Gọi A là biến cố hai số được viết lên bảng đều có mặt chữ số 5; B là biến cố hai số được viết lên bảng đều không có mặt chữ số 5.[r]
(1)TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH TRƯỜNG THPT CHUYÊN www.MATHVN.com ĐÁP ÁN ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG LỚP 12, LẦN - NĂM 2013 Môn: TOÁN – Khối D; Thời gian làm bài: 180 phút Đáp án a) (1,0 điểm) Câu Khi m = −2 hàm số trở thành y = x + x + x + (2,0 a) Tập xác định: R điểm) b) Sự biến thiên: * Giới hạn vô cực: Ta có lim y = −∞ và lim y = +∞ Điểm Câu x → −∞ x → +∞ * Chiều biến thiên: Ta có y ' = 3x + 12 x + 9; x = −3 x < −3 y' = ⇔ ; y' > ⇔ ; y ' < ⇔ −3 < x < −1 x = −1 x > −1 Suy hàm số đồng biến trên khoảng (− ∞; − 3), (− 1; + ∞ ); nghịch biến trên (− 3; − 1) * Cực trị: Hàm số đạt cực đại x = −3, yCĐ = 1, hàm số đạt cực tiểu x = −1, yCT = −3 * Bảng biến thiên: y −3 x −∞ −1 +∞ + y' – + −∞ +∞ y 0,5 −3 −3 −1 O x 0,5 c) Đồ thị: −3 b) (1,0 điểm) Ta có y ' = x − 3(m − 2) x − 3(m − 1), ∀x ∈ R x = x1 = −1 y ' = ⇔ x − ( m − 2) x − m + = ⇔ x = x = m − Chú ý với m > thì x1 < x2 Khi đó hàm số đạt cực đại x1 = −1 và đạt cực tiểu tạ i 3m x2 = m − Do đó yCĐ = y (−1) = , yCT = y (m − 1) = − (m + 2)(m − 1) + 2 3m Từ giả thiết ta có − (m + 2)(m − 1) + = ⇔ 6m − − (m + 2)(m − 1) = 2 − ± 33 ⇔ (m − 1)(m + m − 8) = ⇔ m = 1, m = − + 33 Đối chiếu với yêu cầu m > ta có giá trị m là m = 1, m = 0,5 0,5 π Câu Điều kiện: cos x ≠ 0, hay x ≠ + kπ (1,0 Khi đó phương trình đã cho tương đương với điểm) (tan x + 1) sin x + − sin x + = 3(cos x + sin x) sin x ⇔ (tan x − 1) sin x + = 3(cos x − sin x) sin x + sin x ⇔ (tan x − 1) sin x + cos x = 3(cos x − sin x) sin x ⇔ (tan x − 1) sin x + 3(cos x − sin x) cos x = ⇔ (sin x − cos x)(sin x − cos x) = ⇔ (sin x − cos x)(2 cos x + 1) = www.DeThiThuDaiHoc.com 0,5 (2) www.MATHVN.com π sin x = cos x x = + kπ ⇔ ⇔ cos x = − x = ± π + kπ , k ∈ Z Đối chiếu điều kiện ta có nghiệm x = π + kπ , x = ± 0,5 π + kπ , k ∈ Z 2 + x > 0, 18 − x ≥ Câu Điều kiện: ⇔ −2 < x ≤ 18 4 − 18 − x > (1,0 điểm) Khi đó phương trình đã cho tương đương với log 2 + x = log (4 − 18 − x ) 0,5 ⇔ + x = − 18 − x Đặt t = 18 − x Khi đó ≤ t < 20 và phương trình trở thành 20 − t = − t 4 − t ≥ t ≤ ⇔ ⇔ 