+ Qua sáng kiến này tôi muốn đưa ra một số lỗi mà học sinh hay mắc phải trong quá trình lĩnh hội kiến thức để từ đó có thể giúp học sinh khắc phục các lỗi mà các em hay mắc phải trong qu[r]
(1)GIÚP HỌC SINH PHÁT HIỆN VÀ TRÁNH SAI LẦM KHI GIẢI CÁC BÀI TOÁN VỀ TÌM GIÁ TRỊ CỦA BIÊN ĐỂ BIỂU ĐẠT GIÁ TRỊ NGUYÊN TRONG CHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ LỚP PHẦN I : MỞ ĐẦU A - LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI : Muốn công nghiệp hoá và đại hoá đất nước thì phải nhanh chóng tiếp thu khoa học và kỹ thuật đại giới Do phát triển vũ bão khoa học và kỹ thuật, kho tàng kiến thức nhân loại tăng lên nhanh chóng Cái mà hôm còn là ngày mai đã trở thành lạc hậu Nhà trường không thể nào luôn luôn cung cấp cho học sinh hiểu biết cập nhật Điều quan trọng là phải trang bị cho các em lực tự học để có thể tự mình tìm kiếm kiến thức cần thiết tương lai Sự phát triển kinh tế thị trường, xuất kinh tế tri thức tương lai đòi hỏi người lao động phải thực động, sáng tạo và có phẩm chất thích hợp để bươn chải vươn lên cạnh tranh khốc liệt này Việc thu thập thông tin, liệu cần thiết ngày càng trở lên dễ dàng nhờ các phương tiện truyền thông tuyên truyền, máy tính, mạng internet v.v Do đó, vấn đề quan trọng đói với người hay cộng đồng không là tiếp thu thông tin, mà còn là sử lý thông tin để tìm giải pháp tốt cho vấn đề đặt sống thân xã hội Như yêu cầu xã hội việc dạy học trước đây nặng việc truyền thụ kiến thức thì đã thiên việc hình thành lực hoạt động cho HS Để đáp ứng yêu cầu này cần phải thay đổi đồng các thành tố quá trình dạy học mục tiêu, nội dung, phương pháp, hìn thức tổ chức, phương tiện, cách kiểm tra đánh giá - Hiện mục tiêu giáo dục cấp THCS đã mở rộng, các kiến thức và kỹ hình thành và củng cố để tạo lực chủ yếu : + Năng lực hành động + Năng lực thích ứng + Năng lực cùng chung sống và làm việc + Năng lực tự khẳng định mình Trong đề tài này tôi quan tâm để khai thác đến nhóm lực chính là "Năng lực cùng chung sống và làm việc" và "Năng lực tự khẳng định mình" vì kiến thức và kỹ là thành tố lực HS (2) Trong quá trình giảng dạy thực tế trên lớp số năm học, tôi đã phát còn nhiều học sinh thực hành kỹ giải toán còn kém đó có nhiều học sinh(45%) chưa thực hiểu kỹ các bài toán cực trị và thực giải các bài toán dạng này hay có nhầm lẫn hiểu sai đầu bài, thực sai mục đích… Việc giúp học sinh nhận nhầm lẫn và giúp các em tránh nhầm lẫn từ đó rèn cho các em kĩ làm bài là công việc vô cùng cần thiết và cấp bách nó mang tính đột phá và mang tính thời cao, giúp các em có am hiểu vững trắc các bài toán cực trị tạo móng để tiếp tục nghiên cứu các dạng toán cao sau này B- THỜI GIAN NGHIÊN CỨU :1 năm học Từ 15 /8 /2011 đến 05/5/ 2012 C - MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU : - Do thời gian có hạn nên tôi nghiên cứu sáng kiến kinh nghiệm này với mục đích sau : + Giúp giáo viên toán THCS quan tâm đến phương pháp dạy học tích cực rễ thực + Giúp giáo viên toán THCS nói chung và GV dạy toán THCS nói riêng có thêm thông tin PPDH tích cực này nhằm giúp họ rễ ràng phân tích để đưa biện pháp tối ưu áp dụng phương pháp vào dạy học và sáng kiến này tạo sở để các GV khác xây dựng sáng kiến khác có phạm vi và quy mô xuyên suốt + Qua sáng kiến này tôi muốn đưa số lỗi mà học sinh hay mắc phải quá trình lĩnh hội kiến thức để từ đó có thể giúp học sinh khắc phục các lỗi mà các em hay mắc phải quá trình giải bài tập thi cử, kiểm tra … Cũng qua sáng kiến này tôi muốn giúp GV toán có thêm cái nhìn sâu sắc hơn, chú ý đến việc rèn luyện kỹ thực hành giải toán “tìm giá trị biến để biểu thức đạt giá trị nguyên” cho học sinh để từ đó khai thác hiệu và đào sâu suy nghĩ tư lôgic học sinh giúp học sinh phát triển khả tiềm tàng người học sinh + Qua sáng kiến này tôi tự đúc rút cho thân mình kinh nghiệm để làm luận cho phương pháp dạy học tôi năm D - PHẠM VI NGHIÊN CỨU : Trong sáng kiến này tôi nêu số “Nhóm sai lầm” mà học sinh thường mắc phải quá trình giải các bài toán “tìm giá trị biến để biểu thức đạt giá trị nguyên” - Đại số Phân tích sai lầm số bài toán cụ thể để học sinh thấy lập luận sai thiếu chặt chẽ dẫn tới bài giải không chính xác Từ đó định hướng cho học sinh phương pháp giải các bài toán “tìm giá trị biến để biểu thức đạt giá trị nguyên” - chương trình đại số (3) E - ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU : Như đã trình bày trên nên sáng kiến này tôi nghiên cứu trên hai nhóm đối tượng cụ thể sau : Giáo viên dạy toán THCS Học sinh lớp THCS : bao gồm lớp 9A với tổng số 42 học sinh F - PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU : - Đọc sách, tham khảo tài liệu - Thực tế chuyên đề, thảo luận cùng đồng nghiệp - Dạy học thực tiễn trên lớp để rút kinh nghiệm - Thông qua học tập BDTX các chu kỳ Dựa vào kinh nghiệm giảng dạy môn toán các giáo viên có kinh nghiệm trường năm học trước và vốn kinh nghiệm thân đã rút số vấn đề có liên quan đến nội dung sáng kiến Trong năm học vừa qua chúng tôi đã quan tâm đến vấn đề mà học sinh mắc phải Qua học sinh làm bài tập lớp, qua các bài kiểm tra các hình thức khác nhau, bước đầu tôi đã nắm các sai lầm mà học sinh thường mắc phải giải bài tập Sau đó tôi tổng hợp lại, phân loại thành hai nhóm Trong quá trình thực sáng kiến kinh nghiệm này tôi đã sử dụng phương pháp sau : - Quan sát trực tiếp các đối tượng học sinh để phát vấn đề mà học sinh thấy lúng túng, khó khăn giáo viên yêu cầu giải vấn đề đó - Điều tra toàn diện các đối tượng học sinh lớp 9A với tổng số 42 học sinh để thống kê học lực học sinh Tìm hiểu tâm lý các em học môn toán, quan điểm các em tìm hiểu vấn đề giải các bài toán cực trị (bằng hệ thống các phiếu câu hỏi trắc nghiệm ) - Nghiên cứu sản phẩm hoạt động GV và HS để phát trình độ nhận thức, phương pháp và chất lượng hoạt động nhằm tìm giải pháp nâng cao chất lượng giáo dục - Thực nghiệm giáo dục giải bài mới, các tiết luyện tập, tiết trả bài kiểm tra tôi đã đưa vấn đề này hướng dẫn học sinh cùng trao đổi, thảo luận nhiều hình thức khác hoạt động nhóm, giảng giải, vấn đáp gợi mở để học sinh khắc sâu kiến thức, tránh sai lầm giải bài tập Yêu cầu học sinh giải số bài tập theo nội dung sách giáo khoa đưa thêm vào đó yếu tố mới, điều kiện khác để xem xét mức độ nhận thức và suy luận học sinh - Phân tích và tổng kết kinh nghiệm giáo dục áp dụng nội dung nghiên cứu vào thực tiễn giảng dạy nhằm tìm nguyên nhân sai lầm mà (4) học sinh thường mắc phải giải toán Từ đó tổ chức có hiệu các dạy G - TÀI LIỆU THAM KHẢO : Sách " Một số vấn đề đổi PPDH trường THCS môn toán" Bộ giáo dục và Đào tạo Tài liệu bồi dưỡng thường xuyên cho GV THCS chu kỳ III ( 2004-2007) môn toán Bộ giáo dục và Đào tạo Những vấn đề chung đổi giáo dục trung học sở môn toán Bộ giáo dục và Đào tạo Giáo trình " Phương pháp dạy học toán" tác giả Hoàng Chúng - BGD&ĐT Toán nâng cao và phát triển đại số tập tác giả Vũ Hữu Bình-Nhà xuất Giáo dục 6.Toán nâng cao và các chuyên đề đại số tác giả Bùi Văn Tuyên - Nhà xuất Giáo dục 7.Tài liệu tự chọn nâng cao toán nhóm tác giả 8.Tài liệu ôn tập thi vào lớp 10 PTTH NXB Giáo dục SGK và SGV toán 6,7,8,9.(BGD&ĐT) Phần II : NỘI DUNG ĐỀ TÀI A CHƯƠNG I:CƠ SỞ LÝ LUẬN I - QUAN ĐIỂM VỀ ĐỔI MỚI PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC VÀ PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC TÍCH CỰC: 1/ Quan điểm đổi phương pháp dạy học : Luật Giáo dục 2005 (Điều 5) quy định : "Phương pháp giáo dục phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, tư sáng tạo người học; bồi dưỡng cho người học lực tự học, khả thực hành, lòng say mê học tập và ý chí vươn lên" Với mục tiêu giáo dục phổ thông là "giúp học sinh phát triển toàn diện đạo đức, trí tuệ, thể chất, thẩm mĩ và các kỹ bản, phát triển lực cá nhân, tính động và sáng tạo, hình thành nhân cách người Việt Nam xã hội chủ nghĩa, xây dựng tư cách và trách nhiệm công dân; chuẩn bị cho học sinh tiếp tục học lên vào sống lao động, tham gia xây dựng và bảo vệ Tổ quốc"; Chương trình giáo dục phổ thông ban hành kèm theo Quyết định số 16/2006/QĐBGD ĐT ngày 5/5/2006 Bộ trưởng Bộ giáo dục và Đào tạo đã nêu : "Phải phát huy tính tích cực, tự giác chủ động, sáng tạo học sinh; phù hợp với đặc trưng môn học, đặc điểm đối tượng học sinh, điều kiện đối tượng học sinh, điều kiện lớp học; bồi dưỡng cho học sinh phương pháp tự học, khả hợp tác; rèn luyện kỹ vận dụng kiến thức vào thực tiễn; tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú và trách nhiệm học tập cho HS" (5) - Quan điểm dạy học : là định hướng tổng thể cho các hành động phương pháp, đó có kết hợp các nguyên tắc dạy học làm tảng, sở lý thuyết lý luận dạy học, điều kiện dạy học và