Tình cờ, ta lại có kết quả của bài toán tổng quát : tính tổng bình phương của các số tự nhiên chẵn liên tiếp, bắt đầu từ 2.. Bài toán chỉ có một kết quả duy nhất, không phụ thuộc vào tín[r]
(1)Chuyên đề D·y Sè viÕt theo qui luËt - D·y c¸c ph©n sè viÕt theo qui luËt A- Kiến thức cần nắm vững: I Dãy số viết theo qui luật: 1) Dãy cộng 1.1) Xét các dãy số sau: a) Dãy số tự nhiên: 0; 1; 2; 3; 4; (1) b) Dãy số lẻ: 1; 3; 5; 7; (2) c) Dãy các số chẵn: 0; 2; 4; 6; (3) d) Dãy các số tự nhiên lớn chia cho dư 1: 4; 7; 10; 13; (4) Trong dãy số trên, số hạng kể từ số hạng thứ 2, lớn số hạng đứng liền trước nó cùng số đơn vị: +) Số đơn vị là dãy (1) +) Số đơn vị là dãy (1) và (2) +) Số đơn vị là dãy (4) Khi đó ta gọi dãy các trên là "dãy cộng" 1.2) Công thức tính số hạng thứ n dãy cộng (khi biết n và d) - Xét dãy cộng a1 , a2 , a3 , a4 , a5 , , an đó a2 a1 d Ta có: a3 a1 2d ; a4 a1 3d ; Tổng quát: an a1 (n 1)d (I) Trong đó : n gọi là số số hạng dãy cộng d hiệu hai số hạng liên tiếp n an a1 1 d Từ (I) ta có: (II) Công thức (II) giúp ta tính số số hạng dãy cộng biết : Số hạng đầu a1 , số hạng cuối an và hiệu d hai số hạng liên tiếp 1.3) Để tính tổng S các số hạng dãy cộng: a1 , a2 , a3 , a4 , a5 , , an Ta viết: S a1 a2 an an S an an a2 a1 Nên 2S (a1 an ) (a2 an ) (an a2 ) (an a1 ) (a1 an )n (a a ) S n Do đó: (III) Chú ý: Trường hợp đặc biệt tổng n số tự nhiên liên tiếp bắt đầ u từ là S 1 n n(n 1) B- BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài 1: Tìm chữ số thứ 1000 viết liên tiếp liền các số hạng dãy số lẻ 1; 3; 5; 7; Bài 2: a) Tính tổng các số lẻ có hai chữ số b) Tính tổng các số chẵn có hai chữ số c) Tính: S 1 2n 1 với (n N ) * d) Tính: S 2 2n với (n N ) (2) Bài 3: Có số hạng nào dãy sau tận cùng hay không? 1;1 2;1 3;1 4; n( n 1) Híng dÉn: Sè h¹ng thø n cña d·y b»ng: NÕu sè h¹ng thø n cña d·y cã ch÷ sè tËn cïng b»ng th× n(n + 1) tËn cïng b»ng §iÒu nµy v« lÝ v× n(n + 1) chØ tËn cïng b»ng 0, hoÆc 2, hoÆc Bài 4: a) Viết liên tiếp các số hạng dãy số tự nhiên từ đến 100 tạo thành số A Tính tổng các chữ số A b) Cũng hỏi trên viết từ đến 1000000 Hướng dẫn: a) ta bổ sung thêm chữ số vào vị trí đầu tiên dãy số (không làm thay đổi kết quả) Tạm chưa xét số 100 Từ đến 99 có 100 số, ghép thành 50 cặp: và 99; và 98; và 97;… cặp có tổng các chữ số 18 Tổng các chữ số 50 cặp bằng: 18.50 = 900 Thêm số 100 có tổng các chữ số ĐS: 901 b) Tương tự: ĐS: 27000001 S1 1 2, S2 3 5, S3 6 9, S4 10 11 12 13 14, Bài 5: Cho Tính S100 ? Hướng dẫn: Số số hạng S1, , S99 theo thứ tự 2; 3; 4; 5; …100 ĐS: S100 = 515100 Bài 6: Khi phân tích thừa số nguyên tố, số 100! chứa thừa số nguyên tố với số mũ băng bao nhiêu? Bài 7: Tính số hạng thứ 50 các dãy sau: a) 1.6; 2.7; 3.8; b) 1.4; 4.7; 7.10; 20 21 Bài 8: Cho A 1 ; B 3 : Tính B A Bài 9: Tính các tổng sau: a ) A 1 2 