a E, D cùng nhìn AB dưới một góc vuông nên tứ giác AEDB nội tiếp trong một đường tròn đường kính AB có I trung điểm của AB là tâm 1,25.[r]
(1)PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO PHÙ NINH ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP NĂM HỌC 2015-2016 Môn: Toán Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề) Câu (3,0 điểm): 1) Nếu p < và 2p + là các số nguyên tố thì 4p + là nguyên tố hay hợp số 2) Tìm nghiệm nguyên dương phương trình: 2( x y ) 3 xy Câu (4,0 điểm): A Cho biểu thức x x2 2x x x2 2x x x2 2x x2 2x x 1) Tìm điều kiện x để biểu thức A xác định 2) Rút gọn biểu thức A Câu (4,0 điểm): Giải các phương trình: 3 3 1) ( x 1) x ( x 1) ( x 2) 2) 1+ x − x 2=√ x+ √1 − x √ với x Câu (7,0 điểm): 1) Cho tứ giác ABCD nội tiếp (O); E là điểm chính cung AB, hai dây EC, ED cắt AB P và Q Các dây AD và EC kéo dài cắt I, các dây BC và ED kéo dài cắt K Chứng minh : a) Tứ giác CDIK nội tiếp b) Tứ giác CDQP nột tiếp c) IK // AB d) Đường tròn ngoại tiếp tam giác AQD tiếp xúc với EA 2) Cho tam giác ABC có góc nhọn nội tiếp (O;R) Hạ các đường cao AD, BE tam giác Các tia AD, BE cắt (O) các điểm thứ hai M, N Chứng minh : a) Bốn điểm A, E, D, B nằm trên đường tròn Tìm tâm I đường tròn đó b) MN // DE c) Cho (O) và dây AB cố định, điểm C di chuyển trên cung lớn AB Chứng minh độ dài bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác CED không đổi Câu (2,0 điểm): Cho xyz = và x + y + z = Tìm giá trị nhỏ B = x16 + y16 + z16 - Hết -Ghi chú: Thí sinh môn Toán không mang máy tính vào phòng thi (2) PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO PHÙ NINH HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP NĂM HỌC 2015-2016 Môn: Toán Câu (3,0 điểm): 1) Vì p là SNT và p <5 nên p = p = - Nếu p = => 2p + = (là số nguyên tố) thì 4p + = là hợp số; - Nếu p = => 2p + = (là số nguyên tố) thì 4p + = 13 là số nguyên tố; 1,5 2) Ta có: 2( x y ) 3 xy xy x y 5 y (3 x 2) (3 x 2) 5 (3 x 2)(3 y 2) 19 3 Do x, y nguyên dương nên x 1; y 1 mà 19 = 1.19 = 19.1 3x 1 (I) y 19 nên ta có các khả sau: ; 3x 19 (II) y Giải các hệ phương trình trên, ta đươc nghiêm nguyên phương trình là (x; y) (1; 7); (7; 1) 1,5 Câu (4,0 điểm): x x 0 x x x 0; x 1) A xác định x x 0 x 2; x 0 x x x 0; x x x 0 x x 0 x 0 Vậy A xác định x và x A 2) A (x (x 2,0 x x )2 ( x x x ) x x )( x x x ) 4x x2 2x 2 x x 2x 2,0 Câu (4,0 điểm): 1) (x 1)3 x (x 1)3 (x 2) x3 - 3x2 + 3x - + x3 + x3 + 3x2 + 3x + = x3 + 6x2 + 12x + x3 - 3x2 - 3x - = x3 - - 3x2 - 3x - = (x-1)(x2 + x + 1) - 3(x2 + x + 1) = 2,0 (3) (x2 + x + 1)(x - 4) = 2) Cách 1: 2 1 x x x 1 x 1 x x2 x x x x 0 x 1 x x x x x 0 x x 0 x 0 x 1 x x Đối chiếu điều kiện ta nghiệm phương trình đã cho là x 0, x 1 Cách 2: D A Đặt t x x t I2 Phương trình trởQthành: 1 t2 t P Câu (7,0 điểm): 1) x x2 2,0 t2 E1 t K ng thoûa maõn t 2 khoâ x 1 x x 1 x 0 2,0 B C a) D và C cùng nhìn IK hai góc (góc nội tiếp chắn hai cung ) Suy tứ giác DIKC nội tiếp 1,25 b) sđ (QDC + QPC) = ½sđ (BE + CB) + ½ sđ (ADC + BE) = ½ sđ( BE + CB + ADC + BE ) = 1800 Nên tứ giác CDQP nội tiếp A 1,0 c) sđ API = ½ sđ( CB + AE ) N = ½ sđ ( CB + BE ) = sđ CDK = sđ CIK = ½ sđ CK ITừ đó suy O raEIK // AB 1,25 H d) EAQ = ADQ ( góc K nội tiếp chắn cung ) Suy AE là tiếp tuyến 2) B D M C 0,5 a) E, D cùng nhìn AB góc vuông nên tứ giác AEDB nội tiếp đường tròn đường kính AB có I (trung điểm AB) là tâm 1,25 (4) b) Ta thấy : ABE = ADE ( chắn cung AE ) mà ABE = AMN ( chắn cung AN ) nên ADE = AMN hay DE // MN 1,25 c) Kẻ thêm hình hình vẽ Dựa vào góc nội tiếp tứ giác AEBD suy CN = CM nên OC MM OC DE Tứ giác HDCE nội tiếp đường tròn tâm K (trung điểm HC) đây là đường tròn ngoại tiếp tam giác CDE KD = KE và ID = IE nên IK DE hay IK // OC và OI // CK nên OIKC là hình bình hành KC = OI không đổi Câu (2,0 điểm): Ta có : (a - b)2 + (b - c)2 + (c - a)2 a,b,c 2 a + b + c ab + ac + bc (1) áp dụng bất đẳng thức (1) ta có : B = x16 + y16 + z16 = (x8)2 + (y8)2 + (z8)2 x8y8 + y8z8 + z8x8 B x8y8 + y8z8 + z8x8 B (x4y4)2 + (y4z4)2 + (z4x4)2 x4y4 y4z4+ x4y4 z4x4 + y4z4 z4x4 B x4y8z4 + x8y4z4 + x4y4z8 B (x2y4z2)2 + (x4y2z2)2 + (x2y2z4)2 x6y6z4 + x6y4z6 + x4y6z6 B (x3y3z2)2 + (x2y3z3)2 + (x3y2z3)2 x5y6z5 + x6y5z5 + x5y5z6 B (xyz)5.x + (xyz)5.y + (xyz)5.z = x + y + z = (do xyz = và x + y + z = 3) Bmin = x = y = z = 0,5 2,0 (5)