2.Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có dộ dài cạnh bên bằng 2a, đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB=a, AC = a 3 và hình chiếu vuông góc của đỉnh A’ trên mặt phẳng ABC là trung điểm của cạnh BC.Tín[r]
(1)CHUYÊN ĐỀ 10 GIẢI CÁC BÀI TOÁN KHÔNG GIAN QUA CÁC ĐỀ THI ĐH-CĐ CÁC NĂM TRƯỚC Khi nói Hình học lớp 12 ta nghĩ đến nội dung chính nó là : Khối đa diện và thể tích chúng; Mặt cầu, mặt trụ, mặt tròn xoay và Phương pháp tọa độ không gian Để có cách nhìn tổng quát các đề thi Đại học –Cao đẳng các năm qua theo chủ đề này , người viết xin tạm gọi theo dạng : +Dạng 1- Bài toán các hình không gian ( bao gồm các bài Hình học không gian lớp 11, các bài toán khối đa điện, mặt cầu, mặt trụ, mặt tròn xoay ) +Dạng 2- Bài toán phương pháp tọa độ không gian ( bao gồm Hệ tọa độ, phương trình mặt cầu, phương trình mặt phẳng, phương trình đường thẳng….) Việc gọi không làm tính đặc trưng bài toán; để phân loại, đánh giá mức độ nó đề thi, kỳ thi Phần 1- Nhận xét tổng quát các chủ đề các đề thi 1-Trong dạng 1- Hình không gian : các bài tính thể tích chiếm tỉ trọng khá lớn và xuất thường xuyên,nhất là các bài thể tích hình chóp.Các bài toán khoảng cách mật độ có ít 2- Trong dạng 2-Tọa độ không gian : Các bài toán phương trình mặt phẳng xuất khá đặn các năm, là năm gần đây.Các bài toán tọa độ điểm thường dạng tọa độ giao điểm điều kiện xác định điểm Có thể thấy : Thể tích, khoảng cách, phương trình đường thẳng,phương trình mặt phẳng, phương trình mặt cầu là chủ đề luôn có mặt Mức độ khó tăng dần so với năm trước.Riêng phần tính thể tích : Tính thể tích khối chóp và thể tích tứ diện có yêu cầu tương đối cao; việc yêu cầu nhận diện hình ấy, tính toán các yếu tố liên quan trước tính thể tích đó - Sau đây; xin giới thiệu, trình bày bảng thống kê các chủ đề đã có mặt các đề thi các năm qua, để thuận tiện- xin dùng các số 02 thay cho năm 2002 , và tương tự Bảng (2) THỐNG KÊ CÁC CHỦ ĐỀ TRONG ĐỀ THI chủ đề Dạng 1- Hình không gian 1-Tính diện tích thiết diện 2-Tính thể tích 3-Tính góc 02 x x x 07 09 10 1 12 13 15 x 4-Tính khoảng cách 5-Chứng minh tính chất đường-mặt 04 05 x x x x x x x x x x x x 12 x x x x x x x x x Dạng 2-Tọa độ không gian x 1-Viết pt đường 2-Viết pt mặt phẳng x x x x x x x 3-Viết pt mặt cầu 4-Tính tọa độ điểm x 5-Khoảng cách điểm -đường-mặt 6-Tương giao đường thẳng -mặt phẳng-mặt cầu Ngoài có thể tham khảo thêm bảng Bảng năm 2002 2003 2004 Dạng 1- Hình không gian -Tính diện tích thiết diện x x x x x x x x x x x 2006 -Tính thể tích khối tứ diện 2007 -Chứng minh đ.thẳng vuông góc -Tính thể tích khối tứ diện -Tính thể tích khối tứ diện -Tính cosin góc- 3 x x x x 4 4 Dạng 2-Tọa độ không gian -Viết phương trình m.phẳng (P) -Tính tọa độ giao điểm -Tính góc Nhị diện -Tính thể tích khối tứ diện -Xác định điều kiện 2mp -Tính góc -Tính khoảng cách -Tính thể tích khối chóp 2005 2008 x -Tính tọa độ điểm -Tính tọa đô giao điểm -Viết phương trình đ.thẳng -Tính khoảng cách hai đ thẳng -Viết phường trình m.phẳng -Chứng minh vi trí tương đối đ.thẳng -Viết phương trình đ.phẳng -Tính tọa độ điểm -Viết phương trình m.phẳng 50 (3) 2009 -Tính thể tích khối chóp 2010 -Tính thể tích khối chóp -Tính khoảng cách đ.thẳng 2011 -Tính thể tích khối chóp -Tính khoảng cách