Đang tải... (xem toàn văn)
Tam giác AHB đồng dạng với tam giác BCD theo tỉ số Gọi S, S’ lần lượt là diện tích của tam giác BCD và AHB Ta có S = 54cm2.. Vậy diện tích tam giác AHB bằng 34.56 cm2 Ta có BMN là tam gi[r]
(1)PHÒNG GD&ĐT HUYỆN YÊN ĐỊNH ĐỀ THI CHỌN VÀO VÒNG I ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH NĂM HỌC: 2012 – 2013 MÔN TOÁN Thời gian 150 phút( không kể thời gian giao đề) Đề này gồm 01 trang ĐỀ CHÍNH THỨC SỐ BÁO DANH Bài (4 điểm) Cho biểu thức: a Rút gọn biểu thức A b Tìm a để A < Bài ( điểm) A= 2a +1 a 7a + - a - a +1 a - 2a - x-1 x x 1 x 24 a Giải phương trình: b Tính giá trị biểu thức : M= (x + 5)(y +1) x + 9y = 6xy - x - x(y - 5) với x, y thỏa mãn cba n - abc n abc c Tìm tất các số tự nhiên có chữ số biết và với n là số tự nhiên Bài ( điểm) Cho tam giác ABC vuông A, M là điểm thay đổi trên cạnh AC Từ C kẻ đường thẳng vuông góc với tia BM cắt tia BM H, cắt tia BA O a Chứng minh OAH OCB b Chứng minh tổng BM.BH + CM.CA không phụ thuộc vào vị trí điểm M trên cạnh AC Bài ( điểm) Cho hình thang vuông ABCD có A = B = 90 BC = n, AD = m Gọi H là hình HK n = chiếu A trên cạnh BD, K là điểm nằm trên đoạn thẳng HD cho HD m Tính góc AKC Bài ( điểm): a Phân tích đa thức sau thành nhân tử: 4a - 3a +1 b Cho x, y, z > -1 và x3 + y3 + z3 = Chứng minh x + y + z < ……………………………… Hết…………………………… Họ và tên thí sinh: …………………………………………… SBD: ………………………… Giám thị 1: ……………………………… Giám thị 2: ………………………………… (Cán coi thi không giải thích gì thêm) (2) PHÒNG GD&ĐT HUYỆN YÊN ĐỊNH HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN LỚP Nội dung Bài x 1; x + ĐKXĐ: x 2(1 x) (5 x ) x A a x2 1 2x 2 x 1 x 1 2x 1.5đ 1 2x Bài 4.0đ A nguyên, mà x nguyên nên 21 2x b Từ đó tìm x = và x = 1.5đ Bỏ giá trị x = 1( điều kiện) Vậy x = Điểm 0.25 0.5 0.5 0.25 0.5 0.5 0.5 Ta có: c A A A 0 0 x x 2x 1.0đ x Kết hợp với điều kiện: Bài 6.0đ a Phân tích (x – 1)( x3 + x2 + 2x + 8) = (x – 1)( x + 2)( x2 – x + 4) = (1) 15 Vì x – x + = (x - ) + > 2.0đ Nên (1) (x – 1)( x + 2) = x = x = -2 Ta có: x2 + 2x – 10 = y2 ( x + 1)2 – y2 = 11 (x + + y)(x + 1- y ) = 11 (2) b Vì x, y N nên x + + y > và đó x + – y > Nhận xét : x + + y > x + – y với x, y N 0.25 0.5 0.25 0.5 0.5 0.25 (2) viết thành: (x + + y)(x + 1- y ) = 11.1 2.0đ c 2.0đ x y 11 x y 1 0.5 0.25 0.5 0.5 0.5 Kết luận : x = 5, y = là nghiệm Biến đổi giả thiết dạng : 0.5 a b c (a b)2 (b c) (c a) 0 a b c 0 