Chứng minh rằng với mọi giá trị của tham số m, đường thẳng d luôn cắt parapol P tại hai điểm phân biệt 2.. Đường thẳng qua I vuông góc với BC cắt các đường thẳng AC, BC lần lượt tại E,M.[r]
(1)ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG CHUYÊN NĂM 2015 Môn thi: Toán Câu 1: (2,5 điểm) Cho a ≥ 0, a # Rút gọn biểu thức Cho x,y thỏa mãn 0< x <1, < y <1 và x y 1 1 x 1 y 2 Tìm giá trị biểu thức P x y x xy y Câu 2: (2 điểm) Một xe tải có chiều rộng 2,4m và chiều cao 2,5m muốn qua cái cổng có hình parabol Biết khoảng cách hai chân cổng là 4m và khoảng cách từ đỉnh cổng (đỉnh parabol) tới chân cổng là m (bỏ qua độ dầy cổng) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy gọi parabol (P) y ax với a < là hình biểu diễn cổng mà xe tải muốn qua Chứng minh a = -1 Hỏi xe tải có thể qua cổng không? Tại sao? Câu 3: (1,5 điểm) 2 Cho số nguyên a,b thỏa mãn a b 2(ab a b) Chứng minh a và b là hai số chính phương liên tiếp Câu 4: (3 điểm) Cho tam giác nhọn ABC (AB<AC) M là trung điểm cạnh BC O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác Các đường cao AD, BE, CF tam giác ABC đồng quy H Các tiếp tuyến với (O) B,C cắt S Gọi X,Y là giao điểm đường thẳng È với các đường thẳng BS,AO Chứng minh rằng: MX BF Hai tam giác SMX và DHF đồng dạng EF BC FY CD Câu 5: (1 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có các đỉnh là các điểm nguyên (một điểm gọi là điểm nguyên hoành độ và tung độ điểm đó là các số nguyên) Chứng minh hai lần diện tích tam giác ABC là số nguyên (2) ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG CHUYÊN NGOẠI NGỮ NĂM 2015 Môn thi: Toán Câu 1: (2,0 điểm) Cho biểu thức x x( x 2) x A x x x x 2 ,trong đó x là biến số thực Tìm điều kiện x để biểu thức A có nghĩa và rút gọn A 3 Cho x 1 Tính giá trị biểu thức B x x x 3x 1942 Câu 2: ( 2.5 điểm) x y 3xy x y 0 Giải hệ phương trình x y 0 Tìm tất các số tự nhiên có hai chữ số cho bình phương số này là số mà hai chữ số tận cùng nó 96 Câu 3: (1,5 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho pa pol (P) y = x và đường thẳng (d) y = mx +2 m là tham số Chứng minh với giá trị tham số m, đường thẳng (d) luôn cắt parapol (P) hai điểm phân biệt Gọi A(x1,y1) ,B(x2,y2) là giao điểm (d) và (p) Tìm giá tri m để y 12 + y22 đạt giá trị nhỏ Câu 4: (3 điểm) Cho tam giác ABC vuông cân đỉnh A Một điểm I thay đổi trên cạnh AB (A I, B I) Đường thẳng qua I vuông góc với BC cắt các đường thẳng AC, BC E,M Đường thẳng CI cắt BE F a CMR điểm B,F, I,M nằm trên đường tròn điểm C,E,F,M nằm trên đường tròn b D là điểm đối xứng A qua BC CM: D,F,M thẳng hàng c Đường tròn đường kính AM cắt AB,AC P,Q (#A) CMR: đường thẳng qua M và vuông góc với PQ luôn qua điểm cố định I thay đổi trên cạnh AB Câu 5: (1 điểm) Cho hai số thực dương thỏa mãn x y 3 Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P 2 x y 28 x y (3) Câu 1: (2,0 điểm) Cho biểu thức x x( x 2) x A x x x x 2 ,trong đó x là biến số thực Tìm điều kiện x để biểu thức A có nghĩa và rút gọn A x 0 a) Điều kiện : x 4 x x( x 2) x A x x x x 2 x x 2 x x2 x 2 x x x x x x x 2x x x x 2x x x x 2 x x2 x 2 x x Cho x 1 Tính giá trị biểu thức B x x x 3x 1942 B x ( x3 x x 3) 1942 Thay x 1 Ta có B = 1939 Câu 2: ( 2.5 điểm) x y 3xy x y 0 Giải hệ phương trình x y 0 Tìm tất các số tự nhiên có hai chữ số cho bình phương số này là số mà hai chữ số tận cùng nó 96 x y 3xy x y 0 x y 0 Điều kiện x 1 x (4) x y xy x y 0 x y 0 x( x y ) y ( x y ) ( x y ) 0 x y 0 x 1 y ( x y 1)( x y ) 0 x y x y 0 x y 0 x 1 y y y y 0 x y y y 0 x 1 y y y y 0 (1) x y y y (2) Từ (1) điều kiện y>0 suy y = và x= ta có x y y y (2) Từ (2) y Vậy x= , y= x y y loai y loai Tìm tất các số tự nhiên có hai chữ số cho bình phương số này là số mà hai chữ số tận cùng nó 96 Các số đó là 14; 64;36; 86 Câu 3: (1,5 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho pa pol (P) y = x và đường thẳng (d) y = mx +2 m là tham số Chứng minh với giá trị tham số m, đường thẳng (d) luôn cắt parapol (P) hai điểm phân biệt Gọi A(x1,y1) ,B(x2,y2) là giao điểm (d) và (p) Tìm giá tri m để y 12 + y22 đạt giá trị nhỏ Giao điểm (P) và (d) là nghiệm hệ phương trình y x y mx mx x y mx 1 m 8 0 từ (1) ta có phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với m Ta có A(x1,y1) và B(x2,y2) thuộc (P) suy y1 = x12 , y2 = x22 Áp dụng định lý vi ét ta có x1 x2 m y22 y12 x14 x24 x1 x2 x1 x2 x12 x22 x1 x2 2 m m 4m 8 Vậy y12 + y22 = m= với m (5) Câu a) Ta có IM vuông góc BC ABC vuông cân A IM cắt AC E , CI cắt BE F I là trực tâm BEC CI vuông góc BE F < BFI + < BMI = 1800 tứ giác BFIM nội tiêp Ta có < CME = < CFE = 90 suy M, F cùng nhìn CE góc 90 , Áp dụng quỹ tích cung chứa góc Tứ giác CMFE nội tiếp b) Chứng minh tương tự ta có tứ giác BFAC, CMIA nội tiếp < FMI = < FBI ( cùng chắn cung FI ) < FBI = < CAI ( cùng chắn cung AI ) < FBA = < FAC (cùng chắn cung FA ) < FMI = < IMA IM là phân giác < FMA MC là phân giác <AMD Mà < IMA + < AMC = 900 FMI + < CMD = 900 IMA + < AMC + < FMI + < CMD = 1800 Vậy F,M ,D Thẳng hang c) Chứng minh tương tự ta có AB là phân giác < FAM PM PF PQ vuông góc FM ( đường kính qua trung điểm dây cung) Vì A cố định D cố định Vậy FM vuông góc với PQ luôn qua điểm cố định là D Câu 5: (1 điểm) (6) Cho hai số thực dương thỏa mãn x y 3 Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P 2 x y P 28 x y x 14 14 y 1 y x2 ( x y )2 3.7 24 x x 2y 2y Ta có Vậy max P = 24 Dấu xảy x= và y = (7)