SKKN Phuong trinh luong giac

Muốn đạt được điều đó thì trong giảng dạy giáo viên phải có một phương pháp hợp lí để hướng dẫn các em học tập, vì vậy tôi chọn đề tài “ Hướng dẫn học sinh giải phương trình lượng giác” [r]

Chuyên đề “HƯỚNG DẪN HỌC SINH GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC” A.Phần mở đầu I Lí chọn đề tài: Muốn nâng cao chất lượng giáo dục, tất yếu đòi hỏi giáo viên phải biết chủ động đổi phương pháp giảng dạy nhằm giúp học sinh khắc sâu kiến thức và vận dụng kiến thức cách sáng tạo Toán học là môn khoa học đòi hỏi học sinh phải biết tư sáng tạo, không áp đặt kiến thức cho học sinh, các em không thể làm việc cách máy móc, học vẹt Muốn đạt điều đó thì giảng dạy giáo viên phải có phương pháp hợp lí để hướng dẫn các em học tập, vì tôi chọn đề tài “ Hướng dẫn học sinh giải phương trình lượng giác” để giúp các em trang bị tốt kiến thức các kỳ thi 1.Mục đích nghiên cứu: - Củng cố cho học sinh kiến thức phần lượng giác, giúp học sinh có số đường lối chung để giải tốt phương trình lượng giác Từ đó các em có hứng thú học toán và các môn học khác có liên quan đến lượng giác - Cùng đồng nghiệp hệ thống lại các dạng bài tập phương trình lượng giác.Nghiên cứu phương pháp giảng dạy cho có hiệu 2.Phương pháp nghiên cứu: - Điều tra quan sát học sinh : Thu thập và nghiên cứu kết kiểm tra kiến thức phần lượng giác học sinh qua nhiều năm học.Tìm hiểu khó khăn học sinh khi giải phương trình lượng giác - Thực nghiệm: Tôi xây dựng hệ thống các bài tập và phân dạng bài tập,từng dạng bài tập tôi xếp từ bài dễ đến bài khó, cùng với việc nghiên cứu và áp dụng phương pháp giảng dạy thích hợp cho các em dễ tiếp thu kiến thức III Giới hạn đề tài: Nghiên cứu các dạng bài tập phương trình lượng giác chương trình toán lớp 11 và nâng cao B Phần nội dung I Cơ sở lí luận: Chuyên đề lượng giác đóng vai trò quan trọng toán học và số môn học khác có liên quan.Nếu học sinh học tốt chuyên đề lượng giác thì các em giảm nhiều khó khăn việc học toán vì có nhiều bài toán liên quan đến kiến thức lượng giác Đối với các môn học khác đặc biệt là môn vật lý đòi hỏi các em phải vững kiến thức lượng giác thì học tốt II Cơ sở thực tiển: Qua thực tế nghiên cứu tìm hiểu cho thấy có nhiều học sinh giải phương trình lượng giác còn yếu Nguyên nhân : * Vì có nhiều công thức nên các em dễ lúng túng vận dụng * Bài tập đa dạng, dạng lại có cách biến đổi khác đòi hỏi học sinh phải có khả suy luận III Các biện pháp giải vấn đề: BƯỚC 1: Ôn tập củng cố lí thuyết: *Giáo viên ôn tập toàn công thức lượng giác, hướng dẫn học sinh cách nhớ công thức Ví dụ: Các em cần nhớ các công thức sin và côsin , từ đó suy các công thức tang và côtang dựa vào mối quan hệ chúng Các công thức nhân các em có thể suy từ các công thức cộng, các công thức hạ bậc có thể suy từ công thức nhân.Các công thức biến đổi tổng thành tích, tích thành tổng có thể học thuộc lời *Nêu phương pháp chung để giải các phương trình lượng giác đơn giản như: + Phương trình bậc hàm số lượng giác: Đưa phương trình lượng giác + Phương trình bậc hai hàm số lượng giác: Dùng phương pháp đặt ẩn số phụ + Phương trình bậc sinx và cosx: dùng công thức cộng để đưa phương trình bậc hàm số lượng giác + Phương trình đưa dạng tích: Dùng các công thức biến đổi để đưa phương trình