tổ chức định hướng vai trò GV và HS quá trình dạy học Quan điểm dạy học là định hướng mang tính chiến lược, cương lĩnh, là mô hình lý thuyết PPDH Những quan điểm dạy học : Dạy học giải thích minh họa, dạy học gắn với kinh nghiệm, dạy học kế thừa, dạy học định hướng HS, dạy học định hướng hành động, giao tiếp; dạy học nghiên cứu, dạy học khám phá, dạy học mở Phương pháp dạy học tích cực : Việc thực đổi chương trình giáo dục phổ thông đòi hỏi phải đổi đồng từ mục tiêu, nội dung, phương pháp, PTDH đến cách thức đánh giá kết dạy học, đó khâu đột phá là đổi PPDH Mục đích việc đổi PPDH trường phổ thông là thay đổi lối dạy học truyền thụ chiều sang dạy học theo phương pháp dạy học tích cực(PPDHTC) nhằm giúp học sinh phát huy tính tích cực, tự giác chủ động, sáng tạo, rèn luyện thói quen và khả tự học, tinh thần hợp tác, kỹ vận dụng kiến thức vào tình khác học tập và thực tiễn; tạo niềm tin, niềm vui, hứng thú học tập Làm cho "Học" là quá trình kiến tạo; HS tìm tòi, khám phá, phát luyện tập khai thác và sử lý thông tin… HS tự hình thành hiểu biết, lực và phẩm chất Tổ hoạt động nhận thức cho HS, dạy HS cách tìm chân lý Chú trọng hình thành các lực(tự học, sáng tạo, hợp tác,…) dạy phương pháp và kỹ thuật lao động khoa học, dạy cách học Học để đáp ứng yêu cầu sống và tương lai Những điều đã học cần thiết, bổ ích cho thân HS và cho phát triển xã hội PPDH tích cực dùng với nghĩa là hoạt động, chủ động, trái với không hoạt động, thụ động PPDHTC hướng tới việc tích cực hoá hoạt động nhận thức HS, nghĩa là hướng vào phát huy tính tích cực, chủ động người học không hướng vào phát huy tính tích cực người dạy Muốn đổi cách học phải đổi cách dạy Cách dạy định cách học, nhiên, thói quen học tập thụ động HS ảnh hưởng đến cách dạy thầy Mặt khác, có trường hợp HS mong muốn học theo PPDHTC GV chưa đáp ứng Do vậy, GV cần phải bồi dưỡng, phải kiên trì cách dạy theo PPDHTC, tổ chức các hoạt động nhận thức từ đơn giản đến phức tạp, từ thấp đến cao, hình thành thói quen cho HS Trong đổi phương pháp phải có hợp tác thầy và trò, phối hợp hoạt động dạy với hoạt động học thì có kết PPDHTC hàm chứa phương pháp dạy và phương pháp học * Đặc trưng phương pháp dạy học tích cực : a) dạy học tăng cường phát huy tính tự tin, tính tích cực, chủ động, sáng tạo thông qua tổ chức thực các hoạt động học tập học sinh (6) b) Dạy học trú trọng rèn luyện phương pháp và phát huy lực tự học HS c) Dạy học phân hóa kết hợp với học tập hợp tác d) Kết hợp đánh giá thầy với đánh giá bạn, với tự đánh giá e) Tăng cường khả năng, kỹ vận dụng vào thực tế, phù hợp với điều kiện thực tế sở vật chất, đội ngũ GV Căn vào mục tiêu ngành giáo dục “Đào tạo người phát triển toàn diện” vào nhiệm vụ năm học 2011-2012và nhiệm vụ đầu năm học 2012-2013 là tiếp tục đổi chương trình SGK, nội dung phương pháp giáo dục tất các bậc học, cấp học, ngành học Xây dựng đội ngũ giáo viên, cán quản lý giáo dục có đủ phẩm chất giáo dục chính trị, đạo đức, đủ số lượng, đồng cấu, chuẩn hoá trình độ đào tạo…Nhằm nâng cao chất lượng giáo dục II – CƠ SỞ THỰC TIỄN CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM : Qua nhiều năm giảng dạy môn toán và tham khảo ý kiến các đồng nghiệp nhiều năm kinh nghiệm, tôi nhận thấy : quá trình hướng dẫn học sinh giải các bài toán “tìm giá trị biến để biểu thức đạt giá trị nguyên” Đại số thì học sinh lúng túng vận dụng các khái niệm, định lý, bất đẳng thức, các công thức toán học Sự vận dụng lí thuyết vào việc giải các bài tập cụ thể học sinh chưa linh hoạt Khi gặp bài toán đòi hỏi phải vận dụng và có tư thì học sinh không xác định phương hướng để giải bài toán dẫn đến lời giải sai không làm bài Một vấn đề cần chú ý là kỹ giải toán và tính toán số học sinh còn yếu Để giúp học sinh có thể làm tốt các bài tập cực trị đại số thì người thầy phải hệ thống các dạng bài tập “tìm giá trị biến để biểu thức đạt giá trị nguyên”các kiến thức cần sử dụng để giải loại toán này , nắm các khuyết điểm mà học sinh thường mắc phải, từ đó có phương án “ Giúp học sinh phát và tránh sai lầm giải các bài toán tìm giá trị biến để biểu thức đạt giá trị nguyên” để rèn kĩ giải và có lời giải đúng 2.Kiến thức sử dụng để giải toán cực trị chủ yếu là chương bậc hai,căn bậc ba ,các kiến thức giải phương trình và tính chất bất đẳng thức.Do đó giáo viên cần hệ thống lại