Biết M là trung điểm của AB , tam giác MAC đều cạnh a và nằm trong một mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy hình lăng trụ.. Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC.[r]
(1)SỞ GD - ĐT HẢI DƢƠNG TRƢỜNG THPT THANH MIỆN ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN NĂM HỌC 2013 - 2014 Môn: TOÁN; KHỐI: A, A1, B, D Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7 điểm) Câu (2,0 điểm) Cho hàm số: y x3 3x2 mx (1) a) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) m b) Tìm m để hàm số (1) có cực trị đồng thời đường thẳng nối hai điểm cực trị đồ thị hàm số tạo với đường thẳng d : y x góc 45O Câu (1,0 điểm) Giải phương trình 4sin x 1 cos x 2sin x 2cos x 2sin x 2 x y y x Câu (1,0 điểm) Giải hệ phương trình với x, y x y x sin x cos x x sin x sin x sin 3x dx cos x Câu (1,0 điểm) Cho hình lăng trụ ABC ABC có đáy ABC là tam giác vuông A và góc ABC 30O Biết M là trung điểm AB , tam giác MAC cạnh a và nằm mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy hình lăng trụ Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC ABC và khoảng cách hai đường thẳng AC , BB Câu (1,0 điểm) Cho a, b, c thoả mãn a b2 c2 Tìm giá trị nhỏ biểu thức 1 1 P abc a b c II PHẦN RIÊNG (3 điểm): Thí sinh đƣợc làm hai phần (phần A phần B) A Theo chƣơng trình Chuẩn Câu 7.a (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy , cho tam giác ABC và đường thẳng có 14 19 phương trình x y Giả sử D 4; , E ; , N 3;3 theo thứ tự là chân đường cao kẻ từ 10 A , chân đường cao kẻ từ B và trung điểm cạnh AB Tìm toạ độ các đỉnh tam giác ABC biết trung điểm M cạnh BC nằm trên đường thẳng và hoành độ M lớn Câu 8.a (1,0 điểm) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho mặt phẳng P : x y z , đường Câu (1,0 điểm) Tính tích phân I x y 1 z , điểm A 4;3; Gọi là đường thẳng nằm P qua giao điểm 1 d với P đồng thời vuông góc với d Tìm trên điểm M cho khoảng cách AM ngắn thẳng d : Câu 9.a (1,0 điểm) Viết chữ số 0, 1, 2, 3, 4, lên thẻ bài Lấy ngẫu nhiên và liên tiếp thẻ bài sau đó xếp theo thứ tự từ trái sang phải, ta số tự nhiên Tìm xác suất để nhận số chẵn có chữ số B Theo chƣơng trình Nâng cao Câu 7.b (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy , cho điểm A 1;0 và hai đường tròn C1 : x2 y , C2 : x2 y Xét tam giác ABC có B thuộc C1 và C thuộc C2 Tìm toạ độ B , C để diện tích tam giác ABC lớn Câu 8.b (1,0 điểm) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho hai đường thẳng 1 : x y z và 2 x 1 y z 1 Viết phương trình mặt phẳng P chứa đường thẳng và tạo với đường 1 thẳng 1 góc 30O 2 : Câu 9.b (1,0 điểm) Tìm số phức z thoả mãn đẳng thức z z i z z i Hết Thí sinh không