4 20 − t = (4 − t ) t + t − 8t − = t ≤ ⇔ (t − 2)(t + 2t + 5t + 2) = 0,5 t ≤ ⇔ ⇔ t = t − = Suy 18 − x = ⇔ x = Kết hợp với điều kiện, ta có nghiệm phương trình là x = Đặt + e x = t Khi đó e x = t − ⇒ e x dx = 2tdt Khi x = ⇒ t = 2, x = ln ⇒ t = Câu 3 2tdt t (1,0 Suy = = I dt 2 ∫ ∫ điểm) 3t + 2(t − 3) + 2t + 3t + 0,5 3 t = 2∫ − dt = ∫ dt + + + + ( t )( t ) t t 2 0,5 80 = ln t + − ln 2t + = (2 ln − ln 3) − (ln − ln 5) = ln 63 2 K ẻ hình chi ế u SK ⊥ AB ⇒ CK ⊥ AB S ⇒ (( SAB), ( ABCD) ) = ∠SKC = 45 Câu (1,0 điểm) ∠ABC = 120 ⇒ ∠CBK = 60 ⇒ CK = CB sin 60 = E D ⇒ SC = CK tan 45 = C 3a 3a (1) 0,5 3a (2) O 3a A T (1) và (2) ⇒ V = SC S = S ABCD ABCD B K Gọi O = AC ∩ BD Kẻ CE ⊥ SO Vì BD ⊥ (SAC ) nên BD ⊥ CE ⇒ CE ⊥ (SBD) (3) S ABCD = AB.BC sin 120 = 2a 3a 3a , OC = nên ∆SCO vuông cân C ⇒ CE = SC = 2 2a Từ (3) và (4) suy d (C , ( SBD) ) = Vì SC = www.DeThiThuDaiHoc.com (4) 0,5 (3) www.MATHVN.com 1 ≥ Câu Ta có 8bc = b.2c ≤ b + 2c Suy 2(a + b + c) a + b + bc (1,0 −8 −8 điểm) Mặt khác, 2(a + c) + 2b ≥ (a + c) + b Suy ≥ 2 3+ a +b + c + 2(a + c) + 2b − Do đó P ≥ (1) 2( a + b + c ) + a + b + c Đặt a + b + c = t , t > Xét hàm số f (t ) = − , t > 2t + t 3(t − 1)(5t + 3) = , t > Suy f ' (t ) ≥ ⇔ t ≥ Ta có f ' (t ) = − + 2t (3 + t ) 2t (3 + t ) Bảng biến thiên: t +∞ f ' (t ) – f (t ) − + 0,5 Từ bảng biến thiên suy f (t ) ≥ f (1) = − , ∀t > Câu 7.a (1,0 điểm) Câu 8.a (1,0 điểm) 0,5 (2) a + b + c = a = c = ⇔ Từ (1) và (2) ta có P ≥ − Dấu đẳng thức xảy b = 2c b = a + c b = 1 Vậy giá trị nhỏ P là − , đạt a = c = , b = B ∈ d : y = − x ⇒ B (b; − b), B D ∈ d : x = y − ⇒ D(2d − 3; d ) ⇒ BD = (−b + 2d − 3; b + d − 8) và trung b + 2d − − b + d + ; điểm BD là I 2 D u BD = − 8b + 13d − 13 = b = BD ⊥ AC Theo tính chất hình thoi ⇒ ⇔ AC ⇔ ⇔ I ∈ AC I ∈ AC − 6b + 9d − = d = B(0; 8) 9 Suy ⇒ I − ; 2 D(−1; 1) A ∈ AC : x = −7 y + 31 ⇒ A(−7 a + 31; a) 2S 15 S ABCD = AC.BD ⇒ AC = = 15 ⇒ IA = BD 2 2 a = A(10; 3) (ktm) 63 9 225 9 ⇒ − 7a + + a − = ⇔ a − = ⇔ ⇒ 2 2 2 a = A(−11; 6) Suy A(−11; 6) ⇒ C (10; 3) A I C 0,5 0,5 Giả sử ∆ có vtcp u ∆ = (a; b; c), a + b + c ≠ ∆ ⊥ d1 ⇔ u ∆ u1 = ⇔ a − b + c = (1) a − b − 2c ∠(∆, d ) = 60 ⇔ = cos 60 = ⇔ 2(a − b − 2c) = 3(a + b + c ) (2) + + a + b + c ( ) Từ (1) có b = a + c thay vào (2) ta 18c = a + (a + c) + c ⇔ a + ac − 2c = www.DeThiThuDaiHoc.com 0,5 (4) www.MATHVN.com a = c, b = 2c ⇔ a = −2c, b = −c x +1 y − z = = x +1 y − z Với a = −2c, b = −c, chọn c = −1 ⇒ u ∆ = (2; 1; − 1) ta có ∆ : = = −1 n n n ( + ) (( − ) Ta có 4C n3+1 + 2Cn2 = An3 ⇔ + n(n − 1) = n(n − 1)(n − 2), n ≥ ⇔ 2(n − 1) + 3(n − 1) = 3(n − 3n + 2), n ≥ Với a = c, b = 2c, chọn c = ⇒ u ∆ = (1; 2; 1) ta có ∆ : Câu 9.a (1,0 điểm) 0,5 0,5 ⇔ n − 12n + 11 = 0, n ≥ ⇔ n = 11 11 Câu 7.b (1,0 điểm) Câu 9.b (1,0 điểm) B0 A M 0,5 Chọn A0 (0; − 2) ∈ d1 , ta có IA0 = 2 Lấy B0 (2 − 2b; b) ∈ d cho A0 ∆ d1 Câu 8.b (1,0 điểm) k 11 2 2 Khi đó x − = ∑ C11k ( x )11− k − = ∑ C11k (−2) k x 22−3k x x k =0 k =0 Số hạng chứa x là số hạng ứng với k thỏa mãn 22 − 3k = ⇔ k = 5 Suy hệ số x là C11 (−2) = −14784 d1 cắt d I (2; 0) I 11 A0 B0 = 3IA0 = B ⇔ (2 − 2b) + (b + 2) = 72 B0 (−6; 4) b = ⇔ 5b − 4b − 64 = ⇔ ⇒ 42 16 B0 ; − b = − 5 d2 Suy đường thẳng ∆ là đường thẳng qua M (−1; 1) và song song với A0 B0 Suy phương trình ∆ : x + y = ∆ : x + y − = (P) qua K (1; 0; 0) ⇒ phương trình (P) dạng Ax + By + Cz − A = ( A + B + C ≠ 0) u n = (1) 2 A − B + C = ( P) // d ⇔ d P ⇔ ( 2) H (−2; 4; − 1) ∉ ( P) − A + B − C ≠ A − B + 3C (3) d (M , ( P ) ) = ⇔ = ⇔ ( A − B + 3C ) = 3( A + B + C ) 2 A + B +C Từ (1) có C = −2 A + 3B, thay vào (3) ta (−5 A + B) = 3(A + B + (−2 A + 3B) ) A = B ⇔ A − 22 AB + 17 B = ⇔ 5 A = 17 B Với A = B, ta có C = B, không thỏa mãn (2) 17 19 Với A = 17 B, ta có A = B, C = − B Chọn B = ta có A = 17, C = −19 , thỏa mãn (2) 5 Suy ( P ) : 17 x + y − 19 z − 17 = Số các số tự nhiên có chữ số đôi khác thuộc tập E là × × = 60 Trong đó số các số không có mặt chữ số là × × = 24, và số các số có mặt chữ số là 60 − 24 = 36 Gọi A là biến cố hai số viết lên bảng có mặt chữ số 5; B là biến cố hai số viết lên bảng không có mặt chữ số Rõ ràng A và B xung khắc Do đó áp dụng qui tắc cộng xác suất ta có P( A ∪ B) = P( A) + P( B) = 36 60 36 60 24 60 C C C C + C C C C 24 60 2 13 3 2 = + = 25 5 5 www.DeThiThuDaiHoc.com 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 (5) www.MATHVN.com Suy xác suất cần tính là P = − P( A ∪ B) = − 13 12 = 25 25 www.DeThiThuDaiHoc.com (6)