đ.thẳng-Tính thể tích khối chóp -Tính khoảng cách đ.thẳng -Tính thể tích khối chóp -Tính khoảng cách điểm đến m.phẳng 2012 2013 2014 2015 -Tính thể tích khối chóp -Tính khoảng cách điểm đến m.phẳng -Tính thể tích -Tính khoảng cách đường thẳng -Chứng minh (P) cắt (S) -Xác định tọa độ tâm, bán kính (S) -Tính tọa độ điểm -Tính khoảng cách -Tính khoảng cách từ điểm đến mặt -Tính khoảng cách từ điểm đến đường -Viết phương trình mặt cầu (S) -Tính tọa độ điểm -Viết phương trình m.phẳng (P) -Viết phương trình m.cầu (S) -Viết phương trình đ.thẳng (∆) -Viết phương trình m.phẳng(P) -Tính tọa độ điểm -Chứng minh (P) tiếp xúc (S) -Tìm tọa độ tiếp điểm -Tìm tọa độ giao điểm (P) và (∆) -Viết phương trình m.phẳng (P) -Viết phương trình mặt cầu (S) Viết phương trình m.phẳng (P) Sau đây xin trình bày lại bài giải đề này ( từ 2002 đến 2015) Rất mong góp ý thảo luận nhiều -Phần 2-Giải đề thi các năm trước Năm 2002 -Câu IV1-Cho hình chóp tam giác S.ABC đỉnh S, có độ dài các cạnh a Gọi M và N là các trung điểm các cạnh SB và SC Tính theo a diện tích tam giác AMN, biết mặt phẳng (AMN) vuông góc với mặt phẳng (SBC) 2)-Trong không gian với hệ tọa độ Đe cac vuông góc Oxyz cho hai x y z 0 1 : x y z 0 và đường thẳng : x 1 t : y 2 t z 1 2t a) Viết phương trình m.phẳng (P) chứa ∆1 và song song với đường thẳng ∆2 b)-Cho điểm M (2;1;4) Tìm tọa độ điểm H thuộc ∆2 cho đoạn thẳng MH có độ dài nhỏ Giải (4) 1)+Tính diện tích AMN -Gọi K là trung điểm BC -và I= SK MN * Tính MN a MN BC 2 MN / / BC IM IN , IS IK Ta có : SAB= SAC suy hai trung tuyến tương ứng : AM = AN Vậy : AMN cân A AI MN Để tính diện tích AMN ta cần xác định độ dài đoạn AI và MN *Tính MN: ( SBC ) ( AMN ) ( SBC ) ( AMN ) MN AI ( SBC ) AI SK AI ( AMN ) Mặt khác : AI MN SA KA a Suy SAK cân A 3a a a a a 2 SK SB BK SK SI 4 2 2 Mà 3a a a 10 AI SA SI 2 2 Do đó ta được: SAMN 1 a a 10 a 10 MN AI 2 16 Vậy : SAMN a 10 16 2) –a)-Viết phương trình m.phẳng (P) -Dạng tham số ∆1: x 2t ' y 3t ' z 4t ' u (2;3; 4) // ∆ M1:(0;-2;0) ∆1 và 1 (Ta có thể tỉm tọa độ M1∆1 cách cho x= 0 y=-2 ; z = và tính 2 1 1 2 u1 ; ; (2;3; 4) 1 ) u Ta có (1;1; 2) song song ∆2 Từ đó có vecto pháp tuyến mpP) là : nP u1 , u2 (2;0;1) Vậy pt mặt phẳng (P) qua M1 và vuông góc nP là : 2x – z = (5) b-Tìm điểm H -gọi H ∆ H=(1+t ; 2+t ; 1+2t) MH MH u2 0 t 1 -MH nhỏ -Với t = , H có tọa độ H = ( ; ; 4) Vậy : S AMN a 10 16 (P) : 2x – z = , H = ( ; ; 4) Năm 2003 -Câu 1) Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ tính số đo góc phẳng nhị diện [B,A’C,D] 2) Trong không gian với hệ tọa độ Đêcac vuông góc Oxyz cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có A trùng với gốc hệ tọa độ , B(a;0;0) ,D(0;a;0), A’(0;0;b) ( a>0 , b>0) Gọi M là trung điểm cạnh CC’ a) Tính thể tích khối tứ diện BDA’M theo a và b a b) Xác định tỉ số b để hai mặt phẳng (A’BD) và (MBD) vuông góc với Giải 1)1)Tính số đo góc nhị diện +cách -Ta có BD AC BD A’C ( Định lý đường vuông góc) -Tương tự BC’A’C (BC’D) A’C Gọi H là giao điểm A’C và (BC’D) BHD là góc phẳng [B;A’C;D] Các tam giác vuông HA’B, HA’D, HA’C’ HB=HC’=HD H là tâm tam giác BC’D BHD 120 Hay góc phẳng nhị diện [B;A’C;D]= 1200 a 2)-Tính thể tích và xác định tỉ số b để mp vuông góc a)-Từ giả thiết ta có : b M ( a; a; ) C(a;a;0) , C’(a;a;b) b ab