Chia hết cho 133 Câu 4: (2đ) Cho n điểm đó không có điểm nào thẳng hàng Cứ qua hai điểm ta vẽ đường thẳng Biết có tất 105 đường thẳng Tính n? ĐỀ SỐ XXVIII Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian giao đề) Bài 1:(2,25 điểm) Tìm x biết a) b) c) x+ 25 x- 11 (x-32).45=0 Bài 2:(2,25 điểm) Tính tổng sau cách hợp lý nhất: a) A = 11 + 12 + 13 + 14 + … + 20 b) B = 11 + 13 + 15 + 17 + … + 25 c) C = 12 + 14 + 16 + 18 + … + 26 Bài 3:(2,25 điểm) Tính: (53) a) b) c) 5 5 61.66 A= 11.16 16.21 21.26 1 1 1 B= 12 20 30 42 1 1 1989.1990 2006.2007 C = 1.2 2.3 Bài 4:(1 điểm) 102001 ; 2002 Cho: A= 10 102002 B = 2003 10 Hãy so sánh A và B Bài 5:(2,25 điểm) Cho đoạn thẳng AB dài 7cm Trên tia AB lấy điểm I cho AI = cm Trên tia BA lấy điểm K cho BK = cm a) Hãy chứng tỏ I nằm A và K b) Tính IK ĐỀ SỐ XXIX Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian giao đề) Bài 1: ( điểm) a Chứng tỏ tổng sau khôngm chia hết cho 10: A = 405n + 2405 + m2 ( m,n N; n # ) b Tìm số tự nhiên n để các biểu thức sau là số tự nhiên: B= n+2 n+17 n + − n+2 n=2 n+2 c Tìm các chữ số x ,y cho: C = Bài (2 điểm ) 10 10 10 x 1995 y chia hết cho 55 10 a Tính tổng: M = 56 + 140 + 260 + + 1400 3 3 b Cho S = 10 + 11 + 12 + 13 + 14 Chứng minh : 1< S < Bài ( điểm) Hai người mua gạo Người thứ mua gạo nếp , người thứ hai mua gạo tẻ Giá gạo tẻ rẻ giá gạo nếp là 20% Biết khối lượng gạo tẻ người thứ hai mua nhiều khối lượng gạo nếp là 20% Hỏi người nào trả tiền ít hơn? ít mâya % so với người kia? Bài ( điểm) Cho điểm M và N nằm cùng phía A, năm cùng phía B Điểm M nằm A và B Biết AB = 5cm; AM = 3cm; BN = 1cm Chứng tỏ rằng: a Bốn điểm A,B,M,N thẳng hàng b Điểm N là trung điểm đoạn thẳng MB c Vẽ đường tròn tâm N qua B và đường tròng tâm A qua N, chúng cắt C, tính chu vi Δ CAN - (54) ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2013 - 2014 Số 12 MÔN: TOÁN LỚP (Thời gian làm bài 120 phút, không kể thời gian giao đề) Câu 1(3 điểm): Thực phép tính a) A=1.2.3…9- 1.2.3…8- 1.2.3…82 16 3.4.2 13 11 b) B= 11.2 16 131313 c) C = 70.( 565656 131313 + 727272 131313 + 909090 ) Câu 2(2 điểm) Cho A = 1+3 + 32 + … + 329+330 a) TÝnh A b) A cã ph¶i lµ sè chÝnh ph¬ng kh«ng? c) Chøng tá A-1 chia hÕt cho Câu 3(4 điểm) : Tìm x biết : a) x 11 2 200 b) x 15 x 15 c) x+(x+1)+(x+2)+…+(x+2013)=2035147 1 1 9.10 10.11 11.12 x(x 1) d) Câu 4: ( ®iÓm ) a) Cho S = + + + + 10 11 12 13 14 Chøng minh r»ng : 1< S < b Tìm số tự nhiên n để các biểu thức sau là số tự nhiên: 2n 5n 17 3n n2 n2 B = n2 135 c) T×m mét ph©n sè b»ng ph©n sè 165 , biÕt hiÖu gi÷a mÉu sè vµ tö sè cña ph©n số đó là 28 Câu5 ( ®iÓm ) Cho p lµ sè nguyªn tè lín h¬n 3, hái p2+2012 lµ sè nguyªn tè hay hîp sè C©u 6: (3 ®iÓm) a) Cho n điểm đó không có điểm nào thẳng hàng Cứ qua hai điểm ta vẽ đờng thẳng Biết có tất 105 đờng thẳng Tính n? b) Cho gãc xOy vµ yOz lµ hai gãc kÒ bï víi vµ yOz 30 Trªn nöa 0 mặt phẳng bờ xz có chứa tia Oy kẻ tia On Biết xOn , tìm giá trị để tia Oy lµ tia ph©n gi¸c cña nOz ================HÕt================== Số 12 HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI HỌC SINH GI (55) NĂM HỌC 2013 - 2014 MÔN: TOÁN LỚP ĐÁP ÁN BIỂU ĐIỂM Câu a) A=1.2.3…9- 1.2.3…8- 1.2.3…82 0,25 0,25 0,25 0,25 =1.2.3…8.9-1.2.3…8-1.2.3…8.8 = 1.2.3…8.(9-1-8) =1.2.3…0 =0 16 3.4.2 13 11 b)B= 11.2 16 0,25 16 3.2 11.213.222 236 9.236 11.235 236 9.236 35 11 0,25 0,25 36 9.2 2 235.9 0,25 131313 c) C = 70.( 565656 + 131313 727272 0,25 131313 ) 909090 = 70.( + 13 56 + 13 72 + 1 + 7.8 1 = 70.13.( ) 10 = 70.13.