Ñònh lí veà hai tieáp tuyeán caét nhau : Nếu hai tiếp tuyến của một đường tròn cắt nhau tại một điểm thì : Điểm đó cách đều hai tiếp điểm OA=OB Tia kẻ từ điểm đó đi qua tâm là tia phân g[r]
(1)Đề cương Ôn thi học kì 1 Các hệ thức lượng tam giác vuông : a2=b2+c2 b2=a.b’c2=a.c’ h2=b’.c’ bc=ah 1 = + h2 b c a 32=x.5 ⇒ x= Baøi taäp : 16 y=5 − x=5− = 5 16 c z =5 y =5 =16 ⇒ z=4 16 144 12 d t = =25 ⇒t= 144 12 t 2=32 − x 2=9 − = ⇒t= 25 16 144 12 t =z − y 2=4 − = ⇒ t= 25 12 t=3 z ⇒5 t=3 ⇒ t= 1 1 25 12 144 = + 2= + = ⇒t = ⇒ t= 25 t z 144 Tỉ số lượng giác : b () ( ) cạnh đối caïnh keà cos α= caïnh huyeàn caïnh huyeàn cạnh đối caïnh keà tg α= cot gα = caïnh keà cạnh đối sin α = (2) Baøi taäp : a B=90 -C=90 -30 =60 ⇒ c=b tgC=10 tg 30o ≈ ,7735 b b 10 cos C= ⇒ a= = ≈ 11, 5470 a cos C cos 30 o o o o o ⇒ b b2=a2-c2=102-82=36 c cos B= = ⇒ B ≈ 36 o 52' 12 '' a 10 ⇒ C=90 o − B ≈ 53o 7' 48 '' b=6 Đường tròn : Đường tròn tâm O bán kính R (R>0) là hình gồm các điểm cách điểm O khoảng R Kí hiệu (O;R) (O) Đường tròn qua ba đỉnh A, B, C tam giác ABC gọi là đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Khi đó tam giác ABC gọi là tam giác nội tiếp đường tròn Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác là giao điểm ba đường trung trực tam giác Đường tròn tiếp xúc với ba cạnh tam giác gọi là đường tròn nội tiếp tam giác, còn tam giác gọi là ngoại tiếp đường tròn Tâm đường tròn nội tiếp tam giác là giao điểm ba đường phân giác tam giác Đường kính và dây cung : Trong đường tròn, đường kính vuông góc với dây thì qua trung điểm dây Trong đường tròn, đường kính qua trung điểm dây không qua tâm thì vuông góc với dây Dây và khoảng cách đến tâm : (3) Trong đường tròn : Hai dây thì cách tâm Hai dây cách tâm thì Trong hai dây đường tròn : Dây nào lớn thì dây đó gần tâm Dây nào gần tâm thì dây đó lớn Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến đường tròn : Nếu đường thẳng và đường tròn có điểm chung thì đường thẳng đó là tiếp tuyến đường tròn Nếu khoảng cách từ tâm đường tròn đến đường thẳng bán kính đường tròn thì đường thẳng đó là tiếp tuyến đường tròn Nếu đường thẳng qua điểm đường tròn và vuông góc với bán kính qua điểm đó thì đường thẳng là tiếp tuyến đường tròn Ñònh lí veà hai tieáp tuyeán caét : Nếu hai tiếp tuyến đường tròn cắt điểm thì : Điểm đó cách hai tiếp điểm (OA=OB) Tia kẻ từ điểm đó qua tâm là tia phân giác góc tạo hai tiếp tuyến (AO là tpg BAC) Tia kẻ từ tâm qua điểm đó là tia pg góc tạo hai bk qua các tiếp điểm(OAlàtpgcủaBOC) Vị trí tương đối đường thẳng và đường tròn : Vị trí tương đối đường thẳng và đường tròn Đường thẳng và đường tròn cắt Đường thẳng và đường tròn tiếp xúc Đường thẳng và đường tròn không giao Vị trí tương đối hai đường tròn : Vị trí tương đối đường tròn Soá ñieåm chung Hệ thức d và R d<R d=R d>R Soá ñieåm chung Caét Tiếp xúc ngoài Tieáp xuùc Ngoài Đựng VD : Xác định vị trí tương đối (O;20) và (O’;15) biết a d=10 : R-r<d<R+r : Caét b d=35 : d=R+r : Tiếp xúc ngoài c d=5 : d=R-r : Tieáp xuùc d d=37 : d>R+r : Ngoài e d=3 : d<R-r : Đựng Hệ thức d, R, r R-r<d< R+r d=R+r d=R-r d>R+r d<R-r (4) * Đường nối tâm là đường trung trực dây chung (OO’ là đường trung trực AB) Baøi taäp Bài 10 trang 104 : Cho Δ ABC, các đường cao BD và CE Cmr : a) Bốn điểm B, E, D, C cùng thuộc đường tròn b) DE < BC GT BD AC, CE AB KL a B, E, D, C (O) b DE<BC Cm : a Gọi O là trung điểm BC Khi đó EO là đường trung tuyến Δ vEBC và DO là đường trung tuyeán cuûa Δ vDBC ⇒ OE=OB=OC vaø OD=OB=OC ⇒ OE=OD=OB=OC Vậy bốn điểm B, E, D, C cùng thuộc đường tròn đường kính BC b Vì BC là đường kính nên DE<BC Bài 11 trang 104 : Cho đường tròn (O) đường kính AB, dây CD không cắt đường kính AB Gọi H và K theo thứ tự là chân các đường vuông góc kẻ từ A và B đến CD Cmr : CH=DK GT (O):ñk AB, AH CD, BK CD KL CH=DK Cm : Keû OM CD ⇒ MC=MD (1) vaø OM//AH//BK Maø O laø trung ñieåm cuûa AB neân M laø trung ñieåm cuûa HK hay MH=MK (2) Từ (1)(2) suy : CH=DK Bài 24 trang 111 : Cho đường tròn (O), dây AB khác đường kính Qua O kẻ đường vuông góc với AB, cắt tiếp tuyến A đường tròn điểm C a) Cmr CB là tiếp tuyến đường tròn b) Cho bán kính đường tròn 15 cm, AB=24 cm Tính OC GT(O), daây AB, OC AB, CA laø tieáp tuyeán R=15cm, AB=24cm KL a CB laø tieáp tuyeán ? b Tính OC ? Cm : (5) a Ta có OC AB I nên OI là đc tam giác cân OAB nên là đường phân giác ⇒ AOC=BOC Xeùt Δ AOC vaø Δ BOC coù : OA=OB (baùn kính) AOC=BOC (cmt) OC chung ⇒ Δ AOC = Δ BOC (c.g.c) ⇒ OAC=OBC=90o ⇒ BC laøtieáp tuyeán b Theo ñònh lí Pitago ta coù : OI2=OA2-IA2=152-122=81 ⇒ OI=9cm OA Ø 152 Δ AOC vuông A có đường cao AI, ta có : OA2=OI.OC ⇒ OC= = =25 cm OI Bài 25 trang 112 : Cho đường tròn (O), bk OA=R, dây BC vuông góc với OA trung điểm M cuûa OA a) Tứ giác OCAB là hình gì ? Vì ? b) Kẻ tiếp tuyến với đường tròn B cắt đường thẳng OA E Tính BE theo R GT (O), OA=R, BC OA taïi trung ñieåm M cuûa OA Tieáp tuyeán BE caét OA taïi E KL a OCAB laø hình gì ?Vs? b Tính BE theo R ? Cm : a Ta coù BC OA taïi M neân M laø trung ñieåm cuûa BC Maëc khaùc M laø trung ñieåm cuûa OA neân OCAB laø hình bình haønh Maø BC OA neân OCAB laø hình thoi b Ta coù : OB=OA=OC (baùn kính) Mà AB=OB (OCAB là hình thoi) nên AB=OB=OA hay Δ OAB ⇒ AOB=60o ⇒ BE=OB.tg60o=R √ Bài 26 trang 115 : Cho đường tròn (O), điểm A nằm bên ngoài đường tròn Kẻ các tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B, C là các tiếp điểm) a) Cmr OA vuông góc với BC b) Vẽ đường kính CD Cmr BD song song với AO c) Tính độ dài các cạnh tam giác ABC ; biết OB=2cm, OA=4cm GT (O) ; AB, AC laø tieáp tuyeán CD là đường kính OB=2 cm, OA=4 cm KL a OA BC b BD//AO (6) c Tính AB, BC, CA Cm : a Theo tính chaát hai tieáp tuyeán caét ta coù : AB=AC vaø AO laø tia phaân giaùc cuûa goùc A hay AO laø đường phân giác tam giác cân ABC nên là đường cao hay OA BC Δ BCD vuoâng taïi B hay BD BC b Vì CD là đường kính nên OB= CD ⇒ Maëc khaùc : OA BC (cmt) neân BD//AO c Theo ñònh lí Pitago ta coù : OA2=AB2+OB2 ⇒ 42=AB2+22 ⇒ AB2=42-22=12 ⇒ AB=AC= √ 12=2 √ Xét Δ vuông ABO có đường cao BI : AB.OB=OA.BI ⇒ √ 