dạng tích BƯỚC 2: Hướng dẫn học sinh giải số phương trình lượng giác đơn giản: Giáo viên cho học sinh nhà giải số phương trình lượng giác đơn giản Sau đó sửa cho học sinh vào các tiết bám sát và phụ đạo nhằm củng cố lí thuyết và để học sinh làm quen với các dạng bài tập Ví dụ : Giải các phương trình sau: 1) sin x  0 2)3cos3 x  0 3) tan x  0 4)sin x  2sin x  0 5)2cos 2 x  3cos x  0 6)3tan x  tan x 0 7)cot 2 x  (1  3)cot x  0 8)sin x  cos x  9) sin x  cos3x 1 10)sin x  3sin x cos x  2cos x 0 BƯỚC 3: Hướng dẫn học sinh giải số phương trình dạng nâng cao Sau học sinh đã nắm phương pháp chung để giải các phương trình lượng giác đơn giản, giáo viên bắt đầu cho các em giải số phương trình lượng giác dạng nâng cao nhằm phát huy tính tư tích cực học sinh Những bài tương đối khó học sinh không giải thì giáo viên hướng dẫn, gợi ý cho học sinh Sau đây tôi xin đưa số dạng bài tập và gợi ý cho học sinh tìm tòi lời giải.Các dạng bài tập này đã phân dạng và xếp theo mức độ từ thấp đến cao, từ đơn giản đến phức tạp Có tác dụng giúp các em không bị áp lực giải toán DẠNG 1: Phương trình bậc sinx và cosx: a  b 0  Pt có dạng : asinx + bcosx = c  Phương pháp chung để giải phương trình dạng này là chia vế phương trình cho sin  x     c a  b ,sau đó dùng công thức cộng biến đổi phương trình dạng a  b2 a b cos   ,sin   a  b2 a  b ) Điều kiện để phương trình có nghiệm là : , ( với a  b c Giải các phương trình sau: 1) sin x  cos x 2sin 3x 2)  sin x  cos3 x  sin x  cos x 3) cos5 x  2sin 3x cos x  sin x 0 (1  2sin x)cos x 4)  (1  2sin x)(1  sin x) 5)sin 3x  cos3 x   sin 3x  3cos3 x  6)3sin 2 x  cos 2 x  2cos x  sin x cos x 1 7)2sin x  3sin x cos x  3 cos x  3sin x  8)sin x  cos3 x sin x cos x   sin x cos x 9)sin x  cos x sin x  cos3 x 2(cos x  sin x) cos x  sin x 10)  2cos 2 x  sin x  11)2cos3 x.cos x    sin x  12)2cos x  2cos x  cos x sin x  HƯỚNG DẪN + Gợi ý cách giải Chia vế phương trình cho + Kinh nghiệm giảng dạy Vì hệ số sin3x là nên ta có thể đưa pt đã cho dạng TÓM TẮT LỜI GIẢI - ĐÁP SỐ 1) sin x  cos x 2sin x    sin  x   sin x 6    x   k  12   k,l  Z     x  l  24 + Gợi ý cách giải 2)  sin x  cos3 x  sin x  cos x Chia vế pt cho 2, đưa pt dạng       x   k 2 sin(3x  ) sin  x   6  (k , l  Z )     x  l + Kinh nghiệm giảng dạy  30 Nhận thấy pt chứa số hạng bậc sin và cosin cung 2x và 3x nên gợi ý học sinh nhóm các số hạng có cùng cung vế +Gợi ý cách giải 3) cos5 x  2sin x cos x  sin x 0 Biến đổi sin3x.cos2x thành tổng đưa    x   k  PT dạng 18   k,l  Z  cos5x-sin5x=2sinx  x    l   Chia vế pt cho2 + Kinh nghiệm giảng dạy Nhận thấy pt chứa số hạng bậc sin và cosin và chú ý 2x +3x = 5x + Gợi ý cách giải Biến đổi:  cos2 x sin x  2cosxsinx=sin2x, đưa phương trình dạng sin2x+ cos2x =cosx- sinx Giải tương tự bài trên + Kinh nghiệm giảng dạy -Học sinh có thể lúng túng vì thấy pt tương đối phức tạp, không tìm lời giải, giáo viên gợi ý các em đưa theo cung 2x - Các em có thể quên đặt điều kiện, không biết kết luận nghiệm phương trình Giáo viên cần hướng dẫn các em biểu diễn tập hợp nghiệm trên đường tròn lượng giác (1  2sin x)cos x  (1  2sin x)(1  sin x) Điều kiện:   x   k 2      x   l 2  k , l , m  Z   7   x   m2  2 PT  x  k k Z 18 4) + Gợi ý cách giải Đặt t sin x  cos3 x  2, t 0 5)sin x  cos3 x   t   Ta được:  t  PT đã cho