các kiến thức “tìm giá trị biến để biểu thức đạt giá trị nguyên” này để giúp các em nhớ lại kiến thức và vận dụng tốt để giải các bài tập “tìm giá trị biến để biểu thức đạt giá trị nguyên” III - TỔNG HỢP NHỮNG NỘI DUNG CƠ BẢN VỀ GIẢI TOÁN TÌM GIÁ TRỊ CỦA BIẾN ĐỂ BIỂU THỨC ĐẠT GIÁ TRỊ NGUYÊN 1/KIẾN THỨC : -Tính chia hết,bội và ước số nguyên lớp :Nếu a chia hết cho b thì a gọi là ước b và b gọi là bội a (7) -Tinh chất tổng chia cho số -Các tính chất bất đẳng thức và phép biến đổi đồng các biểu thức hữu tỉ lớp 8: -Bất đẳng thức Cau-chy : a+ b ≥ √ ab -Bất đẳng thức Bu- nhi- a- côp-xki -Cách giải phương trình bậc hai Nội dung chủ yếu bậc hai đó là phép khai phương(phép tìm bậc hai số học số không âm) và số phép biến đổi biểu thức lấy bậc hai * Nội dung phép khai phương gồm : - Giới thiệu phép khai phương(thông qua định nghĩa, thuật ngữ bậc hai số học số không âm) - Liên hệ phép khai phương với phép bình phương(với a≥0, có a a ; với a có a | a | ) - Liên hệ phép khai phương với quan hệ thứ tự(SGK thể Định lý so sánh các bậc hai số học : “Với a ≥ 0, b ≥ 0, ta có : a < b a b ”) - Liên hệ phép khai phương với phép nhân và phép chia(thể : định lý “ Với a ≥ 0, b ≥ 0, ta có : ab a b ” và định lý “ Với a ≥ 0, b > 0, ta có : a a b b ”) * Các phép biến đổi biểu thức chứa bậc hai mà SGK giới thiệu cho các công thức sau : A = | A| (với A là biểu thức đại số hay nói gọn là biểu thức ) AB A B ( với A, B là hai biểu thức mà A ≥ 0, B ≥ 0) A A B B ( với A, B là hai biểu thức mà A ≥ 0, B > 0) A B | A | B ( với A, B là hai biểu thức mà B ≥ ) A AB B B A B A B B C A B C A B ( với A, B là biểu thức và B > 0) C ( A B ) A B2 ( với A, B là hai biểu thức mà AB ≥ 0, B ≠ ) C( A B ) A B (với A, B, C là biểu thức mà A≥ và A ≠ B2) (với A, B, C là biểu thức mà A ≥ 0, B ≥ và A ≠ B) (8) * Tuy nhiên mức độ yêu cầu các phép biến đổi này là khác và chủ yếu việc giới thiệu các phép này là nhằm hình thành kỹ biến đổi biểu thức( số phép giới thiệu qua ví dụ có kèm thuật ngữ Một số phép gắn với trình bày tính chất phép tính khai phương) KỸ NĂNG : Hai kỹ chủ yếu là kỹ tính toán và kỹ biến đổi biểu thức * Có thể kể các kỹ tính toán : - Tìm khai phương số ( số đó có thể là số chính phương khoảng từ đến 400 là tích hay thương chúng, đặc biệt là tích thương số đó với số 100) - Phối hợp kỹ khai phương với kỹ cộng trừ nhân chia các số ( tính theo thứ tự thực phép tính và tính hợp lý có sử dụng tính chất phép khai phương) * Có thể kể các kỹ biến đổi biểu thức : - Các kỹ biến đổi riêng lẻ tương ứng với các công thức nêu phần trên( với công thức dạng A = B , có thể có phép biến đổi A thành B và phép biến đổi B thành A) Chẳng hạn kỹ nhân hai căn(thức) bậc hai có thể coi là vận dụng công thức AB A B theo chiều từ phải qua trái - Phối hợp các kỹ đó( và kỹ có lớp trước) để có kỹ biến đổi biểu thức chứa thức bậc hai Chẳng hạn kỹ trục thức mẫu Điều quan trọng rèn luyện các kỹ biến đổi biểu thức là tính mục đích các phép biến đổi Điều này, SGK chú ý thông qua các ứng dụng sau hình thành ban đầu kỹ biến đổi biểu thức Các ứng dụng này còn nhằm phong phú thêm cách thức rèn kỹ năng( để so sánh số, giải toán tìm x thoả mãn điều kiện nào đó.) Ngoài hai kỹ nêu trên ta còn thấy có kỹ hình thành và củng cố phần này : - Giải toán so sánh số - Giải toán tìm x - Lập luận để chứng tỏ số nào đó là bậc hai số học số đã cho - Một số lập luận giải toán so sánh số(củng cố tính chất bất đẳng thức nêu toán 8) - Một số kỹ giải toán tìm x ( kể việc giải phương trình tích) - Kỹ sử dụng máy tính Có thể nói rằng, hình thành và rèn luyện kỹ chiếm thời gian chủ yếu phần kiến thức này( việc hình thành kiến thức chú ý đến các kỹ tương ứng và nhiều khi, chẳng hạn giới thiệu phép biến đổi, thông qua hình thành kỹ năng) (9) CHƯƠNG II : NỘI DUNG THỰC HIỆN I - CÁC BƯỚC TIẾN HÀNH : Lập kế hoạch nghiên cứu nội dung viết sáng kiến kinh nghiệm Trao đổi thảo luận cùng đồng nghiệp Đăng ký sáng kiến, làm đề cương Thu thập, tập hợp số liệu và nội dung phục vụ cho việc viết sáng kiến Qua khảo sát, các bài kiểm tra, các luyện tập, ôn tập Phân loại các sai lầm học sinh giải các bài toán tìm giá trị biến để biểu thức đạt giá trị nguyên thành nhóm Đưa định hướng, các phương pháp tránh các sai lầm đó Vận dụng vào các ví dụ cụ thể Tổng kết, rút bài học kinh nghiệm II - KHẢO SÁT ĐÁNH GIÁ : Ngay