- Câu hình học bắt buộc phải vẽ đúng hình mới chấm điểm, nếu thí sinh không có hình vẽ đúng ở phần nào thì giám khảo không cho điểm phần lời giải liên quan đến hình phần đó.. a 1,5 điểm [r]
(1)SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC ———————— ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2011-2012 ĐỀ THI MÔN: TOÁN Dành cho tất các thí sinh (Thời gian làm bài: 120 phút, không kể thời gian giao đề) ———————————— P( x) 1 Câu (2,0 điểm) Cho biểu thức x 1 x a) Rút gọn P ( x) b) Tìm giá trị x để P( x) 2 Câu (3,0 điểm) Cho f ( x) x (2m 1) x m ( x là biến, m là tham số) a) Giải phương trình f ( x) 0 m 1 b) Tìm tất các giá trị m để đẳng thức f ( x) (ax b) đúng với số thực x ; đó a, b là các số x , x ( x x2 ) c) Tìm tất các giá trị m để phương trình f ( x ) 0 có hai nghiệm cho P biểu thức x1 x2 x1 x2 có giá trị là số nguyên Câu (3,0 điểm) Cho đường tròn (O; R) đường kính AB Kẻ tiếp tuyến Ax và lấy trên tiếp tuyến đó điểm P cho AP R Từ điểm P kẻ tiếp tuyến tiếp xúc với đường tròn (O;R) điểm M (điểm M khác điểm A) a) Chứng minh tứ giác APMO nội tiếp đường tròn b) Đường thẳng vuông góc với AB điểm O cắt đường thẳng BM điểm N, đường thẳng AN cắt đường thẳng OP điểm K, đường thẳng PM cắt đường thẳng ON điểm I; đường thẳng PN và đường thẳng OM cắt điểm J Chứng minh ba điểm I, J, K thẳng hàng abc Chứng minh rằng: Câu (1,0 điểm) Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn a3 b3 c3 a b c b c a c a b Câu (1,0 điểm) Tìm tất các số nguyên tố p cho tồn cặp số nguyên p 2 x 2 p 2 y x; y thỏa mãn hệ: Hết Cán coi thi không giải thích gì thêm! Họ tên thí sinh: .……………………………………… Số báo danh: ………… (2) SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC ———————— KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2011-2012 HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN Dành cho tất các thí sinh I HƯỚNG DẪN CHUNG: - Hướng dẫn chấm trình bày cách giải với các ý học sinh phải trình bày, học sinh giải theo cách khác đúng và đủ các bước cho điểm tối đa - Trong câu, bước nào đó bị sai thì các bước sau có liên quan không điểm - Câu hình học bắt buộc phải vẽ đúng hình chấm điểm, thí sinh không có hình vẽ đúng phần nào thì giám khảo không cho điểm phần lời giải liên quan đến hình phần đó - Điểm toàn bài là tổng điểm các ý, các câu, tính đến 0,25 điểm và không làm tròn II ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM: Câu (2,0 điểm) a) 1,5 điểm Nội dung trình bày Điểm x 0 1 x 0 x 1 Điều kiện: x 1 x P( x) P ( x) (1 x )(1 x ) 1 x Khi đó: 0,75 0,75 b) 0,5 điểm Nội dung trình bày Theo phần a) có: P( x) Điểm 1 x 0,25 x x 2 (thỏa mãn điều kiện) Mỗi dấu đúng cho 0,25 điểm 1 x 0,25 Câu (3,0 điểm) a) 2,0 điểm Nội dung trình bày Thay m 1 vào PT f ( x ) 0 ta có: x 3x 0 (1) Điểm 0,50 PT(1) có: a b c 1 0 1,00 Vậy PT có hai nghiệm là: x 1 ; x 2 b) 0,5 điểm 0,50 Nội dung trình bày 1 1 f ( x) x m x m m 2 2 Với m ta có: 2 1 f ( x ) x m m m 2 f ( x ) x Suy ra: để Điểm 1 m 2 0,25 m m f ( x) ax b 3 m m Vậy tồn giá trị thỏa mãn yêu cầu 0,25 c) 0,5 điểm Nội dung trình bày 2m 1 4( m 1) 4m m f ( x) 0 có nghiệm phân biệt x1 x2 2m m 2m 5 P P 2m 2 m 4(2 m 1) x x m 2m (*) Khi đó ta có: HDC môn Toán HS1 tuyển sinh lớp 10 THPT Chuyên năm học 2011-2012 Điểm 0,25 (3) , nên 2m , để P phải có: (2m 1) là ước 2m 5 m 2 Do P 2.2 4 P 1 2.2 Với m 2 thay vào (*) có: Vậy giá trị m cần tìm Câu (3 điểm) m 0,25 a) 1,5 điểm: x N P J I M O 0,75 PAO PMO 180 tứ giác APMO nội tiếp 0,75 b) 1,5 điểm: K A Ta có: PAO PMO 90 B ABM AOM Ta có ; OP là phân giác góc AOM AOP AOM ABM AOP (2 góc đồng vị) MB // OP (1) Ta có hai tam giác AOP, OBN OP = BN (2) Từ (1) và (2) OBNP là hình bình hành 0,25 0,25 PN // OB hay PJ // AB Mà ON AB ON PJ Ta có: PM OJ I là trực tâm tam giác POJ IJ PO (3) 0,25 Ta lại có: AONP là hình chữ nhật K là trung điểm PO và APO NOP 0,25 Mà APO MPO IPO cân I IK là trung tuyến đồng thời là đường cao IK PO (4) Từ (3) và (4) I, J, K thẳng hàng 0,25 0,25 Câu (1 điểm) Nội dung trình bày 2 Điểm x y x y 0 x, y Suy ra: a b a b 0 a ab b ab a b 0 Ta có: a b3 ab(a b) (1), dấu ‘=’ xẩy a b 2 abc 3 3 a b c ab ( a b ) c abc ( a b ) c a b 4) Từ (1) và BĐT AM – GM có: (do a b a b3 c 3c a b , dấu ‘=’ xẩy ab(a b) c (2) Vậy: b c 3 3 bc(b c) a (3) Tương tự có: a b c 3a b c , dấu ‘=’ xẩy c a a b3 c 3b c a , dấu ‘=’ xẩy ca(c a) b (4) 3 Từ (2), (3) và (4) có: a b c a b c b c a c a b (5), dấu ‘=’ xẩy a b c 0 abc , hay ta có đpcm vô lí, 0,25 0,25 0,25 0,25 Câu (1 điểm) Nội dung trình bày Điểm Không tính tổng quát ta có thể giả sử x 0, y 0 Từ phương trình p 2 x suy p là số 0.25 lẻ Dễ thấy x y p y x không chia hết cho p (1) y x p p y x y x 0 mod p y x 0 mod p Mặt khác, ta có (do (1)) HDC môn Toán HS1 tuyển sinh lớp 10 THPT Chuyên năm học 2011-2012 0.25 (4) Do x y p y x p x y p y p x thay vào hệ đã cho ta p 2 x p 2 x p 2 x p 4 x 2 2 x 4 x p 2 p x 1 p px p p 4 x Giải hệ này ta p 7, x 2 thay vào hệ ban đầu ta suy y 5 Vậy p 7 0.25 0.25 -Hết - HDC môn Toán HS1 tuyển sinh lớp 10 THPT Chuyên năm học 2011-2012 (5)