Chứng minh rằng khi điểm M di chuyển trên đờng thẳng d thì tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác MPQ chạy trên một đờng thẳng cố định... trêng ptth chuyªn lª hång phong..[r]
(1)đề thi tuyển sinh vào lớp 10 năm học 1995 – 1996 đề chính thức môn: toán c©u 1:(3 ®iÓm) Thêi gian lµm bµi: 150 phót - Rót gän c¸c biÓu thøc sau: ¿ 1 15 A= ( √ 6+ √ ) − √120 − 3+2 √ √ B= + − ( 3+ √ −2 √ ) √ √2+1 1 ; x≠± ¿ x − √ x − x +1 ¿ C= x − 49 x ¿ √ c©u 2:(2,5 ®iÓm) Cho hµm sè y=− x ( P) a Vẽ đồ thị hàm số (P) b Với giá trị nào m thì đờng thẳng y=2x+m cắt đồ thị (P) điểm phân biệt A và B Khi đó hãy tìm toạ độ hai điểm A và B c©u 3: (3 ®iÓm) Cho đờng tròn tâm (O), đờng kính AC Trên đoạn OC lấy điểm B (B≠C) và vẽ đờng tròn tâm (O’) đờng kính BC Gọi M là trung điểm cña ®o¹n AB Qua M kÎ mét d©y cung DE vu«ng gãc víi AB CD c¾t đờng tròn (O’) điểm I a Tø gi¸c ADBE lµ h×nh g×? T¹i sao? b Chøng minh ®iÓm I, B, E th¼ng hµng c Chứng minh MI là tiếp tuyến đờng tròn (O’) và MI2=MB.MC c©u 4: (1,5®iÓm) Gi¶ sö x vµ y lµ sè tho¶ m·n x>y vµ xy=1 T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc x2 + y2 x− y đề thi tuyển sinh vào lớp 10 năm học 1996-1997 đề chính thức: môn toán c©u 1:(3 ®iÓm) Thêi gian lµm bµi: 150 phót …………………………… (2) Cho hµm sè y=√ x a.Tìm tập xác định hàm số b.TÝnh y biÕt: a) x=9 ; b) x= ( 1− √ )2 c Các điểm: A(16;4) và B(16;-4) điểm nào thuộc đồ thị hàm số, điểm nào không thuộc đồ thị hàm số? Tại sao? Không vẽ đồ thị, hãy tìm hoành độ giao điểm đồ thị hàm số đã cho và đồ thị hàm số y=x-6 c©u 2:(1 ®iÓm) XÐt ph¬ng tr×nh: x2-12x+m = (x lµ Èn) Tìm m để phơng trình có nghiệm x1, x2 thoả mãn điều kiện x2 =x12 c©u 3:(5 ®iÓm) Cho đờng tròn tâm B bán kính R và đờng tròn tâm C bán kính R’ cắt A và D Kẻ các đờng kính ABE và ACF a.Tính các góc ADE và ADF Từ đó chứng minh điểm E, D, F thẳng hµng b.Gäi M lµ trung ®iÓm cña ®o¹n th¼ng BC vµ N lµ giao ®iÓm cña c¸c đờng thẳng AM và EF Chứng minh tứ giác ABNC là hình bình hành c.Trên các nửa đờng tròn đờng kính ABE và ACF không chứa điểm D ta lÇn lît lÊy c¸c ®iÓm I vµ K cho gãc ABI b»ng gãc ACK (®iÓm I không thuộc đờng thẳng NB;K không thuộc đờng thẳngNC) Chøng minh tam gi¸c BNI b»ng tam gi¸c CKN vµ tam gi¸c NIK lµ tam gi¸c c©n d.Gi¶ sö r»ng R<R’ Chøng minh AI<AK Chøng minh MI<MK c©u 4:(1 ®iÓm) Cho a, b, c lµ sè ®o cña c¸c gãc nhän tho¶ m·n: cos2a+cos2b+cos2c≥2 Chøng minh: (tga tgb tgc)2 ≤ 1/8 đề thi tuyển sinh vào lớp 10 năm học 1997- 1998 đề chính thức: môn toán Thêi gian lµm bµi: 150 phót …………………………… c©u 1: (2,5 ®iÓm) Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau: a x2-x-12 = b x=√ x + c©u 2: (3,5 ®iÓm) Cho Parabol y=x2 và đờng thẳng (d) có phơng trình y=2mx-m2+4 a Tìm hoành độ các điểm thuộc Parabol biết tung độ chúng (3) b Chứng minh Parabol và đờng thẳng (d) luôn cắt điểm phân biệt Tìm toạ độ giao điểm chúng Với giá trị nào m thì tổng các tung độ chúng đạt giá trị nhỏ nhất? c©u 3: (4 ®iÓm) Cho ∆ABC có góc nhọn Các đờng cao AA’, BB’, CC’ cắt H; M lµ trung ®iÓm cña c¹nh BC Chứng minh tứ giác AB’HC’ nội tiếp đợc đờng tròn P là điểm đối xứng H qua M Chứng minh rằng: a Tø gi¸c BHCP lµ h×nh b×nh hµnh b P thuộc đờng tròn ngoại tiếp ∆ABC Chøng minh: A’B.A’C = A’A.A’H Chøng minh: HA ' ⋅ HB ' ⋅ HC ' ≤ HA HB HC đề thi tuyển sinh vào lớp 10 năm học 1999-2000 đề thi chính thức: môn toán c©u 1: (1,5 ®iÓm) Thêi gian lµm bµi: 150 phót ………………………………… Cho biÓu thøc: A= √ x − x +4 4−2x Víi gi¸ trÞ nµo cña x th× biÓu thøc A cã nghÜa? TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc A x=1,999 c©u 2: (1,5 ®iÓm) Gi¶i hÖ phêng tr×nh: c©u 3: (2 ®iÓm) ¿ 1 − =− x y −2 + =5 x y −2 ¿{ ¿ Tìm giá trị a để phơng trình: (4) (a2-a-3)x2 +(a+2)x-3a2 = nhËn x=2 lµ nghiÖm T×m nghiÖm cßn l¹i cña ph¬ng tr×nh? c©u 4: (4 ®iÓm) Cho ∆ABC vuông đỉnh A Trên cạnh AB lấy điểm D không trùng với đỉnh A và đỉnh B Đờng tròn đờng kính BD cắt cạnh BC E Đờng thẳng AE cắt đờng tròn đờng kính BD điểm thứ hai là G đờng thẳng CD cắt đờng tròn đờng kính BD điểm thứ hai là F Gọi S là giao điểm các đờng thẳng AC và BF Chứng minh: §êng th¼ng AC// FG SA.SC=SB.SF Tia ES lµ ph©n gi¸c cña ∠ AEF c©u 5: (1 ®iÓm) Gi¶i ph¬ng tr×nh: x + x +12 √ x +1=36 đề thi tuyển sinh lớp 10 năm học 2000-2001 đề chính thức: môn toán c©u 1: (2 ®iÓm) Thêi gian lµm bµi: 150 phót ……………………………… Cho biÓu thøc: A= ( a+√ a+1√ a +1)⋅ ( a√ −a −1√ a − 1) ; a ≥ , a ≠1 Rót gän biÓu thøc A Tìm a ≥0 và a≠1 thoả mãn đẳng thức: A= -a2 c©u 2: (2 ®iÓm) Trên hệ trục toạ độ Oxy cho các điểm M(2;1), N(5;-1/2) và đờng th¼ng (d) cã ph¬ng tr×nh y=ax+b Tìm a và b để đờng thẳng (d) qua các điểm M và N? Xác định toạ độ giao điểm đờng thẳng MN với các trục Ox và Oy c©u 3: (2 diÓm) Cho số nguyên dơng gồm chữ số Tìm số đó, biết tổng chữ số 1/8 số đã cho; thêm 13 vào tích chữ số đợc số viết theo thứ tự ngợc lại số đã cho c©u 4: (3 ®iÓm) Cho ∆PBC nhọn Gọi A là chân đờng cao kẻ từ đỉnh P xuống cạnh BC Đờng tròn đờng khinh BC cắt cạnh PB và PC lần lợt M và N Nối N với A cắt đờng tròn đờng kính BC điểm thứ là E Chứng minh điểm A, B, N, P cùng nằm trên đờng tròn Xác định tâm đờng tròn ấy? Chøng minh EM vu«ng gãc víi BC (5) Gọi F là điểm đối xứng N qua