( 13 ) 90 + 0,25 ) 10 0,25 0,25 = 39 Câu 2(2 điểm) Cho A = 1+3 + 32 + … + 329+330 a) A = 1+3 + 32 + … + 329+330 0,25 0,25 A 3 32 33 330 331 A A (3 32 33 330 331 ) 32 33 330 A 331 331 A b) Ta có 7 331 34 33 1 33 1 331 331 3 0,25 0,25 0,25 (56) Mà số chính phương không thể có chữ số tận cùng là nên A không phải là số chính phương 0,25 c) Ta có 2A-1=3 + 32 + … + 329+330 Từ 30 có 31 số tự nhiên liên tiếp nên từ 31 330 có 31 lũy thừa 3, nhóm lũy thừa vào cặp ta có 15 cặp 0,25 sau A 31 34 (32 35 ) 327 330 A A A 84 A 7.12 7 4 1 26 1 0,25 26 26 26 0,25 A7 Câu 3 x 11 25.52 200 a) x 11 32.25 200 x 11 1000 x 11 103 x 11 10 x 10 11 x 21 x 3 0,25 0,25 0,25 0,25 b) x 15 x 15 x 15 x 15 0 x 15 x 15 0,25 0,25 0 x 15 0 x 15 0 x 15 0 x 7,5 x 15 2 0 x 15 12 x 15 1 x 16 x 8( ) 0,25 0.25 Vậy x=8 0.25 c) x+(x+1)+(x+2)+…+ (x+2013)=2035147 (x+0)+(x+1)+(x+2)+…+ (x+2013)=2035147(1) NX : Từ 2013 có 2014 số tự nhiên liên 0.25 tiếp nên từ x+0 x 2013 có 2014 số x Tổng các số tự nhiên liên tiếp từ 30 là 0.25 (57) 2013 2014 2027091 Vậy từ (1)ta có 2014.x+2027091=2035147 2014.x=20351472027091 2014.x=8056 x=8056 :2014 x=4 0.25 0.25 d) 1 1 x(x 1) 9.10 10.11 11.12 1 1 1 x x 1 10 10 11 1 x 1 2 x 1 x 18 x 17 x 1 0.5 0.75 0.25 Câu 0.5 a)S = 3 3 3 3 3 => S + + + + > + + + + 10 11 12 13 14 15 15 15 15 15 15 > =1 (1) S= 15 0.5 3 3 3 3 3 => + + + + < + + + + 10 11 12 13 14 10 10 10 10 10 15 20 S< (2) ( < =2 10 10 Tõ (1) vµ (2) => < S < b) B= n+ n+17 n n+ 9+5 n+17 −3 n n+26 + − = = n+2 n+2 ❑ n+2 n+2 n+2 4( n+2)+18 18 B = n+26 = =4+ n+2 n+2 n+ 0.5 18 §Ó B lµ sè tù nhiªn th× n lµ sè tù nhiªn ( 18) = ⇒ 18 ⋮ (n+2) => n+2 { 1; ; ; ; ; 18 } +, n + 2= ⇔ n= +, n + 2= ⇔ n= +, n + 2= ⇔ n= +, n + 2= ⇔ n= +, n + 2= 18 ⇔ n= 16 VËy n { ; 1; ; ; 16 } th× B 0.5 0.25 N (58) c) 135 0.75 165 11 Ta có các phân số phân số 135 9n (n Z ; n 0) 165 có dạng 11n Vì hiệu mẫu và tử phân số là 28 nên 11n-9n=28 n 14 9.14 126 Vậy phân số phait tìm là 11.14 154 Câu5 Vì p lµ sè nguyªn tè lín h¬n Nên p không chia hết cho 0.75 0.25 p 3k 1; p 3k Nếu p=3k+1 thì p 3k 1 3k 3k 1 3k 1 3k 3k 3;1 3k 1 không chia hết cho Vì nên p2 không chia hết cho Nên p2 có dạng 0.5 p 3m p 2012 3m 2012 3m 2013 3.(m 671)3 p2+2012 Là hợp số 0.5 Nếu p=3k+2 thì p 3k 3k 3k 3k 3k 3k 2.3k p : 3(1) p 3m vẽ 0.5 p 3m p 2012 3m 2012 3m 2013 3.(m 671)3 p2+2012 Là hợp số Vậy p lµ sè nguyªn tè lín h¬n thì p2+2012 Là hợp số Câu6 a) qua điểm vẽ đường thẳng nên +chọn điểm n điểm cho trước( đó không có điểm nào thẳng hàng) thì ta vẽ n đường thẳng 0.25 0.5 0.25 0.25 0.25 (59) + n-1 điểm thì ta vẽ n-1 đường thẳng Nhưng số điểm đã tính lần nên số đường thẳng thực tế tạo thành là n n 1 Nếu có 105 đường thẳng thì ta có n n 1 105 n n 1 2.105 210 15.14 n 15 Vậy có 15 điểm b) n y x O z Vì xOy; yOz là góc kề bù nên xOy yOz 1800 Theo bài Oy là tia phân giác góc nOz thì zOy yOn 300 zOy yOn 600 Vì On thuộc nửa mặt phẳng bờ xzcó chứa tia Oy nên On tạo với xz góc kề bù là xOn; nOz xOn nOz 1800 xOn 1800 nOz 1800 600 1200 1200 Vậy để Oy là tia phân giác góc nOz thì 120 (Chú ý: Các cách làm khác mà đúng thì cho điểm tối đa) 1/ (3 đ) Tính giá trị các biểu thức: 3 12 a) A = 17 40% .10 72 2 19 3 35 b) B = c) C = 2 5 x 2/(2 đ) Tìm x ,biết : a) b) x + 75%.x = 17 1717 171717 3/ (1đ) Các phân số 99 ; 9999 999999 có không ? Vì ? (60) 4/ (1đ) Tính tổng : 4 4 42 56 72 90 110 ĐỀ KIỂM TRA MỘT TIẾT MÔN:TOÁN THỜI GIAN:45(PHÚT) PHẦN I:PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ HỌC SINH: (7Đ) Câu 1:TÌM X:(2Đ) x a/ 5 b/ x x c/ 27 d/ x Câu 2:tìm x:(2đ) 4 a/ x x x 8 b/ x Câu 3:giải bài toán:(1đ) Một phân số có tử số 4,nếu thêm tử 32 đơn vị và giữ nguyên mẫu số thu gọn thì phân số nghịch đảo phân số ban đầu…tìm phân số đã cho… CÂU 4:GIẢI BÀI TOÁN SAU:(1Đ) Một phân số có mẫu số 6,nếu thêm tử đơn vị và nhân mẫu cho thu gọn thì phân số Tìm phân số ban đầu Câu 5:Giải bài toán sau (1đ) Khối lớp trường trung học sở trần đại nghĩa có sinh khá , học sinh trung giỏi , học 15 học sinh trung bình, học sinh kém, học sinh yếu.Hỏi học lức học sinh nào xếp nhiều khối,học lực học sinh nào xếp ít khối PHẦN II:PHẦN DÀNH RIÊNG CHO HỌC SINH (CHÚ Ý:HỌC SINH CHỈ LỰA CHON MỘT TRONG HAI PHẦN) PHẦN A:PHẦN CƠ BẢN:(3Đ) 23.34 24.52.112.7 ; 3 2 Câu 1:Rút gọn phân số sau (1đ) : 5 11 25.9 25.17 48.12 48.15 Câu 2: Rút gọn quy đồng (1đ) 8.80 8.10 và 3.270 3.30 n+6 Câu 3:Tìm n để biểu thức sau đạt giá trị nguyên :A= (n z ) (1đ) n− PHẦN B:PHẦN NÂNG CAO :(3Đ) 121.75.130.169 39.60.11.198 1998.1990 3978 Câu 1:Rút gọn phân số sau (1đ) , 1992.1991 3984 25.7 25 34.5 36 5 4 Câu 2: Rút gọn quy đồng (1đ) và 13 n −5 Câu 3;Tìm giá trị n để biểu thức sau đạt giá trị nguyên (1đ):A= n −1 (n z ) (61) ĐỀ KIỂM TRA MỘT TIẾT MÔN:TOÁN THỜI GIAN:45(PHÚT) PHẦN I:PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ HỌC SINH: (7Đ) Câu 1:TÌM X:(2Đ) x a/ 5 b/ x x c/ 27 d/ x Câu 2:tìm x:(2đ) 4 a/ x x x 8 b/ x Câu 3:giải bài toán:(1đ) Một phân số có tử số 4,nếu thêm tử 32 đơn vị và giữ nguyên mẫu số thu gọn thì phân số nghịch đảo phân số ban đầu…tìm phân số đã cho… CÂU 4:GIẢI BÀI TOÁN SAU:(1Đ) Một phân số có mẫu số 6,nếu thêm tử đơn vị và nhân mẫu cho thu gọn thì phân số Tìm phân số ban đầu Câu 5:Giải bài toán sau (1đ) Khối lớp trường trung học sở trần đại nghĩa có sinh khá , học sinh trung giỏi , học 15 học sinh trung bình, học sinh kém, học sinh yếu.Hỏi học lức học sinh nào xếp nhiều khối,học lực học sinh nào xếp ít khối PHẦN II:PHẦN DÀNH RIÊNG CHO HỌC SINH (CHÚ Ý:HỌC SINH CHỈ LỰA CHON MỘT TRONG HAI PHẦN) PHẦN A:PHẦN CƠ BẢN:(3Đ) 23.34 24.52.112.7 ; 3 2 Câu 1:Rút gọn phân số sau (1đ) : 5 11 25.9 25.17 48.12 48.15 Câu 2: Rút gọn quy đồng (1đ) 8.80 8.10 và 3.270 3.30 n+6 Câu 3:Tìm n để biểu thức sau đạt giá trị nguyên :A= (n z ) (1đ) n− PHẦN B:PHẦN NÂNG CAO :(3Đ) 121.75.130.169 39.60.11.198 1998.1990 3978 Câu 1:Rút gọn phân số sau (1đ) , 1992.1991 3984 5 36 5 4 Câu 2: Rút gọn quy đồng (1đ) và 13 n −5 Câu 3;Tìm giá trị n để biểu thức sau đạt giá trị nguyên (1đ):A= n −1 (n z ) II NỘI DUNG Việc tính tổng các biểu thức thông thường ( hữu hạn số hạng) ta áp dụng đúng thứ tự và quy tắc phép toán là có thể giải bài toán Vấn đề đặt là cách (62) khai thác để giải bài toán tính tổng có dạng: S n= a1+a2+a3+ +an (n=1,2,3…) thì chúng ta phải làm nào ? Sau đây tôi đưa số dạng bài và phương pháp khai thác để giải các dạng bài toán đó II.1 Phương pháp tách số hạng: Dạng 1:Số hạng tổng quát dãy số có dạng tử là và mẫu là tích hai số tự nhiên liên tiếp 1.1 Ví dụ 1: Tính 1 1 S 1.2 2.3 3.4 2004.2005 Học sinh phải nhận dạng số hạng tổng có thể tách sau 1 ; 1.2 1 1 1 ; 2.3 2004.2005 2004 2005 Cộng vế với vế các đẳng thức trên ta 1 2004 1 1 S 1 1 2005 2005 2 3 2004 2004 2005 1.2 Ví dụ 2: S 1 9.10 10.11 2004.2005 Tính tổng Nhận xét: Ta thấy tổng này giống hệt tổng ví dụ ta dùng cách tách các số hạng ví dụ 1: 1 1 1 S 10 10 11 2004 2005 1 1996 2005 18045 Nhận xét tổng quát: Nếu số hạng tổng quát có dạng: n n 1 1 n n 1 n n Thì ta tách sau: Từ đó ta có công thức tổng quát để tính tổng sau: 1 1 S 1 2 n n 1 n 1 Dạng 2: Số hạng tổng quát dãy số có dạng tử số là 1, mẫu là tích hai thừa số kém “k” đơn vị 2.1 Ví dụ 1: 1 S 1.3 3.5 2003.2005 Cách Học sinh phải nhận dạng các số hạng có dạng - Tử số các số hạng đó là - Mẫu là tích hai số tự nhiên kém hai đơn vị Ta có thể tách sau: 1 1 1 1.3 1 1 1 3.5 ……………………… (63) 1 1 2003.2005 2003 2005 Cộng vế với vế các đẳng thức trên ta được: 1 1002 S 1 2003 2005 2005 2005 Nhận xét kết quả: - Thừa số nhỏ nhất, lớn mẫu các số hạng là 1; 2005 - Kết tích hiệu các nghịch đảo thừa số nhỏ và thừa số lớn với nghịch đảo đơn vị kém Cách 1 S 1.3 3.5 2003.2005 a b a b 1 Ta thấy: b.a b.a b.a b a (a,bN, a>b ) Ta phải biến đổi cho tử số tất các số hạng phải là khoảng cách hai thừa số mẫu thì tất các hạng tử tách được: 1 3 1 5 1 2003.2005 2003 2005 2 1 1 1 1.3 3.5 2003.2005 2003 2005 2004 1 2005 2005 1 Mµ S 1.3 3.5 2003.2005 2 2004 2S 3 2003.2005 2005 2004 1002 S :2 2005 2005 Chú ý: Thông qua ví dụ trên cần phải khắc phục cho học sinh sai hay gặp: 1 3.5 là sai M 1 Nhận xét tổng quát: b.a b a với a-b=M Bài toán tổng quát Sn 1 a(a m) (a m)( a 2m) a n 1 m a nm 11 Sn m a a nm Dạng 3: Mẫu các số tự nhiên liên tiếp 3.1 Ví dụ 1: Tính tổng sau: 1 Sn 3 n n 1 n với m=1;2;3 n=1;2;3 (64) Nhận xét đề bài: - Tử các số là - Mẫu các số hạng là tích số tự nhiên liên tiếp Ta có Số hạng tổng quát có dạng n n 1 n 2 1 1 1.2.3 1.2 2.3 1 1 2.3.4 2.3 3.4 1 1 n n 1 n 2 n n 1 n 1 n 2 Cộng vế với vế các đẳng thức trên ta 1 1 1 1 S n 1.2 2.3 2.3 3.4 n n 1 n 1 n Nhận xét kết Nếu mẫu có thừa số thì tổng tích nghịch đảo của( 3-1) với hiệu nghịch đảo tích thừa số có giá trị nhỏ và tích thừa số có giá trị lớn 1 1 S n 1.2 n 1 n 2 3.2 Ví dụ Tính tổng sau 1 Sn 1.2.3.4 2.3.4.5 n n 1 n n 3 Nhận xét đề