2 - Các định lý biến đổi tơng đơng của phơng trình: a §Þnh lý 1: Nếu cộng cùng một đa thức của ẩn vào hai vế của cùng một phơng trình thì ta đợc một phơng trình mới tơng đơng với phơng t[r]
(1)I Nh÷ng kiÕn thøc c¬ b¶n gi¶i ph¬ng tr×nh: - Các định nghĩa: 1.1 §Þnh nghÜa ph¬ng tr×nh: Gi¶ sö A(x) = B(x) lµ hai biÓu thøc chøa biÕn x Khi nãi A(x) = B(x) lµ mét ph ¬ng trình, ta hiểu phải tìm giá trị x để các giá trị tơng ứng hai biểu thức này Biến x đợc gọi là ẩn Giá trị tìm đợc gọi là nghiệm ViÖc t×m nghiÖm gäi lµ gi¶i ph¬ng tr×nh Mỗi biểu thức đợc gọi là vế phơng trình 1.2 §Þnh nghÜa ph¬ng tr×nh bËc nhÊt mét Èn sè: Phơng trình có dạng ax + b = 0, với a, b là số; a # đợc gọi là phơng trình bËc nhÊt mét Èn sè, b gäi lµ h¹ng tö tù 1.3 Tập xác định phơng trình: Lµ tËp hîp c¸c gi¸ trÞ cña Èn lµm cho mäi biÓu thøc ph¬ng tr×nh cã nghi· 1.4 Định nghĩa hai phơng trình tơng đơng: Hai phơng trình đợc gọi là tơng đơng chúng có cùng tập hợp nghiệm 1.5 Các phép biến đổi tơng đơng: Khi giải phơng trình ta phải biến đổi phơng trình đã cho thành phơng trình tơng đơng với nó (nhng đơn giản hơn) Phép biến đổi nh gọi là phép biến đổi tơng đơng 1.6 §Þnh nghÜa ph¬ng tr×nh bËc hai mét Èn: Phơng trình bậc hai ẩn số là phơng trình có dạng ax2 + bx + c = ; đó x là ẩn số a,b,c là các hệ số đã cho; a # 1.7 §Þnh nghÜa ph¬ng tr×nh bËc cao: Ta gọi phơng trình đại số bậc n trên trờng số thực là các dạng phơng trình đa dạng: anxn + an-1xn-1 + + a1 + a0 = Trong đó n là số nguyên dơng; x là ẩn số; a1, a2 , an là các số thực xác định (an # 0) - Các định lý biến đổi tơng đơng phơng trình: a) §Þnh lý 1: Nếu cộng cùng đa thức ẩn vào hai vế cùng phơng trình thì ta đợc phơng trình tơng đơng với phơng trình đã cho VÝ dô: 2x = <=> 2x + 5x = + 5x *Chó ý: NÕu céng cïng mét biÓu thøc chøa Èn ë mÉu vµo hai vÕ cña mét ph¬ng tr×nh th× ph¬ng trình có thể không tơng đơng với phơng trình đã cho VÝ dô: x - = (1) Không tơng đơng với phơng trình x − 2+ 1 = x − x −2 (2) V× x = lµ nghiÖm cña (1) nhng kh«ng lµ nghiÖm cña (2) * HÖ qu¶ 1: (2) Nếu chuyển hạng tử từ vế này sang vế cùng phơng trình thì ta đợc phơng trình tơng đơng với phơng trình đã cho VÝ dô: 8x-7=2x+3 <=> 8x-2x = 7+3 * HÖ qu¶ 2: Nếu xoá hai hạng tử giống hai vế phơng trình thì ta đợc phơng trình tơng đơng với phơng trình đã cho VÝ dô: -9 - 7x = 5(x+3)-7x <=> -9 = 5(x+3) * Chó