từ đầu năm học 2012-2013 phân công giảng dạy lớp với sĩ số 42 HS tôi đã tiến hành khảo sát thực tế sau: Cho HS làm bài kiểm tra 15 phút Đề bài: Cho biểu thức A= x − x+17 Qua bài kiểm tra 15 phút thì tỉ lệ học sinh mắc sai lầm giải là: 35/42 chiếm tỉ lệ: 83,3 % Trong bài kiểm tra chương I -đại số năm học 2012-2013 34 học sinh lớp thì số học sinh không giải và mắc sai lầm giải câu bài toán cực trị là 28/34 chiếm 82,4 % Như số lượng học sinh mắc sai lầm giải bài toán cực trị là tương đối cao, việc các sai lầm học sinh để các em tránh làm bài tập năm học 2012-2013 này là công việc vô cùng quan trọng và cấp thiết quá trình giảng dạy trường THCS Tri Trung III- BIỆN PHÁP THỰC HIỆN Những giảng dạy trên lớp, qua bài kiểm tra đầu giờ, qua luyện tập, ôn tập GV cần lưu ý đến các bài toán cực trị, xem xét kĩ phần bài giải học sinh, gợi ý để học sinh tự tìm sai sót(nếu có) bài giải, từ đó giáo viên đặt các câu hỏi để học sinh trả lời và tự sửa chữa phần bài giải cho chính xác.Trước hết GVcần cho học sinh hiểu và nắm vững định nghĩa giá trị lớn và giá trị nhỏ biểu thức để từ đó có phương pháp giải các bài toán cực trị Trước hết giáo viên nhắc lại: * Định nghĩa giá trị lớn nhất: Cho biểu thức f ( x ) xác định trên D Ta nói M là giá trị lớn f ( x ) trên D, kí hiệu M=Max f ( x ) , điều kiện sau thỏa mãn: - Với x thuộc D thì f ( x ) ≤ M với M là số - Tồn x thuộc D cho f ( x ) =M (10) *Định nghĩa giá trị nhỏ nhất: Cho biểu thức f ( x ) xác định trên D Ta nói M là giá trị lớn f ( x ) trên D, kí hiệu M=Min f ( x ) , điều kiện sau thỏa mãn: -Với x thuộc D thì f ( x ) ≥ M với M là số Tồn x thuộc D cho f ( x ) =M Ta định nghĩa giá trị lớn biểu thức f ( x , y , ) giá trị nhỏ biểu thức f ( x , y , ) cách tương tự Qua định nghĩa GTLN.GTNN biểu thức giáo viên cần rõ cho HS thấy muốn tìm GTLN,GTNN biểu thức f ( x ) ta cần chứng minh điều kiện: f ( x )≥ M ĐK1: ( với M là số.) ĐK2: Chứng tỏ dấu " =" xảy Nếu học sinh chứng minh biểu thức f ( x ) thỏa mãn hai điều kiện trên thì chưa thể kết luận gì cực trị biểu thức đó Tuy nhiên quá trình giải đại đa số các em học sinh bị mắc sai lầm Cụ thể qua nhiều năm giảng dạy tôi thường thấy các em học sinh quá trình giải thường mắc phải số các sai lầm sau: 1/ Sai lầm “không đặt điều kiện’’ quá trình giải Ví dụ 1: ( Đề thi HSG Thành phố Hà Nội năm học 2002 - 2003) Cho < x < Hãy tìm giá trị nhỏ biểu thức A= − x + x Lời giải sai: Vì < x < nên A > 3/2 x+2 − x x+ = Ta có: A= 2 x−x 2x −x x +2 = (∗) Đặt A= M x−x ⇔ x − x +Mx +2 M =0 ⇔ x +( M −2)x +2 M =0 M −2 M −2 ⇔ x+ +2 M − =0 2 M −2 M −12 M + ⇔ x+ = M −2 ≥ nên M −12 M +4 ≥ ⇔ ( M −6 − √ ) ( M − 6+ √ ) ≥ Vì x + ⇔ M ≥6+ √ M ≤ − √2 1 ≤ ≤ Do đó: − √ M 6+ √ 3+ √ −2 √ ≤ A≤ Hay 2 ( ) ( ( ( ) ) ) (11) Đến đây số học sinh kết luận là không tìm Min A, còn số khác làm −2 √ đến bước này thì bỏ lửng vội vàng kết luận Min A= * Phân tích sai lầm: Khi giải đến (*) đa số các em quên “ không đặt điều kiện cho M nên không loại trường hợp M ≥ 6+2 √ - Cách giải đúng: Cách 1: Bổ xung điều kiện cho (*) là ≤ M ≤ đó loại bỏ trường hợp M ≥ 6+ √ 3+2 √ M −2 2− M ⇔x+ =0 ⇔ x= =2 √ 2− Vậy Min A= 2 (thỏa mãn điều kiện < x < 2) Ngoài để tránh sai lầm cho học sinh giải kiểu bài tập này tôi đã khuyến khích các em nên giải theo cách sau: 2 −2+ x Cách 2: A= − x + x = 2− x + 1+ x −2+ x −2 x + 1+ +1 2− x 2x x 2− x − x ¿ + +2 2x 2x x 2− x x ¿ + + +2 2− x x x x 2−x ¿ + + 2−x 2x ¿ Áp dụng bất đẳng thức Cô – si cho số dương x 2−x 2 x và x ta được: x 2− x + ≥ = √2 2−x x x 2− x 3 3+2 √ ⇒ + + ≥ √ 2+ = 2− x x 2 3+2 √ Hay A ≥ x 2−x Dấu “=’’ xảy ⇔ 2− x = x ⇔ x +4 x − 4=0 ¿ x 1=2 √2 −2 Giải phương trình trên ta x 2=−2 −2 √ 2(loai) ¿{ ¿ 3+2 √ ⇔ x=2 √ 2− Vậy Min A= ax +b Ví dụ 2: Cho biểu thức P= Tìm các giá trị a và b để biểu thức P x +1 √ có giá trị nhỏ -1, giá trị lớn Lời giải sai Vì x 2+1> ∀ x ∈ R đó biểu thức P xác định ∀ x ∈ R ax +b Khi đó: P= ⇔Px − ax −b+ P=0(∗) x +1 (12) Ta có: (*) 2 ⇔ ( Px ) − Pax+ P − Pb=0 2 a b ⇔ Px − + P− − 2 ( ( ⇔ Px − Vì ( Px − a ≥0 ) nên ¿ b− √ a +b2 =− b+ √ a2 +b =4 ⇔ ¿ b+2= √a 2+ b2 8− b=√ a2+ b2 ⇔ ¿ a=4 b=3 ¿{ ¿ ) ( )( a b − √a + b + P− 2 )( )( √ a2 + b2 2 ) =0 P− b+ √ a + b =0 ) b − √ a2 +b b+ a2 +b P− √ ≤0 2 2 2 b − √ a +b b+ √ a + b ⇒ ≤P≤ Kết hợp với gt ta có: 2 ( )( P− ) ¿ a=− b=3 ¿{ ¿ -* Phân tích sai lầm: Trong quá trình dạy học tôi thấy đa số các