bài - Tử các số hạng là - Mẫu các số hạng là tích số tự nhiên liên tiếp Ta có Số hạng tổng quát có dạng n n 1 n 2 n 3 1 1 1.2.3.4 1.2.3 2.3.4 1 1 2.3.4.5 2.3.4 3.4.5 1 1 n n 1 n n 3 n n 1 n n 1 n n Cộng vế với vế các đẳng thức trên ta 1 1 1 1 Sn 1.2.3 2.3.4 2.3.4 3.4.5 n n 1 n n 1 n n 3 1 1 n n n = Bài toán tổng quát (65) 1 Sn 1.2.3 m 2.3.4 m 1 n n 1 n n m 1 1 Sn m 1 m n n n n m Ta có với m=2;3;4 n=1; 2; 3…… Chú ý: Ví dụ 1: Có thể khai thác cho học sinh thấy tổng 1 Sn 1.2.3 2.3.4 n n 1 n 2 Thì 3-1=4-2=… =n+2-n=2 2 2S n 1.2.3 2.3.4 n n 1 n 1 S n 1.2 2.3 2.3 3.4 n n 1 n 1 n 1 1.2 n 1 n 1 1 S n n n => Như vậy: 2m 1 a a m a 2m a a m a m a 2m 3m 1 * a a m a 2m a 3m a a m a 2m a m a 2m a 3m * Một số bài tập áp dụng Tính các tổng sau: 1 1 1 A 12 20 30 42 56 1 B 1.4 4.7 2002.2005 3 C 15.22 22.29 85.92 1 D 1.3 3.5 2n 1 2n 1 668 §S : 2005 11 §S : 460 §S : §S : n 2n 1 1 n 2n E §S : 1.3.5 3.5.7 2n 1 2n 3 2n 1 2n 1 2n 3 II.2 Tính tổng phương pháp giải phương trình ( làm trôi) Trong số trường hợp gặp bài toán tính tổng dãy số viết theo thứ tự tăng (giảm) mà các số hạng tổng quan hệ với là: Mỗi số hạng liền trước( liến sau) (kém) “q” lần thì ta có thể nhân chia số hạng tổng cho “q” để xuất tổng dãy số có quan hệ tường minh với tổng ban đầu Dạng 1: các số hạng tổng luôn nhỏ băng 1.1 Ví dụ Tính tổng sau 1 S 2005 2 (1) (66) Ta thấy số hạng liền sau tổng kém số hạng liền trước nó “2” lần S 1 1 2004 2 (2) Trừ vế với vế (2) cho (1) ta S 1 2005 2005 2005 1.2 Ví dụ Tính tổng 1 S 1.3 3.5 2003.2005 a b a b 1 Ta thấy: b.a b.a b.a b a (a,bN, a>b ) Ta phải biến đổi cho tử số tất các số hạng phải là khoảng cách hai thừa số mẫu thì tất các hạng tử tách được: 2 1 1 1 2S 1.3 3.5 2003.2005 2003 2005 2004 1 2005 2005 2004 1002 S :2 2005 2005 Dạng 2:Các số hạng tổng lớn 2.1 Ví dụ 1: Tính tổng sau S 30 31 3100 Ta thấy số hạng sau gấp số hạng liền trước nó “2” lần Cách làm tương tự bài toán dạng Ta có : 3S 31 3100 3101 S 3101 S 3101 2.2 Ví dụ 2: Tính tổng sau Sn=1.2+2.3+3.4+…+n.(n+1) với nN* Để tách số hạng thành hiệu số nhằm triệt tiêu cặp số ta nhân số hạng tổng với Thừa số này viết dạng: 3-0 số hạng thứ 4-1 số hạng thứ hai 5-2 số hạng thứ ba (n+2)-(n-1) số hạng thứ cuối cùng Ta có 3Sn=1.2.(3-0)+2.3(4-1)+3.4(5-2)+…+n(n+1){(n+2)-(n-1)} =(1.2.3+2.3.4+3.4.5+…+ n(n+1)(n+2))-(0.1.2+1.2.3+2.3.4+…+(n-1)n(n+1)) =n(n+1)(n+2) n n 1 n 2 =>Sn= Tổng quát cho trường hợp trên ta có S n 1 a a a n a n 1 a với nN ; 1<aN II.3 Tính tổng phương pháp qui nạp toán học (67) Trong số trường hợp tính tổng dãy số, ta thông qua số phép tính vài số hạng đầu tiên ta có thể dự đoán kết Phương pháp này dễ dàng thực phép tính tổng, nhiên việc vân dụng phương pháp này giải số ít bài toán dạng tính tổng dãy số Lí là số bài toán việc tìm giả thiết quy nạp còn gặp nhiều khó khăn Ví dụ: Muốn tính hay chứng minh mệnh đề S k(k=1;2;3…) nào đó mà ta thấy mệnh đề đó đúng với 1; 2; giá trị đầu tiên k thì ta có thể dùng phương pháp quy nạp toán học để tính chứng minh mệnh đề đó Các bước giải bài toán này sau: Bước 1: Thử vài giá trị đầu tiên xem tính đúng đắn mệnh đề Bước 2: Giả sử mệnh đề đúng với n=k Nghĩa là Sk đúng Bước 3: Ta phải chứng minh mệnh đề đó đúng với n=k+1, tức là Sk+1 đúng Bước 4: Kết luận bài toán Ví dụ: Tính tổng Sn =1 + + + …+ n với nN n n 1 Dự đoán kết quả: Sn= Với n= 1thì S1= (đúng) 2 1 3 Với n=2 thì S2=1+2= 3 1 6 Với n=3 thì S3=1+2+3= (đúng) (đúng) Giả sử kết trên đúng với n=k tức là k k 1 Sk=1+2+3+…+k= Ta phải chứng minh kết trên đúng với n=k+1 k 1 k 2 Tức là phải chứng minh Sk+1= Thật Sk+1= 1+2+3+ +k+ (k+1) k k 1 + (k+1) = k 1 k 2 = (ĐPCM) Suy dự đoán trên là đúng n n 1 Vậy Sn=1+2+3+…+n= Sau đây là số bài tập tương tự Tính các tổng sau: Sn=1 + + +…+ (2n-1) Sn=12+22+32+…+n2 với nN* với nN* ĐS : Sn=n2 n n 1 2n 1 ĐS: Sn= n n 1 ĐS: Sn= Sn=13+23+33+…+n3 với nN* Sn=13+33+53…+(2n-1)3 với nN* ĐS: Sn= n2(2n2-1) II.4 Phương pháp tính tổng thông qua tổng đã biết Qua thực tế giải toán ta gặp tổng dãy số cần tính có thể biểu diễn qua tổng hữu hạn tổng khác mà ta đã biết đó ta có thể biến đổi tổng cần tính làm (68) xuất các tổng mà ta đã biết kết Việc làm có thể tính tổng phức tạp thông qua tổng đã biết Dạng 1: Tách tổng đã cho thành các tổng đã biết (tổng đã tính được) 1.1 Ví dụ 1: Tính tổng sau Sn=1.2+2.3+3.4+…+n.