23 2007 b) B 1 2 23 n c) C 1 22 24 22008 d ) D 1 22 24 2 n e) E 2 23 25 22007 f ) F 2 23 25 22 n 1 Bài 10: Tổng quát bài n Tính : a) S 1 a a a a , với ( a 2, n N ) 2n b) S1 1 a a a a , với ( a 2, n N ) n 1 * c) S2 a a a a , với ( a 2, n N ) (3) 99 100 Bìa 11: Cho A 1 , B 4 Chứng minh rằng: A B Bài 12: Tính giá trị biểu thức: a ) A 9 99 999 999 50 ch÷ sè b) B 9 99 999 999 200 ch÷ sè (NCPTT6T1) SUY NGHĨ TRÊN MỖI BÀI TOÁN Giải hàng trăm bài toán mà cốt tìm đáp số và dừng lại đó thì kiến thức thu lượm chẳng là bao Còn giải ít bài tập mà lại luôn suy nghĩ trên bài đó, tìm thêm cách giải, khai thác thêm ý bài toán, đó là đường tốt để lên học toán Dưới đây là thí dụ Bài toán : Cho A = 1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + 5.6 + 6.7 + 7.8 + 8.9 + 9.10 và B = A.3 Tính giá trị B Lời giải : Theo đề bài ta có : B = (1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + 5.6 + 6.7 + 7.8 + 8.9 + 9.10).3 = 1.2.(3 - 0) + 2.3.(4 - 1) + 3.4.(5 - 2) + 4.5.(6 - 3) + 5.6.(7 - 4) + 6.7.(8 - 5) + 7.8.(9 - 6) + 8.9.(10 - 7) + 9.10.(11 - 8) = 1.2.3 - 1.2.3 + 2.3.4 - 2.3.4 + 3.4.5 - … + 8.9.10 - 8.9.10 + 9.10.11 = 9.10.11 = 990 Trước hết, ta nghĩ rằng, bài toán yêu cầu tính tổng A, ta có : A = B/3 = 330 Bây giờ, ta tạm thời quên đáp số 990 mà chú ý tới tích cuối cùng 9.10.11, đó 9.10 là số hạng cuối cùng A và 11 là số tự nhiên kề sau 10, tạo thành tích ba số tự nhiên liên tiếp Ta dễ dàng nghĩ tới kết sau : Nếu A = 1.2 + 2.3 + 3.4 + … + (n - 1).n thì giá trị B = A.3 = (n - 1).n.(n + 1) Các bạn có thể tự kiểm nghiệm kết này cách giải tương tự trên Bây ta tìm lời giải khác cho bài toán Lời giải : B = (1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + 5.6 + 6.7 + 7.8 + 8.9 + 9.10).3 = (0.1 + 1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + 5.6 + 6.7 + 7.8 + 8.9 + 9.10).3 = [1.(0 + 2) + 3.(2 + 4) + 5.(4 + 6) + 7.(6 + 8) + 9.(8 + 10)].3 = (1.1.2 + 3.3.2 + 5.5.2 + 7.7.2 +9.9.2).3 = (12 + 32 + 52 + 72 + 92).2.3 = (12 + 32 + 52 + 72 + 92).6 Ta chưa biết cách tính tổng bình phương các số lẻ liên tiếp 1, liên hệ với lời giải 1, ta có : (12 + 32 + 52 + 72 + 92).6 = 9.10.11, hay (12 + 32 + 52 + 72 + 92) = 9.10.11/6 Hoàn toàn hợp lí ta nghĩ đến bài toán tổng quát : Bài toán : Tính tổng : P = 12 + 32 + 52 + 72 + … + (2n + 1)2 Kết : P = (2n + 1)(2n + 2)(2n + 3)/6 Kết này có thể chứng minh theo cách khác, ta xem xét sau Loạt bài toán sau là kết liên quan đến bài toán và bài toán Bài toán : Tính tổng : Q = 112 + 132 + 152 + … + (2n + 1)2 Bài toán : Cho A = 1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + 5.6 + 6.7 + 7.8 + 8.9 + 9.10 và C = A + 10.11 Tính giá trị C Theo cách tính A bài toán 1, ta kết là : C = 10.11.12/3 (4) Theo lời giải bài toán 1, ta đến kết : C = 2.