ý: Nếu nhân hai vế phơng trình với đa thức ẩn thì đợc phơng trình có thể không tơng với phơng trình đã cho III Mét sè c¸ch gi¶i ph¬ng tr×nh bËc cao A - Ph¬ng híng ë phæ th«ng kh«ng häc phÐp gi¶i tæng qu¸t cho ph¬ng tr×nh bËc ba, bËc cßn ph¬ng trình bậc không có phép giải tổng quát Tuy nhiên số trờng hợp đặc biệt có thể đa phơng trình cần giải phơng trình bậc một, bậc hai Ta phải dựa vào đặc thù phơng trình cần giải để có phơng pháp thích hợp Gi¶i vµ gi¶ng d¹y c¸c bµi to¸n vÒ gi¶i ph¬ng tr×nh bËc cao quy vÒ bËc nhÊt mét Èn sè hoÆc bËc hai n»m qu¸ tr×nh gi¶i ph¬ng tr×nh bËc nhÊt, bËc hai Nãi chung lµ bao gåm nhiều dạng và phong phú đợc các nhà toán học và s phạm quan tâm và đề cập tới nhều tài liệu, tập san toán học Căn vào mục đích ý nghĩa kết điều tra và thực tế giảng dạy chơng phơng trình Trong quá trình giảng dạy thân tôi đã nghiên cứu áp dụng lý luận quá trình dạy học, các phơng pháp đặc trng môn, áp dụng các kiến thức đã học để đa các phơng trình bậc cao phơng trình bậc nhất, bậc hai nhiều cách B - C¸c bµi to¸n vµ ph¬ng ph¸p gi¶i: - Ph¬ng ph¸p ®a vÒ ph¬ng tr×nh tÝch: 1.1 ¸p dông ph¬ng ph¸p ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö §Ó gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh d¹ng nµy tríc hÕt ta ph¶i n¾m v÷ng ph¬ng ph¸p ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö b»ng mäi c¸ch ®a ph¬ng tr×nh ®a cho vÒ ph¬ng tr×nh d¹ng tÝch f(x) g(x) h(x)=0 <=> f ( x) = ¿ g (x)=0 ¿ =0 ¿ h( x)= ¿ ¿ ¿ ¿ V× mét tÝch b»ng vµ chØ Ýt nhÊt mét phÇn tö b»ng NghiÖm cña ph¬ng tr×nh d· cho chÝnh lµ tËp hîp nghiÖm cña c¸c ph¬ng tr×nh f(x) = 0; g(x) = 0; ;h(x) = * Bµi to¸n: Gi¶i ph¬ng tr×nh: (x-1)3+x3+(x+1)3=(x+2)3 (1) Gi¶i (x-1)3+x3+(x+1)3=(x+2)3 <=> x3 - 3x2 + 3x - + x3 + x3 + 3x2 + 3x + = x3 + 6x2 + 12x + (3) <=> x3 - 3x2 - 3x - = <=> x3 - - 3x2 - 3x - = <=> (x-1)(x2 + x + 1) - (x2 + x + 1) = <=> (x2 + x + 1)(x-4) = (2) Víi häc sinh líp ta lµm nh sau: Do x2 + x + # nªn ph¬ng tr×nh cã mét nghiÖm x-4 =0 <=> x=4 Víi häc sinh líp 9: x + x + 1=0 (∗) ¿ x-4 =0 (**) (2) <=> ¿ ¿ ¿ ¿ Gi¶i ph¬ng tr×nh (*) Δ=1− 4=− 3<0 nªn (* )v« nghiÖm Gi¶i (**): x =4 Vậy phơng trình đã cho có nghiệm là x = * Lợc đồ hoócne: NÕu f(x) cã nghiÖm x = x0 th× f(x) chøa nh©n tö (x-x0) tøc lµ: f(x) = (x-x0) g(x) Trong đó: f(x) = anxn + an-1xn-1 + + a1x+a0 = g(x) = bnxn + bn-2xn-2+ + b1x+b0 = Víi : bn-1= an bn-2= x0bn-1+ an-1 bi-1 = x0b1+ b0 = x0b1+ a1 Ta có bảng sau: (lợc đồ hoócne) xi an x = x0 bn-1= an an-1 x0bn-1 bn-2 a1 x0b1 b0 a0 x0b1 ViÖc nhÈm nghiÖm c¸c ph¬ng tr×nh dùa trªn c¸c c¬ së sau: 1.2.1 NÕu ®a thøc cã tæng c¸c hÖ sè b»ng th× lµ nghiÖm cña ®a thøc, ®a thøc chøa thõa sè x-1 1.2.2 NÕu ®a thøc cã tæng c¸c hÖ sè cña mét sè h¹ng bËc ch½n b»ng tæng c¸c hÖ sè cña sè h¹ng bËc lÎ th× -1 lµ nghiÖm cña ®a thøc, ®a thøc chøa thõa sè (x+1) 1.2.3 Mọi nghiệm nguyên đa thức là ớc hệ số tự là a0 1.2.4 Mäi nghiÖm h÷u tû cña ®a thøc víi hÖ sè nguyªn: xn + an-1xn-1 + + a1x+a0 = là số nguyên * Bµi to¸n 2: Gi¶i ph¬ng tr×nh: x4 + x3 -x - = (2) NhËn thÊy: a4 + a3 + a2 + a1 + a0 = +1 + +(-1) + (-1) = vµ a4 + a2 + a0 = +0 + (-1) = a3 + a1 = 1+ (-1) (4) ¸p dông môc 1.2.1 vµ môc 1.2.2 ta cã hai nghiÖm cña ph¬ng tr×nh (2) lµ: x1 = vµ x2 = -1 ¸p dông lîc då hoãcne ta cã: xi a4 = a3 = a2 = a1 = -1 a0 = -1 x=1 2 x = -1 1 Ph¬ng tr×nh (2) cã d¹ng ph©n tÝch nh sau: (x - 1) (x + 1)( x2 + x + 1) = Ta dÔ dµng nhËn thÊy ph¬ng tr×nh (2) cã hai nghiÖm : x1 = 1vµ x2 = -1 *Bµi to¸n Gi¶i ph¬ng tr×nh: x3 - 5x2 + 8x - 16 = (3) ë bµi to¸n nµy ta kh«ng thÓ ¸p dông viÖc nhÈm nghiÖm theo nh©n xÐt ë 1.2.1 vµ 1.2.2 ¸p dông nhËn xÐt môc 1.2.3 vµ 1.2.4 ta cã: U(4) ( ±1 ; ± 2; ± ; ± ; ± ; ±16 ) KiÓm tra thÊy x = lµ nghiÖm áp dụng lợc đồ hoócne ta đa phơng trình (3) dạng (x - 4) (x2 - x + 4) = <=> x − 4=0(∗) ¿ x − x + 4=0(**) ¿ ¿ ¿ ¿ (*) <=> x - = <=> x = (**) <=> x2 - x + = Δ=1− 4=1−16=− 15<0 =>(**) v« nghiÖm VËy nghiÖm cña PT(3) lµ x = Bµi to¸n 4: Gi¶i ph¬ng tr×nh : 2x3 - 5x2 + 8x - = Việc áp dụng nhận xét các mục 1.2.1, 1.2.2, 1.2.3 không thể giải đợc vấn đề (vì phơng trình này không có nghiệm nguyên) Ta nghĩ đến hội cuối cùng phơng trình cã nghÖm lµ h÷u tû vµ ¸p dông nhËn xÐt o môc 1.2.4 (4) <=> 8x3 - 20x2 + 32x - 12 = <=> (2x)3 - 5(2x)2 + 16(2x) - 12 = §Æt y = 2x ta cã: y - 5y + 16y - 12 = NhËn thÊy a3 + a2 + a1 + a0 = 1+(-5) + 16 +(-12) = ¸p dông môc 1.2.1 ta cã y = áp dụng lợc đồ hoócne (4’) dạng (y - 1)(y2 - 4y + 12) = (5) <=> y − 1=0(∗) ¿ y − y +12=0(**) ¿ ¿ ¿ ¿ (*) <=> y -1 = <=> y = => x = 1/2 (**) y2 - 4y + 12 = v« nghiÖm v× (y -2)2 + > víi y VËy ph¬ng tr×nh (4) cã nghiÖm lµ x = 1/2 1.2.5 ViÖc nhÈm nghiÖm nh ë trªn sÏ gÆp rÊt nhiÒu khã kh¨n nÕu sè h¹ng tù lµ a lớn và có nhiều ớc số Trong trờng hợp