Tam giác AHB đồng dạng với tam giác BCD theo tỉ số Gọi S, S’ lần lượt là diện tích của tam giác BCD và AHB Ta có S = 54cm2.. Vậy diện tích tam giác AHB bằng 34.56 cm2 Ta có BMN là tam gi[r]
(1)PHÒNG GD&ĐT HUYỆN YÊN ĐỊNH ĐỀ THI CHỌN VÀO VÒNG I ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH NĂM HỌC: 2012 – 2013 MÔN TOÁN Thời gian 150 phút( không kể thời gian giao đề) Đề này gồm 01 trang ĐỀ CHÍNH THỨC SỐ BÁO DANH Bài (4 điểm) Cho biểu thức: a Rút gọn biểu thức A b Tìm a để A < Bài ( điểm) A= 2a +1 a 7a + - a - a +1 a - 2a - x-1 x x 1 x 24 a Giải phương trình: b Tính giá trị biểu thức : M= (x + 5)(y +1) x + 9y = 6xy - x - x(y - 5) với x, y thỏa mãn cba n - abc n abc c Tìm tất các số tự nhiên có chữ số biết và với n là số tự nhiên Bài ( điểm) Cho tam giác ABC vuông A, M là điểm thay đổi trên cạnh AC Từ C kẻ đường thẳng vuông góc với tia BM cắt tia BM H, cắt tia BA O a Chứng minh OAH OCB b Chứng minh tổng BM.BH + CM.CA không phụ thuộc vào vị trí điểm M trên cạnh AC Bài ( điểm) Cho hình thang vuông ABCD có A = B = 90 BC = n, AD = m Gọi H là hình HK n = chiếu A trên cạnh BD, K là điểm nằm trên đoạn thẳng HD cho HD m Tính góc AKC Bài ( điểm): a Phân tích đa thức sau thành nhân tử: 4a - 3a +1 b Cho x, y, z > -1 và x3 + y3 + z3 = Chứng minh x + y + z < ……………………………… Hết…………………………… Họ và tên thí sinh: …………………………………………… SBD: ………………………… Giám thị 1: ……………………………… Giám thị 2: ………………………………… (Cán coi thi không giải thích gì thêm) (2) PHÒNG GD&ĐT HUYỆN YÊN ĐỊNH HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN LỚP Nội dung Bài x 1; x + ĐKXĐ: x 2(1 x) (5 x ) x A a x2 1 2x 2 x 1 x 1 2x 1.5đ 1 2x Bài 4.0đ A nguyên, mà x nguyên nên 21 2x b Từ đó tìm x = và x = 1.5đ Bỏ giá trị x = 1( điều kiện) Vậy x = Điểm 0.25 0.5 0.5 0.25 0.5 0.5 0.5 Ta có: c A A A 0 0 x x 2x 1.0đ x Kết hợp với điều kiện: Bài 6.0đ a Phân tích (x – 1)( x3 + x2 + 2x + 8) = (x – 1)( x + 2)( x2 – x + 4) = (1) 15 Vì x – x + = (x - ) + > 2.0đ Nên (1) (x – 1)( x + 2) = x = x = -2 Ta có: x2 + 2x – 10 = y2 ( x + 1)2 – y2 = 11 (x + + y)(x + 1- y ) = 11 (2) b Vì x, y N nên x + + y > và đó x + – y > Nhận xét : x + + y > x + – y với x, y N 0.25 0.5 0.25 0.5 0.5 0.25 (2) viết thành: (x + + y)(x + 1- y ) = 11.1 2.0đ c 2.0đ x y 11 x y 1 0.5 0.25 0.5 0.5 0.5 Kết luận : x = 5, y = là nghiệm Biến đổi giả thiết dạng : 0.5 a b c (a b)2 (b c) (c a) 0 a b c 0 a b c 0.5 c