Xác định tọa độ điểm M có hoành độ dương nằm trên đồ thị C sao cho tiếp tuyến tại M cắt hai đường tiệm cận của C tại A, B đồng thời hai điểm này cùng với điểm I tạo thành một tam giác nộ[r]
(1)ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC NĂM 2013 http://www.k2pi.net Môn: TOÁN NGÀY 12.10.2012 ĐỀ SỐ PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7 điểm) pi ne t TÀI LIỆU TOÁN THPT 2x + (C) x−1 a) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (c) b) Gọi I là giao điểm hai đường tiệm cận Xác định tọa độ điểm M có hoành độ dương nằm trên đồ thị (C) cho tiếp tuyến M cắt hai đường tiệm cận (C) A, B đồng thời hai điểm này cùng với điểm I tạo thành tam giác nội tiếp √ đường tròn có bán kính 10 Câu (2 điểm) Cho hàm số y = Câu (2 điểm) cos 2x + + cos2 x tan x = + sin2 x cosx (x + y) (25 − 4xy) = 105 + 4x2 + 17y2 b) Giải hệ phương trình 4x2 + 4y2 + 4x − 4y = Z Câu (1 điểm) Tính tích phân I= π .k2 a) Giải phương trình + tan2 x x − (x − tan x) cos2 x dx + cos 2x ww w Câu (1 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, mặt phẳng (SBD) vuông góc với đáy, các đường √ d = 45o Tính thể tích khối chóp S.ABCD và thẳng SA, SD hợp với đáy góc 30o Biết AD = a 6, BD = 2a và góc ADB khoảng cách từ đỉnh C đến mặt phẳng (SAD) theo a Câu (1 điểm) Cho các số thực không âm x, y thỏa mãn : x (2x + 2y − 5) + y (y − 3) + = Tìm giá trị lớn và nhỏ biểu thức : P = (xy − x + 1)2 + (xy − y + 1)2 PHẦN RIÊNG (3 điểm): Thí sinh làm hai phần A B A Theo chương trình chuẩn :// Câu 6a (2 điểm) a) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đề-các vuông góc Oxy, cho hình vuông ABCD có các đỉnh A (−1; 2) , C (3; −2) Gọi E là trung điểm cạnh AD, BM là đường thẳng vuông góc với CE M ; N là trung điểm của BM và P là giao điểm AN với DM Biết phương trình đường thẳng BM : 2x − y − = Tìm tọa độ điểm P b) Trong không gian với hệ tọa độ Đề-các vuông góc Oxyz , cho mặt cầu (S) : x2 + y2 + z2 − 2x − 4y + 6z − 13 = và đường x+1 y+2 z−1 thẳng d : = = Xác định tọa độ điểm M trên đường thẳng d cho từ M có thể kẻ tiếp tuyến 1 [ = 60o ; BMC [ = 90o ; CMA [ = 120o MA, MB, MC đến mặt cầu (S) ( A, B,C là các tiếp điểm ) Sao cho AMB Câu 7a (1 điểm) Cho các số phức z1 ; z2 đồng thời thỏa mãn các điều kiện : z1 + 3z1 z2 = (−1 + i) z2 và 2z1 − z2 = −3 + 2i z1 Tìm mô-đun số phức w = + z1 + z2 z2 htt p B Theo chương trình nâng cao Câu 6b (2 điểm) a) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đề-các