tương đương:  sin 3x  cos3x 1   sin 3x  cos3x 0 + Kinh nghiệm giảng dạy -Học sinh có thể qui đồng bỏ mẫu làm cho bài toán phức tạp Giáo viên cần gợi ý các em đặt ẩn số phụ - Hướng dẫn các em đặt điều kiện và nhận nghiệm từ ẩn số t để bài toán đở phức tạp +Gợi ý cách giải Biến đổi 2sinxcosx=sin2x 2cos x  cos x ( sin x)2 3sin 2 x Ta có: 3sin 2 x  cos 2 x    sin x  cos x sin x  cos x  +Kinh nghiệm giảng dạy Có thể các em không tìm lời giải vì không biết đưa pt tích Giáo viên gợi ý các em nhóm các số hạng và áp dụng đẳng thức cho xuất nhân tử chung + Gợi ý cách giải Biến đổi : sin x  cos x 3sin x  sin x cos x  cos x   3sin x  cos x  Đặt sin x  cos x làm thừa số chung + Kinh nghiệm giảng dạy Tương tự bài  sin x  3cos3 x   2  x   k  18   k,l  Z   x    l   6)3sin 2 x  cos 2 x  2cos x  sin x cos x 1   sin x  cos x   sin x  cos x  0    x   k  12    x l  k ,l, m  Z   2  x   m   7)2sin x  sin x cos x  3 cos x  sin x  cos x  sin x 0   cos x  sin x 3( ptvn)   x   k ,  k  Z   + gợi ý cách giải Nhóm các số hạng đặt thừa số chung cho xuất thừa số : cos x  sin x cos x + Kinh nghiệm giảng dạy Gợi ý cho HS đưa pt tích Học sinh có thể đưa pt theo tanx + gợi ý cách giải Biến đổi sin x  2sin x sin x   2sin x  sin x cos x + Kinh nghiệm giảng dạy Nhận thấy có cos3x nên cần biến đổi các số hạng còn lại theo sin3x và chú ý áp dụng công thức cộng 8)sin x  cos3 x sin x cos x   sin x cos x   cos x sin x  cos x 0    x   k    k,l  Z    x   l  9)sin x  cos x sin x  cos3x 2(cos x  sin x)  sin x cos x  cos x sin x  cos3 x 2cos x    cos  x   cos x 6     x   k 2   k,l  Z    x  l  42 + Gợi ý cách giải cos x  sin x 10)  2cos 2 x  sin x  Biến đổi: 2cos x  cos x + Kinh nghiệm giảng dạy sin x 1  - Nhận thấy pt có chứa số hạng bậc  sin và côsin cung 2x sin x  ĐK: và 4x nên gợi ý học sinh nhóm các số PT  cos x  3sin x  cos x  sin x hạng có cùng cung vế -Học sinh có thể đặt điều kiện mẫu thức     khác không, nhiên việc nhận nghiệm  cos  x   cos  x   pt tương đối khó    x   k x   k  4  -Chú ý nghiệm  k,l  z     x  Không thỏa điều kiện phương trình l  36 + Gợi ý cách giải 11) 2cos3 x.cos x    sin x   Biến đổi:  2     cos x  2   *2cos  x   1  cos  x   4          1  sin x  sin  x    sin  x   6 6   *2cos3x.cosx = cos4x + cos2x +Kinh nghiệm giảng dạy    x   k Thông thường các cung có chứa  18    k,l  Z   số thì hướng dẫn hs dùng công thức   x   l biến đổi làm số   +Gợi ý cách giải Biến đổi: *2cos6x + 2cos4x = cos5x.cosx *sin2x = 2sinxcosx * cos x  2cos x Đặt cosx làm thừa số chung + Kinh nghiệm giảng dạy -Học sinh có thể không giải vì không đặt cosx làm nhân tử chung - Giáo viên gợi ý hs nhóm số hạng có chứa dể có thể thấy cách giải 12) 2cos6 x  2cos x  cos x sin x   cos x 0   sin x  cos x 2cos5 x    x   k  24   2   x  l  k ,l, m  Z   36    x   m  DẠNG 2: Phương trình bậc 2, bậc hàm số lượng giác Phương pháp chung là dùng các công thức biến đổi lượng giác đưa phương trình theo cùng hàm số lượng giác có cùng cung Giải các phương trình sau: 2) tan x   0 cos x 1) 6sin23x + cos12x = 1 4x 3)   4)cos cos x cos x sin x sin x 6x 8x 5)2cos  3cos 5 6) sin4x+cos4x=cos4x 17 sin x  cos8 x  cos2 x 6 8 16 7) 8) cos x  sin x 2(cos x  sin x) cos3 x  cos x  cos x  tan x  cos x 9) \  2   sin x   10)sin  x    sin  x   3        sin  x    cos   x  x 6  3  11)   