ab BD ( a; a; 0) , BM (0; a; ) BD, BM ; ; a 2 Vậy (6) Do 3a 2b BA ' ( a;0; b) BD, BM BA ' a 2b VBDA ' M BD, BM BA ' Do đó : ab ab n1 BD, BM ; ; a 2 , b)-Mặt phẳng (BDM) có vecto pháp tuyến là n2 BD, BA ' ab; ab; a -Mặt phẳng (A’BD) có vecto pháp tuyến là a 2b a 2b a n1.n2 0 a 0 a b 1 2 b Do đó (BDM) (A’BD) Vậy : VBDA ' M a 2b và a 1 b ( BDM ) ( A ' BD) Năm 2004 -Câu III2) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi , AC cắt BD gốc tọa dộ O Biết A(2;0;0) ,B(0;1;0) , S(0;0; 2 ) Gọi M là trung điểm cạnh SC a) Tính góc và khoảng cách hai đường thẳng SA, BM b) Giả sử mặt phẳng (ABM) cắt đường thẳng SD điểm N Tính thể tích khối chóp S.ABMN Giải a)-Tính góc và khoảng cách C ( 2;0;0) , D(0; 1; 0), M ( 1;0; 2) +Ta có SA (2; 0; 2) , BM ( 1; 1; 2) Nên Gọi α là góc SA và BM Được: SA.BM cos cos SA, BM 300 SA BM SA, BM ( 2; 0; 2) , AB (2;1; 0) +Ta có SA, BM AB d ( SA, BM ) SA, BM Vậy b).Tính thể tích Ta có : MN//AB//CD , SM ( 1; 0; 2), SB (0;1; 2), 1 SN (0; ; 2), (7) SA, SM (0; 2;0) 2 VS ABM SA, SM SB VS AMN SA, SM SN , và Tính : 2 VS ABMN VS ABM VS AMN 3 Suy ra: Vậy : 30 26 dSABM(,) 3 VSABMN.2 - Năm 2005 -Câu III2) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng d: x y 3 z 1 và mặt phẳng (P) : x y z 0 a) Tìm tọa độ điểm I thuộc d cho khoảng cách từ I đến mặt phẳng (P) b) Tìm tọa độ điểm A đường thẳng d và mặt phẳng (P) Viết phương trình tham số đường thẳng ∆ nằm mặt phẳng (P) , biết ∆ qua A và vuông góc với d Giải a).Tìm tọa độ điểm I Pt tham số đường thẳng d: Do x 1 t y 3 2t z 3 t I d I (1 t ; 2t ;3 t ) d ( I ; d ) d (I ; d ) 2t t 4 2t 2 t 3 t Theo giả thiết : Khi t = I1=(-3;5;7) và t = -2 I2= (3;-7;1) Vậy có điểm : I1 = (-3;5;7) , I2 = (3;-7;1) b).Tìm tọa độ A và viết phương trình ∆ +Do A d nên : A(1 t;3 2t;3 t ) Ta có : A ( P) 2(1 t ) (3 2t ) 2(3 t ) 0 t 1 Vậy : A(0; 1; 4) (8) n (2;1; 2) +Mặt phẳng (P) có vecto pháp tuyến: u Đường thẳng d có vecto chi phương : ( 1; 2;1) u n, u (5;0;5) Vì ( P ) và d nên ∆ có vecto chi phương x t : y z 4 t Phương trình ∆ là : Vậy : I1 = (-3;5;7) , I2 = (3;-7;1) A(0; 1; 4) ∆ x t : y z 4 t Năm 2006 -Câu III- ( Phần chung) Trong không gian với tọa độ Oxyz , cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ với A(0;0;0) , B(1;0;0) ,D(0;1;0) , A’(0;0;1) Gọi M và N là trung điểm AB và CD 1.Tính khoảng cách hai đường thẳng A’C và MN 2.Viết phương trình mặt phẳng chứa A’C và tạo với mặt phẳng Oxy góc cos , biết -Câu V.b- ( Theo chương trình phân ban thí điểm) Cho hình trụ có các đáy là hai hình tròn tâm O và O’ , bán kính đáy chiều cao và a Trên đường tròn đáy tâm O lấy điểm A, trên đường tròn đáy tâm O’lấy điểm B cho AB = 2a Tính thể tích khối tứ diện OO’AB Giải Câu III) 1)-Tính khoảng cách Gọi (P) là mặt phẳng chứa A’C và song song với MN Khi đó: d ( A ' C , MN ) d ( M , ( P)) 1 C (1;1; 0) , M ( ;0;0) , N ( ;1;0) A ' C (1;1; 1) , MN (0;1;0) 2 Ta có : 1 1 1 1 A ' C , MN ; ; (1;0;1) 0 0 (9) Mặt phẳng (P) qua điểm A’(0;0;1) , có vecto pháp tuyến n (1; 0;1) , có phương trình là : 1.