Đang tải... (xem toàn văn)
1 điểm Tìm các giá trị của a để tồn tại duy nhất cặp số x, y thỏa mãn a.. Viết phương trình đường thẳng d cắt C tại hai điểm B, C sao cho tam giác ABC đều..[r]
(1)B ĐỀ VTEST SỐ Đề thi thử Đại học lần III năm 2013 – Trường THPT chuyên ĐHSP Hà Nội Câu (2 điểm) 2x x 1 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số 2) Cho điểm A (0; 5) và đường thẳng ∆ qua điểm I (1; 2) có hệ số góc k Tìm các giá trị k để đường thẳng ∆ cắt (C) hai điểm M, N cho tam giác AMN vuông A Câu (1 điểm) sin(x ) cos( x) x Giải phương trình: cos x sin x.tan cos x cos x Câu (1 điểm) Cho hàm số y = x 24 x 27(12 x x 24x ) Giải bất phương trình: x 24 x 8(12 x x 24x ) 22x 24 x 27(12 x x Câu (1 điểm) x 24x ) x 24 x 8(12 x x 24x ) tan sin x.(1 sinx) 4 2 dx Tính tích phân: I = 3 cos x Câu (1 điểm) Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông có độ dài cạnh 3a, đường cao SH a 10 , H là trọng tâm tam giác ABD Gọi M là trung điểm SD Mặt phẳng (BCM) cắt SH và SA K và N Tính thể tích khối chóp S.BCMN và chứng minh điểm K là trực tâm tam giác SAC Câu (1 điểm) Tìm các giá trị a để tồn cặp số (x, y) thỏa mãn a x y 3x y Câu (1 điểm) Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn (C): x2 + y2 – 4x – 2y – = và điểm A (5; 2) Viết phương trình đường thẳng d cắt (C) hai điểm B, C cho tam giác ABC Câu (1 điểm) Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng x 1 y 1 z x 4 y5 z 7 d1: và d2 : 1 1 1 Lập phương trình mặt phẳng (P) chứa d1 và tạo với d2 góc 300 Câu (1 điểm) Tìm phần thực và phần ảo số phức z = (1 i)100 (1 i)96 i(1 i)98 Page (2) B ĐỀ VTEST SỐ Đề thi thử Đại học lần III năm 2013 – Trường THPT chuyên ĐHSP Hà Nội Câu (2 điểm) (1 điểm) Học sinh tự giải (1 điểm) Pt ∆: y = k(x – 1) + Để ∆ cắt (C) hai điểm phân biệt và pt sau có hai 2x k(x 1) nghiệm phân biệt : x 1 pt kx 2kx k (*) có hai nghiệm phân biệt khác − Nếu k = thì (*) trở thành −3 = vô lý Trường hợp này không thỏa mãn (loại) k 2k k − Nếu k thì Pt (*) có hai nghiệm phân biệt khác ' k0 k k(k 3) (0,5 điểm) Giả sử M (x1 ; y1), N (x2 ; y2) đó x1, x2 là nghiệm pt (*) Theo hệ thức Viet ta có x1 + x2 = x1 + x2 = 2x1 I là trung điểm MN Do ∆AMN vuông A nên 2AI MN MN2 40 (x (x2 xx1 ))2 (y (y2 yy1 ))2 40 40 (x x1 )2 k (x x1 ) 40 40 (x x1 )2 (k 1) 40 40 (x (x2 xx1 ))2 4x 4x1xx2 (k (k2 1) 1) 40 40 k 3 k 3 (k 1) 40 (vì x1x2 = k ) k Giải phương trình trên ta hai giá trị k = 3, k = thỏa mãn bài toán (0,5 điểm) Câu (1 điểm) x Điều kiện: cos x 0, cos sin x sin x sin x.sin x 6 6 cos x Pt x cos x cos x cos x x 2sin x.cos sin x.sin cosx.cos 6 2 = (0,5 điểm) x cosx cos x k tan