Viết phương trình song song với AB, vuông góc với mặt phẳng P và cắt mặt cầu S theo một mặt phẳng đường tròn có bán kính bằng 3.. Tính thể tích khối chóp S.[r]
(1)TRƯỜNG THPT YÊN PHONG SỐ LỚP 12A1, 12 A2, 12A8 ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA NĂM 2015- LẦN Môn : TOÁN Thời gian làm bài: 180 phút ,không kể thời gian giao đề 2 Câu ( 2,0 điểm) Cho hàm số y x 2m x (1) a) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) m 1 b) Tìm m để đồ thị hàm số (1) có điểm cực trị A, B, C và diện tích tam giác ABC 32 Câu (1,0 điểm) a) Giải phương trình: sin x cos2 x 2sin x b) Giải phương trình: log 32 x log (9 x) 0 1 I x dx e 1 Câu (1,0 điểm) Tính tích phân Câu (1,0 điểm) a) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn | z i || z z 2i | b) Gọi S là tập hợp các số tự nhiên có bốn chữ số khác chọn từ các chữ số 1; 2; 3; 4; 5; 6; Xác định số phần tử S Chọn ngẫu nhiên số từ S, tính xác suất để số chọn luôn có mặt chữ số P : x y z 0 , Câu (1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng S : x y z x y z 0 A 1; 1; , B 4;0; 1 mặt cầu và hai điểm Chứng minh mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là đường tròn Viết phương trình song song với AB, vuông góc với mặt phẳng (P) và cắt mặt cầu (S) theo mặt phẳng đường tròn có bán kính Câu (1,0 điểm) Cho hình chóp S ABC có tam giác ABC vuông A , AC BC 2a , ABC là trung điểm H BC , mặt phẳng SAB hình chiếu vuông góc S lên mặt phẳng tạo với đáy góc 60 Tính thể tích khối chóp S ABC và tính khoảng cách hai đường thẳng AH và SB theo a Câu (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình thoi ABCD có đường chéo AC E 9; nằm trên đường thẳng d : x y 0 Điểm nằm trên đường thẳng chứa cạnh AB, điểm F 2; nằm trên đường thẳng chứa cạnh AD, AC 2 Xác định tọa độ các đỉnh hình thoi ABCD biết điểm C có hoành độ âm Câu (1,0 điểm) Giải hệ phương trình x y 2 x x 4 y 24 y 49 y 90 14 x3 x (2) Câu (1,0 điểm) Cho a, b, c là các số dương Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P 2a b 8bc 2b 2(a c )2 -Hết Họ và tên thí sinh:………………………………………………………….SBD:………………… Cán coi thi không giải thích gì thêm Câu Nội dung Điể m a.(1,0 điểm) 0.25 Vơí m=1 hàm số trở thành : y x x TXĐ: D y ' 4 x x , y ' 0 x 0; x 1 Hàm số nghịch biến trên các khoảng 1; ; 1 và 0;1 , đồng biến trên khoảng 1;0 và 0.25 Hàm số đạt cực đại x 0 , yCD 1 , đạt cực tiểu x 1 , yCT 0 lim y x , lim y x * Bảng biến thiên x 0.25 – y’ -1 - + + - + + + y 0 Đồ thị: 0.25 (3) b.(1,0 điểm) y ' 4 x3 4m x 4 x x m 0.25 x 0 y ' 0 2 x m Đồ thị hàm số (1) có điểm cực trị Khi đó giả sử điểm cực trị là m * 0.25 A 0;1 , B( m;1 m ), C ( m;1 m ) 0.25 Tam giác ABC có AB= | m | m =AC nên là tam giác cân đỉnh A Gọi I trung điểm BC I (0;1 m ) S ABC AI BC m | m || m |5 32 m 2 (t/m) 0,25 (1,0 điểm) a) 2s inx(cos x 1) 2sin x 0 s inx 0 s inx(sin x cos x 1) 0 sin x cos x 0 25 Với s inx 0 x k 2 , k x k 2 sin x cos x 0 sin( x ) ,k x k 2 2 Với x k , x k 2 Vậy nghiệm phương trình là , k 0.25 (4) b) 2log x 5log (9 x ) 0 Đk:x>0 0,25 3 Khi đó pt 2log x 5(log log x) 0 2log x 5log x 0 log x