a b c 0.5 c a b P b c a = -1 Với a + b + c = Tính Với a = b = c Tính P = 2.2.2 = 0.5 0.5 0.5 (3) Gọi số có ba chữ số cần tìm là abc Ta có: abc = (98a + 7b) +2a + 3b + c Vì abc 7 nên 2a + 3b + c 7 (3) Mặt khác, vì a + b + c (4), kết hợp với (3) suy ra: b c 7 Do đó b – c có thể nhận các giá trị: -7; ; + Với b – c = -7, suy c = b + kết hợp với (4) ta chọn các số a 707; 518; 329 thỏa mãn + Với b – c = suy b = c + Đổi vai trò b và c trường hợp trên ta các cặp số 770, 581, 392 thỏa mãn bài toán + Với b – c = thì b = c mà (4) nên a + 2b 7 Do a 2b 27 nên a + 2b có thể nhận các giá trị 7; 14; 21 2.0đ Từ đó chọn 12 số thỏa mãn là 133, 322,511,700, 266, 455, 644, 833, 399, 588, 777, 966 0.25 0.5 0.25 0.25 0.25 0.25 Vậy có 18 số thỏa mãn bài toán: 707, 518, 329, 770, 581, 392 , 133, 322,511,700, 266, 455, 644, 833, 399, 588, 777, 966 0.25 Vì x + y +z = nên: Bài 4.0đ 1 1 1 M x y z 16 x y z 16 x y z 21 x y x z y z 16 y 16 x z 16 x z y 0.5 Ta có: b 2.0đ Bài 4.0đ 2 x y 16 x y x y 2.4 x.2 y x y 1 y 16 x 16 x.4 y 64 xy 64 xy 4 x z Tương tự: z 16 x ; y z 1 z 4y 0.5 (x, y 0) 0.5 ( Với x, y > 0) 0.25 x 7 4 x 2 y z x y z 1 y x, y , z 21 1 49 M 1 z 7 16 16 Dấu “=” xảy Từ đó 49 x ; y ;z 7 Vậy GTNN M là 16 a A 0.25 B Chứng minh tam giác AHB đồng dạng với tam giác BCD H 1.0đ D C 1.0 (4) Tam giác AHB đồng dạng với tam giác BCD b 1.5đ 0.5 AH AB a.b AH BC BD BD 12.9 7.2(cm) Từ đó tính AH = 15 0.5 k c Tam giác AHB đồng dạng với tam giác BCD theo tỉ số Gọi S, S’ là diện tích tam giác BCD và AHB Ta có S = 54(cm2) 1.5đ 0.5 AH 7.2 BC 0.5 S' 7.2 7.2 ' k S 54 34.56(cm ) S 0.5 Vậy diện tích tam giác AHB 34.56( cm2) Ta có BMN là tam giác đều,nên G là trọng tâm Tam giác BMN Gọi P là trung điểm MN, GP Ta có : GN ( tính chất trọng tâm tam giác đều) PI PI Lại có : MA NC suy GP PI A GN NC (1) GPI GPM MPI 900 600 1500 Mặt khác Bài 2.0đ 0.5 2 Áp dụng định lí Py – ta – go, : BD AD AB 225 15(cm) B 0.5 G N M P I K C 0.25 và GNC GNP PNC 300 1200 1500 Do đó : GPI GNC (2) 0.5 Từ (1) và (2) suy tam giác GPI đồng dạng với tam giác GNC (c.g.c) GI GC PGI NGC Từ đó ta có : và 0 Mà IGC 60 ( IGC PGN 60 ) 0.25 0.25 Gọi K là trung điểm GC thì GI = GK = GC, suy tam giác GIK đều, nên IK = GC Điều này chứng tỏ tam giác GIC vuông I GIC 900 ; IGC 600 ; GCI 300 ; 0.25 Vậy : Chú ý : Học sinh giải cách khác đúng thì cho điểm tối đa Bài hình không vẽ hình, hình sai thì không chấm điểm (5)