(n+1) với nN* Ta thấy n.(n+1)=n2+n Nên ta có Sn =12+22+32+…+n2+1+2+…+n n n 1 2n 1 n n 1 n. n 1 n 2 Chú ý: Ta có thể giải bài toán trên băng cách khác sau: Sn=1.2+2.3+3.4+…+n.(n+1) với nN* 3Sn =1.2.(3-0)+2.3(4-1)+3.4(5-2)+…+n(n+1){(n+2)-(n-1)} …+ n(n+1)(n+2))-(0.1.2+1.2.3+2.3.4+…+(n-1)n(n+1)) =n(n+1)(n+2) =(1.2.3+2.3.4+3.4.5+ n n 1 n 2 =>Sn= 1.2 Ví dụ 2: Tính tổng sau: Sn=1.3+3.5+5.7+…+(2n-1)(2n+1) Nhận xét - Khai thác từ số hạng tổng quát ta có (2n-1)(2n+1)=4n2-1 n S a 1 n n đề bài : n 4a 4a 1.n a 1 a 1 4n n 1 2n 1 n 2n n 1 2n 1 n Dạng 2:Tính tổng thông qua việc lập hiệu hai tổng trung gian Ví dụ: Tính tổng sau Sn=13+33+53+…+(2n+1)3 Nhận xét đề bài: Đây là tổng lập phương các số lẻ liên tiếp Muốn tính tổng trên ta lập tổng là tổng lập phương các số tự nhiên liên tiếp bới phần cộng thêm Giải Sn=13+23+33+…+(2n)3+(2n+1)3-{23+43+63+…+(2n)3} =13+23+33+…+(2n)3+(2n+1)3-23{13+23+33+…+(2n)3} 2n 2n 1 n n 1 23 = ={n(2n+1)}2-2{n(n+1)}2 =n2(4n2+4n+1-2n2-4n-2) =n2(2n2-1) (69) Số 10_ ĐỀ THI KĐCL HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC: 2012 - 2013 Môn thi: TOÁN ĐỀ CHÍNH THỨC (Đề gồm trang) Thời gian: 120 phút ( Không kể thời gian giao đề) Câu (2,0 điểm) 2 2 A= + + + + 11.15 15.19 19.23 51.55 a Cho Tính tích: A.B æ ö 11 æ1 ö B =ç ç- ÷ ÷× ×ç ç +1÷ ÷ è ø è3 ø ; b Chứng tỏ các số tự nhiên có dạng: abcabc chia hết cho ít số nguyên tố Câu (2,0 điểm) a Tìm số tự nhiên n lớn có ba chữ số, cho chia nó cho 3, cho 4, cho 5, cho 6, cho ta các số dư theo thứ tự là: 1; 2; 3; 4; 5; b Tìm số nguyên a để 2a + chia hết cho a - 5; Câu (2,0 điểm) - x =x - a Tìm x biết: y 1 b Tìm các số nguyên x; y cho: x a, b a, b c Tìm số tự nhiên a và b biết: a - b = và Câu (1,5 điểm) Cho: M = +3 + 32+ 33 +…+ 3upload.123doc.net+ 3119 N 22 32 42 20092 20102 Chứng tỏ rằng: a) M chia hết cho 13 b) N Câu (2,5 điểm) Trên cùng nửa mặt phẳng bờ chứa tia Ox, vẽ hai tia Oy, Oz cho xOy 800 , xOz 1300 a) Chứng tỏ tia Oy nằm hai tia Ox và Oz b) Gọi Ot là tia đối tia Ox Tia Oz có phải là tia phân giác tOy không? Vì sao? c) Lấy các điểm A thuộc tia Ot; B thuộc tia Oz; C thuộc tia Oy; D thuộc tia Ox, (các điểm đó khác điểm O) Qua điểm A, B, C, D, O vẽ bao nhiêu đường thẳng phân biệt? Hết./ (70) Câu a HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI KĐCL HSG NĂM HỌC 2012 – 2013 Môn thi: TOÁN Nội dung cần đạt 2 2 æ1 1 1 1 1ö A= + + + + = ç + + + - ÷ ç ÷ 11.15 15.19 19.23 51.55 è11 15 15 19 19 51 51 55 ø æ1 ö 4 = ç = ç - ÷ ÷= = è11 55 ø 55 2.55 55 æ ö 11 æ1 ö æ ö 11 55.2 ç- ÷ ÷ ç ç +1÷ ÷=ç ç- ÷ ÷ =B =ç è ø è3 ø è ø b Điểm 0,5 0,5 55.2 -4 A.B = 55 ( ) = abcabc =1000.abc +abc =1001abc =7.11.13abc chia hết cho ít ba số 0,25 0,75 nguyên tố: 7; 11; 13 a Vì n chia 3; 4; 5; 6; dư là 1; 2; 3; 4; nên n+2 chia hết cho 3; 4; 5; và nghĩa là n+2 là BC(3;4;5;6;7) 0.5 Mà BCNN(3;4;5;6;7) = 420 Vậy n+2 = 840 suy n = 838 0.5 (Vì n là số TN lớn có chữ số) 2a 2(a 5) 11 11 b 0.5 2 a a a Ta có: Để 2a+1 chia hết cho a- thì a-5 là ước 11 Suy ra: a -5 = a -5 = -1 a - = 11hoặc a - = -11 Suy ra: a =6 a= a = 16 a = -6 3.a *) - x =3 x = *) - x =- x = b y 1 y 1 y 1 x Ta có: x 3 x Nên: (y - 1).x = ta có bảng x y-1 y c a, b a, b 3 a, b 6.( a, b) -3 -1 -1 -3 -2 ' ' ' ' 0.5 0.25 Gọi d = (a,b) suy ra: a = d.a' ; b = d b' Ta có: a.b = [a,b].(a,b) nên d.a'.d.b' = 6.(a,b).