( x 0) 0( y 0) 1( z 1) x z 0 d ( A ' C , MN ) d ( M , ( P)) Khi đó : 2)-Viết phương trình: 0 12 02 12 2 2 ( a b c 0) ax by cz d -Gọi (Q) là mp cần tìm : , c d 0 c d a b a b d A '(0; 0;1) C (1;1;0) Do (Q) qua và nên : Mp (Q) có vecto pháp tuyến n ( a; b; a b) , k mp Oxy có vecto pháp tuyến (0;0;1) 1 cos n, k nên Vi góc (Q) và Oxy là α mà a 2b a b 6(a b) 2(a b ab) b 2a a b ( a b) cos .Với a= -2b, chọn b=-1 , ta được: (Q ) : x y z 0 Với b= -2a, chọn a= , ta được: (Q ) : x y z 0 d ( A ' C , MN ) Vậy : 2 (Q1 ) : x y z 0 (Q2 ) : x y z 0 và , Câu V.b -Tính thể tích OO’AB Kẻ đường sinh AA’.Gọi D là điểm đối xứng vo71iA’ qua O Gọi H là hình chiếu vuông góc B trên A’D BH A ' D BH (OO ' A ' A) VOO ' AB BH S AOO ' BH A ' A +Do , Suy 2 2 2 +Có : A ' B AB A ' A 3a BD A ' D A ' B 4a ( 3a ) a a BO ' D là tam giac BH a +Vì AOO’ là tam giác vuông cân cạnh bên a , nên S AOO ' a2 (10) +Thể tích khối tứ diện OO’AB là : VOO ' AB Vậy : VOO ' AB a a2 a3 2 12 a3 12 Năm 2007 -Câu III- ( Phần chung) Trong không gian với hệ tọa tọa Oxyz, cho hai đường thẳng d1 : x y z2 1 và x 2t d : y 1 t z 3 1.Chứng minh d1 và d2 chéo 2.Viết phương trình đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P) : x y z 0 và cắt hai đường thẳng d , d -Câu V.b -( Theo chương trình THPT phân ban thí điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, mặt bên SAD là tam giác và nằm mặt phẳng vuông góc với đáy.Gọi M,N,P là trung điểm các cạnh SB, BC ,CD Chứng minh AM vuông góc với BP và tính thể tích khối tứ diện CMNP Giải Câu III1)+ CM d1 và d2 chéo -Do d1 qua M(0;1;-2) nên có vecto phương u1 (2; 1;1) -Do d2 qua N(-1;1;3) nên có vecto phương u2 (2;1; 0) u1 , u2 ( 1; 2; 4) Khi đó và MN ( 1; 0;5) : u1 , u2 MN 21 0 d1 và d2 chéo + Viết phương trình đường thẳng d Giả sử d cắt d1 và d2 A và B Do A d1 , B d2 nên : A(2 s;1 s; s), B( 2t;1 t ;3) Suy AB (2t s 1; t s , s 5) n (7;1; 4) n AB +(P) có vecto pháp tuyến là : và AB (P) nên cùng phương 5t 9s 0 t 2t 2s t s s 4 4t 3s 0 s 1 Khi đó: (11) Suy : A(2; 0; 1) và B ( 5; 1; 3) x y z 1 4 +Phương trình d là : Vậy : d1 và d2 chéo x y z 1 4 (d): Câu V.b+ CM: AM vuông góc với BP -Gọi H la trung điểm AD -Do SAD nên : SH AD -Do (SAD)(ABCD) nên :SH(ABCD) SH BP (1) Xét ABCD vuông có CDH=BCP CHBP (2) Từ (1) và (2) : BP(SHC) -Do MN//Sc và AN//CH, nên (AMN)//(CHS) BP (AMN) BH AM + Tính thể tích khối tứ diện VCMNP MK SCNP -Kẻ MK(ABCD) , K(ABCD) Khi đó : a a2 a3 a a2 VCMNP MK SH , SCNP CN CP 96 2 Do Vậy : BH AM VCMNP a3 96 - Năm 2008 -Câu III- ( Phần chung) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(2;5;3) và đường thẳng d: x y z 2 1.Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc điểm A trên đường thẳng d 2.Viết phương trìnhh mặt phẳng (α) chứa d cho khoảng cách từ A đến (α) lớn Câu V.b ( Theo chương trình phân ban) (12) 2.Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có dộ dài cạnh bên 2a, đáy ABC là tam giác vuông A, AB=a, AC = a và hình chiếu vuông góc đỉnh A’ trên mặt phẳng (ABC) là trung điểm cạnh BC.Tính theo a thể tích khối chóp A’.ABC và tính cosin góc hai đường thẳng AA’ , B’C’ Giải Câu III 1)-Tìm tọa độ hình chiếu -Gọi H là hình chiếu vuông góc A lên d u (2;1; 2) Do đó : H (1 2t ; t ; 2t ) - Đương thẳng d có vecto phương AH (2t 1; t 5; 2t 1) -Do AH d nên AH u 0 2(2t 1) (t 5) 2(2t 1) 0 t 1 Khi t = H=(3 ; ; 4) 2)-Viết pt mặt phằng - Gọi K là hình chiếu vuông góc A trên mp () Ta có : d ( A, ( )) AK AH ( tính chất đường vuông góc và đường xiên) Do đó khoảng cách từ A đến ( ) lớn nhấtkhi và AK=AH hay