Đang tải... (xem toàn văn)
Chú ý : + Mỗi bài toán có thể có nhiều cách giải khác nhau, nếu học sinh có cách giải khác, hợp lý và đúng chính xác vẫn cho điểm tối đa.. + Đối với bài toán hình, nếu không có hình vẽ t[r]
(1)phßng gD ĐT Oai TRƯỜNG THCS BÍCH HÒA đề chính thức §Ò thi häc sinh giái líp N¨m häc 2013 -2014 M«n To¸n häc ( Thời gian: 150 phút không kể thời gian giao đề) Câu 1.(3 điểm) a) Tính : A 48 10 1 x 1 B : x x x 1 x x 1 ( với x > 1) b) Cho biểu thức - Rút gọn biểu thức B - Tìm các giá trị x để B x x 3x Câu (3,5 điểm): a) Cho x Tính giá trị biểu thức A x 2x 2 2010 b) Cho hàm số f (x) (x 12x 31) 3 Tính f (a) a 16 16 Câu 3: (3,5 ®iÓm) T×m c¸c nghiệm nguyên phương trình : x2 + xy + y2 = x2y2 Câu : (4 điểm) a) Giải phương trình: x - + - x = x - 8x + 24 b) Cho ba số x; y; z thỏa mãn : x y z 3 Tìm giá trị lớn B = xy yz zx Câu ( 6điểm): Cho ABC (AB = AC) Vẽ đường tròn có tâm O nằm trên BC và tiếp xúc với các cạnh AB, AC D, E Gọi I là điểm chuyển động trên cung nhỏ DE (I khác D và E) Tiếp tuyến đường tròn I cắt các cạnh AB, AC tương ứng M, N a) Chứng minh rằng: Chu vi tam giác AMN không đổi b) Chứng minh hệ thức 4.BM CN BC c) Xác định vị trí điểm I trên cung nhỏ DE để AMN có diện tích lớn Hết - (2) híng dÉn chÊm m«n to¸n N¨m häc 2013-2014 phßng gD ĐT Oai TRƯỜNG THCS BÍCH HÒA Câu (3 điểm) a) (1đ) Ta có : Điểm 3 A 48 10 A 48 10 0.25 0.25 A 28 10 3 A 5 A 5 0.25 25 = = 3 0.25 1 x 1 B : x x x 1 x x 1 ( với x > 1) b) (2 điểm) *) x 1 x x x 1 x 1 : x x 1 x x 1 x 0.5 x x 1 x1 0.25 x 1 x 1 x x x x : x1 x x x 1 B x x 3x *) Câu (3 ,5điểm) 0.25 x x 2 2 x 0 x x x 1 x 1đ a) (1.5 điểm) Nhận xét x > x 3 52 52 2 3 6 6 6 6 4 1 52 3 52 31 0,5 Vì x > nên x Suy x x 1 3 x 2x 1 3 x 2x 0 Vậy A = 0.5 0,5 (3) b) (2đ) a 16 16 3 3 a 32 (16 5)(16 5).( 16 16 ) a 32 3.( 4).a a 32 12a a 12a 32 0 a 12a 31 1 2010 f (a ) 1 1 0,5 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 Câu (3,5 điểm) 2 x y x 2 *Víi x vµ y ta cã: x y y 0,5 x2y2 (x2 + y2) = x2 + y2 +x2 + y2 x2 + y2 + 2xy> x2 + y2 + xy * VËy x hoÆc y - Với x =2 thay vào phơng trình ta đợc + 2y + y2 = 4y2 hay 3y2-2y -4 =0 Ph¬ng tr×nh kh«ng cã nghiÖm nguyªn - Với x =-2 thay vào phơng trình ta đợc - 2y + y2 = 4y2 hay 3y2+2y -4 =0 Ph¬ng tr×nh kh«ng cã nghiÖm nguyªn - Với x =1 thay vào phơng trình ta đợc + y + y2 = y2 hay y = -1 - Với x =-1 thay vào phơng trình ta đợc - y + y2 = y2 hay 1- y = y =1 - Với x = thay vào phơng trình ta đợc y =0 Thử lại ta đợc phơng trình có nghiệm nguyên (x, y) là: (0; 0); (1, -1); (-1, 1) Câu (4 điểm) 0,75 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 0.25 0,5 PT: x x x x 24 (1) ĐKXĐ: x 6 Chứng minh được: x x 2 Dấu “=” xảy x – = – x x = 0,25đ 0,5đ 0,25đ x x 24 ( x 4) 2 Dấu “=” xảy (x – 4)2 = x - = x = Phương trình (1) xảy x = 0,5đ 0,25đ a ) (2,0đ) Giá trị x = : thỏa mãn ĐKXĐ b)( 2.0đ) Vậy: S= 4 0,25đ Ta có : B xy z x y xy x y x y xy x y x y x y xy 3x 3y 0.25 0.25 y 3y 6y y 3 3 x x y 1 3 y 0 y 0 x y z 1 x x y z 3 Dấu = xảy Vậy giá trị lớn B là x = y = z = 0,75 0,5 0.25 (4) Câu (6 điểm) a) (2đ) AD = AE; IM = MD; IN = NE (t/c 0,5 tiếp tuyến cắt nhau) Chứng minh chu vi 2AD không đổi b) (2đ) Ta có MON = (1800 - A)/2; A 1,5 0,5 B = C = (1800 - A)/2 0,25 Suy BMO, OMN và CON đồng 0,5 dạng với suy M D I N E BM BO BC BM CN BO.CO CO CN BM CN BC 0,5 0,25 B có SAMN lớn C c) (2đ) Ta SBMNC bé Ta có: O S BMNC SOBM SOMN SOCN R BM MN CN ( R: bán kính đường tròn) 1 BM MI NI CN R BM MD NE CN R 2 R BM BD 2CN CE R BM CN BD BD CE R; BD không đổi S BMNC nhỏ BM + CN nhỏ 0,5 Mặt khác ta có BM CN 2 BM CN 2 R Dấu “=” xảy và BM = CN 0,5 0,5 Hay BM + CN bé 2R BM = CN = R và MN // BC hay I là trung điểm cung nhỏ DE 0,25 Vậy SAMN lớn I là trung điểm cung nhỏ DE 0,25 Chú ý : + Mỗi bài toán có thể có nhiều cách giải khác nhau, học sinh có cách giải khác, hợp lý và đúng chính xác cho điểm tối đa + Đối với bài toán hình, không có hình vẽ thì không chấm (5)