Tai lieu Toan so 5

TÍNH ĐỊNH LƯỢNG CỦA THIẾT DIỆN Giới thiệu: Khi cắt hình trụ bởi một mặt phẳng song song mặt phẳng đáy, ta được thiết diện là một hình tròn.Nếu cắt bởi một mặt phẳng không song song với m[r]

danghoa949@gmail.com -1 CHUYÊN ĐỀ 3- TÍNH ĐỊNH LƯỢNG CỦA THIẾT DIỆN Giới thiệu: Khi cắt hình trụ mặt phẳng song song mặt phẳng đáy, ta thiết diện là hình tròn.Nếu cắt mặt phẳng không song song với mặt phẳng đáy ta dược hình Elip, tùy theo góc hợp mặt phẳng cắt và mặt phẳng đáy mà hình Elip đó có thể “lớn” , “nhỏ “ Tương tự vậy, cắt hình chóp mặt phẳng song song với mặt phẳng đáy ta thiết diện là đa giác đồng dạng với đa giác đáy.Mặt khác , mặt phẳng cắt “ gần” với đỉnh ta mặt phẳng tương đối “ nhỏ”, tịnh tiến mặt phẳng cắt đó càng xa đỉnh, ta đa giác “ lớn “, xem “gần bằng” mặt phẳng đáy Sự thay đổi diện tích thiết diện gọi là “ Tính định lượng thiết diện” Người học tất nhiên suy nghĩ rằng: yếu tố nào đã làm thay đổi diện tích ? Có thể định trước giá trị thiết diện để xác định giá trị các yếu tố liên quan hay không ? Ta tìm hiểu điều này qua số số bài toán sau đây I-CÁC BÀI TOÁN Bài 1-Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình chữ nhật có AB=a ,BC=2a, có SA=SB=SD=SD=2a Gọi A’.B’,C’,D’ là trung điểm SA,SB,SC,SD Tính diện tích thiết điện ABCD Giải ( hình -1 và hình 2) -Do các góc A,B,C,D vuông nên các góc A’, B’,C’,D’ vuông Thiết diện tạo mp(A’B’C’D’) và hình chóp là hình chữ nhật A’B’C’D’ , và danghoa949@gmail.com -2 2a   B ' C ' A'D'  a   A ' B ' C ' D '  a  a a2 S A ' B 'C ' D ' B ' C '.C ' D ' a  2 -Vậy : SA ' SB ' SC ' SD '    k SA SB SC SD -Tổng quát : Gọi tỉ số -Gọi S’ là diện tích thiết diện, S là diện tích đáy Khi đó ta có : S ' k S S ABCD 2a , k  , ta : 1-Vận dụng vào bài toán trên với 1  1 S A ' B 'C ' D ' k S ABCD   2a  2a  a  2 S 2a , k 1 , ta : 2-Vận dụng vào bài toán trên với ABCD S A ' B 'C ' D ' k S ABCD 12.2a 2a (thiết diện là mp (ABCD)) -Bài 2- Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác cạnh 2a Gọi M , N là các giao tuyến SA và mp (M,BC) , mp(N,BC) , Biết góc hợp mp(M,BC) ,(N,BC) với mp đáy ABC là 600, 300 a)- Tính diện tích thiết diện MBC, NBC b)-So sánh và nhận xét thay đổi diện tích các thiết diện ấy? Giải danghoa949@gmail.com -3 a)- Độ dài trung tuyến AI: AI  AB  BI (2a )2  a 3a  AI a 1 S ABC  AI BC  a 3.2a a 2 -Diện tích đáy ABC : (1) *Tính SNBC Do IA là hình chiếu vuông góc IN trên mp(ABC) Khi mp(N,BC) hợp với (mp(ABC) góc 300, thì : S ABC S NBC cos 30  S NBC S ABC a2   2a cos 30 (2) *Tính SMBC Do IA là hình chiếu vuông góc IM trên mp(ABC) Khi mp(N,BC) hợp với (mp(ABC) góc 600, thì : S ABC S MBC cos 60  S MBC S ABC a2   2a cos 60 (3) b)-So sánh