(a,b) ' ' hay d a b = 6.d a b = (a = 3; b = 2); (a’ = 6; b’=1) (Vì a>b a'>b' ) Mặt khác a - b = d.a' - d.b' = 2,0 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 - x +1 =4 Û - x =3 2,0 0.5 2,5 (71) TH1: d(a' - b') = d = 5, a = 15; b = 10 0.25 TH2: d(a' - b') = 5d = 5, d = a = 6; b = 1,0 t z 1300 x A t 300 O B M A x 1300 M O 300 y B y 2,5 z a Trên tia Oy có OM < OB ( vì 1cm < 4cm) nên M nằm O và B => MO + MB = OB => MB = OB – MO = 3cm (1) 0,5 Vì Ox, Oy đối nhau, A thuộc Ox, M thuộc Oy nên O nằm A và M AM = AO + OM = 3cm b (2) Từ (1) và (2) => MB = MA = 3cm hay M là trng điểm AB 0,5 HS vẽ hình trường hợp: (Ot và Oz cùng nằm trên nửa mp bờ xy; Ot và Oz không nằm trên nửa mp bờ xy) 0,5 HS lập luận tính đúng: 0,5 + Ot và Oz cùng nằm trên nửa mp bờ xy: tOz =100 + Ot và Oz không nằm trên nửa mp bờ xy: tOz =160 HS làm cách khác đúng yêu cầu đề chấm điểm tối đa Số 9- ĐỀ KIỂM TRA HỌC SINH GIỎI MÔN :TOÁN LỚP Thời gian: 90 phút (không kể thời gian giao đề) ***************** 0,5 (72) Bài 1(1,5 điểm): a) So sánh: 2225 và 3151 b) −7 −15 −15 −7 So sánh không qua quy đồng: A= 2005 + 2006 ; B= 2005 + 2006 10 10 10 10 Bài (1,5 điểm): Không quy đồng hãy tính hợp lý các tổng sau: a) b) −1 − −1 − −1 − + + + + + 20 30 42 56 72 90 13 B= + + + + 1 11 11 2 15 15 A= Bài (1,5 điểm): Cho A = n− n+3 Tìm giá trị n để: a) A là phân số b) A là số nguyên Bài (1,5 điểm): 10 n −3 a)Tìm số tự nhiên n để phân số B= n− 10 đạt giá trị lớn Tìm giá trị lớn đó x b)Tìm các số tự nhiên x, y cho: − y =18 Bài (1,5 điểm):Một người bán năm giỏ xoài và cam Mỗi giỏ đựng loại với số lượng là: 65 kg; 71 kg; 58 kg; 72 kg; 93 kg Sau bán giỏ cam thì số xoài còn lại gấp ba lần số cam còn lại Hãy cho biết giỏ nào đựng cam, giỏ nào đựng xoài? Bài (2,5 điểm): Cho góc AOB và góc BOC là hai góc kề bù Biết góc BOC năm lần góc AOB a) Tính số đo góc b) Gọi OD là tia phân giác góc BOC Tính số đo góc AOD c) Trên cùng nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng AC chứa tia OB,OD, vẽ thêm n tia phân biệt (không trùng với các tia OA;OB;OC;OD đã cho) thì có tất bao nhiêu góc? ĐÁP ÁN MÔN TOÁN LỚP Bài 1(1,5 điểm): a) 2225 = 23.75 = 875 ; 3151 > 3150 mà 3150 = 32.75 = 975 (0,5điểm) (73) 975 > 875 nên: 3150 > 2225 Vậy: 3151 > 3150 > 2225 (0,25điểm) ¿ b= −7 − 15 −7 −8 −7 − 15 −7 −7 −8 −7 −8 −8 + 2006 = 2005 + 2006 + 2006 ¿ B= 2005 + 2006 = 2005 + 2005 + 2006 ¿ (0,25điểm) > 2005 ⇒ A > 2005 2006 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 (0,25điểm) Bài 2(1,5 điểm): (0,5điểm) (0,25điểm) ¿ a= − −1 − −1 1 1 1 1 1 1 + + + + =−( + + + + )¿=−( − + − + + + + − )=− 20 30 42 90 4.5 5.6 6.7 10 5 6 7(0,5điểm) 10 ¿ b= (0,25điểm) 13 13 1 1 + + + + =7 ( + + + + )¿=7 ( − + − + 1 11 11 2 15 15 7 11 11 14 14 15 15 28 (0,25điểm) 7 11 11 Bài 3(1,5 điểm): a ¿ A= n −2 là phân số khi: n-2 n+3 ⇔ n Z , n+3 Z và n Z và n+3 (0,5điểm) -3 (0,25điểm) b ¿ A= n −2 (n+3)− 5 = =1− n+3 n+3 n+ A là số nguyên n+3 (0,25điểm) { −1 ; 1; − 5; } Ư(5) ⇔ n+3 ⇔ n { − ; −2 ; −8 ; } (0,25điểm) (0,25điểm) Bài (1,5 điểm): 10 n −3 (2 n− 5)+22 22 11 (0,25điểm) = = + = + n− 10 2( 2n −5) 2 n −5 ( n −5 ) 11 B đạt giá trị lớn n −5 đạt giá trị lớn Vì 11>0 và không đổi nên 11 đạt giá trị lớn khi:2n - 5> và đạt giá trị nhỏ ⇔ 2n - = ⇔ n −5 a ¿ B= n=3 ( 0,25điểm) Vậy:B đạt giá trị lớn là +11=13 ,5 n = (0,25điểm) x 3 x x −1 b) Từ − y =18 ta có: y = − 18 =18 (x,y N) (0,25điểm) Suy ra: y(2x-1) = 54 đó y Ư(54) = { 1; ; ; ; ; 18 ; 27 ; 54 } , vì 54 là số chẵn mà { 2; ;18 ; 54 } 2x-1 là số lẻ nên y là ước chẵn 54 Vậy y Ta có bảng sau: y 18 54 2x-1 27 x 14 (0,25điểm) (74) {(14 ; 2);(5 ; 6);(2 ; 18); (1; 54) } Vậy (x;y) (0,25điểm) Bài 5(1,5 điểm): Tổng số xoài và cam lúc đầu: 65+ 71+ 58+ 72+ 93 = 359 (kg) (0,25điểm) Vì số xoài còn lại gấp ba lần số cam còn lại nên tổng số xoài và cam còn lại là số chia hết cho 4, mà 359 chia cho dư nên giỏ cam bán có khối lượng chia cho dư (0,25đi ểm) Trong các số 65; 71; 58; 72; 93 có 71 chia cho dư Vậy giỏ cam bán là giỏ 71 kg (0,25điểm) Số xoài và cam còn lại : 359 71= 288 (kg) (0,25điểm) Số cam còn lại : 288:4 = 72(kg) (0,25điểm) Vậy: các giỏ cam là giỏ đựng 71 kg ; 72 kg các giỏ xoài là giỏ đựng 65 kg ; 58 kg; 93 kg (0,25điểm) Bài 6(2,5 điểm:) Vẽ hình đúng B (0,25điểm) D C A O a)Vì góc AOB và góc BOC là hai góc kề bù nên: AOB + BOC =1800 (0,25điểm) mà BOC = 5AOB nên: 6AOB = 1800 (0,25điểm) Do đó: AOB = 1800 : = 300 ; BOC = 300 = 1500 (0,5điểm) b)Vì OD là tia phân giác góc BOC nên BOD = DOC = BOC = 750 (0,25điểm) Vì góc AOD và góc DOC là hai góc kề bù nên: AOD + DOC =1800 (0,25điểm) 0 0 Do đó AOD =180 - DOC = 180 - 75 = 105 (0,25điểm) c) Tất có n+4 tia phân biệt Cứ tia n+4 