a b P b c a = -1 Với a + b + c = Tính Với a = b = c Tính P = 2.2.2 = 0.5 0.5 0.5 (3) Gọi số có ba chữ số cần tìm là abc Ta có: abc = (98a + 7b) +2a + 3b + c Vì abc 7 nên 2a + 3b + c 7 (3) Mặt khác, vì a + b + c (4), kết hợp với (3) suy ra: b c 7 Do đó b – c có thể nhận các giá trị: -7; ; + Với b – c = -7, suy c = b + kết hợp với (4) ta chọn các số a 707; 518; 329 thỏa mãn + Với b – c = suy b = c + Đổi vai trò b và c trường hợp trên ta các cặp số 770, 581, 392 thỏa mãn bài toán + Với b – c = thì b = c mà (4) nên a + 2b 7 Do a 2b 27 nên a + 2b có thể nhận các giá trị 7; 14; 21 2.0đ Từ đó chọn 12 số thỏa mãn là 133, 322,511,700, 266, 455, 644, 833, 399, 588, 777, 966 0.25 0.5 0.25 0.25 0.25 0.25 Vậy có 18 số thỏa mãn bài toán: 707, 518, 329, 770, 581, 392 , 133, 322,511,700, 266, 455, 644, 833, 399, 588, 777, 966 0.25 Vì x + y +z = nên: Bài 4.0đ 1 1 1 M x y z 16 x y z 16 x y z 21 x y x z y z 16 y 16 x z 16 x z y 0.5 Ta có: b 2.0đ Bài 4.0đ 2 x y 16 x y x y 2.4 x.2 y x y 1 y 16 x 16 x.4 y 64 xy 64 xy 4 x z Tương tự: z 16 x ; y z 1 z 4y 0.5 (x, y 0) 0.5 ( Với x, y > 0) 0.25 x 7 4 x 2 y z x y z 1 y x, y , z 21 1 49 M 1 z 7 16 16 Dấu “=” xảy Từ đó 49 x ; y ;z 7 Vậy GTNN M là 16 a A 0.25 B Chứng minh tam giác AHB đồng dạng với tam giác BCD H 1.0đ D C 1.0 (4) Tam giác AHB đồng dạng với tam giác BCD b 1.5đ 0.5 AH AB a.b AH BC BD BD 12.9 7.2(cm) Từ đó tính AH = 15 0.5 k c Tam giác AHB đồng dạng với tam giác BCD theo tỉ số Gọi S, S’ là diện tích tam giác BCD và AHB Ta có S = 54(cm2) 1.5đ 0.5 AH 7.2 BC 0.5 S' 7.2 7.2 ' k S 54 34.56(cm ) S 0.5 Vậy diện tích tam giác AHB 34.56( cm2) Ta có BMN là tam giác đều,nên G là trọng tâm Tam giác BMN Gọi P là trung điểm MN, GP Ta có : GN ( tính chất trọng tâm tam giác đều) PI PI Lại có : MA NC suy GP PI A GN NC (1) GPI GPM MPI 900 600 1500 Mặt khác Bài 2.0đ 0.5 2 Áp dụng định lí Py – ta – go, : BD AD AB 225 15(cm) B 0.5 G N M P I K C 0.25 và GNC GNP PNC 300 1200 1500 Do đó : GPI GNC (2) 0.5 Từ (1) và (2) suy tam giác GPI đồng dạng với tam giác GNC (c.g.c) GI GC PGI NGC Từ đó ta có : và 0 Mà IGC 60 ( IGC PGN 60 ) 0.25 0.25 Gọi K là trung điểm GC thì GI = GK = GC, suy tam giác GIK đều, nên IK = GC Điều này chứng tỏ tam giác GIC vuông I GIC 900 ; IGC 600 ; GCI 300 ; 0.25 Vậy : Chú ý : Học sinh giải cách khác đúng thì cho điểm tối đa Bài hình không vẽ hình, hình sai thì không chấm điểm (5)