giác CDM và ngoại tiếp tứ giác , tâm của hai đường tròn này đều nằm trên CM ... HP.HA HQ.HB nên H , T nằm trên trục đẳng phương của hai đường tròn nói trên.[r]
(1)KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2013 - 2014 ĐỀ THI MÔN: TOÁN HỌC LỚP 10 Thời gian 180 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 19/04/2014 (Đề thi co 01 trang) ĐỀ CHÍNH THỨC Câu (4 điểm): Giải phương trình sau trên tập số thực x 3 x 15 x x 2 x 27 x 14 11 Câu (4 điểm): Cho tam giác ABC ( BC AC ) Gọi M là trung điểm AB , AP vuông góc với BC P , BQ vuông góc với AC Q Giả sử đường thẳng PQ cắt đường thẳng AB T Chứng minh TH CM , đó H là trực tâm tam giác ABC Bài (4 điểm): Cho hàm số f : ( là tập số thực) thỏa mãn f f ( x ) x x với x Chứng minh tồn số thực phân biệt a, b, c cho f (a ) f (b) f (c ) 0 Bài (4 điểm): Tìm giá trị lớn k để bất đẳng thức sau đúng với giá trị a, b, c : a b c abc (a b c) k (ab bc ca )2 n 2014 Bài (4 điểm): Tìm số nguyên dương n nhỏ để 2013 - chia hết cho -HẾT - (2) KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI KHU VỰC DUYÊN HẢI VÀ ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ NĂM HỌC 2013 - 2014 ĐÁP ÁN MÔN: TOÁN HỌC LỚP 10 ĐỀ SỐ Câu (4 điểm): Giải phương trình sau trên tập số thực x 3 x 15 x x 2 x 27 x 14 11 CÂU (Quốc học Huế) NỘI DUNG ĐIỂM x Điều kiện: Đặt a x , b x ( a, b 0 ) Suy 1,0 a b 5 2 2b 1 a 2a 1 b 2ab 11 p s s p 5 p s 2 s s 5 s s 11 s s s 0 2sp s 2 p 11 s a b, p ab a 2 b 1 2 p s a 1 p 2 s s 3 s s 0 b 2 x 1 x 2 Thử lại thỏa mãn Vậy nghiệm phương trình là x 1 x 2 1,0 1,0 1,0 Câu (4 điểm): Cho tam giác ABC ( BC AC ) Gọi M là trung điểm AB , AP vuông góc với BC P , BQ vuông góc với AC Q Giả sử đường thẳng PQ cắt đường thẳng AB T Chứng minh TH CM , đó H là trực tâm tam giác ABC (Bắc Ninh) (3) Gọi T B D P CD AB D Khi đó AP, BQ, CD đồng quy nên T , B, D, A là hàng điểm điều hòa ( (TBDA) ) H Do đó ta có TM TD TATB Xét hai đường tròn ngoại tiếp hai tam M ABPQ A C giác CDM và ngoại tiếp tứ giác , tâm hai đường tròn này nằm trên CM Q Nhưng TM TD TATB và HP.HA HQ.HB nên H , T nằm trên trục đẳng phương hai đường tròn nói trên Do đó ta có TH CM (ĐPCM) f f ( x ) x x Bài (4 điểm): Cho hàm số f : ( là tập số thực) thỏa mãn với x Chứng minh tồn số thực phân biệt a, b, c cho f (a) f (b) f (c) 0 (Vĩnh Phúc) Nội dung trình bày Điểm g ( x) x3 x thì f f ( x) g ( x) Suy f g ( x) f f f ( x ) g f ( x ) Đặt f f ( x ) g ( x) Dễ thấy g ( x) là đơn ánh nên từ suy f ( x ) là đơn ánh 1 g ( x) g ( x0 ) x0 x0 0; ; 2 Gọi x0 là điểm cố định hàm f ( x0 ) f g ( x0 ) g f ( x0 ) Ta có , suy f ( x0 ) là điểm cố định hàm 1,0 1,0 1,0 g ( x) 1 D 0; ; f ( x ) là song ánh trên tập 2 nên 1 f f (0) 2 1,0 1 1 f 0 2 2 Từ đó ta có điều phải chứng minh Bài (4 điểm): Tìm giá trị lớn k để bất đẳng thức sau đúng với giá trị a, b, c : a4 + b + c + abc( a + b + c) ³ k ( ab + bc + ca) (Lê Quí Đôn - Đà Nẵng) (4) Vì bất đẳng thức đúng với giá trị a, b, c nên phải đúng với a = b = c =1 Þ k £ Ta chứng minh k= Xét k= 3 là gtln 1,0 bất đẳng thức trở thành 2 ab + bc + ca) ( (1) 4 2 2 2 Û 3( a + b + c ) ³ 2( a b + b c + c a ) + abc ( a + b + c ) a + b + c + abc ( a + b + c) ³ 1,0 Áp dụng bđt AM – GM ta có ( a + b4 ) +( b4 + c4 ) +( b4 + c4 ) ³ 2a 2b2 + 2b2c2 + 2c2a2 3( a + b4 + c ) ³ 3( a 2b + b 2c + c a ) Suy (2) 1,0 a b + b c + c a - abc ( a + b + c ) 2 2 2 Mặt khác 1 2 = ( ab - bc) + ( bc - ca) + ( ca - ab) ³ 2 (3) Từ (2) và (3) suy (1) chứng minh Vậy số k lớn k= 1,0 2013n - chia hết cho 22014 Bài (4 điểm): Tìm số nguyên dương n nhỏ để (Nam Định) k Xét n = t với k, t là các số tự nhiên và t là số lẻ n n 2013 = a - Đặt ( ) k a n - = a t - = a n k a - 1M2 Do t là số lẻ nên t ( k )( ) - = a2 - [ a2 2014 t- k + + a +1] k Û a - 1M22014 k Ta có k a - = (a - 1)(a +1)(a +1) ( a k- +1) i- a chia dư nên a +1 chia dư Do đó a n - 1M22014 Û (k - 1) + ³ 2014 Từ đó suy giá trị nhỏ n cần tìm là n = 2012 (5) -HẾT - (6)