Viết phương trình mặt phẳng P chứa B, M và cắt các trục Ox, Oz lần lượt tại các điểm A và C sao cho thể tích khối tứ diện OABC bằng 3 O là gốc toạ độ.. Lập phương trình đường tròn C đ[r]
(1)ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC SỐ 103 Ngày 12 tháng năm 2014 I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7 điểm) y 2x 1 x có đồ thị là (C) Câu I (2 điểm) Cho hàm số 1.Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số 2.Chứng minh đường thẳng d: y = -x + m luôn luôn cắt đồ thị (C) hai điểm phân biệt A, B Tìm m để đoạn AB có độ dài nhỏ Câu II (2 điểm) (2 sin 2 x)(2 cos x cos x) cot x 2sin x Giải phương trình: x ( y 2013)(5 y ) y Giải hệ phương trình: y ( y x 2) 3 x Câu III (1 điểm) ( x, y ) x 1 Tính tích phân: I x dx Câu IV (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABC có mặt phẳng (SAC) vuông góc với mặt phẳng (ABC), SA AB a, AC 2a và ASC ABC 900 Tính thể tích khối chóp S.ABC và cosin góc hai mặt phẳng (SAB), (SBC) Câu V (1,0 điểm) Cho x,y,z là ba số thực dương có tổng 3.Tìm giá trị nhỏ biểu thức P 3( x y z ) xyz II PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) 1.Theo chương trình chuẩn Câu VIa (2 điểm) 1.Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho đường tròn (C) có phương trình (x-1) + (y+2)2 = và đường thẳng d: x + y + m = Tìm m để trên đường thẳng d có điểm A mà từ đó kẻ hai tiếp tuyến AB, AC tới đường tròn (C) (B, C là hai tiếp điểm) cho tam giác ABC vuông B 0;3; , M 4; 0; 3 2.Trong không gian toạ độ Oxyz, cho các điểm Viết phương trình mặt phẳng ( P ) chứa B, M và cắt các trục Ox, Oz các điểm A và C cho thể tích khối tứ diện OABC ( O là gốc toạ độ ) Câu VIIa (1 điểm) Giải phương trình sau trên tập số phức : (z2 + 3z +6)2 + 2z(z2 + 3z +6) – 3z2 = 2.Theo chương trình nâng cao (3 điểm) Câu VIb (2 điểm) (d ) : x y 0 và ( d ) : x y 0 1.Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng cắt A Lập phương trình đường tròn (C) qua A có tâm thuộc đường thẳng d 1, cắt d1 B, cắt d2 C (B,C khỏc A) cho tam giác ABC có diện tích 24 2.Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A(10; 2; -1) và đường thẳng d có phương trình x y z Lập phương trình mặt phẳng (P) qua A, song song với d và khoảng cách từ d tới (P) là lớn Câu VIIb (1 điểm) : Giải phương trình sau trên tập số phức : z = 18 + 26i -Hết - Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch 184 Đường Lò Chum Thành Phố Thanh Hóa (2) HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ 103 I.Phần dành cho tất các thí sính Câu (1điểm) I (2đ) a.TXĐ: D = R\{-2} b.Chiều biến thiên Đáp án Điểm lim y lim y 2; lim y ; lim y 0,25 +Giới hạn: Suy đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là x = -2 và tiệm cận ngang là y = x y' + x x 2 x 2 x D ( x 2) 0,25 Suy hàm số đồng biến trên khoảng ( ; 2) và ( 2;) +Bảng biến thiên x y’ -2 + 0,25 + y 1 c.Đồ thị: Đồ thị cắt các trục Oy điểm (0; ) và cắt trục Ox điểm( ;0) Đồ thị nhận điểm (-2;2) làm tâm đối xứng O x -2 y 0,25 (1 điểm) Hoành độ giao điểm đồ thị (C ) và đường thẳng d là nghiệm phương trình x x (4 m) x 2m 0 (1) 2 Do (1) có m va ( 2) (4 m).( 2) 2m 0 m nên đường thẳng d luôn luôn cắt 2x 1 x m x2 đồ thị (C ) hai điểm phân biệt A, B Ta có yA = m – xA; yB = m – xB nên AB2 = (xA – xB)2 + (yA – yB)2 = 2(m2 + 12) suy AB ngắn AB2 II (2đ) nhỏ m = Khi đó AB 24 (1 điểm) KL: m=0 ĐK: x k , k Với ĐK trên phương trình đó cho tương đương với: cos4 x + sin4 x = (2 - sin2 2x)(cos2 x - sin22x = 2(2 - sin2 2x)(cos2 x - 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 1 cosx) Û 1- sin2 2x = (2 - sin2 2x)(cos2 x - cosx) 2 cosx) Û = 2cos2 x - cosx Û 2cos2 x - cosx - = 0,25 0,25 Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch 184 Đường Lò Chum Thành Phố Thanh Hóa (3) éx = l 2p écosx=1 ê ê Û ê Û ê êx = ± 2p + l 2p, (l Î Z ) êcosx = ê ê ë ë So với điều kiện ta suy nghiệm phương trình là (1 điểm) x=± 2p + l 2p, l Î ¢ 0,25 x , y 0 Điều kiện : x ( y 2013)(5 y ) y (1) y (2 x) y x 0 (2) Hệ đó cho trở thành 0,5 x 2 x y1 y x x x 1 2 Từ (2) ta có: ( x 4) (2) có hai nghiệm ( y 0 ) y x x x ( x 1) 2013 (4 x) Thế vào (1) ta có 0,25 x x ( x 1) 2013 0 ( x 1) 2013 ( x 4) ( x 4) x x 1 x x 1 1 ( x 1) 2013 0, x , y 0 Do x 4 y 5 x x 1 Vậy nghiệm hệ là: ( x, y) (4,5) III 1đ x 1 I 2x Đổi cận x t dx t 1 x dt •Đặt dx 2x dx (t 1)dt và x t 2t 4 4 (t 2t 2)(t 1) t 3t 4t 2 dt dt t dt 2 22 2 t t t t •Ta có I = t2 2 3t ln t ln 2 t = 0,25 0,25 = Kl: I = Câu IV 1đ 0,25 ln 0,25 S + Kẻ SH vuông góc AC (H AC) SH (ABC) a3 a a2 , S ABC VS ABC S ABC SH 2 + Gọi M là trung điểm SB và là góc hai mặt phẳng (SAB) và (SBC) SC BC a 3, SH Ta có: SA = AB = a, SC BC a AM SB và CM SB a a SH BH SB 2 + SAC = BAC Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch 0,25 M AMC A cosH cos C 0,25 B 184 Đường Lò Chum Thành Phố Thanh Hóa (4) AM là trung tuyến SAB nên: Tương tự: CM Equation.DSMT4 Câu V 1đ AM a 10 AS AB SB 10a AM 4 16 a 42 AM CM AC2 105 cos AMC 2.AM.CM 35 cos V?y: EMBED 0,25 0,25 105 35 Ta có: P 3 ( x y z ) 2( xy yz zx) xyz 3 2( xy yz zx) xyz 27 x( y z ) yz ( x 3) 27 x(3 x) Xét hàm số ( y z )2 ( x 3) ( x3 15 x 27 x 27) 2 f ( x ) x 15 x 27 x 27 x 1 f , ( x) 3x 30 x 27 0 x 9 , với 0<x<3 Từ bảng biến thiên suy MinP=7 x y z 1 0,5 0,5 Phần riêng.1.Ban Câu VIa 2đ 1.( điểm) Từ phương trình chính tắc đường tròn ta có tâm I(1;-2), R = 3, từ A kẻ tiếp tuyến AB, AC tới đường tròn và AB AC => tứ giác ABIC là hình vuông cạnh IA 3 0,5 m m 3 m 6 m 7 0,5 (1 điểm) Gọi A(a ;0 ;0),C(0 ;0 ;c)( ac 0 ) Vì B 0;3; Oy nên P : x y z 1 a c M 4;0; 3 P 1 4c 3a ac a c (1) ac 1 VOABC OB.SOAC ac 3 ac 6 3 2 (2) a ac 6 ac a 2 3 4c 3a 6 4c 3a c c 3 Từ (1) và (2) ta có hệ x y 2z x y z P1 : 1; P2 : 1 4 3 3 Vậy Câu VIIa 1đ 0,25 0,5 t z t 3z Đặt t = z2 + 3z +6 phương trình đó cho có dang: t2 +2zt – 3z2 = (t – z)(t+3z) = 0,25 z 5i z 5i 2 + Với t = z z + 3z +6 –z = z + 2z + = 0,25 + Với t = -3z z2 + 3z +6 +3z = z2 + 6z + = Kết luận … z z 1.( điểm) Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch 0,25 0,25 2.Ban nâng cao Câu 0,25 184 Đường Lò Chum Thành Phố Thanh Hóa (5) VIb 2đ 0,5 Ta có A( 5; 5) Gọi là góc tạo hai đường thẳng d1 và d2 cos Đường tròn (C) nhận AB là đường kính Tam giác ABC vuông C BAC Giả sử đường tròn (C) có tâm I và bán kính là R 24 R AC 2 Rcos R; BC 2 R sin R S ABC AC.BC 24 R 5 5 ; 25 Ta có Vì I (d1 ) I ( a; 2a ) Có IA R a 2a a 0 25 5a 10a 0 a 2 0,5 2 Với a 0 I (0;0) Phương trình đường tròn (C) là x y 25 Với a 2 I (2 5; 5) Phương trình đường tròn (C) là x y 25 Gọi H là hình chiếu A trên d, mặt phẳng (P) qua A và (P)//d, đó khoảng cách d và (P) là khoảng cách từ H đến (P) Giả sử điểm I là hình chiếu H lên (P), ta có AH HI => HI lớn A I 0,5 Vậy (P) cần tìm là mặt phẳng qua A và nhận AH làm véc tơ pháp tuyến H d H (1 2t ; t ;1 3t ) vì H là hình chiếu A trên d nên AH d AH u 0 (u (2;1;3) là véc tơ Câu VII a 1đ phương d) H (3;1;4) AH ( 7; 1;5) Vậy (P): 7(x – 10) + (y – 2) – 5(z + 1) = 7x + y -5z -77 = Ta có: (x + yi)3 = x3 – 3xy2 + (3x2y – y3)i = 18 + 26i 0,5 0,5 x 3xy 18 3 x y y 26 Theo định nghĩa hai số phức nhau, ta được: Từ hệ trên, rõ ràng x và y Đặt y = tx , hệ 18(3x2y – y3) = 26(x3 – 3xy2 ) 18(3t-t3 ) = 26(1-3t2) 18t3 – 78t2 – 54t+26 = ( 3t- 1)(3t2 – 12t – 13) = Vì x, y Z t Q t = 1/3 x = và y = z = + i Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch 184 Đường Lò Chum Thành Phố Thanh Hóa 0,5 (6)