Tính khoảng cách từ tâm O của đáy đến mặt bên SCD và tổng diện cách từ G đến mặt bên SCD bằng a 6 tích các mặt của hình chóp S.ABCD Bài 10* Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy l[r]
(1)ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP TOÁN LỚP 11- HỌC KỲ II I NỘI DUNG ÔN TẬP A ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH - Phương pháp quy nạp, Dãy số Cấp số cộng Cấp số nhân - Giới hạn dãy số Giới hạn hàm số Hàm số liên tục và ứng dụng - Đạo hàm và bài toán tiếp tuyến B HÌNH HỌC - Các bài toán vec tơ không gian - Quan hệ vuông góc cùng với các bài toán xác định góc, khoảng cách, tính diện tích - Hệ thống các hình không gian: hình chóp đều, hình lăng trụ đứng, đều, hình hộp đứng, hình hộp chữ nhật, hình lập phương C CHÚ Ý - Yêu cầu học sinh làm tất các bài tập tự luận, bài tập trắc nghiệm cuối chương Sách giáo khoa, sách bài tập và làm thêm số bài tập tham khảo sau đây - Những bài đánh dấu * dành riêng cho học sinh học ban tự nhiên II MỘT SỐ BÀI TẬP THAM KHẢO A Dãy số Cấp số cộng Cấp số nhân Bài 1: Chứng minh rằng: 3 1 n = (1 n) (với n nguyên dương) 1 1 n −1 + + + + = ( với n N , n≥ ) n A2 A3 A4 An 11n+1 + 122n – chia hết cho 133 với n N* n(n −1) 4* (1 +a)n + na + a2 với n N*, a là số dương n 1 n Bài 2: Cho dãy số ( un ) với un = , n N* 1, Xét tính đơn điệu dãy (un) 2, CM dãy (un) bị chặn ¿ u2 +u5 −u3=10 u4 +u 6=26 Bài 3: Cho cấp số cộng (un) có: Tìm u1, d, S2012 ¿{ ¿ Bài 4: Năm số lập thành cấp số cộng Biết tổng chúng 15 và tích chúng 45, tìm năm số đó Bài 5*: 1, CMR Δ ABC: Nếu cotA, cotB, cotC lập thành cấp số cộng thì a2, b2, c2 lập thành cấp số cộng 2, Cho Δ ABC có ba cạnh a,b,c lập thành cấp số cộng Chứng minh ac = 6Rr ( R,r là bán kính vòng tròn ngoại, nội tiếp tam giác) Bài 6: Tìm m để pt 1, x4 - 2(2m-1)x2 + 3m = có nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng 2, x 2mx (m 3) x m 0 có nghiệm phân biệt lập a, cấp số cộng b, cấp số nhân ¿ u1 +u6=244 Bài 7: Cho cấp số nhân (un) có: u3 +u4 =36 Tìm u1, q, S2012, u2010 ¿{ ¿ Bài 8: Cho ba số có tổng 26 lập thành cấp số nhân Nếu thêm vào ba số đó 1, 6, thì cấp số cộng Tìm ba số đã cho ¿ u 1=2 ;u 2=3 Bài 9: Cho dãy số (un) xác định bởi: un+ 1=3 un − 2u n −1 n N*.,n ¿{ ¿ 1, Xác định công thức tính số hạng tổng quát un 2, Tính tổng u1 + u2 + …+un+10 Bài 10: Tính tổng S= + 99 + 999+ … + 99…9 (số hạng thứ n tương ứng có n chữ số 9) B Giới hạn hàm số liên tục Bài 1: Tìm giới hạn dãy số (2) 3n3 n 3 lim 2n n 2n3 n lim 6n 2n 1+ a + a + .