cos x  sin x.tan    cos x  2 cos x 17     2 x 12)sin  x    16 2 3sin x.cos x  20sin       12  13) 6tanx+5cot3x = tan2x sin x  cos x 14) cos 4 x     tan   x  tan   x  4  4  15)cos5 x  sin x   cos3 x  sin x  sin x sin x  cos x  2sin x 16)   2  cot x  1 cos x sin x 17)   sin x  cos x  sin  x     4  tan x HƯỚNG DẪN +Gợi ý cách giải Biến đổi:  cos6 x *sin x  *cos12 x 2cos x  + Kinh nghiệm giảng dạy Cung 3x và 12x có thể đưa theo cung 6x  cos x TÓM TẮT LỜI GIẢI-ĐÁP SỐ 1) 6sin23x + cos12x = 2cos x  3cos x  0  cos6 x 1   cos6 x     x  k      x  l  k ,l, m  Z   18   x    m  18  2) tan x   0 cos x  x   k , k  Z ĐK: PT  cos x     x   k 2   k,l  Z   x    l 2  +Gợi ý cách giải Biến đổi: tan x   cos x Đặt : t cos x + Kinh nghiệm giảng dạy -Học sinh thường đưa tanx theo sinx và cosx nhiên bài này các em nên đưa theo cosx thì bài toán đơn giản - Có thể cần đặt ĐK cos x 0 và nhận nghiêm từ chỗ này +Gợi ý cách giải 1 3)   Chú ý: cos x sin x sin x sin4x=2sin2x.cos2x = ĐK: sin x 0 4sinx.cosx.cos2x Chọn mẫu thức chung là sin4x Sau đó đưa phương trình theo sinx + Kinh nghiệm giảng dạy - Có thể hs chọn MTC là tích MT dẫn đến bài toán phức tạp - Giáo viên cần hướng dẫn hs phân tích các mẫu thức để thấy sin4x chứa thừa số các MT còn lại, đồng thời việc đặt ĐK và nhận nghiệm đơn giản +Gợi ý cách giải Biến đổi:  cos x *cos x   2x  *cos x cos3     2x 2x 4cos3  3cos 3 4x  2x  *cos cos      2x  2cos      PT  2sin x  sin x  sin x 0   sin x 0 (loại)    sin x   loại    sin x     x   l2    l, m  Z   x  5  m2  4)cos cos 2x Đưa phương trình theo + Kinh nghiệm giảng dạy Sau biến đổi  cos x cos x  , giáo viên gợi ý hs dùng công thức biến đổi đưa 4x 2x và theo cùng cung nào đó 4x cos x   x k 3  2x  cos   x   l 3     2x     cos    x   m3    5 2x  x   n3 cos      x  5  h3     x   t ,(t  Z ) + Gợi ý cách giải Biến đổi: 6x 12 x *2cos 1  cos 5 12 x  4x  *cos cos3      4x   4x  4cos3    3cos       8x  4x  cos cos      4x  2cos      cos Đưa phương trình theo + Kinh nghiệm giảng dạy Tương tự bài 5) 6x 8x  3cos 5 4x  cos 1   x  21    cos  ( ptvn)  x  21  cos   4x + Gợi ý cách giải sin x cos x 1  2sin 2 x Đưa phương trình theo sin2x + Kinh nghiệm giảng dạy Học sinh cần nắm công thức sin x  cos x 1  sin 2 x Để dể tìm thấy lời giải bài toán sin x  cos x 1  2cos k 5  x   21    x  arccos  l 2  k , l , m  Z  4   21  x  arccos  m 2  4 6) sin4x + cos4x = cos4x  sin x 0  x k  ,k  Z + Gợi ý cách giải 17 sin x  cos8 x  cos 2 x 16 7) *cos 2 x 1  sin 2 x  sin x  8 *sin x  cos x  sin x  sin x     2  sin x  1 ptvn  Đặt t sin x ,(0 t 1)   + Kinh nghiệm giảng dạy  x  k k Z Tương tự bài + Gợi ý cách giải 6 8 8) cos x  sin x 2(cos x  sin x) *2sin x  sin x sin x  2sin x  1  cos x  cos6 x  sin x  0  sin x.cos2 x  cos x 0  6  cos x sin x    x   k , k  Z  *2cos8 x  cos6 x cos6 x  2cos x  1 cos6 x.cos2 x Có thể đưa phương trình theo sin2x + Kinh nghiệm giảng dạy -Có thể đưa phương trình theo sin2x - Hướng dẫn hs dùng đường tròn lượng giác để thu gọn nghiệm + Gợi ý cách giải cos3 x  cos x  cos x  tan x  *cos x 2cos x  cos x 9)  *tan x   x   k , k  Z cos x ĐK; + Kinh nghiệm giảng dạy  cos x 1 - Có thể đặt điều cos x 0 pt    cos x  nhận nghiệm từ ĐK này    x k 2  2 2   x   l 2  x k  k Z   3  2  x   m2  + Gợi ý cách giải  2   sin x 2 2 Đưa phương trình theo