(22 + 42 + 62 + 82 + 102) Tình cờ, ta lại có kết bài toán tổng quát : tính tổng bình phương các số tự nhiên chẵn liên tiếp, Bài toán : Chứng minh : 22 + 42 + 62 + …+ (2n)2 = 2n.(2n + 1).(2n + 2)/6 Từ đây, ta tiếp tục đề xuất và giải các bài toán khác Bài toán : Tính tổng : 202 + 222 + … + 482 + 502 Bài toán : Cho n thuộc N* Tính tổng : n2 + (n + 2)2 + (n + 4)2 + … + (n + 100)2 Hướng dẫn giải : Xét hai trường hợp n chẵn và n lẻ ; áp dụng kết bài toán 2, bài toán và cách giải bài toán Bài toán có kết nhất, không phụ thuộc vào tính chẵn lẻ n Bài toán : Chứng minh : 12 + 22 + 32 + … + n2 = n.(n + 1)(2n + 1)/6 Lời giải : Xét trường hợp n chẵn : 12 + 22 + 32 + … + n2 = (12 + 32 + 52 + … + (n – 1)2) + (22 + 42 + 62 + … + n2) = [(n – 1).n.(n + 1) + n.(n + 1).(n + 2)]/6 = n.(n + 1).(n -1 + n + 2)/6 = n.(n + 1).(2n + 1)/6 Tương tự với trường hợp n lẻ, ta có đpcm Lời giải : Ta có : 13 = 13 23 = (1 + 1)3 = 13 + 3.12.1 + 3.1.12 + 13 33 = (2 + )3 = 23 + 3.22.1 + 3.2.12 + 13 ……… (n + 1)3 = n3 + 3.n2.1 + 3.n.12 + 13 Cộng vế các đẳng thức trên : 13 + 23 + 33 + … + n3 + (n + 1)3 = = (13 + 23 + 33 + … + n3) + 3(12 + 22 + 32 + … + n2) + 3(1 + + + … + n) + (n + 1) => (n + 1)3 = 3(12 + 22 + 32 + … + n2) + 3(1 + + + … + n) + (n + 1) => 3(12 + 22 + 32 + … + n2) = (n + 1)3 – 3(1 + + + … + n) – (n + 1) = (n + 1)2.(n + 1) – 3.n.(n + 1)/2 – (n + 1) = (n + 1)[2(n + 1)2 – 3n + 2]/2 = (n + 1).n.(2n + 1)/2 => 12 + 22 + 32 + … + n2 = (n + 1).n.(2n + 1)/6 Bài toán : Tính giá trị biểu thức : A = - 12 + 22 – 32 + 42 - … - 192 + 202 Lời giải : Đương nhiên, ta có thể tách A = (22 + 42 + … + 202) – (12 + 32 + …+ 192) ; tính tổng các số ngoặc đơn tìm kết bài toán Song ta còn có cách giải khác sau : A = (22 -12) + (42 – 32) + … + (202 -192) = (2 + 1)(2 – 1) + (4 + 3)(4 – 3) + … + (20 + 19)(20 – 19) = + + 11 + 15 + 19 + 23 + 27 + 31 + 35 + 39 = (3 + 39).10/2 = 210 Trở lại bài toán Phải bài toán cho B = A.3 vì là số tự nhiên liền sau nhóm đầu tiên : 1.2 Nếu đúng thì ta có thể giải bài toán sau : Bài toán 10 : Tính A = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + 4.5.6 + 5.6.7 + 6.7.8 + 7.8.9 + 8.9.10 Lời giải : A = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + 4.5.6 + 5.6.7 + 6.7.8 + 7.8.9 + 8.9.10 = (1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + 4.5.6 + 5.6.7 + 6.7.8 + 7.8.9 + 8.9.10).4/4 = [1.2.3.(4 – 0) + 2.3.4.(5 – 1) + … + 8.9.10.(11 – 7)] : = (1.2.3.4 – 1.2.3.4 + 2.3.4.5 – 2.3.4.5 + … + 7.8.9.10 – 7.8.9.10 + 8.9.10.11) : = 8.9.10.11/4 = 1980 Tiếp tục hướng suy nghĩ trên, ta có kết tổng quát bài toán 10 : (5) Bài toán 11 : Tính A = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + … + (n – 1).n.(n + 1) Đáp số : A = (n -1).n.(n + 1)(n + 2)/4 <DD.BàI II- Dãy các phân số viết theo qui luật: * Các công thức cần nhớ đến giải các bài toán dãy các phân số viết theo qui luật: 1 1) n(n 1) n n k 1 k n n 1 2) n(n 1) 1 1 3) n(n k ) k n n k k 1 4) n(n k ) n n k 1 1 1 5) 2n(2n 2) 4n(n 1) 2n 2n n n 1 1 1 6) (2n 1)(2n 3) 2n 1 2n 1 2 7) n.