BC Chứng minh rằng: AM.AF=AN.AE c©u 5: (1 ®iÓm) Giả sử n là số tự nhiên Chứng minh bất đẳng thức: 1 + +⋅⋅+ <2 √2 ( n+1 ) √ n đề thi tuyển sinh lớp 10 năm học 2001-2002 đề chính thức: môn toán c©u 1: (1,5 ®iÓm) Thêi gian lµm bµi: 150 phót ……………………………… Rót gän biÓu thøc: ( 11−a− √√aa +√ a) ⋅ 1+1√ a ; a ≥ , a≠ M= c©u 2: (1,5 ®iÓm) T×m sè x vµ y tho¶ m·n ®iÒu kiÖn: c©u 3:(2 ®iÓm) ¿ x 2+ y =25 xy=12 ¿{ ¿ Hai ngêi cïng lµm chung mét c«ng viÖc sÏ hoµn thµnh 4h NÕu ngời làm riêng để hoàn thành công việc thì thời gian ngời thứ lµm Ýt h¬n ngêi thø lµ 6h Hái nÕu lµm riªng th× mçi ngêi ph¶i lµm bao l©u sÏ hoµn thµnh c«ng viÖc? c©u 4: (2 ®iÓm) Cho hµm sè: y=x2 (P) y=3x=m2 (d) Chứng minh với giá trị nào m, đờng thẳng (d) luôn c¾t (P) t¹i ®iÓm ph©n biÖt Gọi y1 và y2 là tung độ các giao điểm đờng thẳng (d) và (P) Tìm m để có đẳng thức y1+y2 = 11y1y2 c©u 5: (3 ®iÓm) Cho ∆ABC vuông đỉnh A Trên cạnh AC lấy điểm M ( khác với các điểm A và C) Vẽ đờng tròn (O) đờng kính MC GọiT là giao điểm thứ hai cạnh BC với đờng tròn (O) Nối BM và kéo dài cắt đờng tròn (O) điểm thứ hai là D Đờng thẳng AD cắt đờng tròn (O) điểm thø hai lµ S Chøng minh: Tứ giác ABTM nội tiếp đợc đờng tròn (6) Khi ®iÓm M di chuyÓn trªn c¹nh AC th× gãc ADM cã sè ®o kh«ng đổi §êng th¼ng AB//ST đề thi tuyển sinh lớp 10 năm học 2002-2003 đề chính thức: môn toán c©u 1: (2 ®iÓm) Thêi gian lµm bµi: 150 phót ……………………………… Cho biÓu thøc: S= ( x+√√yxy + x −√√yxy ) : 2x√−xyy ; x> , y >0 , x ≠ y Rót gän biÓu thøc trªn Tìm giá trị x và y để S=1 c©u 2: (2 ®iÓm) Trên parabol y= x lấy hai điểm A và B Biết hoành độ điểm A là xA=-2 và tung độ điểm B là y B=8 Viết phơng trình đờng th¼ng AB c©u 3: (1 ®iÓm) Xác định giá trị m phơng trình bậc hai: x2-8x+m = để + √ là nghiệm phơng trình Với m vừa tìm đợc, phơng trình đã cho còn nghiệm Tìm nghiệm còn lại ấy? c©u 4: (4 ®iÓm) Cho hình thang cân ABCD (AB//CD và AB>CD) nội tiếp đờng tròn (O).Tiếp tuyến với đờng tròn (O) A và D cắt E Gọi I là giao điểm các đờng chéo AC và BD Chứng minh tứ giác AEDI nội tiếp đợc đờng tròn Chøng minh EI//AB §êng th¼ng EI c¾t c¸c c¹nh bªn AD vµ BC cña h×nh thang t¬ng øng ë R vµ S Chøng minh r»ng: a I lµ trung ®iÓm cña ®o¹n RS 1 + = b AB CD RS c©u 5: (1 ®iÓm) Tìm tất các cặp số (x;y) nghiệm đúng phơng trình: (16x4+1).(y4+1) = 16x2y2 đề thi tuyển sinh lớp 10 năm học 2003-2004 đề chính thức: môn toán (7) c©u 1: (2 ®iÓm) Thêi gian lµm bµi: 150 phót …………………………… Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh ¿ + =2 x x+ y + =1,7 x x+ y ¿{ ¿ c©u 2: (2 ®iÓm) x + ; x >0 , x ≠ Cho biÓu thøc A= √ x+ √ x − x Rót gän biÓu thøc A TÝnh gi¸ trÞ cña A x= √2 c©u 3: (2 ®iÓm) Cho đờng thẳng d có phơng trình y=ax+b Biết đờng thẳng d cắt trục hoành điểm có hoành và song song với đờng thẳng y=2x+2003 T×m a vÇ b Tìm toạ độ các điểm chung (nếu có) d và parabol y= −1 x 2 c©u 4: (3 ®iÓm) Cho đờng tròn (O) có tâm là điểm O và điểm A cố định nằm ngoài đờng tròn Từ A kẻ các tiếp tuyến AP và AQ với đờng tròn (O), P vµ Q lµ c¸c tiÕp ®iÓm §êng th¼ng ®i qua O vµ vu«ng gãc víi OP c¾t đờng thẳng AQ M Chøng minh r»ng MO=MA Lấy điểm N trên cung lớn PQ đờng tròn (O) cho tiếp tuyến N đờng tròn (O) cắt các tia AP và AQ tơng ứng B và C a Chøng minh r»ng AB+AC-BC kh«ng phô thuéc vÞ trÝ ®iÓm N b.Chứng minh tứ giác BCQP nội tiếp đờng tròn thì PQ//BC c©u 5: (1 ®iÓm) Gi¶i ph¬ng tr×nh √ x2 −2 x −3+ √ x +2=√ x +3 x+2+ √ x −3 đề thi tuyển sinh lớp 10 năm học 2004-2005 đề chính thức: môn toán c©u 1: (3 ®iÓm) Thêi gian lµm bµi: 150 phót ……………………………… §¬n gi¶n biÓu thøc: Cho biÓu thøc: P=√ 14+ √5+ √ 14 − √ (8) Q= x − √ x +1 −√ ⋅ ; x >0 , x ≠ ( x +2√ x+√ x+1 x −1 ) √ x a Chøng minh Q= x−1 b Tìm số nguyên x lớn để Q có giá trị là số nguyên c©u 2: (3 ®iÓm) Cho hÖ ph¬ng tr×nh: ¿ ( a+1 ) x+ y=4 ax+ y=2 a ¿{ ¿ (a lµ tham sè) Gi¶i hÖ a=1 Chøng minh r»ng víi mäi gi¸ trÞ cña a, hÖ lu«n cã nghiÖm nhÊt (x;y) cho x+y≥ c©u 3: (3 ®iÓm) Cho đờng tròn (O) đờng kính AB=2R Đờng thẳng (d) tiếp xúc với đờng tròn (O) A M và Q là hai điểm phân biệt, chuyển động trên (d) cho M khác A và Q khác A Các đờng thẳng BM và BQ lần lợt cắt đờng tròn (O) các điểm thứ hai là N và P Chøng minh: BM.BN không đổi Tứ giác MNPQ nội tiếp đợc đờng tròn Bất đẳng thức: BN+BP+BM+BQ>8R c©u 4: (1 ®iÓm) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña hµm sè: y= x +2 x+ √ x2 +2 x+5 đề thi tuyển sinh lớp 10 năm học 2005-2006 đề chính thức: môn toán c©u 1: (2 ®iÓm) Thêi gian lµm bµi: 150 phót ……………………………… TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc P=√ − √ 3+ √ 7+4 √3 2 Chøng minh: ( √ a− √ b ) +4 √ab ⋅ a √ b −b √ a =a− b ; a> ,b >0 √ a+ √ b √ ab c©u 2: (3 ®iÓm) Cho parabol (P) và đờng thẳng (d) có phơng trình: (P): y=x2/2 ; (d): y=mx-m+2 (m lµ tham sè) Tìm m để đờng thẳng (d) và (P) cùng qua điểm có hoành độ x=4 (9) Chứng minh với giá trị m, đờng thẳng (d) luôn cắt (P) t¹i ®iÓm ph©n biÖt Giả sử (x1;y1) và (x2;y2) là toạ độ các giao điểm đờng thẳng (d) vµ (P) Chøng minh r»ng y 1+ y ≥ ( √2 −1 ) ( x 1+ x2 ) c©u 3: (4 ®iÓm) Cho BC là dây cung cố định đờng tròn tâm O, bán kính R(0<BC<2R) A là điểm di động trên cung lớn BC cho ∆ABC nhọn Các đờng cao AD, BE, CF ∆ABC cắt H(D