K H -Mp () qua H và có vecto pháp tuyến AH (1; 4; 1) -Phương trình mp () là : 1( x 3) 4( y 1) 1( z 4) 0 x y z 0 Vậy: H=(3 ; ; 4) ( ) : x y z 0 Câu V.b +Tính thể tích -Gọi H là trung điểm BC 1 AH BC a 3a a 2 Do A’H (ABC) và Do đó A ' H A ' A2 AH 4a a 3a AH a Vậy : VA ' ABC 1 a 3a a A ' H S ABC a 3 +Tính cossin góc hợp AA’ và B’C’ 2 -Xét A’B’H vuông B’ có HB ' A ' B ' A ' H 2a nên tam giác B’BH cân B’, hay B’B = B’H Gọi là góc hợp đường thẳng AA’ và B’C’ thì B ' BH (13) cos Tính BH a BB ' 2.2a a3 VA ' ABC Vậy : cos -Năm 2009 -Câu IV - ( Phần chung) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông A và D ; AB =AD = 2a , CD = a ; góc hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD) 600 Gọi I là trung điểm cạnh AD Biết hai mặt phẳng (SBI) và (SCI) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) , tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a -Câu VI.a- ( Theo chương trình Chuẩn) 2.Trong không gian với tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) : x y z 0 2 và mặt cầu (S) : x y z x y z 11 0 Chứng minh mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo đường tròn Xác định tọa độ tâm và tính bán kính đường tròn đó -Câu VI.b – ( Theo chương trình Nâng cao) Trong không gian với tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) x y z 0 và 1 : x 1 y z x y z 1 2 : 1 và Xác định tọa độ hai đường thẳng điểm M thuộc đường thẳng ∆1 cho khoảng cách từ M đến đường thẳng ∆2 và khoảng cách từ M đến mặt phẳng (P) Giải Câu IV (phần chung) -Tính thể tich khối chóp ( SIB ) ( ABCD ) SI ( ABCD) ( SIC ) ( ABCD ) Do Kẻ IK cho: IK BC ( K BC ) BC ( SIK ) SKI 600 -Diện tích hình thang ABCD : -Tổng diện tích : -Do BC ( AB CD ) AD a IK S ABI SCDI 2.S ABC 3a BC S ABCD 3a 3a (14) 3a 3a 15 SI IK tan SKI 3 5 1 3a 15 3a 15 VS ABCD SI S ABCD 3a 3 5 Từ đó tính thể tích: VS ABCD 3a 15 Vậy : Câu VI.a ( Chuẩn) -CM (P) cắt (S) , tìm tâm , bán kính +-Mặt cầu (S) có tâm I (1; 2;3) và bán kính R = d ( I , ( P)) 2 4 3 3 22 22 12 <R=5 -Khoảng cách từ I đến (P) : Hay (P) cắt mặt cầu (S) +-Gọi H là tâm, r là bán kính đường tròn giao tuyến IH d ( I , ( P)) 3 2 2 Do H là hình chiếu vuông góc I lên (P) nên : r R HI 4 +Tìm tọa độ H x 1 2t y 2 2t z t 2 x y z 0 x 3 y 0 H (3; 0; 2) z 2 Vậy : (P) cắt (S) r = và H = (3 ; ; 2) Câu VI.b (NC) +Xác định tọa độ điểm M u -đường thẳng 2 qua A(1 ; ;-1) và có phương (2;1; 2) Do M M= (-1+t ; t ; -9+6t ) MA (2 t;3 t;8 6t ) MA, u (8t 14; 20 14t ; t 4) MA, u 3 29t 88t 68 Tính : MA, u d (M , ) 29t 88t 68 u -Khoảng cách từ M đến 2: d ( M , ( P )) -Khoảng cách từ M đến (P) : Theo giả thiết : d(M , 1) = d(M , (P)) 12 ( 2) 2 t 1 1t 20 29t 88t 68 35t 88t 53 0 53 t 35 t 2t 12t 18 1t 20 (15) -Khi t 1 M (0;1; 3) -Khi Vậy: t 53 18 53 M( ; ; ) 35 35 35 35 M (0;1; 3) và 18 53 ; ; ) 35 35 35 - M ( Năm 2010 -Câu IV- ( Phần chung) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a.Gọi M và N là trung điểm các cạnh AB và AD; H là giao điểm CN với DM Biết SH vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SH a Tính thể tích khối chóp S.CDNM và tính khoảng cách hai đường thẳng DM và SC theo a -Câu VI.a -( Theo chương trình Chuẩn) : x y z 2 và mặt Trong không gian tọa độ Oxyz, cho đường thẳng phẳng (P): x - 2y + z = 0.Gọi C là giao điểm với (P) , M là điểm thuộc Tính khoảng cáchtừ M đến (P), biết MC -Câu VI.b ( Theo chương trình Nâng cao) Trong không gian tọa độ Oxyz, cho điểm A(0;0;-2) và đường thẳng x 2 y z 3 : Tính khoảng cách từ A đến ∆ Viết phương trình mặt cầu tâm A, cắt ∆ hai điểm B và C cho BC=8 Giải Câu IV+-Tính thể tích khối chóp S.CDMN, có: SCDMN S ABCD S AMN S SMN 1 AM AN BC.BM 2 2 a a 5a a 8 1 5a 5a 3 VS CDMN SCDMN SH a 3 24 -Tính : AB +Tính khoảng cách -Do ADM=DCN ADM DCN -Do DM SH , nên DM (SCH) DM CN (16) Kẻ HK SC (KSC) , suy H là đoạn vuông góc chung DM và SC Hay : d( DM,SC)= HK 2a SH HC 2a HK 19 SH CH 4a 3a Tính HK : 5a 3 VS CDMN 24 Vậy : a d ( DM , SC ) HK ( HC CD 2a CN ) 2a 19 Câu V.a+Tính khoảng cách từ M đến (P) - Đường thẳng có vecto chi phương : v (2;1; 1) n -mp(P) có pháp tuyến : (1; 2;1) Gọi H là hình chiếu vuông góc M trên(P) Ta có Khi đó : cos HMC cos(v, n) d ( M , ( P)) MH MC.cos HMC MC cos(v, n) 2 2 6 Câu VI.b ( Theo chương trình Nâng cao) v -Đường thẳng qua điểm M(-2; 2; -3) và nhận (2;3; 2) làm vecto phương Ta có : MA (2; 2;1), v, MA (7; 2; 10) v, MA 49 100 d ( A, ) 3 v 9 4 Gọi (S ) là mặt cầu tâm A, cắt B và C cho BC=8 Suy bán kính R=5 2 Hay (S) có phương trình : x y ( z 2) 25 x y ( z 2) 25 Vậy : d ( A, ) 3 và ( S ): Năm 2011 -Câu IV- (Phần chung) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân B, AB=BC=2a; (17) hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABC) Gọi M là trung điểm AB; mặt phẳng qua SM và song song với BC , cắt AC N Biết góc hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) 600.Tính thể tích khối chóp S.BCNM và khoảng cách hai đường thẳng AB và SN theo a -Câu VI.a (Theo chương trình chuẩn) ) -Trong mp tọa độ Oxyz cho hai điểm A(2; 0; 1) ,B(0; -2; 3) và mặt phẳng (P) : 2x – y – z + = Tìm tọa độ điểm M thuộc (P) cho MA=MB=3 -Câu VI.b – (Theo chương trình Nâng cao) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S): x y z x y z 0 và điểm A(4; 4; 0) Viết phương trình mặt phẳng (OAB), biết điểm B thuộc (S) và tam giác OAB Giải Câu IV+Tính thể tích -mp(SAB) và (SAC) (ABC) SA(ABC) Do AB BC, nên : SBA 60 SA AB.tan SBA 2a -Theo giả thiết MN //BC và N là trung diểm AC BC a AB 2a MN , BM a 2 2 ( BC MN ).BM 3a S BCMN 2 -Diện tích Từ đó thể tích: 1 3a VS BCNM S BCNM SA 2a a 3 3 +Tính khoảng cách -Kẻ qua N và song song với AB Kẻ AD (D) d ( AB, SN ) d ( AB, ( SND )) d ( A, ( SND )) AB //(SND) Xét tam giác SAD vuông A có : AH SD và AD = MN = a SA.DA (2a 3).a a 2a 39 d ( A, ( SND )) AH 2 13 a 13 SA2 DA2 (2a 3) a Vậy : VS BCNM a d ( A, ( SND)) Câu VI.a- 2) 2a 39 13 (18) 2 x y z 0 ( x 2) y ( z 1)2 0 x ( y 2) ( z 3) 0 -Gọi M(x;y;z) , ta có M(P) và Ma=MB=3 6 x x 2 x y z 0 x 2 y ( x y z 0 z 3 y y 1 y ( x 2)2 y ( z 1) 9 7 y 11 y 0 12 z 3 z 12 M (0;1;3) , M2( ; ; ) 7 Vậy có điểm M : Câu VI.b +Viết phương trình mặt phẳng (P) - (S) có tâm I(2; 2; 2) , bán kính R 2 ( Ngoài : O , A cùng thuộc (S) ) - OAB có bán kính đường tròn ngoại tiếp : d ( I , ( P )) R r - Khoảng cách từ I đến (P) : Mp (P) qua O có phương trình dạng : ax by cz 0 R OA 3 (a b c 0) (*) .