sinx 10)sin  x    sin  x    cách sử dụng công thức hạ bậc  2sin x  sin x 0 áp dụng công thức biến đổi tổng thành tích  sin x 0      cos  x    cos  x    sin x  3 3    cos x   x k 1  2sin x  + Kinh nghiệm giảng dạy    x   l 2  k , l , m  Z  Hướng dẫn hs làm   2  5  x   m2 và  + Gợi ý cách giải x  cos x  sin x tan   x 2  sin x x x sin x.tan 2sin cos     sin  x    cos   x  2 cos x 6 3    cos x x 2sin 1  cos x cos x 0   x Rồi tiếp tục biến đổi tương tự bài cos 0  trên ĐK: + Kinh nghiệm giảng dạy 3sin x   1  tan x  tan x   cos x cos x Hướng dẫn hs làm và  x k   k,l  Z    x   l  Kết hợp điều kiện ta có nghiệm pt là:  x m2   m, n  Z    x   n  + Gợi ý cách giải 17   *sin  x   cos x   2sin x.cos x sin x 11)  cos x 17     2 x 12) sin  x   16  sin x cos x  20sin        12       cos  x    5cos  x    0 3 6      cos  x    2cos  x     5cos  x     0     x   6  6 6   *sin      12    x   k 2    *cos x  sin x cos  x      k,l  Z  3    x   l 2      2cos  x    6  + Kinh nghiệm giảng dạy 17 - Biến đổi làm 12 - Sau hạ bậc có chứa cung  x nên ta biến đổi các số  x hạng còn lại theo cung 13) 6tanx+5cot3x = tan2x + Gợi ý cách giải sin x cos x cos3 x *cot x  sin x sin x *tan x  cos x Áp dụng công thức cộng để thu gọn lại cos x 0  sin x 0  ĐK: cos x 0 PT   tan x  cot x  tan x  tan x Biến đổi tích thành tổng cos x 2cos x  + Kinh nghiệm giảng dạy - Áp dụng công thức cộng để thu gọn lại - Đưa các biểu thức lượng giác theo cung 2x  cos x     cos x   1  x  arccos  k    x  arccos  l    k , l , m, n  Z  1    x  arccos     m   4   x  arccos     n   4 sin x  cos x 14) cos 4 x     tan   x  tan   x  4  4    x  k ĐK: PT  2cos4 4x  cos2 4x  10 *tan x  5cos x sin x  cos x.sin 3x cos x.cos x  5cos 2 x sin x.sin x  12cos 2 x  cox x  0  + Gợi ý cách giải Biến đổi:     *tan   x  tan   x  1 4  4  *sin x  cos x 1  sin x 2  cos 4x 1 + Kinh nghiệm giảng dạy   Biến đổi mẫu thức trước , thấy  cos2 4x  1 ptvn  mẫu thức để việc đặt điều kiện đơn giản     x 4  k   x l  ,l  Z  + Gợi ý cách giải 15)cos5 x  sin x   cos x  sin x  sin x Biến đổi: *sin2x = 2sinx.cosx sin x  cos x   sin x  cos x   sin x  cos x  1 0 *cos5 x  cos x.sin x    sin x    0  4  cos x  cos x  sin x     sin x 0 *sin x.cos x  sin x   sin x 1 sin x  cos x  sin x   sin x  cos x   sin x    sin x   ptvn  + Kinh nghiệm giảng dạy  -Vế phải có sinx + cosx nên hs nhóm các số hạng vế trái   x   k cho xuất thừa số sinx +cosx   - Phương trình chứa bậc chẵn đối   x l  k,l, m  Z  với sinx và cosx thì ta có thể đưa   chúng cùng theo sinx  x   m  theo cosx + Gợi ý cách giải  2sin x 16)   2  cot x  1 Biến đổi : cos x sin x  1  tan x x  k ,k Z cos x ĐK: tan x  cot x PT  tan x  tan x  0 sin x   Đưa phương trình theo tanx x   k  + Kinh nghiệm giảng dạy   k,l  Z  Cần nhớ mối quan hệ   x   l  tan x  cot x sin x để đưa pt theo tanx thì bài toán đơn giản đưa theo sinx và cosx + Gợi ý cách giải    sin x  cos x sin x      Biến đổi: 4  17)  cos x     tan x 2 sin  x   sin x  cos x 4  cos x 0  sin x tan x  tan x  ĐK:  cos x PT   sin x  cos x    sin x  cos x  Chia vế pt cho sin x  cos x sin x  cos x 0 + Kinh nghiệm giảng dạy  sin x  cos x 0 Hs cần nhớ công thức  2sin x  sin x  0     sin  x   sin x  cos x sin x 1 x   k 2   4     k,l  Z  1  thì bài toán dể dàng tìm  sin x    x   l 2  hướng giải  DẠNG 3: Phương