vuông góc Oxy cho tam giác ABCvuông A ngoại tiếp hình chữ nhật MNPQ Biết các điểm M (−3; −1) và N (2; −1) thuộc cạnh BC , Q thuộc cạnh AB , P thuộc cạnh AC , đường thẳng AB có phương trình : x − y + = Xác định tọa độ các đỉnh tam giác ABC b) Trong không gian với hệ tọa độ Đề-các vuông góc Oxyz , cho mặt cầu (S) : (x − 2)2 + (y − 2)2 + (z − 2)2 = 12 và điểm √ A (4; 4; 0) Xác định tọa độ điểm B thuộc mặt cầu (S) biết tam giác BOA cân B và có diện tích Câu 7b (1 điểm) Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, có thể lập bao nhiêu số chẵn có chữ số khác nhỏ 4321 đồng thời các chữ số và luôn có mặt và đứng cạnh ———————————————–Hết—————————————————- (2) 2x + (C) x−1 a) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (c) b) Gọi I là giao điểm hai đường tiệm cận Xác định tọa độ điểm M có hoành độ dương nằm trên đồ thị (C) cho tiếp tuyến M cắt hai đường tiệm cận (C) A, B đồng thời hai điểm này cùng với điểm I tạo thành tam giác nội tiếp √ đường tròn có bán kính 10 Lời giải (Sangham_BM ): 2x + Hàm số: y = Tập xác định: D = R\{1} Hai tiệm cận đồ thì hàm số là: x−1 -Tiệm cận ngang: y = -Tiệm cận đứng: x = Suy giao điểm tiệm cận: I(1; 2) 2x0 + Giả sử điểm M(x0 ; y0 ) thuộc đồ thị hàm số (x0 6= 1) Suy y0 = Để M có hoành độ dương thì x0 > x0 − −3 2x0 + (x − x0 ) (∆) = Và ta có phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số M:y − x0 − (x0 − 1)2 Không giảm tính tổng quát ta giả sử A, B là giao điểm ∆ với tiệm cận đứng, tiệm cận ngang với đồ thị (C) 2(x0 + 2) Suy A 1; , B(2x0 − 1; 2) Và IA = , IB = 2|x0 − 1| x0 − |x0 − 1| Vì hai tiệm cận vuông góc với nên IA và IB vuông góc hay ∆IAB vuông I Do đó bán kính đường tròn ngoại tiếp ∆IAB = AB √ √ Vậy để ∆IAB có bán kính đường tròn ngoại tiếp là 10 thì AB = 10 Mà theo định lí Pitago thì IA2 + IB2 = AB2 nên IA2 + IB2 = 40 36 Hay + 4(x0 − 1)2 = 40 ⇐⇒ [(x0 − 1)2 − 1][(x0 − 1)2 − 9] = (x0 − 1)2 Suy x0 = x0 = (do x0 > 0) (thỏa mãn) * Nếu x0 = → y0 = Suy M(2; 5) * Nếu x0 = → y0 = Suy M(4; 3) Vậy có điểm M thỏa mãn bài là M(2; 5) và M(4; 3) pi ne t Cho hàm số y = Câu 2.a Giải phương trình ww w .k2 Câu cos 2x + + cos2 x tan x = + sin2 x cos x Câu 2.b :// Lời giải (Love Math): ĐK : cos x 6= PT tương đương với : cos 2x + (sin x − cos x) + sin x cos x(cos x − sin x) = ⇔ (cos x − sin x)(cos x + sin x + sin x cos x − 1) = " cos x − sin x = cos x + sin x + sin x cos x − = √ PT thứ đặt sin x + cos x = t, |t| ≤ π Giải ta x = k2π, x = + k2.