tia đó tạo với n+4 - 1= n+3 tia còn lại thành n+3 góc.Có n+4 tia nên tạo thành (n+4) (n+3) góc, góc tính hai lần Vậy có tất (0,5điểm) *Chú ý :Học sinh có thể giải cách khác, chính xác thì hưởng Số 9- ĐỀ KIỂM TRA HỌC SINH GIỎI MÔN :TOÁN LỚP Thời gian: 90 phút (không kể thời gian giao đề) ***************** Bài 1(1,5 điểm): (n+ 4)(n+3) góc (75) a) So sánh: 2225 và 3151 −7 −15 −15 −7 So sánh không qua quy đồng: A= 2005 + 2006 ; B= 2005 + 2006 b) 10 10 10 10 Bài (1,5 điểm): Không quy đồng hãy tính hợp lý các tổng sau: a) −1 − −1 − −1 − + + + + + 20 30 42 56 72 90 13 B= + + + + 1 11 11 2 15 15 A= b) Bài (1,5 điểm): Cho A = n− n+3 Tìm giá trị n để: a) A là phân số b) A là số nguyên Bài (1,5 điểm): 10 n −3 a)Tìm số tự nhiên n để phân số B= n− 10 đạt giá trị lớn Tìm giá trị lớn đó x b)Tìm các số tự nhiên x, y cho: − y =18 Bài (1,5 điểm):Một người bán năm giỏ xoài và cam Mỗi giỏ đựng loại với số lượng là: 65 kg; 71 kg; 58 kg; 72 kg; 93 kg Sau bán giỏ cam thì số xoài còn lại gấp ba lần số cam còn lại Hãy cho biết giỏ nào đựng cam, giỏ nào đựng xoài? Bài (2,5 điểm): Cho góc AOB và góc BOC là hai góc kề bù Biết góc BOC năm lần góc AOB a) Tính số đo góc b) Gọi OD là tia phân giác góc BOC Tính số đo góc AOD c) Trên cùng nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng AC chứa tia OB,OD, vẽ thêm n tia phân biệt (không trùng với các tia OA;OB;OC;OD đã cho) thì có tất bao nhiêu góc? ĐÁP ÁN MÔN TOÁN LỚP Bài 1(1,5 điểm): a) 2225 = 23.75 = 875 ; 3151 > 3150 mà 3150 = 32.75 = 975 975 > 875 nên: 3150 > 2225 Vậy: 3151 > 3150 > 2225 ¿ b= (0,5điểm) (0,25điểm) −7 − 15 −7 −8 −7 − 15 −7 −7 −8 −7 −8 −8 + 2006 = 2005 + 2006 + 2006 ¿ B= 2005 + 2006 = 2005 + 2005 + 2006 ¿ (0,25điểm) > 2005 ⇒ A > 2005 2006 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 (0,25điểm) (76) Bài 2(1,5 điểm): (0,5điểm) ¿ a= − −1 − −1 1 1 1 1 1 1 + + + + =−( + + + + )¿=−( − + − + + + + − )=− 20 30 42 90 4.5 5.6 6.7 10 5 6 7(0,5điểm) 10 ¿ b= (0,25điểm) 13 13 1 1 + + + + =7 ( + + + + )¿=7 ( − + − + 1 11 11 2 15 15 7 11 11 14 14 15 15 28 (0,25điểm) 7 11 11 Bài 3(1,5 điểm): a ¿ A= n −2 là phân số khi: n-2 n+3 ⇔ n Z , n+3 Z và n Z và n+3 (0,5điểm) -3 (0,25điểm) b ¿ A= n −2 (n+3)− 5 = =1− n+3 n+3 n+ A là số nguyên n+3 (0,25điểm) { −1 ; 1; − 5; } Ư(5) ⇔ n+3 ⇔ n { − ; −2 ; −8 ; } (0,25điểm) (0,25điểm) Bài (1,5 điểm): 10 n −3 (2 n− 5)+22 22 11 (0,25điểm) = = + = + n− 10 2( 2n −5) 2 n −5 ( n −5 ) 11 B đạt giá trị lớn n −5 đạt giá trị lớn Vì 11>0 và không đổi nên 11 đạt giá trị lớn khi:2n - 5> và đạt giá trị nhỏ ⇔ 2n - = ⇔ n −5 a ¿ B= n=3 ( 0,25điểm) Vậy:B đạt giá trị lớn là +11=13 ,5 n = (0,25điểm) x 3 x x −1 b) Từ − y =18 ta có: y = − 18 =18 (x,y N) (0,25điểm) Suy ra: y(2x-1) = 54 đó y Ư(54) = { 1; ; ; ; ; 18 ; 27 ; 54 } , vì 54 là số chẵn mà { 2; ;18 ; 54 } 2x-1 là số lẻ nên y là ước chẵn 54 Vậy y Ta có bảng sau: y 18 54 2x-1 27 x 14 {(14 ; 2);(5 ; 6);(2 ; 18); (1; 54) } Bài 5(1,5 điểm): Vậy (x;y) (0,25điểm) (0,25điểm) (77) Tổng số xoài và cam lúc đầu: 65+ 71+ 58+ 72+ 93 = 359 (kg) (0,25điểm) Vì số xoài còn lại gấp ba lần số cam còn lại nên tổng số xoài và cam còn lại là số chia hết cho 4, mà 359 chia cho dư nên giỏ cam bán có khối lượng chia cho dư (0,25đi ểm) Trong các số 65; 71; 58; 72; 93 có 71 chia cho dư Vậy giỏ cam bán là giỏ 71 kg (0,25điểm) Số xoài và cam còn lại : 359 71= 288 (kg) (0,25điểm) Số cam còn lại : 288:4 = 72(kg) (0,25điểm) Vậy: các giỏ cam là giỏ đựng 71 kg ; 72 kg các giỏ xoài là giỏ đựng 65 kg ; 58 kg; 93 kg (0,25điểm) Bài 6(2,5 điểm:) Vẽ hình đúng B (0,25điểm) D C A O a)Vì góc AOB và góc BOC là hai góc kề bù nên: AOB + BOC =1800 (0,25điểm) mà BOC = 5AOB nên: 6AOB = 1800 (0,25điểm) Do đó: AOB = 1800 : = 300 ; BOC = 300 = 1500 (0,5điểm) b)Vì OD là tia phân giác góc BOC nên BOD = DOC = BOC = 750 (0,25điểm) Vì góc AOD và góc DOC là hai góc kề bù nên: AOD + DOC =1800 (0,25điểm) 0 0 Do đó AOD =180 - DOC = 180 - 75 = 105 (0,25điểm) c) Tất có n+4 tia phân biệt Cứ tia n+4 tia đó tạo với n+4 - 1= n+3 tia còn lại thành n+3 góc.Có n+4 tia nên tạo thành (n+4) (n+3) góc, góc tính hai lần