thuộc BC, E thuéc CA, F thuéc AB) Chứng minh tứ giác BCEF nội tiếp đờng tròn Từ đó suy AE.AC=AF.AB Gäi A’ lµ trung ®iÓm cña BC Chøng minh AH=2A’O Kẻ đờng thẳng d tiếp xúc với đờng tròn (O) A Đặt S là diện tích cña ∆ABC, 2p lµ chu vi cña ∆DEF a Chøng minh: d//EF b Chøng minh: S=pR c©u 4: (1 ®iÓm) Gi¶i ph¬ng tr×nh: √ x2 +16=2 √2 x+ 4+ √ − x đề thi tuyển sinh lớp 10 năm học 2006-2007 m«n thi: to¸n bµi 1: (2 ®iÓm) Thêi gian lµm bµi: 120 phót …………………………… Cho biÓu thøc: A= +2 √ x+1 − ; x> , x ≠1 , x ≠ ( √1x − √ x1− ) :( √√ xx−1 √x − ) Rót gän A Tìm x để A = bµi 2: (3,5 ®iÓm) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho parabol (P) và đờng thẳng (d) có ph¬ng tr×nh: (P): y=x2 (d): y=2(a-1)x+5-2a ; (a lµ tham sè) Với a=2 tìm toạ độ giao điểm đờng thẳng (d) và (P) Chứng minh với a đờng thẳng (d) luôn cắt (P) điểm ph©n biÖt Gọi hoành độ giao điểm đờng thẳng (d) và (P) là x1, x2 Tìm a để x12+x22=6 bµi 3: (3,5 ®iÓm) (10) Cho đờng tròn (O) đờng kính AB Điểm I nằm A và O (I kh¸c A vµ O).KÎ d©y MN vu«ng gãc víi AB t¹i I Gäi C lµ ®iÓm tuú ý thuéc cung lín MN (C kh¸c M, N, B) Nèi AC c¾t MN t¹i E Chøng minh: Tø gi¸c IECB néi tiÕp AM2=AE.AC AE.AC-AI.IB=AI2 bµi 4:(1 diÓm) Cho a ≥ 4, b ≥ 5, c ≥ vµ a2+b2+c2=90 Chøng minh: a + b + c ≥ 16 đề thi tuyển sinh lớp 10 năm học 1993-1994 đề chính thức: môn toán c©u 1: Thêi gian lµm bµi: 150 phót …………………………… (1,5 ®iÓm) Rót gän biÓu thøc: ( c©u 2: √3 − √3 x+ x x − √x 2+ √ ⋅ − ; x≥0, x≠1 √ x+1 √x− )( ) (2 ®iÓm) Quãng đờng AB dài 180 km Cùng lúc hai ôtô khởi hành từ A để đến B Do vận tốc ôtô thứ vận tốc ôtô thứ hai là 15 km/h nên ôtô thứ đến sớm ôtô thứ hai 2h Tính vận tốc mçi «t«? c©u 3: (1,5 ®iÓm) Cho parabol y=2x2 Không vẽ đồ thị, hãy tìm: Toạ độ giao điểm đờng thẳng y=6x- 4,5 với parabol Giá trị k, m cho đờng thẳng y=kx+m tiếp xúc với parabol t¹i ®iÓm A(1;2) c©u 4: (5 ®iÓm) Cho ∆ABC nội tiếp đờng tròn (O) Khi kẻ các đờng phân giác các góc B, góc C, chúng cắt đờng tròn lần lợt điểm D và điểm E th× BE=CD Chøng minh ∆ABC c©n Chøng minh BCDE lµ h×nh thang c©n BiÕt chu vi cña ∆ABC lµ 16n (n lµ mét sè d¬ng cho tríc), BC b»ng 3/8 chu vi ∆ABC (11) a TÝnh diÖn tÝch cña ∆ABC b Tính diện tích tổng ba hình viên phân giới hạn đờng tròn (O) vµ ∆ABC đề thi tuyển lớp 10 năm học 1995-1996 trêng ptth chuyªn lª hång phong m«n to¸n bµi 1: bµi 2: Thêi gian lµm bµi: 150 phót …………………………… TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc sau: √ 15 − √ −√3 −√3 x − √3 ; x=2 √ 3+1 x +1 2 ( 2+ √3 x ) − ( √ x +1 ) √ x +3 Cho hÖ ph¬ng tr×nh(Èn lµ x, y ): ¿ −a x − y= a ¿{ ¿ 19 x − ny= bµi 3: bµi 4: Gi¶i hÖ víi n=1 Víi gi¸ trÞ nµo cña n th× hÖ v« nghiÖm Mét tam gi¸c vu«ng chu vi lµ 24 cm, tØ sè gi÷a c¹nh huyÒn vµ mét c¹nh gãc vu«ng lµ 5/4 TÝnh c¹nh huyÒn cña tam gi¸c Cho tam giác cân ABC đỉnh A nội tiếp đờng tròn Các đờng phân giác BD, CE cắt H và cắt đờng tròn lần lợt I, K Chøng minh BCIK lµ h×nh thang c©n Chøng minh DB.DI=DA.DC Biết diện tích tam giác ABC là 8cm 2, đáy BC là 2cm Tính diện tích cña tam gi¸c HBC Biết góc BAC 450, diện tích tam giác ABC là cm 2, đáy BC là n(cm) TÝnh diÖn tÝch mçi h×nh viªn ph©n ë phÝa ngoµi tam gi¸c ABC (12) đề thi tuyển lớp 10 năm học 1996-1997 trêng ptth chuyªn lª hång phong m«n to¸n c©u I: (1,5 ®iÓm) Thêi gian lµm bµi: 150 phót …………………………… Gi¶i ph¬ng tr×nh √ x+2+ x=4 Tam gi¸c vu«ng cã c¹nh huyÒn b»ng 5cm DiÖn tÝch lµ 6cm2 TÝnh độ dài các cạnh góc vuông c©u II: (2 ®iÓm) x x +1 Cho biÓu thøc: A= √ ;x ≥0 x − √ x +1 Rót gän biÓu thøc Gi¶i ph¬ng tr×nh A=2x TÝnh gi¸ trÞ cña A x= 3+2 √ c©u III: (2 ®iÓm) Trên mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho parabol (P) có phơng trình y=-2x2 và đờng thẳng (d) có phơng trình y=3x+m Khi m=1, tìm toạ độ các giao điểm (P) và (d) Tính tổng bình phơng các hoành độ giao điểm (P) và (d) theo m c©u IV:(3 ®iÓm) Cho tam gi¸c ABC vu«ng c©n t¹i A M lµ mét ®iÓm trªn ®o¹n BC ( M khác B và C) đờng thẳng đI qua M và vuông góc với BC cắt các đờng thẳng AB D, AC E Gọi F là giao điểm hai đờng thẳng CD vµ BE Chøng minh c¸c tø gi¸c BFDM vµ CEFM lµ c¸c tø gi¸c néi tiÕp Gọi I là điểm đối xứng A qua BC Chứng minh F, M, I thẳng hµng c©u V: (1,5 ®iÓm) Tam giác ABC không có góc tù Gọi a, b, c là độ dài các cạnh, R là bán kính đờng tròn ngoại tiếp, S là diện tích tam giác Chứng minh bất đẳng thức: R≥ 4S a+b +c DÊu b»ng x¶y nµo? đề thi tuyển lớp 10 năm học 1996-1997 trêng ptth chuyªn lª hång phong m«n to¸n Thêi gian lµm bµi: 150 phót …………………………… c©u I: (13) Rót gän biÓu thøc a+1 √a − a ; a>1 A= √ + + √ a −1 − √ a2 +a √ a −1+√ a √ a −1 Chøng minh r»ng nÕu ph¬ng tr×nh √ x2 +3 x +1− √ x −3 x+1=a cã nghiÖm th× -1< a <1 c©u II: Cho ph¬ng tr×nh x2+px+q=0 ; q≠0 (1) Gi¶i ph¬ng tr×nh p=√ −1 ; q=− √ Cho 16q=3p2 Chøng minh r»ng ph¬ng tr×nh cã nghiÖm vµ nghiÖm nµy gÊp lÇn nghiÖm Gi¶ sö ph¬ng tr×nh cã nghiÖm tr¸i dÊu, chøng minh ph¬ng tr×nh qx2+px+1=0 (2) còng cã nghiÖm tr¸i dÊu Gäi x lµ nghiÖm ©m cña ph¬ng tr×nh (1), x2 lµ nghiÖm ©m cña ph¬ng tr×nh (2) Chøng minh x1+x2≤-2 c©u III: Trong mặt phẳng Oxy cho đồ thị (P) hàm số y=-x và đờng thẳng (d) đI qua ®iÓm A(-1;-2) cã hÖ sè gãc k Chứng minh với giá trị k đờng thẳng (d) luôn cắt đồ thị (P) ®iÓm