(n 1) n (n 1).n (Trong đó: n, k N , n ) BÀI TOÁN TÍNH TỔNG Chúng ta cùng bài toán tính tổng quen thuộc sau : Bài toán A : Tính tổng : Lời giải : Vì = ; = ; ; 43 44 = 1892 ; 44 45 = 1980 ta có bài toán khó chút xíu Bài : Tính tổng : Và tất nhiên ta nghĩ đến bài toán ngược Bài : Tìm x thuộc N biết : (6) Hơn ta có : ta có bài toán Bài : Chứng minh : Do vậy, cho ta bài toán “tưởng khó” Bài : Chứng tỏ tổng : không phải là số nguyên Chúng ta nhận a1 ; a2 ; ; a44 là các số tự nhiên lớn và khác thì Giúp ta đến với bài toán Hay và Khó sau : Bài : Tìm các số tự nhiên khác a1 ; a2 ; a3 ; ; a43 ; a44 cho Ta còn có các bài toán “gần gũi” với bài toán sau : Bài : Cho 44 số tự nhiên a1 ; a2 ; ; a44 thỏa mãn Chứng minh rằng, 44 số này, tồn hai số Bài : Tìm các số tự nhiên a1 ; a2 ; a3 ; ; a44 ; a45 thỏa mãn a1 < a2 a3 < < a44 < a45 và Các bạn còn phát điều gì thú vị ? Bài toán 2: Tính nhanh: 1 1 1 A 3 3 3 a) 1 1 1 B 2007 2008 3 3 3 b) 1 1 1 C n n ; n N 3 3 3 c) Bài toán 3: (Bài toán tổng quát bài toán 2) 1 1 1 S n n ; ( n N ; a 0) a a a a a a Tính nhanh: Bài toán 3: Tính tổng 100 số hạng đầu tiên các dãy saug: (7) 1 1 ; ; ; ; a) 1.2 2.3 3.4 4.5 1 1 ; ; ; , b) 66 176 336 Hướng dẫn: b) Ta thấy = 1.6; 66 = 6.11; 176 = 11.16; 336 = 16.21,… Do đó số hạng thứ n dãy có dạng (5n – 4)(5n + 1) Bài toán 4: Tính tổng: 1 1 S 1.2.3 2.3.4 3.4.5 37.38.39 a) 1 1 S 1.2.3 2.3.4 3.4.5 2006.2007.2008 b) 1 1 S ; (n N ) 1.2.3 2.3.4 3.4.5 n ( n 1).( n 2) c) Bài toán 5: Tính giá trị biểu thức: 1 1 97 99 A 1 1 1.99 3.97 5.99 97.3 99.1 a) 1 1 99 100 B 2 99 98 97 99 b) Hướng dẫn: a) Biến đổi số bị chia: (1 1 1 1 100 100 100 100 ) ( ) ( ) ( ) 99 97 95 49 51 1.99 3.97 5.95 49.51 Biểu thức này gấp 50 lần số chia Vậy A = 50 100 100 100 100 99 99 100 99 100 100 100 99 99 1 1 1 1 100 100 99 1 100 99 99 100 2 2 b) Biến đổi số chia: B 100 Biểu thức này 100 lần số bị chia Vậy Bài toán 6: Tìm tích 98 số hạng đầu tiên dãy: 1 1 1 ; ; ; ; ; 15 24 35 Hướng dẫn: các số hạng đầu tiên dãy viết dạng: 16 25 36 ; ; ; ; ; 15 24 35 22 32 52 62 ; ; ; ; ; 1.3 2.4 3.5 4.6 5.7 Hay (8) 992 Do đó số hạng thứ 98 có dạng 98.100 22 32 52 992 99 A 1.3 2.4 3.5 4.6 5.7 98.100 50 Ta cần tính: 1 Bài toán 7: Cho A=1+ + +⋯+ 100 Hãy chứng minh A không phải là số tự nhiên Hướng dẫn: Để qui đồng mẫu các phân số A ta chọn mẫu chung là tích 26 với các thừa số lẻ nhỏ 100 Gọi k1, k2, …, k100 là các thừa số phụ tương ứng, tổng A có dạng: B= k +k +⋯+k n 99 Trong 100 phân số tổng A, có phân số 1/64 có mẫu chứa 26 nên các thừa số phụ k1, , k100 có k64 là số lẻ, còn các thừa số phụ khác chẵn 1 Bài toán tổng quát bài toán 7: Cho A=1+ + +⋯+ n Hãy chứng minh A không phải là số tự nhiên (9)