trình sinx và cosx 2 Dạng a sin x  b sin x.cos x  c cos x d  x   k ,  k  Z  Xét xem có là nghiệm phương trỉnh không Chia vế phương trình cho cos x 0 đưa phương trình theo tanx 1  tan x Chú ý: cos x Giải các phương trình sau: 1)2sin x  cos3 x 3sin x 2)sin x  cos x sin x  cos x 3)3cos x  cos x sin x  sin x 0 4)4sin x  3cos3 x  3sin x  sin x cos x 0 5)sin x  sin x  sin x 6cos x HƯỚNG DẪN + Gợi ý cách giải Biến đổi: 3sin x 3tan x   tan 2 x  cos x + Kinh nghiệm giảng dạy Hs thường gặp khó khăn việc    x  k  k Z xét cos2x = có là nghiệm pt không? Vì giáo viên nên giải thích cho các em là cos2x = thì sin2x =1 sin2x = -1 để các em thay trực tiếp giá trị này vào pt + Gợi ý cách giải Biến đổi: cos x * 1  tan x cos x sin x * tan x   tan x  cos x + Kinh nghiệm giảng dạy TÓM TẮT LỜI GIẢI-ĐÁP SỐ 1)2sin x  cos3 x 3sin x    x  k  k Z Ta có: cos2x = không là nghiệm phương trình Chia vế PT cho cos x 0 ta được: tan x  3tan x  0    x  k k Z 2)sin x  cos3 x sin x  cos x  cos x 0  x   k  k  Z  Ta có : là nghiệm phương trình  x   k Giả sử chia vế pt cho cos x 0 Ta : tan x  tan x  0 (ptvn)  x   k ,  k  Z  Vậy nghiệm pt là: + Gợi ý cách giải Biến đổi: 3)3cos x  cos x sin x  sin x 0 cos x.sin x tan x cos x + Kinh nghiệm giảng dạy  cos x 0  x   k  k  Z  Ta có : không là nghiệm phương trình Chia vế PT cho cos x 0 ta được: tan x  tan x  0   x   k    x    l  tan x 1     k , l , m, n  Z   tan x    x   m     x   n  + Gợi ý cách giải Biến đổi: sin x tan x   tan x  cos x sin x.cos x * tan x cos x + Kinh nghiệm giảng dạy * 4)4sin x  3cos3 x  3sin x  sin x cos x 0  cos x 0  x   k  k  Z  Ta có : không là nghiệm phương trình Chia vế PT cho cos x 0 ta được: tan x  tan x  3tan x  0    x   k     x   l  k , l , m, Z      x   m  + Gợi ý cách giải Biến đổi: *sin2x = 2sinxcosx *sin x 3sin x  4sin x + Kinh nghiệm giảng dạy Đưa các biểu thức lượng giác theo cùng cung 5)sin x  sin x  sin 3x 6cos3 x  cos x 0  x   k  k  Z  Ta có : không là nghiệm phương trình Chia vế PT cho cos x 0 ta được: tan x  tan x  3tan x  0   x arctan  k  tan x 2      tan x    x   l  k , l, m  Z    tan x      x   m  DẠNG 4:Phương trình đối xứng sinx và cosx: a(sinx +cosx) + bsinxcosx = c   t sin x  cos x  sin  x   , t  4  Phương pháp chung là đặt ẩn số phụ t2  sin x.cos x  Giải phương trình tìm t thỏa điều kiện, sau đó giải phương trình Ta có:   sin  x   t 4  tìm x Giải các phương trình sau: 1)3 sin x  cos x   2sin x  0 2) 6(sinx – cosx) – sinxcosx = 3) 3(cotx – cosx) – 5(tanx –sinx) =2 sin x.cos x  sin x  cos x 1 4) cos x  5) 1  sin x  3 cos x sin x HƯỚNG DẪN + Gợi ý cách giải Biến đổi sin2x = 2sinxcosx + Kinh nghiệm giảng dạy - Sau đặt t = sinx + cosx, giáo viên hướng dẫn hs bình phương vế để suy sinx.cosx theo t - Thay vì giải pt sinx + cosx = t, ta   sin  x   t 4  giải pt nhanh TÓM TẮT LỜI GIẢI-ĐÁP SỐ 1)3  sin x  cos x   2sin x  0 Đặt:   t sin x  cos x  sin  x   , t  4  t 1 sin x.cos x  Ta có phương trình:  t  2t  3t  0    t   Ta có: + Gợi ý cách giải Phương trình phản xứng sinx và cosx giải tương tự bài trên + Kinh nghiệm giảng dạy - Sau đặt t = sinx - cosx, giáo viên hướng dẫn hs bình phương vế để suy sinx.cosx theo t - Thay vì giải pt sinx - cosx = t, ta   sin  x   t 4  giải pt nhanh + Gợi ý cách giải Biến đổi: sin x *tan x  cos x cos x *cot x  sin x Giải (1) cách đặt t = sinx + cosx Giải (2) cách chia vế phương trình cho cos x 0 + Kinh nghiệm giảng dạy Các em có thể khai triển vế trái dẫn đến pt phức tạp, số không thể đặt nhân tử chung Giáo viên gợi ý = -3,rồi biến đổi số hạng để xuất thừa số giống    sin x            sin x      4     x   k 2    x   l 2    x    arcsin     m 2  k , l , m, n  Z          3 2 x   arcsin     n 2  4    2) 6(sinx – cosx) – sinxcosx =   t sin x  cos x  sin  x   , t  4  Đặt: 1 t2  sin x.cos x  Ta có phương trình:  t 1 t  12t  13 0    t  13 (loại) Nghiệm phương trình là   x   k 2   k,l  Z    x   l 2 3) 3(cotx – cosx) – 5(tanx –sinx) =2 k x Điều kiện: pt   sin x  cos x  sin x cos x   3cos x  5sin x  0  sin x  cos x  sin x cos x 0(1)   3cos x  5sin x 0(2)   1  k 2  x   arccos    1   x   arccos  l 2  k , l , m  Z    x  arctan  m   + Gợi ý cách giải Tương tự các bài trên + Kinh nghiệm giảng dạy Cần chú ý phần điều kiện 4) sin x.cos x  sin x  cos x 1   t  sin x  cos x  sin  x   ,0 t  4  Đặt t2  sin x.cos x  Ta t =1, t = -3 (loại) k x  ,(k  Z ) Nghiệm phương trình là: + Gợi ý cách giải 1 cos x   sin x  3 Biến đổi phương trình dạng: cos x sin x 5)  sin x  cos x  sin x.cos x  sin x  cos x k x  ,k Z 3 sin x.cos x ĐK: + Kinh nghiệm giảng dạy   t sin x  cos x  sin  x   , t  Cần nhóm sinx + cosx và 4  Đặt: 1  t2  sin x cos x  sin x.cos x  Ta phương trình: t   t  2t  t  0   t     t    l  Nghiệm pt là:   x   k 2    x    arcsin   10   l 2  k , l , m  Z           10  3  x   arcsin    m2    DẠNG 5: Phương trình đưa dạng tích Phương pháp chung là áp dụng đẳng thức, sử dụng các công thức lượng giác biến đổi phương trình đưa dạng tích Giải các phương trình sau: 1) (2sinx - cosx)(1 + cosx) = sin2x 2) cos3x + sin3x = cos2x  cos x  cos3 x  3)  cos x  cos x 4) 2sin3x - cos2x + cosx = 5) sin5xsin4x+sin4xsin3x-sin2xsinx=0 6)sin x  2cos x 1  sin x  4cos x 7) sin2x –cos2x+3sinx-cosx-1=0 8)sin 3x  cos3x  sin x  cos x  cos x 9) sin x  sin x  sin x  cos x  cos x  cos3 x 10) (2sin x  1)(3cos x  2sin x  4)  4cos x 3 sin x  2cos x sin x  cos x 2.tan x 11) 3 12) tan x(1  sin x)  cos x  0 cos x  cos x  1 2   sin x  sin x  cos x 13) 14) (1+tanx)(1+ sin2x) = 1+ tanx x x  x 15)1  sin sin x  cos sin x 2cos    2  2   16)2cos x  cos    x    sin x  3cos  x    sin x 3 2  17) sin3x-3sin2x –cos2x +3sinx +3cosx-2=0 3tan x  2 tan x  cot x sin8 x 18) cos x cot x    sin x  sin x  tan x 19)  2sin x     sin   x     cot x  4     sin x  cos x  sin  x   4   cos x  tan x 21)  sin x  cos x  20) HƯỚNG DẪN + Gợi ý cách giải Biến đổi: sin2x = 1-cos2x= (1+cosx)(1-cosx)     sin  x     TÓM TẮT LỜI GIẢI-ĐÁP SỐ 1) (2sinx - cosx)(1 + cosx) = sin2x   2sin x  1   cos x  0   x   k 2 Đặt + cosx làm nhân tử chung   + Kinh nghiệm giảng dạy   x   l 2  k , l , m  Z   Học sinh có thể nhân các thừa số vế  5  x   m2 trái, giáo viên cần gợi ý các em trước  nhân cần lưu ý vế phải có thể phân tích cho có chứa thừa số vế trái + Gợi ý cách giải 2) cos3x + sin3x = cos2x cos2x = cos2x - sin2x   sin x  cos x    cos x    sin x  0 áp dụng đẳng thức đặt   sinx + cosx làm thừa số chung  x   k + Kinh nghiệm giảng dạy    x l 2  k ,l, m  Z  Tương tự bài    x   m2  + Gợi ý cách giải  cos x  cos3 x  Biến đổi:  cos x  cos3 x 3) 3  cos x,1  cos x theo đẳng thức cos x   *1  cos x 2cos x ĐK: cos x  2 *1  cos