A, B T×m k cho A, B n»m vÒ hai phÝa cña trôc tung Gọi (x1;y1) và (x2;y2) là toạ độ các điểm A, B nói trên tìm k cho tổng S=x1+y1+x2+y2 đạt giá trị lớn c©u IV: Cho ba điểm A, B, C thẳng hàng theo thứ tự đó Gọi (T) là đờng tròn đờng kính BC; (d) là đờng thẳng vuông góc với AC A; M là điểm trên (T) khác B và C; P, Q là các giao điểm các đờng thẳng BM, CM với (d); N là giao điểm (khác C) CP và đờng tròn Chøng minh ®iÓm Q, B, N th¼ng hµng Chứng minh B là tâm đờng tròn nội tiếp tam giác AMN Cho BC=2AB=2a (a>0 cho trớc) Tính độ dài nhỏ đoạn PQ M thay đổi trên (T) c©u V: Gi¶i ph¬ng tr×nh ( 1− m ) x +2 ( x2 +3 − m) √ x+ m2 − m+3=0; m≥3 , x lµ Èn đề thi tuyển lớp 10 năm học 1997-1998 trêng ptth chuyªn lª hång phong m«n to¸n c©u I: (2 ®iÓm) Thêi gian lµm bµi: 150 phót …………………………… Cho biÓu thøc: F= √ x+2 √ x −1+ √ x − √ x −1 Tìm các giá trị x để biểu thức trên có nghĩa Tìm các giá trị x≥2 để F=2 c©u II: (2 ®iÓm) Cho hÖ ph¬ng tr×nh: ¿ x + y + z=1 xy − z 2=1 ¿{ ¿ (ở đó x, y, z là ẩn) Trong c¸c nghiÖm (x0,y0,z0) cña hÖ ph¬ng tr×nh, h·y t×m tÊt c¶ nh÷ng nghiÖm cã z0=-1 (14) Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh trªn c©u III:(2,5 ®iÓm) Cho ph¬ng tr×nh: x2- (m-1)x-m=0 (1) Gi¶ sö ph¬ng tr×nh (1) cã nghiÖm lµ x 1, x2 LËp ph¬ng tr×nh bËc hai cã nghiÖm lµ t1=1-x1 vµ t2=1-x2 Tìm các giá trị m để phơng trình (1) có nghiệm x1, x2 thoả m·n ®iÒu kiÖn: x1<1<x2 c©u IV: (2 ®iÓm) Cho nửa đờng tròn (O) có đờng kính AB và dây cung CD Gọi E và F tơng ứng là hình chiếu vuông góc A và B trên đờng th¼ng CD Chứng minh E và F nằm phía ngoài đờng tròn (O) Chøng minh CE=DF c©u V: (1,5 ®iÓm) Cho đờng tròn (O) có đờng kính AB cố định và dây cung MN qua trung ®iÓm H cña OB Gäi I lµ trung ®iÓm cña MN Tõ A kÎ tia Ax vu«ng gãc víi MN c¾t tia BI t¹i C T×m tËp hîp c¸c ®iÓm C d©y MN quay xung quanh ®iÓm H đề thi tuyển lớp 10 năm học 1996-1997 trêng ptth chuyªn lª hång phong m«n to¸n c©u 1: (2,5 ®iÓm) Thêi gian lµm bµi: 150 phót …………………………… Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh: a x +6 x − 20=√ x 2+ x +8 b √ x ( x −1 ) + √ x ( x −2 )=2 √ x ( x −3 ) LËp ph¬ng tr×nh bËc cã c¸c nghiÖm lµ: x 1= − √ ; x2 = 3+ √ 2 TÝnh gi¸ trÞ cña P(x)=x4-7x2+2x+1+ √ , x= 3− √ c©u : (1,5 ®iÓm) Tìm điều kiện a, b cho hai phơng trình sau tơng đơng: x2+2(a+b)x+2a2+b2 = (1) x2+2(a-b)x+3a2+b2 = (2) c©u 3: (1,5 ®iÓm) Cho c¸c sè x1, x2…,x1996 tho¶ m·n: (15) ¿ x 1+ x2 + + x 1996 =2 x + x + + x 1996 = 499 ¿{ ¿ c©u 4: (4,5 ®iÓm) 2 Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, các đờng cao AA1,BB1, CC1 cắt t¹i I Gäi A2, B2, C2 lµ c¸c giao ®iÓm cña c¸c ®o¹n th¼ng IA, IB, IC với đờng tròn ngoại tiếp tam giác A1B1C1 Chøng minh A2 lµ trung ®iÓm cña IA Chøng minh SABC=2.SA1C2B1A2C1B2 Chøng minh SA B C S ABC 1 =sin2A+sin2B+sin2C - vµ sin2A+sin2B+sin2C≤ 9/4 ( Trong đó S là diện tích các hình) đề thi tuyển lớp 10 năm học 1997-1998 trêng ptth chuyªn lª hång phong m«n to¸n c©u 1: (2,5 ®iÓm) Thêi gian lµm bµi: 150 phót …………………………… Cho sè sau: a=3+2 √ b=3− √ Chøng tá a3+b3 lµ sè nguyªn T×m sè nguyªn Êy Sè nguyªn lín nhÊt kh«ng vît qu¸ x gäi lµ phÇn nguªn cña x vµ ký hiÖu lµ [x] T×m [a3] c©u 2: (2,5 ®iÓm) Cho đờng thẳng (d) có phơng trình là y=mx-m+1 Chứng tỏ m thay đổi thì đờng thẳng (d) luôn qua điểm cố định Tìm điểm cố định Tìm m để đờng thẳng (d) cắt y=x2 điểm phân biệt A và B cho AB=√ c©u 3: (2,5 ®iÓm) Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đờng tròn (O) Gọi t là tiếp tuyến với dờng tròn tâm (O) đỉnh A Giả sử M là điểm nằm bªn tam gi¸c ABC cho ∠ MBC=∠MCA Tia CM c¾t tiÕp tuyến t D Chứng minh tứ giác AMBD nội tiếp đợc đờng trßn T×m phÝa tam gi¸c ABC nh÷ng ®iÓm M cho: ∠ MAB =∠MBC =∠ MCA c©u 4: (1 ®iÓm) (16) Cho đờng tròn tâm (O) và đờng thẳng d không cắt đờng tròn các đoạn thẳng nối từ điểm trên đờng tròn (O) đến điểm trên đờng thẳng d, Tìm đoạn thẳng có độ dài nhỏ nhất? c©u 5: (1,5 ®iÓm) Tìm m để biểu thức sau: H= √ ( m+1 ) x − m mx − m+1 cã nghÜa víi mäi x ≥ đề thi tuyển lớp 10 năm học 1998-1999 trêng ptth chuyªn lª hång phong m«n to¸n bµi 1: (1 ®iÓm) Thêi gian lµm bµi: 150 phót …………………………… Gi¶i ph¬ng tr×nh: 0,5x4+x2-1,5=0 bµi 2: (1,5 ®iÓm) §Æt M =√ 57+ 40 √2 ; N=√ 57 − 40 √ TÝnh gi¸ trÞ cña c¸c biÓu thøc sau: M-N M3-N3 bµi 3: (2,5 ®iÓm) Cho ph¬ng tr×nh: x2-px+q=0 víi p≠0 Chøng minh r»ng: Nếu 2p2- 9q = thì phơng trình có nghiệm và nghiệm này gấp đôi nghiÖm Nếu phơng trình có nghiệm và nghiệm này gấp đôi nghiệm th× 2p2- 9q = bµi 4:( 3,5 ®iÓm) Cho tam giác ABC vuông đỉnh A Gọi H là chân đờng vuông góc kẻ từ đỉnh A xuống cạnh huyền BC Đờng tròn(A, AH) cắt các cạnh AB vµ AC t¬ng øng ë M vµ N §êng ph©n gi¸c gãc AHB vµ gãc AHC c¾t MN lÇn lît ë I vµ K Chứng minh tứ giác HKNC nội tiếp đợc đờng tròn Chøng minh: HI = HK AB AC Chøng minh: SABC≥2SAMN bµi 5: (1,5 ®iÓm) x−2 Tìm tất các giá trị x≥ để biểu thức: F= √ , đạt giá trị lớn x nhÊt T×m gi¸ trÞ lín nhÊt Êy (17) đề thi tuyển lớp 10 năm học 1998-1999 trêng ptth chuyªn lª hång phong m«n to¸n bµi 1: (2 ®iÓm) Thêi gian lµm bµi: 150 phót …………………………… Cho hÖ ph¬ng tr×nh: ¿ mx − y =−m ( 1− m2 ) x +2 my=1+ m2 ¿{ ¿ Chøng tá ph¬ng tr×nh cã nghiÖm víi mäi gi¸ trÞ cña m Gäi (x0;y0) lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh, xhøng minh víi mäi gi¸ trÞ cña m lu«n cã: x02+y02=1 bµi 2: (2,5 ®iÓm) Gäi u vµ v lµ c¸c nghiÖm cña ph¬ng tr×nh: x2+px+1=0 Gäi r vµ s lµ c¸c nghiÖm cña ph¬ng tr×nh : x2+qx+1=0 đó p và q là các số nguyên Chøng minh: A= (u-r)(v-r)(u+s)(v+s) lµ sè nguyªn Tìm điều kiện p và q để A chia hết cho bµi 3: (2 ®iÓm) Cho ph¬ng tr×nh: (x2+bx+c)2+b(x2+bx+c)+c=0 NÕu ph¬ng tr×nh v« nghiÖm th× chøng tá r»ng c lµ sè d¬ng bµi 4: (1,5 ®iÓm) Cho hình vuông ABCD với O là giao điểm hai đờng chéo AC và BD Đờng thẳng d thay đổi luôn qua điểm O, cắt các cạnh AD và BC tơng ứng M và N Qua M và N vẽ các đờng thẳng Mx và Ny tơng ứng song song với BD và AC Các đờng thẳng Mx và Ny cắt I Chứng minh đờng thẳng qua I và vuông góc với đờng thẳng d luôn qua điểm cố định bµi 5: (2 ®iÓm) Cho tam gi¸c nhän ABC cã trùc t©m lµ H PhÝa tam gi¸c ABC lÊy ®iÓm M bÊt kú Chøng minh r»ng: MA.BC+MB.AC+MC.AB ≥ HA.BC+HB.AC+HC.AB đề thi tuyển lớp 10 năm học 1999-2000 trêng ptth chuyªn lª hång phong (18) m«n to¸n bµi 1(2 ®iÓm): Thêi gian lµm bµi: 150 phót …………………………… Cho biÓu thøc: N= a b a+b + − √ ab+b √ ab −a √ ab víi a, b lµ hai sè d¬ng kh¸c Rót gän biÓu thøc N TÝnh gi¸ trÞ cña N khi: a=√ 6+2 √ ; b=√ −2 √ bµi 2(2,5 ®iÓm) Cho ph¬ng tr×nh: x4-2mx2+m2-3 = Gi¶i ph¬ng tr×nh víi m= √ Tìm m để phơng trình có đúng nghiệm phân biệt bµi 3(1,5 ®iÓm): Trên hệ trục toạ độ Oxy cho điểm A(2;-3) và parabol (P) có phơng tr×nh lµ : y= −1 x 2 Viết phơng trình đờng thẳng có hệ số góc k và qua điểm A Chứng minh đờng thẳng nào đI qua điểm A và không song song víi trôc tung bao giê còng c¾t (P) t¹i ®iÓm ph©n biÖt bµi 4(4 ®iÓm): Cho đờng tròn (O,R) và đờng thẳng d cắt đờng tròn điểm A và B Từ điểm M nằm trên đờng thẳng d và phía ngoài đờng tròn (O,R) kẻ tiếp tuyến MP và MQ đến đờng tròn (O,R), đó P và Q là tiếp ®iÓm Gọi I là giao điểm đoạn thẳng MO với đờng tròn (O,R) Chứng minh I là tâm đờng tròn nội tiếp tam giác MPQ Xác định vị trí điểm M trên đờng thẳng d để tứ giác MPOQ là h×nh vu«ng Chứng minh điểm M di chuyển trên đờng thẳng d thì tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác MPQ chạy trên đờng thẳng cố định đề thi tuyển lớp 10 năm học 1999-2000 trêng ptth chuyªn lª hång phong m«n to¸n bµi 1(1,5 ®iÓm): Thêi gian lµm bµi: 150 phót …………………………… x y z + + =1 y+z z+x x+ y 2 H·y tÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc sau: A= x + y + z y + z z + x x+ y Víi x, y, z tho¶ m·n: bµi 2(2 ®iÓm): (19) Tìm m để phơng trình vô nghiệm: x +2 mx+1 =0 bµi 3(1,5 ®iÓm): x −1 Chứng minh bất đẳng thức sau: √ 6+√ 6+√ 6+√ 6+ √30+ √30+√ 30+√ 30<9 bµi 4(2 ®iÓm): Trong c¸c nghiÖm (x,y) tho¶ m·n ph¬ng tr×nh: (x2-y2+2)2+4x2y2+6x2-y2=0 Hãy tìm tất các nghiệm (x,y) cho t=x2+y2 đạt giá trị nhỏ bµi 5(3 ®iÓm): Trên nửa đờng tròn đờng kính AB đờng tròn tâm (O) lấy ®iÓm t¬ng øng lµ C vµ D tho¶ m·n: AC2+BD2=AD2+BC2 Gọi K là trung điểm BC Hãy tìm vị trí các điểm C và D trên đờng tròn (O) để đờng thẳng DK qua trung điểm AB đề thi tuyển lớp 10 năm học 2000-2001 trêng ptth chuyªn lª hång phong m«n to¸n bµi 1(2,5 ®iÓm): Thêi gian lµm bµi: 150 phót …………………………… Cho biÓu thøc: T = x+ + √ x +1 − √ x +1 ; x >0 , x ≠ x √ x −1 x + √ x+ x − 1 Rót gän biÓu thøc T Chøng minh r»ng víi mäi x > vµ x≠1 lu«n cã T<1/3 bµi 2(2,5 ®iÓm): Cho ph¬ng tr×nh: x2-2mx+m2- 0,5 = Tìm m để phơng trình có nghiệm và các nghiệm phơng trình có giá trị tuyệt đối Tìm m để phơng trình có nghiệm và các nghiệm là số đo c¹nh gãc vu«ng cña mét tam gi¸c vu«ng cã c¹nh huyÒn b»ng bµi 3(1 ®iÓm): Trên hệ trục toạ độ Oxy cho (P) có phơng trình: y=x2 Viết phơng trình đờng thẳng song song với đờng thẳng y=3x+12 và có với (P) đúng điểm chung bµi 4(4 ®iÓm): (20) Cho đờng tròn (O) đờng kính Ab=2R Một điểm M chuyển động trên đờng tròn (O) (M khác A và B) Gọi H là hình chiếu vuông góc M trên đờng kính AB Vẽ đờng tròn (T) có tâm là M và bán kính là MH Từ A và B lần lợt kẻ các tiếp tuyến AD và BC đến đòng tròn (T) (D và C lµ c¸c tiÕp ®iÓm) Chứng minh M di chuyển trên đờng tròn (O) thì AD+BC có giá trị không đổi Chứng minh đờng thẳng CD là tiếp tuyến đờng tròn (O) Chứng minh với vị trí nào M trên đờng tròn (O) luôn có bất đẳng thức AD.BC≤R2 Xác định vị trí M trên đờng tròn (O) để đẳng thức xảy Trên đờng tròn (O) lấy điểm N cố định Gọi I là trung điểm MN vµ P lµ h×nh chiÕu vu«ng gãc cña I trªn MB Khi M di chuyÓn trªn đờng tròn (O) thì P chạy trên đờng nào? đề thi tuyển lớp 10 năm học 2000-2001 trêng ptth chuyªn lª hång phong m«n to¸n bµi 1(1 ®iÓm): Thêi gian lµm bµi: 150 phót …………………………… Gi¶i ph¬ng tr×nh: x+ √ x +1=1 bµi 2(1,5 ®iÓm): Tìm tất các giá trị x không thoả mãn đẳng thức: (m+|m|)x2- 4x+4(m+|m|)=1 dï m lÊy bÊt cø c¸c gi¸ trÞ nµo bµi 3(2,5 ®iÓm): ¿ | x −1|+| y − 2|=1 Cho hÖ ph¬ng tr×nh: ( x − y )2+ m ( x − y − ) − x − y =0 ¿{ ¿ Tìm m để phơng trình có nghiệm (x0,y0) cho x0 đạt giá trị lớn nhÊt T×m nghiÖm Êy? Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh kho m=0 bµi 4(3,5 ®iÓm): Cho nửa đờng tròn đờng kính AB Gọi P là điểm chính cung AB, M là điểm di động trên cung BP Trên đoạn AM lấy điểm N cho AN=BM Chứng minh tỉ số NP/MN có giá trị không đổi điểm M di chuyển trên cung BP Tìm giá trị không đổi ấy? T×m tËp hîp c¸c ®iÓm N M di chuyÓn trªn cung BP bµi 5(1,5 ®iÓm): Chøng minh r»ng víi mçi gi¸ trÞ nguyªn d¬ng n bao giê còng tån t¹i hai sè nguyªn d¬ng a vµ b tho¶ m·n: (21) n ¿ ( 1+ √ 2001 ) =a+ b √ 2001 2 a −2001 b =( − 2001 ) ¿{ ¿ n đề thi tuyển lớp 10 năm học 2000-2001 trêng ptth chuyªn lª hång phong m«n to¸n bµi 1(2 ®iÓm): Thêi gian lµm bµi: 150 phót …………………………… Cho hÖ ph¬ng tr×nh: ¿ x+ ay=2 ax − y =1 ¿{ ¿ (x, y lµ Èn, a lµ tham sè) Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh trªn Tìm số nguyên a lớn để hệ phơng trình có nghiệm (x0,y0) thoả mãn bất đẳng thức x0y0 < bµi 2(1,5 ®iÓm): LËp ph¬ng tr×nh bËc hai víi hÖ sè nguyªn cã nghiÖm lµ: 4 ; x2 = 3+ √ − √5 4 4 P= + 3+ √5 − √5 x 1= TÝnh: ( ) ( ) bµi 3(2 ®iÓm): Tìm m để phơng trình: x −2 x −|x − 1|+m=0 , có đúng nghiệm ph©n biÖt bµi 4(1 ®iÓm): Giả sử x và y là các số thoả mãn đẳng thức: ( √ x 2+5+ x ) ⋅ ( √ y +5+ y ) =5 TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc: M = x+y bµi 5(3,5 ®iÓm): Cho tø gi¸c ABCD cã AB=AD vµ CB=CD Chøng minh r»ng: Tứ giác ABCD ngoại tiếp đợc đờng tròn Tứ giác ABCD nội tiếp đợc đờng tròn và AB vµ BC vu«ng gãc víi (22) Giả sử AB ⊥ BC Gọi (N,r) là đờng tròn nội tiếp và (M,R) là đờng trßn ngo¹i tiÕp tø gi¸c ABCD.Chøng minh: 2 a AB+BC=r + √ r + R 2 2 b MN =R +r −r √ r +4 R đề thi tuyển lớp 10 năm học 2001-2002 trêng ptth chuyªn lª hång phong m«n to¸n Thêi gian lµm bµi: 150 phót …………………………… bµi 1(2 diÓm): Tìm a và b thoả mãn đẳng thức sau: 1+ a √ a a+ a − √ a ⋅ √ =b2 − b+ 1−a 1+ √ a bµi 2(1,5 ®iÓm): Tìm các số hữu tỉ a, b, c đôi khác cho biểu thức: ( H= ) √ 1 + + 2 ( a −b ) ( b −c ) ( c −a ) nhËn gi¸ trÞ còng lµ sè h÷u tØ bµi 3(1,5 ®iÓm): Gi¶ sö a vµ b lµ sè d¬ng cho tríc T×m nghiÖm d¬ng cña ph¬ng tr×nh: √ x ( a − x ) + √ x ( b − x )=√ ab bµi 4(2 ®iÓm): Gäi A, B, C lµ c¸c gãc cña tam gi¸c ABC T×m ®iÒu kiÖn cña tam gi¸c ABC để biểu thức: P=sin A B C ⋅sin ⋅sin 2 đạt giá trị lớn Tìm giá trị lớn ấy? bµi 5(3 ®iÓm): Cho h×nh vu«ng ABCD 1.Víi mçi mét ®iÓm M cho tríc trªn c¹nh AB ( kh¸c víi ®iÓm A vµ B), t×m trªn c¹nh AD ®iÓm N cho chu vi cña tam gi¸c AMN gÊp hai lần độ dài cạnh hình vuông đã cho Kẻ đờng thẳng cho đờng thẳng này chia hình vuông đã cho thµnh tø gi¸c cã tý sè diÖn tÝch b»ng 2/3 Chøng minh r»ng đòng thẳng nói trên có ít đờng thẳng đồng quy (23) đề thi tuyển lớp 10 năm học 2002-2003 trêng ptth chuyªn lª hång phong m«n to¸n Thêi gian lµm bµi: 150 phót …………………………… bµi 1(2 ®iÓm): Chøng minh r»ng víi mäi gi¸ trÞ d¬ng cña n, ku«n cã: TÝnh tæng: S= bµi 2(1,5 ®iÓm): 1 = − ( n+1 ) √n+ n √ n+1 √ n √ n+1 1 1 + + + + 2+ √ √2+ √ √ 3+3 √ 100 √ 99+99 √ 100 Tìm trên đòng thẳng y=x+1 điểm có toạ độ thoả mãn đẳng thøc: y − y √ x+ x=0 bµi 3(1,5 ®iÓm): Cho hai ph¬ng tr×nh sau: x2-(2m-3)x+6=0 2x2+x+m-5=0 Tìm m để hai phơng trình đã cho có đúng nghiệm chung bµi 4(4 ®iÓm): Cho đờng tròn (O,R) với hai đờng kính AB và MN Tiếp tuyến với đờng tròn (O) A cắt các đờng thẳng BM và BN tong ứng M1 và N1 Gäi P lµ trung ®iÓm cña AM1, Q lµ trung ®iÓm cña AN1 Chứng minh tứ giác MM1N1N nội tiếp đợc đờng tròn NÕu M1N1=4R th× tø gi¸c PMNQ lµ h×nh g×? Chøng minh Đờng kính AB cố định, tìm tập hợp tâm các đờng tròn ngoại tiếp tam giác BPQ đờng kính MN thay đổi bµi 5(1 ®iÓm): Cho đờng tròn (O,R) và hai điểm A, B nằm phía ngoài đờng tròn (O) với OA=2R Xác định vị trí điểm M trên đờng tròn (O) cho biểu thức: P=MA+2MB, đạt giá trị nhỏ tìm giá trị nhỏ đề thi tuyển lớp 10 năm học 2002-2003 trêng ptth chuyªn lª hång phong m«n to¸n bµi 1(2 ®iÓm): Thêi gian lµm bµi: 150 phót …………………………… Víi a vµ b lµ hai sè d¬ng tho¶ m·n a2-b>0 Chøng minh: √ a+√ b= √ a+ √ a2 − b a − √ a2 − b + 2 √ Kh«ng sö dông m¸y tÝnh vµ b¶ng sè, chøng tá r»ng: (24) bµi 2(2 ®iÓm): 2+ √ − √3 29 < + < √ 2+ √ 2+ √ √ − √ − √ 20 Giả sử x, y là các số dơng thoả mãn đẳng thức x+y= √ 10 Tính giá trị x và y để biểu thức sau: P=(x 4+1)(y4+1), đạt giá trị nhỏ T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt Êy? bµi 3(2 ®iÓm): Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh: bµi 4(2,5 ®iÓm): ¿ x y z + + =0 x− y y− z z −x x y z + + =0 2 ( x − y ) ( y − z ) ( z − x )2 ¿{ ¿ Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đờng tròn (O,R) với BC=a, AC=b, AB=c LÊy ®iÓm I bÊt kú ë phÝa cña tam gi¸c ABC vµ gäi x, y, z lần lợt là khoảng cách từ điểm I đến các cạnh BC, AC và AB tam gi¸c Chøng minh: √ x+ √ y +√ z ≤ bµi 5(1,5 ®iÓm): √ a 2+ b2 +c 2R Cho tập hợp P gồm 10 điểm đó có số cặp điểm đợc nối với b»ng ®o¹n th¼ng Sè c¸c ®o¹n th¼ng cã tËp P nèi tõ ®iÓm a đến các điểm khác gọi là bậc điểm A Chứng minh tìm đợc hai điểm tập hợp P có cùng bậc đề thi tuyển lớp 10 năm học 2003-2004 trêng ptth chuyªn lª hång phong m«n to¸n Thêi gian lµm bµi: 150 phót …………………………… bµi 1.(1,5 ®iÓm) Cho ph¬ng tr×nh: x2-2(m+1)x+m2-1 = víi x lµ Èn, m lµ sè cho tríc Giải phơng trình đã cho m = Tìm m để phơng trình đã cho có nghiệm dơng x1,x2 phân biệt thoả mãn điều kiÖn x12-x22= √2 bµi 2.(2 ®iÓm) Cho hÖ ph¬ng tr×nh: ¿ x= y +2 xy +a 2=−1 ¿{ ¿ đó x, y là ẩn, a là số cho trớc Giải hệ phơng trình đã cho với a=2003 (25) Tìm giá trị a để hệ phơng trình đã cho có nghiệm bµi 3.