+a + 1+a+ a2 + +a n+ lim 3n 5n n n 1 lim ( 4n 2n ) lim 3.5 2n 3n n 2n với |a|<1 7* Lim Bài 2: Tìm giới hạn hàm số 3x x x 3x x lim x→ 1 lim x x x 1 x2 2x lim x →− ∞ x3 x2 1 5x2 1 x lim x→ lim 5* x→ 2x x x3 √ x +1+ x −3 x √3 x − 2+ x − x +1 x x→ 6* 2x 4x7 x (1 x ) (1 x ) 12 x 3x x x lim lim x3 lim √ x +1 lim 10* x ( – ) 11 x x | x | lim sin ax lim cos x 13 x→ tan bx 14 x→ sin x x2 2x x 1 lim lim x lim ( x 2) x 2 x x2 lim 15 (-3x+2 + ) x→ x cos x tan 2 x x 16 x sin x lim cos x cos x cos4 x lim lim x sin(2013 x 2) 3x x x2 16* x→ 17 18 x→ Bài 3: Xét tính liên tục hàm số ; 3 x x 1 mx x x 1/ x 1 x m x 2 f(x) = x=1 f(x) = x=2 (m là tham số) x x 3 ax b x x a x Bài 4: Tìm a, b để hàm số sau liên tục trên R: f(x) = Bài 5: Chứng minh rằng: 1, Phương trình 2x3 – 7x +1 = có đúng nghiệm phân biệt ¿ 2, Phương trình a(x-b)(x-c)+b(x-a)(x-c)+c(x-a)(x-b) = có nghiệm với ∀ a , b , c ∈ R ¿ 3*, Phương trình x4 – x – = có nghiệm lớn √7 12 4, Phương trình x mx 2m 0 luôn có ít nghiệm với giá trị tham số m III ĐẠO HÀM Bài 1: Chứng minh rằng: ( x 1)3 x 0 ( x 2)2 x 1, Hàm số f(x) = liên tục x=0 không có đạo hàm điểm đó | x 2| 2, Hàm số f(x) = x liên tục x=2 không có đạo hàm điểm đó 2 x a b x ax 2bx x 1 Bài 2*: Tìm a,b để hàm số f(x) = có đạo hàm x =1 Bài 3: Tính đạo hàm các hàm số sau: x +3 x − y = x3-3x2 – + + sinx y = y = (x2 -11)(2x3 – x2 + x – 3) y= x x −3 sin x+cos x sin x − cos x (3) y = (x8 – x)10 y = x y= y 2x y x √x y = cos 9.y=sin(cos23x) 10* y= sin [cos2(tan3x) ] 2x ( x 1) x 3 2x y y 2 x x 15, x2 1 x x 13, y ( x x 4) x 14, x 12, 11, Bài 4: Cho hàm số y = x3 +3x+ có đồ thi (C).Viết phương trình tiếp tuyến (C) biết: 1, Tiếp điểm có hoành độ x0 = 2, Tiếp điểm có tung độ y0 = 3, Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng d y x có phương trình 4, Tiếp tuyến tạo với tia Ox góc 600 5, Tiếp tuyến qua điểm A(-1;1) Bài 1.Cho hàm số y = x – sin x + 2x – 13 Chứng minh rằng: y” – x – sin x = Cho hàm số y = √ x+ √ x 2+ Chứng minh rằng: a y’ =y b 4(1 + x2)y” + 4xy’ – y = Bài 6: Giải phương trình f’(x) = biết: sin x sin x f ( x) cos x 1, f(x) = cos 2x – cosx 2, f(x) = cosx + sinx – 2x – 3, Bài 7*: Tìm đạo hàm cấp n các hàm số sau: x +1 1 y = y = sinx; y= sin4x +cos4x; y= 2 x +1 x −5 x+ Bài Chứng minh các hàm số sau thoả mãn các hệ thức: a, f (x)=x + x − x −3 thoả mãn: f ' (1)+ f ' (−1)=− f (0) b, y = cot2x thoả mãn y’ + 2y2 + = y x x thỏa mãn 2y ' (y 1)y" d, y = a.cosx +b.sinx thỏa mãn hệ thức: c, Bài Giải phương trình : y’ = biết rằng: 1, y=x − x2 −9 x +5 2, y=x −2 x 2+ 3, 5, 9, x −5 x +15 y= x−2 y=cos x + sin x + x 6, 10, y=x − x 3+ x 7, y= x x +4 11, y=√ sin x − cos x+ x y=x + y’’ + y = 4, y=x √ − x y= sin x+sin x −3 y=20 cos x +12 cos x −15 cos x 8, Bài 10 Giải các bất phương trình sau: 1, y’ > với y x 3x 2, y’ < với 4, y’>0 với y=x −2 x 5, y’≤ với 1 y= x + x2 −2 x+ 3 y=√ x − x 6, y' 3, y’ ≥ với y= x 2+ x +2 x −1 2 với y x x y= x −(m+1) x +3( m+1)x +2 1, Tìm tất các giá trị tham số m để phương trình y’ = a, Có nghiệm b, Có nghiệm trái dấu c, Có nghiệm dương d, Có nghiệm phân biệt cùng dấu 2, Tìm m để y’ > với x PHẦN B HÌNH HỌC Bài 1: Cho tam giác ABC Dựng hai hình bình hành ABEF và ACHK nằm hai mặt phẳng khác và khác với mp(ABC) 1, CM ba véc tơ EF, EH và BC đồng phẳng 2, Gọi I, J, L là trung điểm FK, EH và BC Chứng minh tứ giác AIJL là hình bình hành 3, CM ba véc tơ CH, LJ, BE đồng phẳng Bài 2: Cho hình chữ nhật ABCD tâm O, AB = 4a, AD = a Trên đường thẳng vuông góc với mp(ABCD) A lấy điểm S cho SA a Gọi ( α ) là mặt phẳng qua A và vuông góc với SC, ( α ) cắt SB, SC,SD M, N, P 1, Chứng minh: AM SB, AP SD và SM.SB = SN.SC = SP.SD = SA2 2, Tìm điểm E cách điểm S,A,B,C,D 3, Tìm điểm F cách điểm A,B,C,D,M,N,P 4, Chứng minh tứ giác AMNP nội tiếp và tính diện tích tứ giác AMNP 5, Tính góc các cạnh bên với mặt đáy 6, Tính góc các mặt bên và mặt đáy 7, Tính góc (SBD) và (ABCD) 8, Tính góc BD và SC 9, Tính khoảng cách từ A, O đến mp(SBC) 10, Tính khoảng cách đường thẳng AB và mp(SCD) 11* Tìm điểm A’ trên AB cho diện tích tam giác SA’C nhỏ Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tâm O, SO=2a Gọi I, J là trung điểm AB,CD 1, Tính độ dài các cạnh bên hình chóp 2, Chứng minh: (SỊJ) (SCD) Tính khoảng cách từ O đến (SCD) 3, Tính khoảng cách AB và SC 4, Tính góc SC và (SBD) 5, Tính góc (SAB) và (SCD) 6, Tính góc (SAD) và (SDC) 7, Giả sử hình vuông ABCD cố định, S di động trên Bài 11 Cho hàm số (4) đường thẳng d vuông góc với mp(ABCD) O Chứng minh hình chiếu vuông góc O trên mp(SCD) luôn luôn nằm trên đường tròn cố định Bài 4: Cho tứ diện SABC cạnh 2a Gọi I là trung điểm BC M là điểm nằm trên đoạn thẳng SI cho IM/IS = 3/5 1.Tính cosin góc AIS và độ dài AM 2, Gọi ( α ) là mphẳng chứa AM và song song vói BC Tính diện tích thiết diện tạo bới ( α ) và tứ diện 3, Tính khoảng cách từ I đến ( α ).4, Tính góc AB và ( α ) Bài 5: Cho tam giác SAD và hình vuông ABCD cạnh a nằm hai mặt phẳng vuông góc với Gọi I,M,F là trung điểm AD,AB,SB; K là giao điểm CM và BI 1, Chứng minh: (CMF) (SIB) 2, Chứng minh: Δ BKF cân 3, Dựng và tính độ dài đoạn vuông góc chung AB và SD 4, Tính khoảng cách CM và SA Bài 6*: Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ 1, Nếu cạnh