Vậy có tất (0,5điểm) *Chú ý :Học sinh có thể giải cách khác, chính xác thì hưởng Số 9- ĐỀ KIỂM TRA HỌC SINH GIỎI MÔN :TOÁN LỚP Thời gian: 90 phút (không kể thời gian giao đề) ***************** Bài 1(1,5 điểm): a) So sánh: 2225 và 3151 b) −7 −15 −15 −7 So sánh không qua quy đồng: A= 2005 + 2006 ; B= 2005 + 2006 10 10 10 10 (n+ 4)(n+3) góc (78) Bài (1,5 điểm): Không quy đồng hãy tính hợp lý các tổng sau: a) −1 − −1 − −1 − + + + + + 20 30 42 56 72 90 13 B= + + + + 1 11 11 2 15 15 A= b) Bài (1,5 điểm): Cho A = n− n+3 Tìm giá trị n để: a) A là phân số b) A là số nguyên Bài (1,5 điểm): 10 n −3 a)Tìm số tự nhiên n để phân số B= n− 10 đạt giá trị lớn Tìm giá trị lớn đó x b)Tìm các số tự nhiên x, y cho: − y =18 Bài (1,5 điểm):Một người bán năm giỏ xoài và cam Mỗi giỏ đựng loại với số lượng là: 65 kg; 71 kg; 58 kg; 72 kg; 93 kg Sau bán giỏ cam thì số xoài còn lại gấp ba lần số cam còn lại Hãy cho biết giỏ nào đựng cam, giỏ nào đựng xoài? Bài (2,5 điểm): Cho góc AOB và góc BOC là hai góc kề bù Biết góc BOC năm lần góc AOB a) Tính số đo góc b) Gọi OD là tia phân giác góc BOC Tính số đo góc AOD c) Trên cùng nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng AC chứa tia OB,OD, vẽ thêm n tia phân biệt (không trùng với các tia OA;OB;OC;OD đã cho) thì có tất bao nhiêu góc? ĐÁP ÁN MÔN TOÁN LỚP Bài 1(1,5 điểm): a) 2225 = 23.75 = 875 ; 3151 > 3150 mà 3150 = 32.75 = 975 975 > 875 nên: 3150 > 2225 Vậy: 3151 > 3150 > 2225 (0,5điểm) (0,25điểm) ¿ b= −7 − 15 −7 −8 −7 − 15 −7 −7 −8 −7 −8 −8 + 2006 = 2005 + 2006 + 2006 ¿ B= 2005 + 2006 = 2005 + 2005 + 2006 ¿ (0,25điểm) > 2005 ⇒ A > 2005 2006 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 (0,25điểm) Bài 2(1,5 điểm): (0,5điểm) (0,25điểm) (79) ¿ − −1 − −1 1 1 1 1 1 1 a= + + + + =−( + + + + )¿=−( − + − + + + + − )=− 20 30 42 90 4.5 5.6 6.7 10 5 6 7(0,5điểm) 10 ¿ b= (0,25điểm) 13 13 1 1 + + + + =7 ( + + + + )¿=7 ( − + − + 1 11 11 2 15 15 7 11 11 14 14 15 15 28 (0,25điểm) 7 11 11 Bài 3(1,5 điểm): a ¿ A= n −2 là phân số khi: n-2 n+3 ⇔ n Z , n+3 Z và n Z và n+3 (0,5điểm) -3 (0,25điểm) b ¿ A= n −2 (n+3)− 5 = =1− n+3 n+3 n+ A là số nguyên n+3 (0,25điểm) { −1 ; 1; − 5; } Ư(5) ⇔ n+3 ⇔ n { − ; −2 ; −8 ; } (0,25điểm) (0,25điểm) Bài (1,5 điểm): 10 n −3 (2 n− 5)+22 22 11 (0,25điểm) = = + = + n− 10 2( 2n −5) 2 n −5 ( n −5 ) 11 B đạt giá trị lớn n −5 đạt giá trị lớn Vì 11>0 và không đổi nên 11 đạt giá trị lớn khi:2n - 5> và đạt giá trị nhỏ ⇔ 2n - = ⇔ n −5 a ¿ B= n=3 ( 0,25điểm) Vậy:B đạt giá trị lớn là +11=13 ,5 n = (0,25điểm) x 3 x x −1 b) Từ − y =18 ta có: y = − 18 =18 (x,y N) (0,25điểm) Suy ra: y(2x-1) = 54 đó y Ư(54) = { 1; ; ; ; ; 18 ; 27 ; 54 } , vì 54 là số chẵn mà { 2; ;18 ; 54 } 2x-1 là số lẻ nên y là ước chẵn 54 Vậy y Ta có bảng sau: y 18 54 2x-1 27 Vậy (x;y) x 14 (0,25điểm) {(14 ; 2);(5 ; 6);(2 ; 18); (1; 54) } (0,25điểm) Bài 5(1,5 điểm): Tổng số xoài và cam lúc đầu: 65+ 71+ 58+ 72+ 93 = 359 (kg) (0,25điểm) (80) Vì số xoài còn lại gấp ba lần số cam còn lại nên tổng số xoài và cam còn lại là số chia hết cho 4, mà 359 chia cho dư nên giỏ cam bán có khối lượng chia cho dư (0,25đi ểm) Trong các số 65; 71; 58; 72; 93 có 71 chia cho dư Vậy giỏ cam bán là giỏ 71 kg (0,25điểm) Số xoài và cam còn lại : 359 71= 288 (kg) (0,25điểm) Số cam còn lại : 288:4 = 72(kg) (0,25điểm) Vậy: các giỏ cam là giỏ đựng 71 kg ; 72 kg các giỏ xoài là giỏ đựng 65 kg ; 58 kg; 93 kg (0,25điểm) Bài 6(2,5 điểm:) Vẽ hình đúng B (0,25điểm) D C A O a)Vì góc AOB và góc BOC là hai góc kề bù nên: AOB + BOC =1800 (0,25điểm) mà BOC = 5AOB nên: 6AOB = 1800 (0,25điểm) Do đó: AOB = 1800 : = 300 ; BOC = 300 = 1500 (0,5điểm) b)Vì OD là tia phân giác góc BOC nên BOD = DOC = BOC = 750 (0,25điểm) Vì góc AOD và góc DOC là hai góc kề bù nên: AOD + DOC =1800 (0,25điểm) 0 0 Do đó AOD =180 - DOC = 180 - 75 = 105 (0,25điểm) c) Tất có n+4 tia phân biệt Cứ tia n+4 tia đó tạo với n+4 - 1= n+3 tia còn lại thành n+3 góc.Có n+4 tia nên tạo thành (n+4) (n+3) góc, góc tính hai lần Vậy có tất (0,5điểm) *Chú ý :Học sinh có thể giải cách khác, chính xác thì hưởng (n+ 4)(n+3) góc (81)