(2,5 ®iÓm) Cho ph¬ng tr×nh: √ x −5+ √9 − x=m víi x lµ Èn, m lµ sè cho tríc Giải phơng trình đã cho với m=2 Giả sử phơng trình đã cho có nghiệm là x=a Chứng minh đó phơng trình đã cho còn có nghiệm là x=14-a Tìm tất các giá trị m để phơng trình đã cho có đúng nghiệm bµi 4.(2 ®iÓm) Cho hai đờng tròn (O) và (O’) có bán kính theo thứ tự là R và R’ cắt ®iÓm A vµ B Một tiếp tuyến chung hai đờng tròn tiếp xúc với (O) và(O’) lần lợt C và D Gäi H vµ K theo thø tù lµ giao ®iÓm cña AB víi OO’ vµ CD Chøng minh r»ng: a AK lµ trung tuyÕn cña tam gi¸c ACD b B lµ träng t©m cña tam gi¸c ACD vµ chØ OO ' = √ ( R+ R ' ) 2 Một cát tuyến di động qua A cắt (O) và (O’) lần lợt E và F cho A nằm đoạn EF xác định vị trí cát tuyến EF để diện tích tam giác BEF đạt giá trÞ lín nhÊt bµi (2 ®iÓm) Cho tam gi¸c nhän ABC Gäi D lµ trung diÓm cña c¹nh BC, M lµ ®iÓm tuú ý trªn cạnh AB (không trùng với các đỉnh A va B) Gọi H là giao điểm các đoạn thẳng AD và CM Chứng minh tứ giác BMHD nội tiếp đợc đờng tròn thì có bất đẳng thức BC< √ ⋅AC đề thi tuyển lớp 10 năm học 2003-2004 trêng ptth chuyªn lª hång phong m«n to¸n bµi 1.(1,5 ®iÓm) Thêi gian lµm bµi: 150 phót …………………………… Cho ph¬ng tr×nh x2+x-1=0 Chøng minh r»ng ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm tr¸i dÊu Gäi x1 lµ nghiÖm ©m cña ph¬ng tr×nh H·y tÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc: P=√ x +10 x +13+ x Bµi 2.(2 ®iÓm) Cho biÓu thøc: P=x √5 − x + ( − x ) √ 2+ x T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt vµ lín nhÊt cña P ≤ x ≤ Bµi 3.(2 ®iÓm) Chøng minh r»ng kh«ng tån t¹i c¸c sè nguyªn a, b, c cho: a2+b2+c2=2007 Chøng minh r»ng kh«ng tån t¹i c¸c sè h÷u tû x, y, z cho: x2+y2+z2+x+3y+5z+7=0 Bµi 4.(2,5 ®iÓm) Cho tam giác ABC vuông A Vẽ đờng cao AH Gọi (O) là vòng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c AHC Trªn cung nhá AH cña vßng trßn (O) lÊy ®iÓm M bÊt kú kh¸c A Trªn tiÕp tuyÕn t¹i M cña vßng trßn (O) lÊy hai ®iÓm D vµ E cho BD=BE=BA §êng th¼ng BM c¾t vßng trßn (O) t¹i ®iÓm thø hai lµ N Chøng minh r»ng tø gi¸c BDNE néi tiÕp mét vßng trßn Chøng minh vßng trßn ngo¹i tiÕp tø gi¸c BDNE vµ vßng trßn (O) tiÕp xóc víi (26) Bµi 5.(2 ®iÓm) Có n điểm, đó không có ba điểm nào thẳng hàng Hai điểm nối với đoạn thẳng, đoạn thẳng đợc tô màu xanh, đỏ vàng Biết rằng: có ít đoạn màu xanh, đoạn màu đỏ, và đoạn màu vàng; không có điểm nào mà các đoạnthẳng xuất phát từ đó có đủ ba màu và không có tam giác nào tạo các đoạn thẳng đã nối có ba cạnh cùng màu Chøng minh r»ng kh«ng tån t¹i ba ®o¹n th¼ng cïng mµu xuÊt ph¸t tõ cïng mét ®iÓm Hãy cho biết có nhiều bao nhiêu điểm thoả mãn đề bài đề thi tuyển lớp 10 năm học 2004-2005 trêng ptth chuyªn lª hång phong m«n to¸n Thêi gian lµm bµi: 150 phót …………………………… Bµi 1.(2 ®iÓm) Rót gän c¸c biÓu thøc sau: m− n m+ n+2 √ mn + ; m , n≥ ; m≠ n √ m− √ n √ m+ √ n a b − ab2 √ a− √ b Q= : ; a> ; b>0 ab √ a+√ b P= Bµi 2.(1 ®iÓm) Gi¶i ph¬ng tr×nh: Bµi 3.(3 ®iÓm) √ − x+ √ x −2=2 Cho c¸c ®o¹n th¼ng: (d1): y=2x+2 (d2): y=-x+2 (d3): y=mx (m lµ tham sè) Tìm toạ độ các giao điểm A, B, C theo thứ tự (d 1) với (d2), (d1) víi trôc hoµnh vµ (d2) víi trôc hoµnh Tìm tất các giá trị m cho (d 3) cắt hai đờng thẳng (d1), (d2) T×m tÊt c¶ c¸c gi¸ trÞ cña m cho (d3) c¾t c¶ hai tia AB vµ AC bµi 4.(3 ®iÓm) Cho tam giác ABC nội tiếp đờng tròn (O) và D là điểm nằm trên cung BC kh«ng chøa ®iÓm A Trªn tia AD ta lÊy ®iÓm E cho AE=CD Chøng minh ∆ABE = ∆CBD Xác định vị trí D cho tổng DA+DB+DC lớn Bµi 5.(1 ®iÓm) T×m x, y d¬ng tho¶ m·n hÖ: (27) ¿ x + y=1 ( x + y )+ =5 xy ¿{ ¿ đề thi tuyển lớp 10 năm học 2005-2006 trêng ptth chuyªn lª hång phong m«n to¸n Bµi 1.(2 ®iÓm) Thêi gian lµm bµi: 150 phót …………………………… Cho biÓu thøc: −(√ x ) 1−x M= − ; x ≥ ; x ≠ 1− √ x 1+ √ x+ x Rót gän biÓu thøc M Tìm x để M ≥ Bµi 2.(1 ®iÓm) Gi¶i ph¬ng tr×nh: √ x+12=x bµi 3.(3 ®iÓm) Cho parabol (P) và đờng thẳng (d) có phơng trình: (P): y=mx2 (d): y=2x+m đó m là tham số, m≠0 Với m= √ , tìm toạ độ giao điểm đờng thẳng (d) và (P) Chứng minh với m≠0, đờng thẳng (d) luôn cắt (P) t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt Tìm m để đờng thẳng (d) cắt (P) điểm có hoành độ là − √ ¿3 ( 1+ √ ) ; ¿ Bµi 4.(3 ®iÓm) Cho tam giác ABC nội tiếp đờng tròn (O) và D là điểm nằm trªn cung BC kh«ng chøa A(D kh¸c B vµ C) Trªn tia DC lÊy ®iÓm E ssao cho DE=DA Chứng minh ADE là tam giác Chøng minh ∆ABD=∆ACE Khi D chuyển động trên cung BC không chứa A(D khác B và C) thì E chạy trên đờng nào? Bµi 5.(1 ®iÓm) Cho ba sè d¬ng a, b, c tho¶ m·n: a+b+c≤2005 3 3 3 Chøng minh: a − b2 + b − c2 + c − a2 ≤ 2005 ab+3 a bc+ b ca +3 c (28) đề thi tuyển lớp 10 năm học 2005-2006 trêng ptth chuyªn lª hång phong m«n to¸n Thêi gian lµm bµi: 150 phót …………………………… bµi 1.(1,5 ®iÓm) BiÕt a, b, c lµ c¸c sè thùc tho¶ m·n a+b+c=0 vµ abc≠0 Chøng minh: a2+b2-c2=-2ab TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc: P= bµi 2.(1,5 ®iÓm) 1 + 2 2+ 2 2 a +b − c b +c − a c +a −b T×m c¸c sè nguyªn d¬ng x, y, z cho: 13x+23y+33z=36 bµi 3.(2 ®iÓm) Chøng minh: √ 3− x + √ x +1=−16 x − x +1 −1 bµi 4.