log x 7 x (t/m) x 27 0,25 (1,0 điểm) 1 ex I x dx dx e 1 0 Cách 1 e x d (e x 1) x ln | e x 1| 1 1 ln e 1 Cách Đặt t e x dt e x dx dx 0.25 dt t1 Khi x=0 thì t 2 , x=1 thì t=e+1 Khi đó e 1 e 1 t1 1 I dt dt ln t (t 1) t1 t t 2 e 1 2 1 ln e 1 0.75 (1,0 điểm) a) Gọi z x yi ( x, y ) 0.25 Khi đó | z i || z z 2i | | x ( y 1)i || ( y 1)i | x ( y 1)2 ( y 1)2 y 0,25 x2 Vậy tập hợp đó là parabol có phương trình y x2 (5) b) 0.25 Số phần tử S là A7 840 Các số có bốn chữ số khác mà không có mặt chữ số từ tập S là A6 360 0.25 360 p 1 840 Do đó xác suất cần tìm là (1,0 điểm) Mặt cầu (S) có tâm I 2; 1; 1 , bán kính R 3 Vì d ( I ,( P)) 0 R nên mặt phẳng (P) cắt mặt cầu theo đường tròn n1 1; 1;1 , AB 3;1;1 AB, n1 2; 2; Mặt phẳng (P) có vtpt / / AB P n 1; 1; Do mặt phẳng và có vtpt : x y z m 0 Suy phương trình mặt phẳng 0,25 0,25 cắt mặt cầu (S) theo đường tròn có bán kính 5m m 1 d I, 6 m 11 thỏa mãn là x y z 1 0 và x y z 11 0 Vậy, có hai mặt phẳng 0,25 0,25 (1,0 điểm) Gọi K là trung điểm AB HK AB (1) Sj Vì SH ABC nên SH AB (2) Từ (1) và (2) suy AB SK Do đó góc M B H C K SAB với đáy góc SK và HK và SKH 60 a SH HK tan SKH Ta có 0.25 A 1 a3 VS ABC S ABC SH AB AC.SH 3 Vậy 0.25 (6) Qua B kẻ đường thẳng / / AH Hạ HE ( E ) Hạ HF SE ( F SE ) 0.25 Vì AH / / AH / /( SBE ) d ( AH , SB ) d ( AH , ( SBE )) d ( H ,( SBE )) BE SH , BE HE BE ( SHE ) BE HF HF (SBE ) Do đó, suy Ta có Vậy d H , SBE HF HE BH sin 600 d ( AH , SB ) HF SH HE SH HE a a HF nên 0,25 a (1,0 điểm) Gọi E’ là điểm đối xứng với E qua AC, AC là phân giác góc BAD nên E’ thuộc AD E 9; EE’ vuông góc với AC và qua điểm nên có phương trình x y 0 x y 0 x 3 I 3; y Gọi I là giao AC và EE’, tọa độ I là nghiệm hệ x y 0 Vì I là trung điểm EE’ nên E '( 3; 8) E '( 3; 8) F ( 2; 5) Đường thẳng AD qua và có VTCP là E ' F (1;3) nên phương trình là: 3( x 3) ( y 8) 0 3x y 0 Điểm A AC AD A(0;1) Giả sử C (c;1 c) Theo bài AC 2 c 4 c 2; c Do hoành độ điểm C âm nên C ( 2;3) 0,25 0,25 0,25 (7) Gọi J là trung điểm AC suy J ( 1; 2) , đường thẳng BD qua J và vuông góc với AC có phương trình x y 0 Do D AD BD D(1; 4) B( 3; 0) 0,25 Vậy A(0;1) , B ( 3;0), C ( 2;3), D (1; 4) (1,0 điểm) Đk x y 2 x x 1(1) 4 y 24 y 49 y 90 14 x3 x3 (2) 0.25 x 1 x x 0 (*) x 1 3 3 Khi đó (2) 4( y 2) ( y 2) 4(14 x ) 14 x (3) Xét hàm số f (t ) 4t t , ta có f '(t ) 12t 0, t Suy f(t) là hàm số đồng biến trên 3 3 Mà (3) có dạng f ( y 2) f ( 14 x ) y 14 x Thay vào phương trình (1), ta 0.25 x 14 x 2 x x x x x 14 x 0 a b3 a b 0(4) 3 Đặt a 2 x, b 14 x , ta Từ (4) suy a b , nên ta có 0.25 Nếu a b thì vế trái (4) luôn dương, pt (4) vô nghiệm 3 3 Suy a b x 14 x (2 x) 14 x 0.25 x 1 y 3 x x 0 x 1 y 3 Đối chiếu điều kiện (*), ta có nghiệm (x;y) hệ pt đã cho là (1 2;3 2);(1 2;3 2) (1,0 điểm) Ta có 1 8bc 2 b.2c b 2c Suy 2a b 8bc 2(a b c) 0,25 (8) 2(a c ) 2b a c b P Do đó 8 2(a c) 2b 8 3a b c 2(a b c) a b c Đặt t=a+b+c, t>0 Xét hàm số f '(t ) Ta có , t 2t t 0,25 3(t 1)(5t 3) , t 2 2t (3 t ) 2t (3 t ) Lâp bảng biến thiên, ta suy Do đó suy f (t ) P f (t ) f (1) , t 3 Vậy giá trị nhỏ P là - a = c = 1/4, b=1/2 0,25 0,25 (9)