sử dụng tài liệu Cán coi thi không giải thích gì thêm (2) SỞ GD - ĐT HẢI DƢƠNG TRƢỜNG THPT THANH MIỆN ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN NĂM HỌC 2013 - 2014 Môn: TOÁN; KHỐI: A, A1, B, D (Đáp án – thang điểm gồm trang) Đáp án Điểm Câu Cho hàm số: y x3 3x2 mx (1) a) (1 điểm) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) m Khi m , ta có hàm số y x3 3x Txđ: Sự biến thiên: 0,25 x y' x 2 Các khoảng đồng biến: ; 2 và 0; ; khoảng nghịch biến: 2;0 - Chiều biến thiên: y ' 3x2 x 3x x ; - Cực trị: Hàm số đạt cực đại x 2 , yCĐ ; Hàm số đạt cực tiểu x , yCT 2 0,25 - Giới hạn: lim y lim x3 3x , lim y lim x3 3x x x x x - Bảng biến thiên: x y' + 2 0 + y (2 điểm) Đồ thị 0,25 2 0,25 b) (1 điểm) Tìm m để hàm số (1) có cực trị đồng thời đường thẳng nối hai điểm cực trị đồ thị hàm số tạo với đường thẳng d : y x góc 45O Ta có y 3x2 x m Hàm số có cực trị y có hai nghiệm phân biệt 3m m (*) Khi đó, gọi x1 , x2 là hai điểm cực trị hàm số thì x1 , x2 là hai nghiệm y 2m m 1 y x1 y x2 Ta có y y x 2 x 3 3 3 m m 2m 2m y x1 x1 , y x2 x2 3 m 2m 2 x Đường thẳng qua hai điểm cực trị đồ thị hàm số là : y 0,25 0,25 (3) có vtpt là n1 2m 6; 3 , d có vtpt là n2 2; 1 Gt cos n1 , n2 cos 45O 4m 12 1 2 2m 0,25 m 20m2 120m 225 32m2 144m 162 12m 24m 63 m Kết hợp với (*) , ta có m Giải phương trình 4sin x 1 cos x 2sin x 2cos x 2sin x 0,25 sin x cos x 4sin x cos x cos x 2sin x 2sin x 1 Pt 1 cos x cos x 2sin x 2sin x sin x sin x 2sin x cos x cos x cos x cos x 2sin x sin x 2sin x 1 cos x 2sin x 1 cos x cos x 2sin x sin x cos x cos x cos x Điều kiện: sin x (1 điểm) sin x 3cos2x 2sin x 3 2x k , k x k Kết hợp điều kiện nghiệm pt là x , k k 2 , x 2 k , k t y yt 2t y 7t t y yt Cộng vế với vế ta được: 5t y yt y 14t 10 4t 16 y 14t t 2 t 1 2t y 3 2t y 2x 1 x t y 1 y 1 y 1 Tính tích phân I x sin x sin x sin 3x dx cos x 0,25 Điều kiện x Đặt t x Ta hệ phương trình (1 điểm) 0,25 0,25 2 x y y x Giải hệ phương trình với x, y x y x (1 điểm) 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 (4) x sin x sin x sin 3x Ta có I dx dx cos x cos x 0 u x du dx x x Với I1 dx dx , đặt dv x dx x cos x v tan x 0 cos cos 2 x d cos 2 x2 x x 2 I1 x tan tan dx ln cos ln x 0 2 20 cos 2 0,25 0,25 2 sin x sin x sin 3x 2sin x cos x sin x cos x cos x I2 dx dx sin xdx cos x cos x cos x 0 Đặt t cos x dt sin xdx Khi x thì t , x thì t 2t t dt 2 2t dt t t ln t 2ln t 1 t 1 0 0,25 I 2 I I1 I 0,25 ln Cho hình lăng trụ ABC ABC có đáy ABC là tam giác vuông A và góc ABC 30O Biết M là trung điểm AB , tam giác MAC cạnh a và nằm mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy hình lăng trụ Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC ABC và khoảng cách hai đường thẳng AC , BB Gọi H là trung điểm MC, MAC cạnh a AH MC mà MAC ABC theo giao tuyến là MC A ' H ABC Giả sử AC x BC x, AB x AC BC AB a MC 2 x x 3x 4a x2 x2 4 2a x (1 điểm) S ABC 1 2a 2a 3a a AB AC 3 Ta có AH 2 7 3a a 3 VABC ABC S ABC AH a (đvtt) 7 3V 3a3 Ta có: BB AA d AC, BB d B, AAC AABC S AAC S AAC Hoặc HA HM MC AA AM AC a AAC cân A đường cao ứng với đáy S AAC a2 0,25 0,25 0,25 a2 a 7 2a a2 3a3 a d AC , BB a (đvđd) 7 a 0,25 (5) Cho a, b, c thoả mãn a b2 c2 Tìm giá trị nhỏ biểu thức 1 1 P abc a b c 1 Ta có a b c a b2 c a b c (1) abc Dấu xảy a b c Với x , từ hệ thức hiển nhiên 3x 2 3x 0,25 3x , suy 3x 3x x 3x 3x x 3x 0,25 3 3x 2 x 2 Dễ thấy, dấu (2) xảy x Áp dụng (2) cho a, b, c, ta có 3 3a 3 3b 3 3c , , a 2 b 2 c 2 0,25 2 1 3 a b c 3 (3) a b c 2 1 1 10 Từ (1), (3) suy P 3 abc a b c 3 Dấu xảy a b c 0,25 10 Vậy, giá trị nhỏ P là đạt a b c 3 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy , cho tam giác ABC và đường thẳng có phương trình 3x3 3x (1 điểm) 14 19 x y Giả sử D 4; , E ; , N 3;3 theo thứ tự là chân đường cao kẻ từ A , 10 chân đường cao kẻ từ B và trung điểm cạnh AB Tìm toạ độ các đỉnh tam giác ABC biết trung điểm M cạnh BC nằm trên đường thẳng và hoành độ M lớn 7.a (1 điểm) Gọi T là đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, H là trực tâm tam giác ABC Trên cạnh BC, gọi D AH T , H HM T Ta có D, M là trung điểm HD, HM D, M là ảnh D, M qua phép vị tự tâm H tỉ số D, M thuộc đường tròn C là ảnh Vậy D, E, M, N cùng nằm trên đường tròn C T qua phép vị tự tâm H tỉ số 0,25 (6) Gs pt C : x y 2ax 2by c , với a b2 c Khi đó ta có: 113 8a 7b c 19 229 39 28 a 4, b , c a bc 20 5 6a 6b c 18 39 phương trình C : x y x y 2 Do M d nên toạ độ điểm M thoả mãn hệ phương trình 39 y 1, x 0 x y 8x y M 4;1 2 19 y , x lo¹i x M x y 1 4 Đường thẳng BC qua hai điểm D, M có phương trình x Giả sử B 4; t vì M là trung điểm đoạn BC nên C 4; t , N là trung điểm 19 đoạn thẳng AB nên A 2;6 t BE ; t , AC 2; 4 10 19 Do BE AC nên BE AC t 4 4t 10 t 10 1 7 5 Do đó A 2; , B 4; , C 4; 2 2 2 0,25 0,25 0,25 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho mặt phẳng P : x y z , đường thẳng x y 1 z , điểm A 4;3; Gọi là đường thẳng nằm P qua giao 1 điểm d với P đồng thời vuông góc với d Tìm trên điểm M cho khoảng cách d: AM ngắn x 2t Chuyển phương trình d dạng tham số ta được: y t z t 8.a (1 điểm) 0,25 Gọi I là giao điểm (d) và (P) I 2t 3; t 1; t 3 Do I P 2t t 1 t 3 t I 1;0;4 Ta có d có vectơ phương là a 2;1;1 , P có vectơ pháp tuyến là n 1; 2; 1 x 1 u Vector phương là u a, n 3;3;3 1;1;1 : y u z u Vì M Giả sử M 1 u; u; u AM u; u 3; u AM ngắn AM AM u AM u 1 u 1 u 3 1 u u Vậy M 