On thi quoc gia

Tìm tọa độ điểm A 15 biết diện tích của hình thang ABCD là 2 , hoành độ của điểm I là 3 và trung điểm AB có tung độ không âm... Gọi G là trọng tâm tam giác ABC; gọi M, N lần lượt là trun[r]

Trường THPT NVK ĐỀ ĐỀ ÔN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2015 Môn: TOÁN Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề 2x  x 1 Câu 1.(2,0 điểm) Cho hàm số a) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số đã cho b) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) giao điểm (C) với trục hoành Câu 2.(1,0 điểm) a) Giải phương trình: sin x  sin x 0 y   2i  z   2i  b) Tìm phần thực phần ảo số phức z thỏa Câu 3.(1 điểm) 31log x 30  3log x  ,  x    a) Giải phương trình: b) Trong hộp kín có 50 thẻ giống đánh số từ đến 50 Lấy ngẫu nhiên thẻ, tính xác suất lấy đúng hai thẻ mang số chia hết cho  x ln x I  dx x Câu 4: ( điểm) Tính Câu 5: ( điểm)  Cho hình chóp S.ABC có ABC là tam giác vuông B, AB a , ACB 60 , hình chiếu vuông góc S lên mặt phẳng (ABC) là trọng tâm tam giác ABC, gọi E là trung điểm AC biết SE a Tính thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách từ C đến mặt phẳng (SAB) Câu 6: ( điểm) A  1;  3;   B   4;3;  3  P  : x  y  z  0 Trong không gian (Oxyz) cho và và mặt phẳng Viết phương trình mặt phẳng (Q) qua gốc tọa độ, song song với AB và vuông góc với (P); tìm điểm N thuộc trục Oz cho N cách A và B Câu 7: ( điểm)  Trong mặt phẳng (Oxy) cho hình thang cân ABCD ( cạnh đáy AB), AB = 2CD, ADC 135 Gọi I là giao hai đường chéo, đường thẳng qua I và vuông góc với hai cạnh đáy là d : x  3y  0 Tìm tọa độ điểm A 15 biết diện tích hình thang ABCD là , hoành độ điểm I là và trung điểm AB có tung độ không âm Câu 8: ( điểm)  xy   x  y  y 8   x, y     3  x y  x y  26 x 2 x  14 Giải hệ phương trình:  Câu 9: ( điểm) a   0;1 , b   0;2  , c   0;3 Cho ba số thực a, b, c thỏa:  2ab  ac  bc  8 b b P    2a  b  3c b  c  b  a  c  12a2  3b2  27c  Tìm giá trị lớn -HẾT    ĐÁP ÁN CÂU 1( 2đ) ĐÁP ÁN ĐIỂM a) ( điểm) D  \   1 TXĐ: * Giới hạn tiệm cận lim y 2 x   => đồ thị có đường tiệm cận ngang là đường thẳng y = lim  y  ; lim  y  x    1 x    1 => đồ thị có đường tiệm cận đứng là đường thẳng x = -1 * Sự biến thiên: - Chiều biến thiên: y'   0x  D  x  1 Hàm số đồng biến trên hai khoảng Hàm số không có cực trị - Bảng biến thiên: x  y’ y 0.25 0.25   ;  1 ;   1;  0.25 -1  + +    *Đồ thị: 0.25 y -5 x -2 -4 b) ( điểm) Gọi M là giao điểm (C) với trục Ox Hoành độ M là nghiệm phương trình x 1 0 x 1 1  M  ;0  x  => (C) cắt trục Ox   2( 1đ) 0.25  1 y '    4 Tiếp tuyến có hệ số góc là   1  y 4  x    y 4 x  2  Phương trình tiếp tuyến: a) ( 0.5 điểm) 0.25 sin x  0 0.25  sin x 0  x k     k    cos x   x   k 2   0.25 sin x  sin x cos x       S k ;   k 2 , k     Vậy tập nghiệm phương trình đã cho là : b) ( 0.5 điểm)  12i   12i    2i     2i  z   2i   z   2i   2i    2i  0.25 0.25  3(1 đ) 29 29  i z  i 5 5 29 Vậy số phức z có phần thực là và phần ảo là a) ( 0.5 điểm) 31log x 30  3log x  ( ĐK: x > 0)  3.3log x  3log x 30 10 log x  30  3log x 9  log x 2  x 100 ( nhận) S  100 Vậy tập nghiệm phương trình đã cho là b) ( 0.5 điểm) Gọi  là không gian mẫu Chọn thẻ bất kì 50 thẻ có C50 cách chọn n    C50 19600 => số phần tử không gian mẫu là: Gọi A là biến cố “ Trong thẻ lấy có đúng hai thẻ mang số chia hết cho 8” Từ đến 50 có số chia hết cho Do đó số cách chọn thẻ và có đúng thẻ chia hết cho là : C6 C44 660 n  A  660 => số kết thuận lợi cho biến cố A là Vậy xác suất để chọn ngẫu nhiên thẻ có đúng hai thẻ mang số chia hết cho là: 660 33 P  A   19600 980 2 (1 đ)  x ln x ln x I  dx  dx   dx x x x 1 2 1 I1  dx   x x1 Xét ln x I  dx x Xét t ln x  dt  Đặt Đổi cận: x 1  t 0 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 dx x x 2  t ln ln t2 I  tdt  2 ln   ln I Vậy ln 2 0.25 5(1đ) Gọi G là trọng tâm tam giác ABC; gọi M, N là trung điểm BC, AB SG   ABC  Theo giả thiết có Xét tam giác ABC vuông B AB AB AC  2a BC  a   sin ACB tan BCA Có , , BE a GE   3 S 0.25 H E A C G N M K B 0.25 a2 SABC  AB.BC  2 ( đvdt) Ta có Xét tam giác SGE vuông G có SG  SE  GE  3a2  a a 26  1 a 26 a2 a3 78 VS ABC  SG.SABC   3 18 ( đvdt) Vậy thể tích khối chóp S.ABC là CN 3GN  d  C ,  SAB   3d  G ,  SAB   Có (1)  AB  SG(do SG   ABC  , AB   ABC  )  AB   SGK   AB  GK GK // BM, MB  AB GK // BM  K  AB     Vẽ ta có  GH  AB(do AB   SGK  , GH   SGK  )  GH   SAB   GH  SK  H  SK  GH  SK   Vẽ ta có d G,  SAB   GH d C ,  SAB   3GH Suy  (2) ; từ (1) và (2) suy  GK AG 2 a     GK  BM  BM AM 3 Ta có GK // BM Xét tam giác SGK vuông G và có đường cao GH 1 9 243 a 78  2     GH  2 2 GS GK 26a a 26a 27 Suy GH Vậy 6( đ) d  C ,  SAB   3GH   AB   5;6;  1 Ta có:   AB, n   4; 4;    a 78 , mặt phẳng (P) có véc tơ pháp tuyến là  n  1;  2;1 0.25 0.25 0.25 (Q) là mặt phẳng qua gốc tọa độ O(0;0;0)   , (Q) song song với AB và vuông góc với mặt  AB, n   4; 4;   phẳng (P) suy mặt phẳng (Q) nhận  làm véc tơ pháp tuyến x  y  z  Vậy phương trình mặt phẳng (Q) là 0.25 N thuộc trục Oz => N ( 0; 0; m) 0.25 AN     m   ; BN  16    m   2 N cách A, B  AN BN  m  4m  14 m  6m  34  m  10 Vậy N (0;0; -10) 7(1 đ) 0.25 E C D I B A M Gọi E  AD  BC , gọi M là trung điểm đoạn AB 0   Ta có tam giác EAB cân E và EAB 180  ADC 45 suy tam giác ABE vuông cân E DC  AB, DC // AB Ta có => DC là đường trung bình tam giác EAB suy I là trọng tâm tam AB EA IM  EM   6 giác EAB và SECD ED EC    SEAB  SABCD 10  EA Ta có SEAB EA EB Suy EA  20  IM  0.25 0.25 10 xI 3  yI  1  1  I  3;   3  Đường thẳng d trùng với đường thẳng IM, có M  3m  4; m   m 0  M thuộc d =>  m 0 1 10  IM   3m  1   m      m  3  m 0 suy M(4;0)  Có Đường thắng AB qua M(4;0) và vuông góc với d suy phương trình đường thẳng AB là 3x  y  12 0 A thuộc đường thẳng AB => AB EA AM    10 2 Có A  a;  3a  12  0.25  a 3    3a  12   10  10a  80a  150 0    a 5 A  3;3 A  5;  3 Vậy  xy   x  y  y 8  1    x y  x y  26 x 2 x  14    ĐK: y 0 AM  8(1đ)  a  4   4y  Ta có y y   1  xy   x     0.25   xy   x 2 y 0 4y  đó từ phương trình (1) suy x>0; y>0 y   y  y 8    y  y  x  x 1 x2   4y  y 2  y y  1 y        x  x  x   1   y   y   y        (3)  0;    0;  Suy hàm số f(t) đồng biến trên Xét hàm số f  t  t  t  t f '  t  1   t  trên Có t2  t2  0t   0;     f  x f   x  y   y x y   Mà phương trình (3) có dạng y x vào phương trình (2) ta có Thay 0.25 0.25  12 x  26 x  2 x  14   x  13 x   x  14   x     x    x  14   x3  14   g  u  u3  u Xét hàm số trên R g '  u  3u   0u  R Có Suy hàm số g(u) đồng biến trên R mà phương trình (4) có dạng:  x 1   nhaän  x  14  x   x  14   x  12 x  0    x 1   loại  => y 12   2;12  Vậy hệ có nghiệm a   0;1 , b   0;2 , c   0;3 Ta có:   a   b  c  0 b  c ab  ac     2a  b  3c 2ab  bc  ac 2a  2c ab  bc   b   a  c  0 g  x   g    9(1đ)  0.25  2ab  ac  bc   2ab  ac  bc    2a  b  3c  2ab  ac  bc  0.25 Mặt khác b  c a  b  c  ( vì a   0;1 0.25 ) 8 b 8 b 8 b   b  c  b  a  c   a  b  c   b  a  c   2ab  bc  ac  Với số thực x, y, z, ta có 2  x  y    y  z    y  x  0   x  y  z2  2 xy  yz  xz    x  y  z2   x  y  z  2  12a2  3b2  27c2    2a   b   3c      b b  2 => 12a  3b  27c  2ab  bc  ac   2a  b  3c  2a  b  3c 2ab  bc  ac Suy  2ab  bc  ac  8 b b P    2ab  bc  ac 2ab  bc  ac  2ab  bc  ac   2ab  bc  ac   P   2ab  bc  ac 2ab  bc  ac  2ab  bc  ac  t   0;13 Đặt t 2t f  t   , t   0;13 t 1 t  Xét hàm số f ' t   , f '  t  0  t 6 2  t  1  t  8 0.25 16 47 16 f   1; f    ; f  13   f  t   t   0;13 21 16 16 16 P a 1; b 2; c  P Khi thì Vậy giá trị lớn P là Do đó: 0.25