này ta áp dụng nhận xét sau để loại trừ bớt các ớc không là nghiệm phơng trình cách nhanh chóng - NÕu x0 lµ nghiÖm nguyªn cña ®a thøc f(x) vµ f(1) # 0; f(-1) # th× f (1) f (− 1) vµ x −1 x +1 là các giá trị nguyên Bµi to¸n 5: Gi¶i ph¬ng tr×nh: 4x3 - 13x2 + 9x - 18 = (0) Gi¶i: U(18) ( ±1 ; ± 2; ± ; ± ; ±9 ; ± 18 ) HiÓn nhiªn -1,1 kh«ng lµ nghiÖm cña (5) => f(1) # 0, f(-1) # Ta thÊy f (1) −18 = =−9 ∈ Z 3−1 f (1) − 44 = =−11 ∈ Z 3+1 => Ph¬ng tr×nh (5) cã kh¼ n¨ng cã nghiÖm lµ x1 = áp dụng lợc đồ Hoócne ta đa phơng trình (5) dạng sau: (x - 3)(4x2 -x + 6) = <=> x - = (*) 4x -x + = 0(**) (*) <=> x = (**) <=> 4x2 - x + = = (-1)2 - 4.4.6 <0 (**) v« nghiÖm Nªn ph¬ng tr×nh (5) cã mét nghiÖm lµ: x = Chó ý: - ViÖc nhÈm nghiÖm ph¬ng tr×nh cã thÓ nhÈm miÖng råi dïng thuËt chia ®a thøc cho đa thức để hạ bậc đa phơng trình dạng tích - Có thể dùng lợc đồ Hoócne để xác định ớc số nào a0 là nghiệm, ớc số nào không lµ nghiÖm vµ ®a d¹ng ph©n tÝch VD xÐt ph¬ng tr×nh: x3 - 5x2 - 8x - = (*) U(4) ( ±1 ; ± 2; ± ) áp dụng lợc đồ Hoócne ta có X0 a3 = a2 = -5 a1 = a0 = -4 x=1 -4 x = -1 -6 14 -18 x=2 -3 (6) x = -2 -7 22 -48 x=4 -1 12 x = -4 -9 44 172 Nhận thấy x =1 và x = là nghiệm phơng trình (*) lúc đó (*) viết dới dạng phơng tr×nh tÝch nh sau: (x - 1) (x - 2) (x - 2) = Phơng pháp đặt ẩn phụ - Phơng trình này thờng đợc sử dụng với các dạng phơng trình * D¹ng 1: Ph¬ng tr×nh cã d¹ng ax4 + bx2 + c = (a ≠ 0) gäi lµ ph¬ng tr×nh trïng ph¬ng - Các giải: Đặt ẩn phụ y = x2 (y ≥ 0) đa phơng trình bậc hai y nh sau: ay2 + by + c = * Bµi to¸n 7: Gi¶i ph¬ng tr×nh x4 - 5x2 + = (1) Gi¶i: §Æt y = x2 (y ≥ 0) y −1=0 ¿ y − 4=0 ¿ y=1 ¿ y=4 ¿ x 2=1 ⇔ x1 =1; x 2=− x 2=4 ⇔ x 3=2 , x 4=− (1) ¿ ⇔¿ ¿ ¿ ⇔ y −5 y +4=0 ¿ ⇔( y − 1)( y − 4)=0 ¿ ⇔ Vậy phơng trình đã cho có nghiệm: x = 1; x = -1; x = 2; x = -2 * D¹ng 2: Ph¬ng tr×nh cã d¹ng (x + a) (x + b) (x + c) (x + d) = m Víi a + b = c + d hoÆc a + c = b + d hoÆc a + d = b + c * Bµi to¸n 8: Gi¶i ph¬ng tr×nh (x-1) (x+1) (x+3) (x+5) = (1) Gi¶i: (7) ⇔ (1) (x-1) (x+1) (x+3) (x+5) = ⇔ (x2 + 4x - 5) (x2 + 4x + 3) = §Æt y = x2 + 4x - Ta đợc phơng trình: y (y+8) = y −1=0 ¿ y+ 9=0 ¿ y=1 ¿ y=−9 ¿ x 2+ x − 5=1 ⇔ x +4 x −6=0 ⇔ x 1,2=− ± √ 10 x2 + x − 5=− ⇔ x 2+ x +4=0 ⇔ x3,4 =− ¿ ⇔¿ ¿ ¿ y ( y +8)= ¿ ⇔ y +8 y − 9=0 ¿ ⇔ ( y −1)( y+ 9)=0 ⇔ VËy ph¬ng tr×nh (1) cã nghiÖm: x 1=− 2+ √10 x 2=−2 − √ 10 x3 =−2 D¹ng 3: Ph¬ng tr×nh d¹ng (x + a)4 + (x + b)4 = c + Cách giải: Ta đa phơng trình trên dạng phơng trình trùng phơng cách đặt y = x+ (a+b)/2 * Bµi to¸n 9: Gi¶i ph¬ng tr×nh (x+1)4 + (x+3) = 16 Gi¶i: Đặt y = x + ta đợc phơng trình (y-1)4 + (y+1)4 = 16 2y4 + 12y2 + = 16 y4 + 6y2 - = (ph¬ng tr×nh trïng ph¬ng) Đặt m = y2 (m ≥ 0) ta đợc phơng trình m2 + 6m - = (8) Dïng ph¬ng ph¸p nhÈm nghiÖm (a+b+c = 0) (*) m1 = (tho¶ m·n); m2 = -7 (lo¹i) y 2=1 ⇒ y 1=1 ; y 2=−1 x+ 2=1 ⇒ x=−1 x +2=−1 ⇒ x=−3 VËy ph¬ng tr×nh (1) cã nghiÖm lµ: x = -1; x = -3 Dạng 4: Phơng trình đối xứng bậc chẵn có dạng: 2n a0 x + a1 x n −1 n + + an −1 x + an x n −1 + + a1 x +a 0=0 (8) C¸ch gi¶i: V× kh«ng lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh nªn chia c¶ hai vÕ cña ph¬ng tr×nh cho x2 đa phơng trình bậc n cách đặt y = x + 1/x * Bµi to¸n 10: Gi¶i ph¬ng tr×nh 2x4 + 3x3 - 3x2 + 3x + = (1) Gi¶i: x = kh«ng lµ nghiÖm cña (1) Với x ≠ chia vế (1) cho x2 ta đợc phơng trình tơng đơng 2 x 2+3 x − 3+ + =0 x x 1 ⇔ 2(x +2+ )+3 ( x+ )− 5=0 x x 1 ⇔ 2(x+ )+3( x + )−5=0 x x y=x + §Æt x ®a ph¬ng tr×nh vÒ 2y2 + 3y - = (2) = + 40 = 49 > => ph¬ng tr×nh (2) cã nghiÖm y 1= −3+7 −3 −7 − =1 ; y 2= = 4 x+ =1 (Nh©n vÕ víi x≠0) x ⇔ x − x+1=0(∗) = 1-4 = -3 <0 => ph¬ng tr×nh (*) v« nghiÖm −5 x+ = x (nh©n hai vÕ víi 2x ≠ 0) ⇔ x +5 x +2=0(**) Δ=25 −16=9>0 => ph¬ng tr×nh (**) cã nghiÖm: − 5+3 −1 = − −3 x 2= =− x 1= VËy ph¬ng tr×nh (1) cã nghiÖm: x 1= −1 ; x 2=−2 * Dạng 5: Phơng trình đối xứng bậc lẻ có dạng: a0 x n− 2n + an −1 x + .+ an x n− n + an x + .+ a1 x +a 0=0 C¸ch gi¶i: ph¬ng tr×nh nµy bao giê còng cã nghiÖm x = -1 vµ chia hai vÕ cña ph¬ng tr×nh cho (x + 1) ta đợc phơng trình đối xứng bậc chẵn 2n Bµi to¸n 11: Gi¶i ph¬ng tr×nh 2x5 + 5x4 - 13x3-13x2 + 5x + = (1) Gi¶i: Ta cã : + (-13) + = + (-13) + => a5 + a3 + a1 = a4 + a2 + a0 (9) => x0 = -1 lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh Víi x # - chia cho c¶ vÕ cña ph¬ng tr×nh (1) cho (x + 1) ta cã ph¬ng tr×nh 2x4 + 3x3 - 16x2 + 3x + = (3) DÔ dµng thÊy r»ng x = kh«ng lµ nghiÖm cña (3) Chia vế (3) cho x2 # 0, ta có phơng trình tơng đơng 2x2 + 3x - 16 + <=> 2(x + x + 2 ) + 3(x + x §Æt y = x + x x2 =0 ) - 20 = x ta đợc phơng trình 2y2 + 3y - 20 = (4) = + 160 = 190 > => ph¬ng tr×nh (4) cã nghiÖm ph©n biÖt y1 = − 3+13 = ; y2 = − 3+13 =-4 Từ đó giải phơng trình x+ = -4 (Nh©n