x tan x tan x x k tan x Page với k Z (3) Kết hợp với điều kiện, ta có nghiệm phương trình là: x 2k và x k (k Z ) Câu (1 điểm) Điều kiện x Bất phương trình đã cho tương đương với (0,5 điểm) x 24 x 27 24 x x(24 x) x x 24 x 24 x x(24 x(24 x) x) xx x 24 x 27( x 24 x ))2 x 24 x 8( x 24 x ) 8 x 24 x 27 x 24 x (0,5 điểm) 2( x 24 x ) 3( x 24 x ) 5 x 24 25x x x Đáp số: x Câu (1 điểm) (0,5 điểm) x x x x x tan sin x(1 sin x) sin cos sin cos sin 2 2 4 2 Ta có x x cos x.cos x 2x x cos sin cos x cos sin 2 2 s inx cos x Suy I sin x 1 dx d(cos x) 1 cos x cos x cos x (1,0 điểm) Câu (1 điểm) Vì BC AD và AD mp(SAD) nên giao tuyến (BCM) với (SAD) là đường thẳng qua M song song với AD, suy MN AD đó N là trung điểm SA Ta có VS.BCD VS.BAD SH.SABD a 10 a a 10 2 VS.BMN SN SM , VS.ABD SA SD VS.BCM SM VS.BCD SD S N M K C B A D 1 Suy VS.BCMN VS.BCM VS.BMN VS.BCD VS.ABD Vậy VS.HCMN S.HCMN 10a (0,5 điểm) Page (4) Trong mp(SAC), nối CN cắt SH K là giao điểm (BCM) với SH Ta có CH AC 2a SC SH CH 3a AC Vậy tam giác SAC cân C và N là trung điểm SA, nên CN SA , đó K là trực tâm tam giác SAC (0,5 điểm) Câu (1 điểm) Điều kiện: x 0, y Nhận xét: Với a phương trình a x y 3x 3x 22 yy (*) luôn có ít nghiệm là (0; 0) Ta tìm a để pt (*) không có nghiệm (x; y) với x + y > pt (*) Đặt t 3x y 2 a vô nghiệm với x + y > xy xy x , t Xét f(t) = xy Ta có f ' (t) (0,5 điểm) 3t t, t , t 0;1 3 với t (0;1) f ' (t) t 1 t t và f(0) = 2, f(1) = 3 3, f 7 Suy t0;1 f (t) và max t0;1f (t) a Do đó phương trình f(t) = a không có nghiệm đoạn 0; 1 a a Đáp số: (0,5 điểm) a Câu (1 điểm) Nhận thấy A (5 ; 2) thuộc đường tròn (C), mà ABC nên tâm I (2; 1) (C) là trọng tâm tam giác ABC 1 Gọi H(x ; y) là trung điểm BC thì AH BC và AH AI H ; 2 2 (0,5 điểm) Suy đường thẳng d qua H và nhận IA (3;1) làm vectơ pháp tuyến Vậy phương trình đường thẳng d là : 3x + y – = (0,5 điểm) Câu (1 điểm) Gọi phương trình mặt phẳng (P) chứa d1 có dạng Ax + By + Cz + D = đó A2 + B2 + C2 ≠ Vectơ pháp tuyến (P) là n(A; B;C) vectơ phương d1, d2 là u1 (1; 1;1) và u (2;1; 1) Page (5) n.u1 Mặt phẳng (P) chứa d1 tạo với d2 góc 300 nên: cos(n,u ) sin 30 (0,5 điểm) Từ đó ta có hệ phương trình: ABC 2A B C 2 2 A B C Giải hệ trên ta (P) : x + 2y + z + D1 = 0; x – y – 2z + D2 = Mặt khác điểm M (1 ; ; 2) d1 (P) Từ đó suy có hai mặt phẳng thỏa mãn bài toán là: (P1) : x – y – 2z + = và (P2) : x + 2y + z – = Câu (1 điểm) (0,5 điểm) Ta có (1 i)2 2i (1 i)4 (2i)2 4 và (1 i) 2i (1 i) ( 2i) 4 25 (1 i)4 Suy z 24 24 (1 i)4 i(1 i) (1 i) (0,5 điểm) (4)25 (4)25 4 (4)24 2i (4)24 3.424 Vậy số phức z có phần thực (0,5 điểm) 4 và phần ảo Page (6)