đáy và cạnh bên lăng trụ cùng a Gọi M,N,E là trung điểm các cạnh BC,CC’,C’A’ và mặt phẳng (P) qua M,N,E a, Xác định thiết diện (P) cắt lăng trụ Chứng minh (P) (AA’B’B) b, Tính diện tích thiết diện c, Tính tổng diện tích tất các mặt hình lăng trụ 2, Tìm hệ thức liên hệ cạnh bên và cạnh đáy lăng trụ để A’B B’C Bài 7*: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a 1, Tính khoảng cách và góc AC’ và A’B 2, Tính khoảng cách và góc AC và A’B Bài Cho hình chóp tam giác S.ABC cạnh đáy a , cạnh bên a √ Tính tổng diện tích các mặt bên hình chóp S.ABC và tính khoảng cách từ đỉnh đáy đến mặt bên đối diện Bài Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy a Gọi G là trọng tâm tam giác SAC và khoảng √3 Tính khoảng cách từ tâm O đáy đến mặt bên SCD và tổng diện cách từ G đến mặt bên SCD a tích các mặt hình chóp S.ABCD Bài 10* Cho hình chóp tam giác S.ABC có cạnh đáy là a Gọi M , N là trung điểm SB , SC Biết (AMN) vuông góc (SBC) Tính theo a diện tích tam giác AMN ĐỀ KIỂM TRA HỌC KỲ THAM KHẢO- Thời gian 100 phút- Đề tham khảo giúp học sinh biết cấu trúc đề A Phần chung ( Dành cho tất học sinh ) Câu (2 điểm) Cho bốn số lập thành cấp số cộng, biết tổng chúng 16 và tổng các bình phương số hạng thứ và số hạng thứ tư 50 Tìm cấp số cộng đó Câu (1,5 điểm) Tính các giới hạn sau x 3x Lim x a x 1 b Lim x x x x 1 Câu (1,5 điểm) y a Cho hàm số cos x tan x , x k cos x Chứng minh : y ’ = f ( x) x x x 2012 b Cho , giải bất phương trình f ’(x) < Câu (2 điểm) Cho tứ diện ABCD , có AB, BC, CD đôi vuông góc với và cùng có độ dài a Gọi C’ và D’ là hình chiếu vuông góc điểm B trên AC và AD a Chứng minh hai mặt phẳng ( ABC) và (ACD ) vuông góc với b Tính diện tích tam giác AC’D’ theo a B Phần riêng ( Học sinh làm phần đề riêng theo ban mình học ) Phần A: Ban khoa học Câu 5a (2 điểm) f ( x ) sin x cos x a Cho Giải phương trình f ’(x) = cos x (1) 1 y x x 5x 3 , có đồ thị là (C) Trong tất các tiếp tuyến (C) , hãy viết phương b Cho hàm số trình tiếp tuyến cú hệ số gúc nhỏ Câu 6a (1 điểm) Cho tứ diện ABCD , biết AB = CD = 2x ( x > ) và các cạnh còn lại có độ dài Tìm giá trị x để hai mặt phẳng (ABC) và (ABD) vuông góc với (5) Phần B : Ban khoa học tự nhiên Câu 5b (2điểm) 2 a Cho Tính f ’ x 1 y x , có b Chứng minh trên đồ thị (C) hàm số f ( x) cos x , x ; vô số cặp điểm mà tiếp tuyến các cặp điểm đó song song song với Câu 6b( 1điểm) Cho tứ diện ABCD có độ dài cạnh Gọi M, N là các điểm di động trên các cạnh AB, AC cho hai mặt phẳng (DMN) và (ABC) luôn vuông góc với Đặt AM = x, AN = y Chứng minh : x + y = 3xy HẾT (6)