vÕ víi x # 0) x <=> x2 + 4x + = (*) ’ = - = > => ph¬ng tr×nh (*) cã nghiÖm: x1 = -2 + √ ; x2 = -2 - √ x+ = x (nh©n vÕ víi 2x # 0) <=> 2x2 - 5x + = (**) = 25 - 16 = > => Ph¬ng tr×nh (**) cã nghiÖm x1 = 5+ −3 =3 x2 = = 4 VËy ph¬ng tr×nh (1) cã nghiÖm: x1 = -2 + √ , x2 = -2 - √ , x3 = 3, x4 = * NhËn xÐt Bài tập này tơng đối khó với học sinh nên dạy giáo viên cần lu ý khai thác hết các giả thiết, nhận xét có thể sử dụng phơng pháp nào, đẳng thức nào phân tích cho thích hợp Mỗi bài tập giải xong giáo viên nên chốt lại vấn đề và các kiến thức cần sử dụng quá trình giải bài tổng quát, bài tơng tự, đặc biệt dùng để bồi dỡng học sinh giỏi nhằm phát triÓn t * D¹ng 6: Ph¬ng tr×nh cã d¹ng: (x + a) (x + b) (x + c) (x + d) = mx2 (10) C¸ch gi¶i: §Æt Èn phô y = x + ad hoÆc y = (x + a) (x + b) Bµi to¸n 12: Gi¶i ph¬ng tr×nh: 4(x + 5)(x + 6)(x + 10)(x + 12) = 3x2 Gi¶i: * C¸ch1: <=> 4(x2 + 17x + 60) (x2 + 16x + 60) = 3x2 <=>4(x+17+ §Æt y = (x+16+ (2) (1) 60 60 )(x+16+ ) = ( v× x # 0) x x (2) 60 ) x <=> 4y(y + 1) = <=> 4y2 + 4y - = <=> y1 = víi y1 = 2 y2 = - ta cã : 2x2 + 31x + 120 = <=> x1 = -8 víi y2 = - 3 x2 = - 15 ta cã : 2x2 + 35x + 120 = <=> x3 = − 35+ √ 265 ; x4 = − 35 − √ 265 4 * Cách 2: Đặt y = x2 + 16x +60, ta đợc phơng trình: 4y (y + x) - 3x2 = (3) <=> (2y - x)(2y + 3x) = <=> x1=2 y ¿ x 2=−2 y /3 ¿ ¿ ¿ ¿ Thay vào (3) ta tìm đợc nghiệm * Bµi to¸n 13: Gi¶i ph¬ng tr×nh (x - 3)(x + 2)(x - 4)(x + 6) = 14x2 (1) Gi¶i: * C¸ch 1: Khai triÓn, thu gän vÒ ph¬ng tr×nh f(x) = víi vÕ tr¸i lµ ®a thøc bËc bèn * C¸ch 2: NhËn thÊy (-3)(-4) = 12 2.6 = 12 (1) <=> (x - 3)(x - 4)(x + 2)(x + 6) = -14x2 <=> (x2 - 7x + 12)(x2 - 8x + 12) = - 14x2 (2) DÔ thÊy x = kh«ng ph¶i lµ nghiÖm cña (1) nªn chia vÕ cho x2 (11) (2) 12 12 )(x + + ) = -14(3) x x <=> (x - + §Æt t = x - + 12 x => x + + 12 x = t + 15 (3) trë thµnh: <=> <=> t(t + 15) = -14 t2 + 15t + 14 = t1 = -1; t2 = -14 Víi t = -1; x - + 12 x = -1 <=> x2 - 6x + 12 = (*) (v× x # 0) ’ = - 12 = -3 <0 => (*) v« nghiÖm Víi t = -14; x - + 12 x = -14 <=> x2 + 7x + 12 = (**) (v× x # 0) = 49 - 48 = > => (**) cã nghiÖm x1 = 3; x2 = VËy ph¬ng tr×nh (1) cã nghiÖm : x = 3; x = * D¹ng 7: Ph¬ng tr×nh cã d¹ng d(x + a)(x + b)(x + c) = mx Trong đó: d = a+b+ c ; m = (d - a)(d - b)(d - c) * C¸ch gi¶i: §Æt Èn phô y = x + d, mét nghiÖm cña ph¬ng tr×nh lµ y = * Nhận xét: Một thiếu sót