em học sinh có lời giải trên Nếu không để ý kỹ thì nhiều giáo viên cho là lời giải trên là đúng Nhưng thực lời giải trên đúng trường hợp P ≠ Còn P = thì chưa đúng Vậy sai lầm chỗ là các em học sinh chưa chú ý tới điều kiện Trong bài này ta xét trường hợp P ≠ vì P = không thể xảy điều kiện bài toán là tìm a, b để Min P = -1 còn Max P = Lời giải đúng Vì x +1> ∀ x ∈ R đó biểu thức P xác định ∀ x ∈ R ax +b Khi đó: P= ⇔Px − ax −b+ P=0(∗) x +1 Theo điều kiện bài toán giá trị P = không là giá trị nhỏ nhất, không là giá trị lớn P nên ta xét trường hợp P ≠ Khi đó : (*) ⇔ ( Px )2 − Pax+ P − Pb=0 2 ⇔ ( Px ) − Pax+ P − Pb=0 a b ⇔ Px − + P− − 2 ( ( ⇔ Px − Vì ( Px − a ≥0 ) nên )( ) ( √ a2+ b2 2 ) =0 a b − √ a 2+ b2 b+ a 2+ b2 + P− P− √ =0 2 )( )( ) b − √ a2 +b b+ a2 +b P− √ ≤0 2 b − √ a2 +b b+ a2+ b2 ⇒ ≤P≤ √ Kết hợp với gt ta có: 2 ( P− )( ) (13) ¿ b− √ a +b2 =− b+ √ a2 +b =4 ⇔ ¿ b+2= √a 2+ b2 8− b=√ a2+ b2 ⇔ ¿ a=4 b=3 ¿{ ¿ ¿ a=− b=3 ¿{ ¿ 2/ Sai lầm chứng minh điều kiện Ví dụ 3: Tìm GTLN biểu thức A= x − x+17 Lời giải sai Phân thức A có tử không đổi nên có GTLN mẫu nhỏ Ta có: x2 – 6x + 17 = ( x - )2 + ≥8 Min (x2 – 6x + 17) = x = Vậy Max A= ⇔ x=3 * Phân tích sai lầm: Tuy đáp số không sai lập luận sai khẳng định “A có tử số không đổi nên có giá trị lớn mẫu nhỏ nhất’’ mà chưa đưa nhận xét tử và mẫu là các số dương.Để giúp HS phát và tránh sai lầm này tôi đã đưa VD minh họa Chẳng hạn: xét biểu thức B= x −4 với lập luận “ phân thức B có tử không đổi nên có GTLN mẫu nhỏ nhất’’, mẫu nhỏ -4 x = ta đến kết −1 −1 luận Max B= ⇔ x=0 điều này không đúng vì không phải là GTLN −1 B, chẳng hạn với x = thì B= > Sai lầm này là HS không nắm vững tính chất bất đẳng thức, đã máy móc áp dụng quy tắc so sánh phân số có tử và mẫu là số tự nhiên sang hai phân số có tử và mẫu là số nguyên.Để lời giải trên trở thành đúng ta cần bổ xung thêm nhận xét phân số A có tử và mẫu là số dưong nên A dương, đó A lớn ⇔ A nhỏ ⇔ x2 – 6x + 17 nhỏ Lời giải đúng Xét tử số : >0 Xết mẫu số: x2 – 6x + 17 = ( x - )2 + ≥8 > (14) Vậy tử và mẫu A là số dương, suy A > 0, đó A lớn ⇔ A ⇔ x2 – 6x + 17 nhỏ Min (x2 – 6x + 17) = x = nhỏ x y z Ví dụ 4: Tìm GTNN A= y + z + x với các số dương x, y, z Lời giải sai: Giả sử x ≥ y ≥ z > ta suy x – z ≥ => y ( x - z) ≥ z (x - z) => xy – yz + z2 ≥ xz y y z − + ≥1 z x x Chia hai vế cho số dương xz ta được: x y + ≥2 (2) y x x y z + + ≥3 Cộng (1) với (2) ta được: y z x (1) Mặt khác ta có: (3) Min A = x = y = z *Phân tích sai lầm: Khi hoán vị vòng quanh x thay y, y thay z, z thay x thì biểu thức A trở thành y z x + + z x y tức là biểu thức không đổi Điều đó cho chúng ta sử dụng x là số lớn (hoặc là số nhỏ nhất), không cho phép giả sử x ≥ y ≥ z Thật vậy, sau chịn x là số lớn (x ≥ y, x ≥ z) thì vai trò y và z lại không bình đẳng: giữu nguyên x, thay y z, thay z y ta x z y + + z y x không biểu thức A ( Đến đây GV có thể đưa số ví dụ khác cho phép giả sử x ≥ y ≥ z Chẳng hạn: B = x2 + y2 + z2 + xy + yz + zx Sau giữ nguyên x, thay y z, thay z y ta x2 + z2 + y2 + xz + yz + yx B) Lời giải đúng: Cách 1: Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho số dương y z x y , z , x ta được: x y z x y z A= + + ≥ =3 y z x y z x x y z x y z Do đó Min y + z + x =3 ⇔ y = z = x tức là x = y = z x y z x y y z y Cách 2: Ta có: y + z + x = y + x + z + x − x x y x y z Ta có: y + x ≥ (do x, y > 0) nên để chứng minh y + z + x ≥3 y z y + − ≥1 (1) z x x ( √ ) ( )( ) cần chứng minh xy + z2 – yz – xz ≥ y( x - z) – z ( x - z) ≥ (x - z) ( y - z) ≥ (2) (2) đúng với giả thiết z là số nhỏ số x, y, z đó (1) đúng từ đó tìm giá trị nhỏ x y z + + y z x Ví dụ 5: Tìm GTNN A = x2 + y2 biết x + y = (15) Lời giải sai: Ta có : (x - y) ≥ ∀ x, y x2 – 2xy + y2 ≥ x2 + y2 ≥ 2xy Do đó A nhỏ x2 + y2 = 2xy x = y = Khi đó Min A = Kết luận: Vậy Min A = x = y = * Phân tích sai lầm: Đáp số không sai lập luận mắc sai lầm chỗ chứng minh điều kiện f(x,y) ≥ g(x,y) chưa chứng minh điều kiện f(x,y) ≥ m ( với m là số) Để tránh sai lầm này cho Hs dạy tôi đã đưa số ví dụ minh họa Chẳng hạn với lập luận trên, từ đẳng thức đúng (x - 2)2 ≥0 ∀ x x2 ≥ 4x – x x2 nhỏ x2 = 4x – (x - 2)2 = x = đến Min x2 = x = Đây là kết sai vì ta thấy Min x2 = x = Cách giải đúng: Ta có: x + y = => x2 + 2xy + y2 = 16 (bình phương vế) (1) Lại có: (x - y)2 ≥ => x2 – 2xy + y2 ≥ (2) 2 Từ (1) và (2) => 2(x + y ) ≥ 16 x2 + y2 ≥ Vậy Min A = x = y = 3/ Sai lầm chứng minh điều kiện Ví dụ 6: Tìm GTLN biểu thức A=3 x −2 x+ √ − x +4 x (Bài 7_ trang 62, sách chuyên đề ôn thi vào PTTH nhà xuất giáo dục) Khi cho HS giải bài toán này số em đã có lời giải sai sau: Lời giải sai: Biểu thức A có nghĩa – x + 4x ≥ -1 ≤ x ≤ Theo bất đẳng thức Cô si ta có: A=3 − x + √ (5 − x + x).1 ≤3 − x + 2 1+5 − x + x x =6 − ≤ 2 Vậy Max A= x = ( thỏa mãn điều kiện -1 ≤ x ≤ ) * Phân tích sai lầm: Sai lầm lời giải này là chỗ xảy dấu “ = ’’ Dấu “ = ’’ xảy ⇔ − x + x=1 x=0 ¿{ Nhưng hệ này vô nghiệm Vậy cách giải trên em đã mắc sai lầm chứng minh điều kiện còn chưa chứng minh điều kiện xảy Lời giải đúng Biểu thức A có nghĩa – x2 + 4x ≥ ( x + 1)(x - 5) ≤ -1 ≤ x ≤ (1) (16) Ta có: A=3 − x + √ − x 2+ x ⇔ A+2 x −3=√ − x 2+ x Điều kiện: A + 2x – ≥ (2) Khi đó: (*) (A + 2x - 3) = – x2 + 4x (5x + 2A - 8)2 + (A2 + 2A - 44) = Vì (5x + 2A - 8)2 ≥ => A2 + 2A – 44 ≤ ⇔ (A +1+3 √ 5)( A − 1+ √5)≤0 ⇔−1 −3 √ ≤ A ≤ −1+3 √ −24 =2− √ Max A=3 √ −1 ⇔ x= (thỏa mãn (1) và (2)) (*) Ví dụ 7: Tìm giá trị nhỏ B=x + √ x Lời giải sai ( B=x + √ x= x + √ x+ 1 − = 4 ) ( √x+ 1 − ≥− 4 ) Vậy Min B = - * Phân tích sai lầm: Sau chứng minh điều kiện (1): f ( x)≥− các em chưa trường hợp xảy f (x)=− mà đã vội kết luận, đẳng thức xảy ⇔ √ x=− ( vô lí) Như với cách giải này các em HS chứng minh điều kiện (1) còn không chứng minh điều kiện (2) nên lời giải sai Lời giải đúng Để tồn √ x phải có x ≥ Do đó: A=x + √ x ≥ Vậy Min A = x = Ví dụ 8: Tìm giá trị nhỏ Q = 2x + 3y biết 2x2 + 3y2 ≤ (ví dụ 40- Nâng cao và phát triển toán tập I trang 53) Lời giải sai Gọi B = 2x2 + 3y2, ta có B ≤ Xét A + B = 2x + 3y + 2x2 + 3y2 = (x2 + x) + 3(y2 + y) 2 1 5 +3 y + − ≥ − 2 4 ( ) ( ) ¿2 x+ Ta lại có: B ≤ nên – B ≥ - −25 Cộng (1) và (2) có: A ≥ −25 Min A= ⇔ x= y =− * Phân tích sai lầm: (1) (2) Sai lầm chỗ với x= y=− thì xảy dấu “ = ’’ (1) còn (2) không xảy (17) Thật với x= y=− 2 1 thì B=2 − +3 − = + ≠ Như cách giải này các em học sinh đã mắc sai lầm chỗ chưa chứng tỏ dấu « = » xảy nên cách giải trên là sai ( ) ( ) Cách giải đúng A= 2x + 3y => A2 = (2x + 3y)2 Áp dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki với a = 2, b = 3, m = x, n = y Ta có: A2 = (2x + 3y)2 ≤ (22 + 32)(x2 + y2) = 13 (x2 + y2) Ta viết A2 dạng A 2=( √ √2 x+ √ √ y )2 áp dụng BĐT Bu-nhi-a-cốp-xki Ta có: A ≤ [ ( √2 )2 + ( √ )2 ][ ( x √ ) 2+ ( y √ )2 ]= ( 2+ ) ( x +3 y ) ≤ 5=25 x y A 2=25 ⇔ √ = √ ⇔ x= y √2 √3 Do A ≤ 25 nên – ≤ A ≤ ⇔ x= y Min A = - x +3 y=− ⇔ x= y =−1 ¿{ ⇔ x= y Max A = x +3 y=5 ⇔ x= y =1 ¿{ Ví dụ 9: Tìm GTNN A= ( x +a ) ( x+ b ) x Với x > 0, a và b là các số dương cho trước Ta có x+ a ≥2 √ ax Lời giải sai (1) x+ b ≥2 √ bx (2) ( x +a )( x +b ) ax √ bx ≥2 √ =4 √ab Do đó: x x √ab ⇔ x=a=b MinA= * Phân tích sai lầm: Chỉ xảy A= √ab (1) và (2) là đẳng thức tức là x=a và x=b Như đòi hỏi phải có a = b Nếu a ≠ b thì không có A=4 √ ab Cách giải đúng Ta thực phép nhân và tách các số: ( x +a ) ( x+ b ) x 2+ax + bx+ ab ab ( A= = = x+ + a+b ) x x x ab Ta có: x+ x ≥ √ ab (bất đẳng thức Cô-si) Nên A ≥2 √ ab+a+ b=( √ a+√ b )2 ( ) (18) ( √ a+ √ b ) ⇔ MinA= ab x x> ⇔ x=√ ab ¿{ x= Bài tập tự luyện Bài 1: Tìm GTNN biểu thức: a) A= − x + x b) B= 1− x + x Bài 2: Tìm GTLN biểu thức: C = xyz (x + y) (y + z)(z + x) Bài 3: Tìm GTNN (x +a)( x +b) x B= x − √ x a) D= b) Bài 4: Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn điều kiện a + b + c = (1+a)(1+b)(1+c ) (1 − a)( 1− b)(1− c) Bài 5: Tìm GTLN biểu thức A=x +√ − x Tìm GTNN biểu thức : Q= IV-KẾT QUẢ THỰC HIỆN: Sau thời gian đưa vào áp dụng giảng dạy cho học sinh lớp 9A tôi thấy kết tích cực sau: - Các em HS trung bình lớp 9A đã tự giải bài tập cực trị có SGK và SBT Toán - Các em học sinh khá giỏi có thể giải bài toán cực trị khó có sách nâng cao, các đề thi HSG, các đề vào trường Chuyên - Đại đa số HS lớp 9A tôi phụ trách giảng dạy đã tự tin không sợ sệt gặp các bài toán cực trị Nhiều em còn mong muốn GV thường xuyên cho nhiều bài tập cực trị để giải cho thành thạo Kết đạt năm học 2012-2013 sau: Bài kiểm tra 15 phút: Tổng số 34 em Số bài kiểm tra học sinh giải đúng là 28/34 chiếm 82,4 %.Tuy dừng lại bài tập chủ yếu mang tính áp dụng hiệu đem lại đã phản ánh phần nào hướng đúng Bài kiểm tra học kì II Phòng GD & ĐT đề câu phần tìm cực trị biểu thức A sau đã rút gọn Số bài kiểm