(4 ®iÓm) √ 3− x + √ x +1 ≥ víi mäi x tho¶ m·n: ≤x ≤ 4 Gi¶i ph¬ng tr×nh: Cho tam giác ABC D và E là các điểm lần lợt nằm trên các cạnh AB và AC đờng phân giác góc ADE cắt AE I và đờng ph©n gi¸c cña gãc AED c¾t AD t¹i K Gäi S, S1, S2, S3 lÇn lît lµ diÖn tích các tam giác ABC, DEI, DEK, DEA Gọi H là chân đờng vuông góckẻ từ I đến DE Chứng minh: S3 IH = DE +AD S 1+ S S3 S3 = + DE DE+ AD DE +AE S +S ≤ S BµI 5.(1 diÓm) Cho c¸c sè a, b, c tho¶ m·n: 0≤ a ≤2; ≤b ≤2; 0≤ c ≤2 vµ a+b+c=3 Chứng minh bất đẳng thức: √ ab+ √ bc+ √ ca ≥ √ c©u §Ò tæng hîp đề1 (29) Cho A= √ x −2 √ x+3+ − 2 √ x − √ x −3 − √ x + x + √ x − √ x + √ x −3 Chøng minh A<0 tìm tất các giá trị x để A nguyên c©u c©u c©u Ngêi ta trén 8g chÊt láng nµy víi 6g chÊt láng kh¸c cã khèi lîng riêng nhỏ 200kg/m3 đợc hỗn hợp có khối lợng riêng là 700kg/m3 TÝnh khèi lîng riªng mçi chÊt láng Cho đờng tròn tâm O và dây AB Từ trung điểm M cung AB vẽ hai d©y MC, MD c¾t AB ë E, F (E ë gi÷a A vµ F) Cã nhËn xÐt g× vÒ tø gi¸c CDFE? KÐo dµi MC, BD c¾t ë I vµ MD, AC c¾t ë K Chøng minh: IK//AB Cho tứ giác ABCD nội tiếp đờng tròn đờng kính AD Biết AB=BC= √ cm, CD=6cm TÝnh AD đề c©u c©u Cho √ 16− x + x − √ 9− x + x 2=1 TÝnh A= √16 − x + x 2+ √9 − x + x Cho hÖ ph¬ng tr×nh: c©u c©u Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh Tìm m để hệ phơng trình có nghiệm cho x<y Cho nửa đờng tròn (O) đờng kính AB=2R, vẽ dây AD=R, dây BC= √ R KÎ AM vµ BN vu«ng gãc víi CD kÐo dµi So s¸nh DM vµ CN TÝnh MN theo R Chøng minh SAMNB=SABD+SACB Cho nửa đờng tròn (O) đờng kính AB Từ điểm M trên tiếp tuyến A kẻ tiếp tuyến thứ hai MC với đờng tròn, kẻ CH vuông góc với AB Chøng minh MB chia CH thµnh hai phÇn b»ng đề c©u Cho hÖ ph¬ng tr×nh: c©u ¿ x+ ( m−1 ) y=12 ( m− ) x +12 y=24 ¿{ ¿ ¿ x +(n − 4) y =16 (4 −n) x −50 y=80 ¿{ ¿ Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh Tìm n để hệ phơng trình có nghiệm cho x+y>1 Cho 5x+2y=10 Chøng minh 3xy-x2-y2<7 (30) c©u c©u Cho tam giác ABC và đờng tròn tâm O tiếp xúc với AB B và AC t¹i C Tõ ®iÓm M thuéc cung nhá BC kÎ MH, MI, MK lÇn lît vu«ng gãc víi BC, AB, AC Chøng minh: MH2=MI.MK Nèi MB c¾t AC ë E CM c¾t AB ë F So s¸nh AE vµ BF? Cho h×nh thang ABCD(AB//CD) AC c¾t BD ë O §êng song song víi AB t¹i O c¾t AD, BC ë M, N Chøng minh: + = AB CD MN SAOB=a ; SCOD=b2 TÝnh SABCD đề c©u Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh: c©u c©u c©u ¿ x+ y+ xy=−3 xy +1=0 ¿{ ¿ Cho parabol y=2x2 và đờng thẳng y=ax+2- a Chứng minh parabol và đờng thẳng trên luôn xắt điểm A cố định Tìm điểm A đó Tìm a để parabol cắt đờng thẳng trên điểm Cho đờng tròn (O;R) và hai dây AB, CD vuông góc với P Chøng minh: a PA2+PB2+PC2+PD2=4R2 b AB2+CD2=8R2- 4PO2 Gäi M, N lÇn lît lµ trung ®iÓm cña AC vµ BD Cã nhËn xÐt g× vÒ tø gi¸c OMPN Cho hình thang cân ngoại tiếp đờng tròn(O;R), có AD//BC Chứng minh: AD+BC 2 AD BC=4 R2 1 1 + 2= 2+ 2 OA OB OC OD đề AB= c©u1 Cho c©u 2 2 36 x −(9 a + b ) x +a b A= x −(9 a 2+ b2) x 2+ a2 b2 Rót gän A Tìm x để A=-1 (31) c©u c©u c©u1 c©u c©u c©u Hai ngêi cïng khëi hµnh ®i ngîc chiÒu nhau, ngêi thø nhÊt ®i tõ A đến B Ngời thứ hai từ B đến A Họ gặo sau 3h Hỏi ngời quãng đờng AB bao lâu Nếu ngời thứ đến B muộn ngời thứ hai đến A là 2,5h Cho tam giác ABC đờng phân giác AD, trung tuyến AM, vẽ đờng tròn (O) qua A, D, M cắt AB, AC, E, F Chøng minh: a BD.BM=BE.BA b CD.CM=CF.CA So s¸nh BE vµ CF Cho đờng tròn (O) nội tiếp hình thoi ABCD gọi tiếp điểm đờng trßn víi BC lµ M vµ N Cho MN=1/4 AC TÝnh c¸c gãc cña h×nh thoi đề Tìm a để phơng trình sau có hai nghiệm: (a+2)x2+2(a+3)|x|-a+2=0 Cho hµm sè y=ax2+bx+c Tìm a, b, c biết đồ thị cắt trục tung A(0;1), cắt trục hoành B(1;0) vµ qua C(2;3) Tìm giao điểm còn lại đồ thị hàm số tìm đợc với trục hoành Chứng minh đồ thị hàm số vừa tìm đợc luôn tiếp xúc với đờng thẳng y=x-1 Cho đờng tròn (O) tiếp xúc với hai cạnh góc xAy B và C Đờng thẳng song song với Ax C cắt đờng tròn D Nối AD cắt đờng tròn ë M, CM c¾t AB ë N Chøng minh: ∆ANC đồng dạng ∆MNA AN=NB Cho ∆ABC vuông A đờng cao AH Vẽ đờng tròn (O) đờng kính HC Kẻ tiếp tuyến BK với đờng tròn( K là tiếp điểm) So s¸nh ∆BHK vµ ∆BKC TÝnh AB/BK đề c©u Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh: c©u c©u ¿ 1 − = x y a xy=−a2 ¿{ ¿ Cho A(2;-1); B(-3;-2) Tìm phơng trình đờng thẳng qua A và B Tìm phơng trình đờng thẳng qua C(3;0) và song song với AB (32) c©u Cho nửa đờng tròn (O) đờng kính AB=2R C là điểm thuộc cung AB, trªn AC kÐo dµi lÊy CM=1/2 AC Trªn BC kÐo dµi lÊy CN=1/2 CB Nèi AN vµ BM kÐo dµi c¾t ë P Chøng minh: P, O, C th¼ng hµng AM2+BN2=PO2 Cho h×nh vu«ng ABCD Trªn AB vµ AD lÊy M, N cho AM=AN KÎ AH vu«ng gãc víi MD Chứng minh tam giác AHN đồng dạng với tam giác DHC Cã nhËn xÐt g× vÒ tø gi¸c NHCD §Ò c©u Cho − x2 −3 x +1 x +2 x +1 c©u c©u Tìm x để A=1 T×m gi¸ trÞ lín nhÊt, gi¸ trÞ nhá nhÊt ( nÕu cã ) cña A Chøng minh r»ng nÕu a, b, c lµ ba c¹nh cña mét tam gi¸c th× a a a2 + > b c b.c Cho tam giác ABC, phía ngoài dựng tam giác đồng dạng ABM, ACN, BCP Trong đó: ∠ AMB=∠ ANC=∠ BPC ∠ ABM =∠CAN=∠ PBC c©u Gọi Q là điểm đối xứng P qua BC Chứng minh: Tam giác QNC đồng dạng tam giác QBM Cã nhËn xÐt g× vÒ tø gi¸c QMAN Cho đờng tròn (O;R) và dây AB= √ R Gọi M là điểm di động trên cung AB Tìm tập hợp trực tâm H tam giác MAB và tập hợp tâm đờng tròn nội tiếp I tam giác MAB (33)