thờng mắc biến đổi phơng trình: - Khi chia vÕ cho mét ®a thøc cña ph¬ng tr×nh f1(x)g(x) = f2(x)g(x) (1) thµnh f1(x) = f2(x) - Khö luü thõa bËc ch½n ë vÕ cña ph¬ng tr×nh f2n(x) = g2n(x) (2) thµnh f(x) = g(x) Hai phép biến đổi này có thể làm nghiệm - Đối với phơng trình đầu nên chuyển vế để đa phơng trình tích giải phơng trình f1(x) = f2(x) - §èi víi ph¬ng tr×nh (2) gi¶i ph¬ng tr×nh f(x) = g(x) vµ f(x) = -g(x) * D¹ng 8: x3 + ax2 + bx + c = (Phơng pháp này có thể giải đợc với phơng trình không có nghiệm hữu tỉ) + C¸ch gi¶i: - Bớc : Quy dạng y3 + py + q = cách đặt y = a/3 + x - Bíc 2: §Æt y = u + v (u + v)3 + p(u + v) + q = <=> u3 + v3 + (u + v)(3uv + p)+q = ¿ u +v =−q Nªn u vµ v tho¶ m·n hÖ ph¬ng tr×nh: uv=− p ¿{ ¿ (12) ¿ u3 +v 3=− q <=> u3 v 3=− q3 /27 ¿{ ¿ Sau đó áp dụng hệ thức Viét để tìm nghiệm u, v *Bµi to¸n 14: Gi¶i ph¬ng tr×nh: x3 + 9x2 + 18x + 28 = (*) §Æt y = x + a/3 = x + => x = y - (*) <=> y3 - 9y + 28 = (**) §Æt y = u + v (**) <=> (u + v )3 - 9(u + v) + 28 = <=> u3 + v3 + (u + v) (3uv - 9) + 28 = (***) NÕu u, v tho¶ m·n ph¬ng tr×nh (***) th× u, v lµ nghiÖm cña hÖ ¿ u3 +v =−28 uv =3 ¿{ ¿ <=> ¿ u3 +v =−28 u3 v 3=27 ¿{ ¿ => u3, v3 lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh: X2 + 28X + 27 = => u3 = -1; v3 = -27 => u = -1; v = -3 => y = u + v = - - = -4 mµ x = y - => x = -7 VËy ph¬ng tr×nh (*) cã cã mét nghiÖm lµ x = Ph¬ng ph¸p ®a vÒ luü thõa cïng bËc: * Cách giải: Ta thêm bớt hạng tử để xuất đẳng thức thích hợp từ đó đa hai vế phơng trình luỹ thừa cùng bậc Sau đó vận dụng các đẳng thức đã học để gi¶i ph¬ng tr×nh * Chó ý: A2n = B2n <=> A = + B A2n - = B2n - <=> A = B * Bµi to¸n 15: Gi¶i ph¬ng tr×nh: x4 = 24 x + 32 (1) Gi¶i: Thªm 4x2 + vµo vÕ cña (1) x4 + 4x2 + = 4x2 + 24x + 36 <=> (x2 + 2)2 = (2x + 6)2 <=> x +2=2 x +6(2) ¿ x 2+2=−(2 x +6)(3) ¿ ¿ ¿ ¿ Gi¶i (2): <=> x2 + = 2x + x2 - 2x - = (13) ’ = + = > ph¬ng tr×nh cã nghiÖm x1 = -1 + √ ; x2 = -1 - √ Gi¶i (3): x2 + = - 2x - <=> x2 + 2x + = ’ = - = -7 < ph¬ng tr×nh v« nghiÖm VËy ph¬ng tr×nh (1) cã nghiÖm : x1 = -1 + √ ; x2 = -1 - √ * Bµi to¸n 15*: Gi¶i ph¬ng tr×nh: x3 + 3x2 - 3x +1 = (1) Gi¶i: x3 = -3x2 + 3x -1 2x3 = x3 - 3x2 + 3x -1 ( x √3 2)3=(x −1)3 x √3 2❑=x −1 x= 1− √3 Vậy phơng trình đã có nghiệm x= * Bµi to¸n 16: Gi¶i ph¬ng tr×nh x4 + 8x2 - 8x + 17 = (1) Gi¶i: (1) <=> x4 - 8x2+ 16 + 16x2 - 8x + = <=> (x2 - 4)2 + (4x - 1)2 = (2) V×: x −4¿ ≥0 ¿ x −1 ¿2 ≥0 ¿ ¿{ ¿ ¿ ¿ x − 4=0 Nªn (2) <=> x −1=0 ¿{ ¿ <=> VËy ph¬ng tr×nh (1) v« nghiÖm * Bµi to¸n 17: Gi¶i ph¬ng tr×nh x3 - x2 - x = 1/3 Gi¶i: Nh©n vÕ cña (1) víi (1) <=> 3x3 - 3x2 - 3x = <=> 4x3 = x3 + 3x2 + 3x + <=> ( √3 x )3 = (x + 1)3 <=> √3 x = x + ¿ x=± x= ¿{ ¿ (1) 1− √3 (14) <=> ( √3 − ).x = 1 √ −1 => x = √ −1 VËy nghiÖm cña ph¬ng tr×nh (1) lµ : x = Phơng pháp dùng bất đẳng thức: * Cách giải: Dùng tính chất đơn điệu hàm số trên khoảng * Bµi to¸n 18: Gi¶i ph¬ng tr×nh: (1) |x − 8| +|x −9| =1 Gi¶i: ViÕt ph¬ng tr×nh díi d¹ng (1) |x − 8| +|9− x| =1 Dễ thấy x = 8; x = là nghiệm (1) XÐt c¸c gi¸ trÞ cßn l¹i cña x |9 − x|>1 ⇒|9− x| > + Víi x < th× |x − 8| >0 Nªn vÕ tr¸i cña (1) > 1, (1) v« nghiÖm |x − 8|>1 ⇒|x −8| >1 + Víi x > th× |9 − x| > Nªn vÕ tr¸i cña (1) > 1, (1) v« nghiÖm + Víi < x < th× < x - < => |x − 8|5 <|x −8|=x − < - x < => |9 − x|6<|9 − x|=9− x Nªn vÕ tr¸i cña (1) nhá h¬n : x - + - x = 1; (1) V« nghiÖm VËy (1) cã nghiÖm: x = 8; x = Phơng pháp dùng điều kiện dấu “=” đẳng thức không chặt: * Bµi to¸n 19: Gi¶i ph¬ng tr×nh |x − x +1|+| x2 − x −2|=3(1) Gi¶i: Ta cã: x2 - x + 1=(x-1/2)2 +3/4 > nªn (1) <=> x2 - x + + |2 − x 2+ x|=3 <=> |2 − x 2+ x|=2 − x 2+ x áp dụng bất đẳng thức | A| ≥ A xảy dấu “=” với A ≥ ta có: - x2 + x ≥ <=> (x + 1)(x - 2) ≤ <=> - ≤ x ≤ VËy nghiÖm cña ph¬ng tr×nh tr×nh lµ c¸c gi¸ trÞ x tho¶ m·n: - ≤ x ≤ Phơng pháp dùng hệ số bất định: Gi¶ sö ph¬ng tr×nh tr×nh bËc 4: x4 + ax3 + bx2 + cx + d = vµ cã ph©n tÝch thµnh (x2 + a1x + b1)(x2 + a2x + b2) = lúc đó ta có: (15) ¿ a1+a2=a a1 a2 +b 1+ b2=b a1 b2 +a b1 =c b1 b2=d ¿ { {{ ¿ TiÕp theo tiÕn hµnh nhÈm t×m c¸c hÖ sè a1; b1; a2; b2 B¾t ®Çu tõ b1b2 = d vµ chØ thö víi c¸c gi¸ trÞ nguyªn * Bµi to¸n 20: Gi¶i ph¬ng tr×nh: x4 - 4x3 - 10x2 + 37x - 14 = (1) Giả sử phơng trình trên phân tích đợc thành dạng: (x2 + a1x + b1)(x2 + a2x + b2) = ¿ a1 + a2=− a1 a2 +b 1+ b2=−10 Ta cã: a1 b2 +a2 b1=37 <=> b1 = -2; b2 = -7; a1 = -5; a2 = b1 b2 =−14 ¿ { {{ ¿ Ph¬ng tr×nh (1) cã d¹ng (x2 - 5x + 2)(x2 + x - 7) = TiÕp tôc gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh bËc hai: x2 - 5x + = vµ x2 + x - = ta cã nghiÖm cña ph¬ng tr×nh (1) lµ: x1 = 5+ √ 17 ; x2 = − √ 17 ; x3 = − 1+ √29 ; x4 = − 1− √29 * Chú ý: Với phơng pháp này có thể giải đợc với phơng trình không có nghiệm hữu tỷ (16)