3; 2;6 0,25 0,25 0,25 Viết chữ số 0, 1, 2, 3, 4, lên thẻ bài Lấy ngẫu nhiên và liên tiếp thẻ bài sau 9a (1 điểm) đó xếp theo thứ tự từ trái sang phải, ta số tự nhiên Tìm xác suất để nhận số chẵn có chữ số Không gian mầu gồm n A63 120 kết đồng khả xảy 0,25 (7) Gọi A là biến cố: “3 thẻ lấy tạo thành số tự nhiên chẵn có chữ số” Ta có các trường hợp xảy A sau: TH1: Thẻ cuối ghi chữ số thì thẻ đầu có A52 20 cách chọn trường hợp này có 20 kết thuận lợi cho A TH2: Thẻ cuối ghi chữ số thì thẻ đầu có 16 cách chọn trường hợp này có 16 32 kết thuận lợi cho A n A 52 13 Vậy, n A 20 32 52 P A n 120 30 0,25 0,25 0,25 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy , cho điểm A 1;0 và hai đường tròn C1 : x y , C2 : x2 y Xét tam giác ABC có B thuộc C1 và C thuộc C2 Tìm toạ độ B , C để diện tích tam giác ABC lớn Ta có O là tâm C1 , C2 Giả sử ABC có diện tích lớn Ta có CO AB, AO BC , vì không, chẳng hạn CO không vuông góc với AB thì tồn điểm C thuộc đường tròn C2 cho CO AB , 0,25 d C, AB d C, AB SC ' AB SCAB , vô lí Do đó ABC có diện tích lớn thì ABC phải là tam giác nhận O làm trực tâm Gọi B xB ; yB , C xC ; yC Vì BC OA nên xB xC AB xB 1; yB , OC xB ; yC , OB xB ; yB , AC xB 1; yC 7.b (1 điểm) AB OC xB xB 1 yB yC (1) Ta có xB yB2 xB2 yB2 (2) 2 (3) xB yC xB yC 0,25 Từ (2) và (3) yB2 xB2 , yC2 xB2 (4) Từ (1) yB yC xB xB2 yB2 yC2 xB2 2xB3 xB4 (5) Từ (4) và (5) xB2 xB2 xB2 xB3 xB4 xB 1 (6) 5 xB3 xB2 10 xB 1 xB2 10 xB 10 xB (7) 5 (8) xB Thế (7) vào (2) không thoả mãn (7) loại Ta có 1 2 S xA xB yB yC S 1 xB yB2 yC2 yB yC 1 xB xB 4 0,25 (8) Với xB 1 S , với xB 5 S 0, yB yB yC 2 yC Vậy S lớn xB xC 1 Khi đó, ta có yB y B yB yC 1 2 0,25 1 2 Vậy với B1 (1;1), C1 (1; 2) B2 (1; 1), C2 (1;2) thì diện tích tam giác ABC đạt giá trị lớn và Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho hai đường thẳng 1 : x y z và 2 x 1 y z 1 Viết phương trình mặt phẳng P chứa đường thẳng và tạo 1 với đường thẳng 1 góc 30O 2 : qua A 1; 1;1 và có vtcp n2 1; 1;3 , 1 có vtcp là u1 (1; 2;1) Giả sử n a; b; c là vtpt ( P) với a b2 c2 8.b (1 điểm) 0,25 Giả thiết n u2 a b 3c b a 3c (1) Giả thiết: ( P) tạo với 1 góc 300 sin 300 cos n, u1 a 2b c a b2 c a 5c a 5c a 3ac 5c 2 2a 6ac 10c 2a 5c chän a 5, c 2a ac 10c 2a 5c a 2c a 2c chän a 2, c 1 (1) 0,25 0,25 Với a 5, c b 11 ( P) : x 1 11 y 1 z 1 hay 5x 11y z 0,25 Với a 2, c 1 b 1 ( P) : x 1 y 1 z 1 hay x y z Tìm số phức z thoả mãn đẳng thức z z i z z i Do z z z nên z z i z z i z z i z z z i 9b (1 điểm) z i z2 z i 2z z i z z (1) Với (1) , giả sử z x yi với x, y x2 y xyi x yi 0,25 x2 y 2x 2 xy y 0,25 y 0, x x2 y x y y 0, x 2 x x 1, y 0,25 Vậy, các số phức cần tìm là i, 0, 2, 3i 0,25 (9)