2=4.BI ⇒ BI= √ ⇒ BC= √ Bài 27 trang 115 : Từ điểm A nằm bên ngoài đường tròn (O), kẻ các tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B, C là các tiếp điểm) Qua điểm M thuộc cung nhỏ BC, kẻ tiếp tuyến với đường tròn (O) cắt các tiếp tuyến AB, AC theo thứ tự D và E Cmr chu vi tam giác ADE 2AB GT (O) ; AB, AC laø tieáp tuyeán MD, ME laø tieáp tuyeán KL CADE=2AB Cm : Theo tính chaát hai tieáp tuyeán caét ta coù : AB=AC, DM=DB, EM=EC ⇒ CADE=AD+AE+DE=AD+AE+DM+EM=AD+AE+DB+EC=(AD+DB)+(AE+EC)=AB+AC=2AB Bài 30 trang 116 : Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB Gọi Ax, By là các tia vuông góc với AB(Ax, By, nửa đường tròn thuộc cùng nửa mp bờ AB) Qua điểm M thuộc nửa đường tròn (M khác A và B), kẻ tiếp tuyến với nửa đường tròn cắt Ax, By theo thứ tự C và D Cmr : a) COD=90o b) CD=AC+BD c) Tích AC.BD không đổi GT (O) ; AB là đường kính ; Ax, By AB ; MC, MD là tiếp tuyến KL a COD=90o b CD=AC+BD c AC.BD không đổi Cm : a Theo tính chaát hai tieáp tuyeán caét ta coù : O1=O2, O3=O4 Ta coù : O1+O2+O3+O4=180o ⇒ 2O2+2O3=180o ⇒ O2+O3=90o ⇒ COD=90o b Theo tính chaát hai tieáp tuyeán caét ta coù : MC=AC, MD=BD ⇒ CD=MC+MD=AC+BD c Theo tính chaát hai tieáp tuyeán caét ta coù : MC=AC, MD=BD ⇒ AC.BD=MC.MD=MO2=R2 (7) Δ Baøi 31 trang 116 : Cho ABC ngoại tiếp đường tròn (O) Cmr : 2AD=AB+AC-BC Δ GT ABC ngoại tiếp (O) KL 2AD=AB+AC-BC Cm : Theo tính chaát hai tieáp tuyeán caét ta coù : AD=AF, BD=BE, CE=CF ⇒ AB+AC-BC=AD+BD+AF+ CF-BE-CE=(AD+AF)+(BD-BE )+(CF-CE)=2AD Bài 36 trang 123 : Cho đường tròn (O) bán kính OA và đường tròn (O) đường kính OA a) Xác định vị trí tương đối cuả hai đường tròn b) Dây AD đường tròn lớn cắt đường tròn nhỏ C Cmr : AC=CD GT (O) bán kính OA ; (O’) đường kính OA Daây AD cuûa (O) caét (O’) taïi C KL a Xác định vị trí tương đối (O) và (O’) b AC=CD Cm : a Hai đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc Δ COA vuông C hay OC là đường cao b Vì OA là đường kính nên O’C= OA ⇒ cân OAD nên là đường trung tuyến hay AC=CD Δ Bài 37 trang 123 : Cho hai đường tròn đồng tâm (O) Dây AB đường tròn lớn cắt bán kính OA đường tròn nhỏ C và D Cmr : AC=BD GT Hai đường tròn tâm (O) Dây AB đường tròn lớn cắt đường tròn nhỏ C và D KL AC=BD Cm : Keû OI AB ⇒ IA=IB, IC=ID ⇒ AC=BD Bài 39 trang 123 : Cho đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc ngoài A Kẻ tiếp tuyến chung ngoài BC (B (O), C (O’)) Tiếp tuyến chung A cắt tiếp tuến chung ngoài BC I a) Chứng minh BAC=90o b) Tính soá ño goùc OIO’ c) Tính BC, bieát OA=9cm, O’A=4cm GT (O) và (O’) tiếp xúc ngoài A Caùc tieáp tuyeán chung BC, AI OA=9, O’A=4 (8) KL a.BAC=90o b Tính OIO’ c Tính BC Cm : a Theo tính chaát hai tieáp tuyeán caét ta coù : AI=BI=CI ⇒ Δ BAC vuoâng taïi A ⇒ BAC=90o b Theo tính chaát hai tieáp tuyeán caét ta coù : IO laø tia phaân giaùc cuûa goùc AIB, IO’ là tia phân giác góc AIC Mà AIB kề bù với AIC nên IO IO’ hay OIO’=90o c Xét Δ vOIO’ có AI là đường cao nên : IA2=OA.O’A=9.4=36 ⇒ IA=6 Xét Δ vBAC có AI là đường trung tuyến nên : BC=2IA=2.6 =12 (9)