π(k ∈ Z) Giải hệ phương trình (x + y) (25 − 4xy) = 105 + 4x2 + 17y2 4x2 + 4y2 + 4x − 4y = Lời giải (hahahaha1): −6b3 + 9b2 = 6a3 + 14a − 20(1) 3a − 3b + Đặt x = ;y = Lúc đó hệ trở thành: a2 + b2 = 2 htt p Ta có (1) ⇔ 3b2 (3 − 2b) = (a − 1)(6a2 + 6a + 20) ⇔ 3(1 − a2 )(3 − 2b) = (a − 1)(6a2 + 6a + 20) ⇔ (a − 1)(6a2 + 6a + 20 + − 6b + 9a − 6ab) = +) với a = ⇒ b = ⇒ x = 1; y = +) Với 6a2 + 29 + 15a − 6b − 6ab = (2) ta có: V T(2) ≥ 6a2 + 29 − 15 − − = 6a2 + > nên TH này pt vô nghiệm Vậy phương trình có nghiệm (x; y) = 1; Lời giải (Hồng Vinh): Từ pt(2) ta tìm −2 ≤ x ≤ 1, −1 ≤ y ≤ 17 + 21y2 Biến đổi pt(1) thành (x + y)[25 − 4(xy + x − y)] = 17 Thay 4x − 4y = − 4x2 − 4y2 ta : 4y3 − 21y2 + 18y + 4x3 + 18x = (3) Z Câu Tính tích phân I= π pi ne t khảo sát hai hàm số : f (x) = 4x3 + 18x, −2 ≤ x ≤ và g(y) = 4y3 − 21y2 + 18y, −1 ≤ y ≤ 17 Ta có : f (x) + g(y) ≤ Dấu "=" xảy và x = 1, y = 4 Vậy hệ có nghiệm 1, + tan2 x x − (x − tan x) cos2 x dx + cos 2x Lời giải (hungchng): + tan2 x x − (x − tan x) cos2 x x + x tan2 x − x cos2 x + tan x cos2 x x sin2 x + x tan2 x sin x cos x = = + + cos 2x + cos 2x + cos 2x + cos 2x 2 x tan x(cos x + 1) sin 2x x tan x sin 2x = + = + + cos2 x − 2(3 + cos 2x) 2(3 + cos 2x) π4 1 π π2 − x + x tan x + ln | cos x| − ln |3 + cos 2x| + ln − ln Do đó I = = − 2 64 4 S .k2 Câu Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, mặt phẳng (SBD) vuông góc với đáy, các đường thẳng √ d = 45o Tính thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách SA, SD hợp với đáy góc 30o Biết AD = a 6, BD = 2a và góc ADB từ đỉnh C đến mặt phẳng (SAD) theo a Lời giải (dan_dhv): ww w T K A D H B C :// d = SDH [ = 30o suy HA = HD Gọi O là tâm khối chóp Hạ SH ⊥ BD ⇒ SH ⊥ (ABCD) suy SAH √ AD nên tam giác AHD vuông cân H ⇒ HA = HD = √ = a ⇒ SH = HD tan(30o ) = a √ √ 2a3 o Ta có Diện tích đáy S = AD.BD sin(45 ) = 2a nên VS.ABCD = Ta có: d(C; (SAD)) = 2d(O; (SAD)) = √ d(H; (SAD)) Gọi K là trung điểm AD √ AD a suy HK ⊥ AD ⇒ AD ⊥ (SHK) Hạ HT ⊥ SK suy HT = d(H; (SAD)) Ta có : HK = = 2 √ 1 a 15 Áp dụng hệ thức lượng tam giác SHK ta có : + = ⇒ HT = 2 SH HK HT √ √ a 15 2a Vây d(C; (SAD)) = √ = 5 htt p Câu Cho các số thực không âm x, y thỏa mãn : x (2x + 2y − 5) + y (y − 3) + = Tìm giá trị lớn và nhỏ biểu thức : P = (xy − x + 1)2 + (xy − y + 1)2 Lời giải (hahahaha1): Giả thiết có thể viết lại thành: (x + y − 1)(x + y − 2) = −(x − 1)2 Từ đó ta có được: ≤ x + y ≤ Mặt khác giả thiết viết lại dạng: 2(x − 1)2 + (y − 1)2 = x + y − 2xy ⇒ x + y ≥ 2xy ⇒ ≥ xy MIN Ta lại có biểu thức P có thể viết thành: a2 − 2ab + 2b2 − 2a + 2b + = P Hay a2 − 2a(b + 1) + 2b2 + 2b + − P = (1) Trong đó a = x + y(1 ≤ a ≤ 2); b = xy(2 ≥ a ≥ 2b) Coi (1) phương trình bậc theo a đó để tồn a; b ta phải có: ∆0 ≥ ⇔ P ≥ b2 + ⇒ P ≥ Vậy P = đạt a = 1; b = ⇒ x = 1; y = MAX (4) pi ne t Xét hàm số f (a) = a2 − 2a(b + 1) + 2b2 + 2b + Ta chi làm TH nhỏ sau: +) Nếu b ≥ ta xét hàm số trên [2b; 2] Dễ thấy hàm số đạt max f (2) f (2b) (mà f (2) = f (2b) = 2(b2 − b + 1) Do đó: f (a) ≤ 2(b2 − b + 1) = 2[b(b − 1) + 1] ≤ Vậy TH này max P = x = y = 1 +) Nếu b ≤ ta xét hàm số trên [1; 2] Hàm số đạt max f (2) (vì f (2) ≥ f (1)) nên ta có giá trị max TH trên Kết luận: max P = x = y = Câu 6a.a Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đề-các vuông góc Oxy, cho hình vuông ABCD có các đỉnh A (−1; 2) , C (3; −2) Gọi E là trung điểm cạnh AD, BM là đường thẳng vuông góc với CE M ; N là trung điểm của BM và P là giao điểm AN với DM Biết phương trình đường thẳng BM : 2x − y − = Tìm tọa độ điểm P Lời giải (hungchng): A y B N E P .k2 −1 −1 x M D −2 C −3 Gọi B ∈ BM nên tọa độ B thỏa I trung điểm AC nên I(1; 0), B thỏa AB = CB và (x + 1)2 + (y − 2)2 = (x − 3)2 + (y + 2)2 y = x − x = ⇐⇒ ⇐⇒ 2x − y − = y = 2x − y = ww w −→ đó B(3; 2) suy D(−1; −2) (vì I là trung điểm BD) Theogiả thiết E trung điểm AD nên E(−1; 0) và CE = (−4; 2) x = x+1 = y 11 −4 M ∈ CE và M ∈ BM nên tọa độ M thỏa ⇐⇒ suy M ; − và N ; 5 5 y = − 2x − y − = x+1 y−2 = x = 19 19 16/5 −8/5 P ∈ AN và P ∈ DM nên tọa độ P thỏa x + y + ⇐⇒ Vậy P ; − y = − = 12/5 4/5 :// Câu 6a.b Trong không gian với hệ tọa độ Đề-các vuông góc Oxyz , cho mặt cầu (S) : x2 + y2 + z2 − 2x − 4y + 6z − 13 = và x+1 y+2 z−1 đường thẳng d : = = Xác định tọa độ điểm M trên đường thẳng d cho từ M có thể kẻ tiếp tuyến 1 [ = 60o ; BMC [ = 90o ; CMA [ = 120o MA, MB, MC đến mặt cầu (S) ( A, B,C là các tiếp điểm ) Sao cho AMB Lời giải (dan_dhv): htt p A M d a B K √ a H C O Gọi O là tâm mặt cầu Do A, B,C là các tiếp điểm kẻ từ M đến mặt cầu nên ta có MA = MB = MC = a và A, B,C nội tiếp đường tròn √ √ Từ gt ⇒ ( AB = a, BC = a 2, AC = a suy tam giác ABC vuông B Gọi H là trung điểm AC K là trung điểm AB AB ⊥ MK Ta có ⇒ AB ⊥ MH; MH ⊥ AC ⇒ MH ⊥ (ABC) Suy M, H, O thẳng hàng MC là tiếp tuyến nên MC ⊥ OC AB ⊥ HK √ √ Khi đó CH = a , OC = R = 27 Áp dụng hệ thức lượng tam giác OMC ta có : (5) pi ne t 1 + = ⇒ a2 = ⇒ MO = M ∈ d ⇒ M(t − 1;t − 2;t + 1); O(1; 2; −3) a2 27 3a2 −2 ; ; suy (t − 2)2 + (t − 4)2 + (t + 4)2 = 36 ⇒ t = 0;t = suy M(−1; −2; 1); 3 3 Câu 7a Cho các số phức z1 ; z2 đồng thời thỏa mãn các điều kiện : z1 + 3z1 z2 = (−1 + i) z2 và 2z1 − z2 = −3 + 2i Tìm z1 mô-đun số phức w = + z1 + z2 z2 Lời giải (Love Math): z z + 3z z = (−1 + i) z + 3z1 = −1 + i z1 + 3z1 z2 = −1 + i 1 2 z2 ⇒ z2 ⇒ 2z1 − z2 = −3 + 2i 2z − z = −3 + 2i 2z1 − z2 = −3 + 2i √ z1 z1 ⇒ + 3z1 − (2z1 − z2 ) = (−1 + i) − (−3 + 2i) ⇒ + z1 + z2 = − i ⇒ |w| = z2 z2 .k2 Câu 6b.a Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đề-các vuông góc Oxy cho tam giác ABCvuông A ngoại tiếp hình chữ nhật MNPQ Biết các điểm M (−3; −1) và N (2; −1) thuộc cạnh BC , Q thuộc cạnh AB , P thuộc cạnh AC , đường thẳng AB có phương trình : x − y + = Xác định tọa độ các đỉnh tam giác ABC Lời giải (dan_dhv): A P ww w Q B N M C Phương trình đường thẳng d vuông góc BC qua M(−3; −1) là x + = 0; suy tọa độ Q là Q(−3; 2) −−→ −→ Ta có MN = QP ⇒ P(2; 2) → − Đườngthẳng AC qua P(2; 2) nhận n = (1; 1) làm véctơ pháp tuyến nên có phương trình: x + y − = −1 Vậy A ; ; B(−6; −1);C(5; −1) 2 :// Câu 6b.b Trong không gian với hệ tọa độ Đề-các vuông góc Oxyz , cho mặt cầu (S) : (x − 2)2 + (y − 2)2 + (z − 2)2 = 12 và √ điểm A (4; 4; 0) Xác định tọa độ điểm B thuộc mặt cầu (S) biết tam giác BOA cân B và có diện tích Lời giải (dan_dhv): Nhận thấy: A, O thuộc mặt cầu Gọi M là trung điểm AO suy M(2; 2; 0) − → −→ −→ −→ Gọi B(a, b, c) Ta có : OA(4; 4; 0); MB(a − 2; b − 2; c) Do tam giác ABO cân B nên OA ⊥ MB ⇒ a + b = (1) √ √ 1 √ Ta có : = SABO = AO.BM = 2BM ⇒ BM = ⇒ (a − 2)2 + (b − 2)2 + c2 = (2) 2 Do B ∈ (I; R) nên (a − 2)2 + (b − 2)2 + (c − 2)2 = 12 ! (3) r ! r r r 23 23 −1 23 23 −1 ;2− ; ;B 2− ;2+ ; ; Từ (1)(2)(3) ta suy B + 8 8 htt p Câu 7b Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, có thể lập bao nhiêu số chẵn có chữ số khác nhỏ 4321 đồng thời các chữ số và luôn có mặt và đứng cạnh Lời giải (Tú Anh): Giả sử số đó là : abcd TH1: a, b là các chữ số và Sẽ có 2! cách chọn a, b Lúc này chọn d có : cách và chọn c có cách TH này có : 2.4.4 = 32 số TH2 : b, c là các chữ số và Sẽ có 2! cách chọn b, c +) Nếu d = chọn a có : cách TH này có : 2.1.2 = số +) Nếu d 6= chọn d có : cách, chọn a có : cách TH này có : 2.2.2 = số Vậy có : 32 + + = 44 số (6)