các kết (1), (2),(3) ta thấy diện tích thiết diện tăng dần từ S ABC a S  a NBC , đến góc tạo thành( theo đề bài) là 300,đến S MBC 2a góc tạo thành( theo đề bài) là 600…………………… Bài 3-Cho tứ diện ABCD có AB=AC=2a, CD=a.Góc hợp AB và CD 300.Gọi M là điểm nằm trên cạnh AC cho AM = x Mặt phẳng (P) qua M và song song với AB, CD và cắt BC, BD, AD N, P, Q a)-Xác định thiết diện tìm ? b)-Tính diện tích S thiết diện theo a và x.? c)-Xác định giá trị x để S lớn ? Giải danghoa949@gmail.com -4 a)Ta có : ( ABC )  ( ABD)  AB ( P)  ( ABC ) MN  MN / / PQ  ( P )  ( ABD )  PQ Do (P) // AB nên :  Ta có : ( ADC )  ( BDC ) CD ( P )  ( ADC ) MQ  MQ / / NP  ( P )  ( BDC )  NP Do (P) // AB nên :  Tứ giác MNPQ có các cặp cạnh tương ứng song song đôi là hình bình hành MNPQ Vậy : Thiết diện MNPQ là hình bình hành b)MN CM CM (2a  x ) CAB   CMN :   MN  AB  2a 2a  x (*) AB CA CA 2a *Xét MQ AM AM x x ADC   AMQ :   MQ  CD  a  (**) CD AC AC 2a a *Xét  (***) *Theo giả thiết : ( AB; CD) ( MN ; MQ)  NMQ 30 Từ (*), (**) và (***) ; được: *Xét x x S MNPQ MN MQ.sin 300 (2a  x)  (2 a  x) 2 (1) x S MNPQ  (2a  x) Vậy : Thiết diện MNPQ có diện tích là c)- x (2a  x)  x.(2a  x) Ta biết : S lớn tích lớn Do tổng : x  (2a  x ) 2a không đổi, nên S lớn x (2a  x)  x a danghoa949@gmail.com -5 AM a  AC -khi đó M là trung điểm AC Hay : Vậy : SMNPQ lớn M là trunh điểm AC Bài 4- Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a và SA=SB=SC=SD= a Gọi E, F là trung điểm SA,SB ; gọi M là điểm thuộc BC cho BM = x Mặt phẳng (MEF) cắt AD N a)-Xác định thiết diện tạo (MEF) và hình chóp.? b)-Tính góc hợp BC và SB ? c)-Tính diện tích thiết diện tìm (ở câu a)? Giải a)- Xác định thiết diện  EF / / AB   AB a  EF   *Do E, F là trung điểm SA,SB nên : Do AB ( SAB )  ( ABCD ) nên : EF / / AB / / MN Hay : EF// MN Tứ EFMN giác có cặp cạnh song song nên EFMN là hình thang   AN BM  x    A B  SA  AE BF  nên : ANE BMF * Xét ANE và BMF có:  danghoa949@gmail.com -6 Suy : NE MF Vậy : Thiết diện EFMN là hình thang cân  b)-Tính góc CBS và FM -Gọi H là chân đường cao qua S và vuông góc với BC Khi đó SI là đường trung tuyến tam giác SBC cân Ta có : -Xét tam giác BSI vuông I, có :  BI  BC a  2  cos CBS  BI a  :a  BS ' Hay CBS 73 13 *Tính FM -Áp dụng định lý Cô-sin tam giác BMF 3a a 3  FM MB  FB  2.MB.FB.cos CBS  x   x  FM  x  2ax  3a 2 FM  x  2ax  3a CBS 73013' Vậy : và 2 c)- Tính diện tích thiết diện EFMN -Kẻ EH , FK vuông góc với MN a NH FK  ( MN  KH )  Ta có : -Xét tam giác FKM vuông K , có: a2 2 FK FM  KM  (4 x  2ax  3a )  16  KF  16 x  8ax  11a 2 Diện tích thiết diện là hình thang cân tính bởi: 1 a S  ( MN  EF ).FK  (a  ) 16 x  8ax  11a 2 2 3a S EFMN  16 x  8ax  11a 16 Vậy : - danghoa949@gmail.com -7 AB  a a BC  , , Có Bài 5-Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình chữ nhật, SA 2a vuông góc với mặt đáy.Gọi M,N,P là các điểm thuộc SC , 1 SM  SC , SN  SC , SM  SC cho : Gọi (P) là mp chứa BD và qua M, N,P a)-Tính diện tích các thiết diện (P) và hình chóp (P) qua M,N,P ? b)-Nhận xét thay đổi diện tích các thiết diện đó.? Giải -Tam giác SAC vuông A , ta có : i)   tan C a  a  300 C 2 2 2 2 ii)- SC SA  AC (2a 2)  a 8a  a 9a Tính độ dài các đoạn OM, ON,OP  SC 3a 3a 3a 3.3a 9a CM  SC  a , CN  SC  , CP  SC   3 2 4 Với : a)-Tính các diện tích các thiết diện -Áp dụng Định lý Cô sin tam giác OMC: 2 a (17  3)a  2a   a  2  OM CM  CO  2CM CO.cos C       2.2a .cos 300     2 a  OM  17  +Xét tam giác MBD cân N, ta tính diện tích: 1 a a2  S MBD  OM BD   17   a  17  2 2  (  0,79a2) (1) -Áp dụng Định lý Cô sin tam giác ONC: danghoa949@gmail.com -8 2 3a a (10  3)a  3a   a   ON CN  CO  2CN CO.cos C       .cos 30  2    2 a  ON  10  3 +Xét tam giác NBD cân N, ta tính diện tích: 1 a a2  S NBD  ON BD   10  3  a  10  3 2 2  (  0,54a2) (2) 2 -Áp dụng Định lý Cô sin tam giác OPC: 2 a a (5  3)a a a 2  OP CP  CO  2CP.CO.cos C       .cos 30  16  4  2 a  OP   +Xét tam giác PBD cân P, ta tính diện tích: 1 a a2  S PBD  OP.BD     a   2 4  (  0,15a2) (3) b)- So sánh các kết (1), (2),(3) ta thấy diện tích các thiết diện MBD, NBD,PBD giảm dần các điểm M,N,P càng xa đỉnh S.) Bài 6- Hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông A và D; AB=2a , AD=CD=a Biết SA vuông góc với ABCD và SA= 2a Gọi E là trung điểm là trung điểm SA.Mặt phẳng (P) qua E và song song với AB Mặt phẳng (P) cắt cắt SB M, cắt BC N, cắt AD F Đặt AF = x ( ≤ x ≤ a) a)-Xác định thiết diện tìm ? b)-Tính diện tích EMNF theo a và x.? Giải a)- Xác định giao tuyến ( P)  ( SAB) EF ( P)  ( SBC ) FG   ( P)  (ABCD) GH ( P)  ( SAD) HE Thiết diện tìm là tứ giác EFGH  AB  AS  AB  ( SAD)  AB  AD  *Do danghoa949@gmail.com -9 *Do EH  ( SAD)  EH  AB mp ( P ) / / AB mà EF  mp ( P )  EF  EH mp ( P ) / / AB mà HG  mp ( P )  HG  EH (*) (**) (***) Do EF / / AB / / GH  EF / /GH Từ (*),(**),(***) suy : Tứ giác EFGH là hình thang vuông E và H b)- Tính diện tích EFGH Để tính SEFGH ta tính EF,GH,EH EF  AB 2a  a 2 .Tính EF -Do (1) Tính EH Xét tam giác AEH vuông A có : EH  AE  AH  x  a  EH  x  a Tính GH LK  AH x (2) .cần nhớ : HK  AL a .Xét tam giác CKG và CBL đồng dạng có: KG CK CK a   KG  BL  (a  x) BL CL CL a mà GH GK  KH a  (a  x) 2a  x (3) Từ (1) , (2) , (3) suy ra: SEFGH Vậy : 1 x2  a2 2  (EF GH).EH  (a  (2a  x)) x  a (3a  x) 2 SEFGH x2  a2 (3a  x ) Xin cảm ơn qui Thầy, Cô và các em đã quan tâm tìm hiểu vấn đề này danghoa949@gmail.com -10 -