tra HS giải đúng là 27/34 chiếm79,4% các bài tập đã có độ khó cần suy luận và tư cao Như sau áp dụng đề tài vào việc giảng dạy trên lớp thì số học sinh mắc sai lầm giải các bài toán cực trị đã giảm nhiều.Từ đó chất lượng dạy và học môn Đại số nói riêng và môn toán nói chung nâng lên V- BÀI HỌC KINH NHIỆM VÀ GIẢI PHÁP THỰC HIỆN (19) Qua quá trình giảng dạy môn toán ,qua việc nghiên cứu đề tài ‘Giúp học sinh phát và tránh sai lầm giải các bài toán cực trị chương trình đại số 9’’,tôi đã rút số kinh nghiệm sau : * Về phía giáo viên : - Người thầy phải không ngừng học hỏi,nhiệt tình giảng dạy,quan tâm đến chất lượng học sinh,năm vững đặc điểm tâm sinh lý đối tượng học sinh và phải hiểu gia cảnh khả tiếp thucuar học sinh,từ đó tìm phương pháp dạy học hợp lý theo sát đối tượng.Đồng thời dạy các tiết học luyện tập,ôn tập giáo viên cần rõ sai lầm mà học sinh thường mắc phải, phân tích kĩ các lập luận sai để học sinh ghi nhớ và rút kinh nghiệm làm bài tập tiếp theo.Sau đó giáo viên cần tổng hợp đưa phương pháp giải cho loại bài để học sinh giải bài tập dễ dàng -Thông qua các phương án và phương pháp trên thì giáo viên cần phải nghiêm khắc, uốn nắn sai sót mà học sinh mắc phải, đồng thời động viên kịp thời các em làm bài tập tốt nhằm gây hứng thú học tập cho các em, đặc biệt lôi đại đa số các em khác hăng hái vào công việc - Giáo viên cần thường xuyên trao đổi với đồng nghiệp để học hỏi và rút kinh nghiệm cho thân, vận dụng phương pháp dạy học phù hợp với nhận thức học sinh, không ngừng đổi phương pháp giảng dạy để nâng cao chất lượng dạy và học - Giáo viên phải chịu hy sinh số lợi ích riêng đặc biệt thời gian để bố trí các buổi phụ đạo cho học sinh * Về phía học sinh : - Bản thân học sinh phải thực cố gắng, có ý thức tự học tự rèn, kiên trì và chịu khó quá trình học tập - Trong học trên lớp cần nắm vững phần lý thuyết hiểu chất vấn đề, có kỹ vận dụng tốt phần lý thuyết vào giải bài tập Từ đó học sinh có thể tránh sai lầm giải toán - Phải có đầy đủ các phương tiện học tập, phải giành nhiều thời gian cho việc làm bài tập nhà, thường xuyên trao đổi thảo luận cùng bạn bè để nâng cao kiến thức cho thân C -KẾT LUẬN Trong quá trình giảng dạy, học sinh học tập, đọc tài liệu các đồng nghiệp, đọc sách tham khảo tôi đã đúc rút kinh nghiệm trình bày trên Hy vọng với SKKN:’’Giúp học sinh phát và tránh sai lầm giải các bài toán cực trị chương trình đại số 9’’của mình là tài liệu tham khảo thiết thực cho các bạn đồng nghiệp nhằm nâng cao khả tư sáng tạo, óc suy luận logic cho học sinh Trên đây là kinh nghiệm nhỏ mà tôi đã thực và cho kết tốt Tuy nhiên, với giới hạn SKKN và giới hạn kiến thức THCS nên có nhiều cách giải bài toán cực trị tôi chưa đề cập tới và nhiều ví dụ tôi cố ý tóm lược lời giải để giảm số trang tăng lượng thông tin Đồng thời quá trình nghiên cứu độc lập nên chắn không thể tránh khỏi sai sót, hạn chế Tôi mong nhận góp ý chân tình quý đồng nghiệp Tôi xin chân thành cảm ơn! (20) XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Hải Dương, ngày tháng năm 2012 Tôi xin cam đoan đây là SKKN mình ,không chép nội dung người khác Người viết sáng kiến Hoàng Thị Hoa (21) ĐÁNH GIÁ XẾP LOẠI CỦA HỘI ĐỒNG KHOA HỌC NHÀ TRƯỜNG ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… …………………………………………… ……………………………………………………… ĐÁNH GIÁ XẾP LOẠI CỦA HỘI ĐỒNG KHOA HỌC CẤP TRÊN ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… (22) ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………… Môc lôc : TT 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 Néi dung PhÇn I : Më ®Çu A – Lý chọn đề tài: ………………………………………………… B- Thời gian nghiên cứu: …………………………………………… C – Mục đích nghiên cứu …………………………………………… D – Phạm vi nghiên cứu : …………………………………………… E – Đối tượng nghiên cứu…………………………………………… F – Phương pháp nghiên cứu: ……………………………………… G – Tài liệu tham khảo…………………………………………… Phần II : nội dung đề tài : A: CHƯƠNG I:CƠ SỞ LÝ LUẬN I- Quan điểm đổi phương pháp dạy học…………………………… II- Cơ sơ thực tiễn sáng kiến kinh nghiệm : ……………………… III- Tổng hợp nội dung giải toán cực trị : ………………… B ChƯƠng II : Néi dung thùc hiÖn : I – Các bước tiến hành: ………………………………………………… II – Khảo sát đánh giá : ………………………………………………… III Biện pháp thực IV- Kết thực V- Bài học kinh nghiệm và giải pháp thực C –Kết luận Trang 1 2 3 4 4 6 9 10 19 19 20 (23)