(P) qua A 4a 4b 0 b a d ( I , ( P)) 2(a b c) a b2 c2 2c 2a c 2 2a c 3c c a Hay : a 1, b 1, c 1 ,và a 1, b 1, c Pxy():z0 Vậy : và ( P2 ) : x y z 0 - Năm 2012 Câu 5- (Phần chung) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác cạnh a.Hình chiếu vuông góc S trên mặt phẳng (ABC) là điểm H thuộc cạnh AB cho HA=2HB (19) Góc hai đường thẳng SC và mặt phẳng (ABC) 600.Tính thể tích khối chóp S.ABC và tính khoảng cách hai đường thẳng SA và BC theo a Câu 8.a - (Theo chương trình chuẩn) d: x 1 y z và d: x 1 y z 1 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng điểm I(0; 0; 3) Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I và cắt d hai điểm A,B cho tam giác IAB vuông I Câu 8.b- (Theo chương trình Nâng cao) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng , mặt phẳng (P): x y z 0 và điểm A(1;-1;2) Viết phương trình đường thẳng ∆ cắt d và (P) M và N cho A là trung điểm đoạn thẳng MN Giải Câu 5+Tính thể tích S.ABC -Góc Sc và (ABC) là SCH 60 a a DH , CD 2 -Gọi D là trung điểm AB, a HC HD CD nên: SH HC.tan 600 và : Khi đó: a a 21 3 3 1 a a 21 a VS ABC SH S ABC 3 12 +Tính khoảng cách SA và BC -Kẻ Ax //BC Gọi N, K là hình chiếu vuông góc H trên Ax và SN 3 AB AH d ( SA, BC ) d ( B, ( SAN )) d ( H , SAN )) 2 -Ta có : BC//(SAN) và nên : -mặt khác Ax(SHN) nên AxHK Do đó HK (SAN) Suy : d ( H , ( SAN )) HK ta có: (20) AH 2a .HN AH sin 600 2a a 3 a 21 a 3 a 21 3 a 42 HK 2 2 12 a SH NH a 21 a SH NH a 42 a 42 d ( SA, BC ) 12 Từ đó tính : Câu 8.a +Viết phương trình mặt cầu a d có vecto phương (1; 2;1) Gọi H là trung điểm AB , suy IH AB 2 2 IH ; ; 3 Do Hd nên H có tọa độ : H (t 1; 2t ; t 2) -Tam giác IAH vuông cân H, suy bán kính mặt cầu (S) là R IA 2.IH (S ) : -Phương trình mặt cầu (S ) : 2 6 x y ( z 3) x y ( z 3) 2 Vậy : Câu 8.b +Viết phương trình đường thẳng ∆ -Điểm Md nên tọa độ M có dạng : M (2t -1; t ; t+2) -Điểm A là trung điểm MN , nên : N(3-2t ; -2 ; 2- t) M (3; 2; 4) -Điểm N(P) N ( P ) 2t t 2(2 t ) 0 t 2 x y 1 z () : Đường thẳng ∆ qua A và M có phương trình x y 1 z () : Vậy : -Năm 2013 -Câu 5- (Phần chung) (21) Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông A , ABC 30 , SBC là tam giác cạnh a và mặt bên SBC vuông góc với đáy Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (SAB) -Câu 8.a- (Theo chương trình Chuẩn) : x y 1 z 3 2 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng và điểm A( 1; 7; 3) Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A và vuông góc với ∆ Tìm tọa dộ điểm M thuộc ∆ cho AM 2 30 -Câu 8b.- (Theo chương trình Nâng cao) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x y z 11 0 và 2 mặt cầu (S) : x y z x y z 0 Chứng minh (P) tiếp xúc với (S) Tìm tọa độ tiếp điểm (P) và (S) Giải Câu 5+Tính thể tích S.ABC -Gọi H là trung điểm BC SH BC Mà (SBC) (ABC) theo giao tuyến BCSH(ABC) -Ta có và BC a SH AB BC.cos 300 a , AC BC.sin 300 a 1 a a a a3 VS ABC SH AB AC 6 2 16 Do đó : +Tính khoảng cách C đến(SAB) -Do ABC vuông A và H là trung điểm BC nên : HA=HB Mà SH(ABC) SA=SB=a 3a a 13 AB IS SB a 16 Gọi I là trung điểm AB IS AB Do đó 3.V 6.V a 39 d (C , ( SAB )) S ABC S ABC S ABC IS AB 13 Tính Vậy : VS ABC a3 16 d (C , ( SAB )) a 39 13 Câu 8a+Viết pt mp(P) -Đường thẳng có phương u 3; 2;1 a (22) u - nhận làm pháp tuyến và qua A, nên pt có dạng: ( P) : 3( x 1) 2( y 7) ( z 3) 0 x y z 14 0 +Tìm M Do M nên tọa độ M là : M (6 3t ; 2t ; t ) 2 3t 1 2t t 7t 4t 0 AM 30 Do t 1 Với t 1: t 3 3 51 17 : M( ; ; ) M (3; 3; 1) ; Với 7 7 51 17 M ( ; ; ) M (3; 3; 1) 7 và t Vậy : : Câu 8.b+CM (P) tiếp xúc (S) -Mặt cầu (S) có tâm I(1;-2;1) và bán kính R 14 d ( I , ( P )) -Tính 2.1 3.( 2) 1.1 11 22 32 12 14 14 R 14 Vậy (P) tiếp xúc (S) M +Tìm tọa độ tiếp điểm M -Điềm M(S) và M(P) Suy M thuộc đường thẳng qua I và vuông góc với (P) Do đó:M (1+2t ; -2 ; 1+t) ,thay vào (P): 2(1 2t ) 3( 3t ) (1 t ) 11 0 t 1 Vậy : (S) tiếp xúc với (P) M= (3; 1; 2) Năm 2014 -Câu – Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x y z 0 x y z 3 2 Tìm tọa độ giao điểm d và (P) Viết Và đường thẳng d: phương trình mặt phẳng chứa d và vuông góc với (P) -Câu 6SD 3a , hình Cho hình chóp S.ABC D có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , chiếu vuông góc S trên mặt phẳng (ABCD) là trung điểm cạnh AB Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBD) Giải Câu 5+Tìm tọa độ giao điểm (23) -Gọi M là giao điểm d và (P) M( 2+t ; -2t ;-3+3t) -M (P) : 2(2 t ) ( 2t ) 2( 3t ) 0 t 3 M ( ; 3; ) t : M ( ; 3; ) 2 2 Vậy -Với +Viết pt mặt phẳng (P) u (1; 2;3) n - d có phương (P) có pháp tuyến (2;1; 2) u , n (1;8;5) -mp () cần viết có pháp vecto : Ta có A d và A().Do đó : (): (x - 2) +8(y - 0)+5(z + 3) = x + 8y + 5z + 13 = M ( ; 3; ) 2 Vậy : và (): x + 8y + 5z + 13 = Câu 6+Tính thể tích S.ABCD -Gọi H là trung điểm AB, suy SH(ABCD) Do đó SHHD Ta có SH SD HD SD ( AH AD ) a Suy : VS ABCD 1 a3 SH S ABCD a.a 3 +Tính khoảng cách từ A đến (SBD) -Gọi K là hinh chiếu vuông góc H trên BD Là hình chiêu vuong góc H trên SK Ta có :BD HK và BD SH nên BD (SHK) Suy BD HE mà HE SK HE (SBD) -Ta có : a HS HK a HK HB.sin KBH HE 2 HS HK a 2a d ( A, ( SBD)) 2.d ( H , ( SBD)) 2 3 Do đó : Vậy : VS ABCD a3 d ( A, ( SBD)) 2a -Năm 2015 -Câu VI- ( Theo đề thi Diễn tập THPT Quốc gia 2015) (24) Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông cân A, I là trung điểm BC , BC a , mặt phẳng (A’BC) tạo với mặt phẳng (ABC) góc 600 Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ và tính khoảng cách hai đường thẳng AB, A’I theo a -Câu VIIITrong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(0;1;2) và B(1;-3;-1) Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm A và qua B , viêt phương trình mặt phẳng (P) di qua điểm A, B đồng thời song song với trục Ox Giải Câu VI+Tính thể tích ABC.A’B’C’ -ABC vuông cân A BC a 2 3a a 2 AB AC S ABC -và -Do ABC vuông cân BC AI BC A’I lại có (A’BC)( (ABC)=BC nên (A’BC),(ABC)) = AIA ' 600 BC 3a AA ' AI tan AIA ' tan 600 2 - VABC A ' B 'C ' 3a 3a 9a S ABC AA ' 2 Vậy : +Tính khoảng cách đường thẳng AB và A’I -Chọn hệ trục Oxyz cho O A(0;0;0) ,tia Ox chứa B, tia Oy chứa C, tia Oz chứa A Khi đó : B (a 3;0;0) , C (0; a 3;0) , A (0; 0; 3a a a ) , I ( ; ;0) 2 a a 3a u AB (1;0;0) , A ' I ; ; u A ' I (1;1; 3) 2 -Có 3a AA ' (0;0; ) u AB , u A ' I (0;3;1) -và Từ đó : u AB , u A ' I AA ' 3a 30 d ( AB; A ' I ) 20 u AB , u A ' I Suy : Vậy : VABC A ' B 'C ' 3a 30 9a d ( AB; A ' I ) 20 và (25) Câu VIII+Viết phương trình mặt cầu (S) -Ta có AB (1; 4; 3) R 26 và tâm A (0; 1; 2) 2 -Phương trình mặt cầu (S) : x ( y 1) ( z 2) 26 +Viết phương trình mặt phẳng (P) -Ta có i (1;0;0), AB (1; 4; 3) i; AB n (0;3; 4) n Mp (P) qua A và có pháp tuyến là : ( P) : Vậy : 0.( x 0) 3( y 1) 4( z 2) 0 y z 0 ( S ) : x ( y 1)2 ( z 2) 26 ( P) : y z 0 hết - (26)