x 2sin x 2   cos x  PT    cos x    cos x  cos x  1 0 2   cos x    cos x   + Kinh nghiệm giảng dạy  x k 2 3  cos x ,1  cos x  - Nhận thấy: có chứa 1   x arccos  l 2  k , l , m  Z  thừa số 1-cosx và 1+ cosx nên hs biến  đổi các số hạng còn lại theo các thừa số  này  x  arccos   m2 - Hs có thể sai chổ giải pt  1 cos x  + Gợi ý cách giải 4) 2sin3x - cos2x + cosx = cos2x= - 2sin2x và đặt cosx-1 làm thừa  cos x 1  số chung   sin x  cos x  sin x.cos x  1  0  1 Giải (1) cách đặt  x k 2    t sin x  cos x  sin  x   , t    x    l  k , l  Z  4   t 1 sin x.cos x  + Kinh nghiệm giảng dạy Có nhiều cách biến đổi cos2x, hs cần lựa chọn công thức nào cho phù hợp để bài toán giải quyết? + Gợi ý cách giải 5) sin5xsin4x+sin4xsin3x-sin2xsinx=0 Biến đổi tích thành tổng, sau đó biến đổi tổng thành tích đưa pt dạng sin5x(sin4x+sin2x)=0 + Kinh nghiệm giảng dạy - Các số hạng không có thừa số chung giống nhau, vì hs có thể áp dụng công thức biến đổi tích thành tổng - Chỉ cần biến đổi số hạng thứ và thứ vì chúng xuất sin5x + Gợi ý cách giải Biến đổi: *sin x 2sin x.cos x *cos x 2cos x  *4cos x   2cos x  1  2cos x  1 Đặt 2cosx-1 làm nhân tử chung + Kinh nghiệm giảng dạy - Vì sin2x – sinx = sinx( 2cosx – 1) nên ta đưa cos2x theo cosx - Học sinh có thể biến đổi 4cos x  4cos x  cách tìm nghiệm và phân tích thành tích + Gợi ý cách giải Biến đổi: *cos x 1  2sin x *sin x 2sin x.cos x Nhóm các số hạng thích hợp để xuất thừa số 2sinx – + Kinh nghiệm giảng dạy Biến đổi 2sin x  3sin x  cách tìm nghiệm và phân tích thành tích + Gợi ý cách giải Biến đổi tổng thành tích: sin3x –sinx và cos3x+cosx + Kinh nghiệm giảng dạy Nhận thấy sin3x –sinx và cos3x+cosx chứa thừa số cos2x nên ta không cần biến đổi cos2x   x  k      x l  k ,l, m  Z     x   m  6)sin x  2cos x 1  sin x  4cos x   2cos x  1  sin x  2cos x  3 0   x   k 2    k,l  Z   x    l 2  7) sin2x –cos2x+3sinx-cosx-1=0   2sin x  1  sin x  cos x   0  sin x    x   k 2    k,l  Z    x   l 2  8)sin x  cos3 x  sin x  cos x  cos x   cos x 2sin x  2cos x   0  cos x 0   cos  x    1  4      x 4  k  7   x   l 2  k , l , m  Z   12    x   m2  12 + Gợi ý cách giải Biến đổi: sinx+ sin3x và cosx+ cos3x thành tích + Kinh nghiệm giảng dạy Để bài toán đơn giản, hs có thể biến đổi tử thức và mẫu thức rút gọn thừa số giống + Gợi ý cách giải Biến đổi:  4cos x 4sin x  sin x  sin x  sin x  cos x  cos x  cos3 x ĐK: cos x  cos x  cos3 x 0 sin x  2cos x  1 PT   cos x  2cos x  1 9)  tan x     x   k , k  Z  2 10) (2sin x  1)(3cos x  2sin x  4)  4cos x 3   2sin x  1  3cos x   0  2sin x  1  2sin x  1 Đặt 2sinx+1 làm nhân tử chung + Kinh nghiệm giảng dạy Trước tiên cần gợi ý hs biến đổi  4cos x xem có chứa các thứa số số hạng còn lại không?   x   k 2   7   x   l 2  k , l , m  Z      x m  + Gợi ý cách giải Biến đổi: sin x  2cos x 2.tan x 11) sin x  cos x sin x 0  cos x 0 sin x  cos x 0 ĐK:  *sin2x = 2sinx.cosx sin x *tan x  cos x   *sin x  cos x  sin  x   4  + Kinh nghiệm giảng dạy Học sinh có thể sai lầm chổ đặt điều kiện cho các mẫu thức khác mà quên đặt điều kiện cho tanx có nghĩa, đặt điều kiện sin x 0  cos x 0 + Gợi ý cách giải Áp dụng đẳng thức cho cos x  Biến đổi: cos x 2sin x.cos x   2cos x 0 sin x sin x  cos x cos x 2cos x   0 sin x sin x  cos x      cos x  sin  x    sin x  0 4       sin x sin  x   4   2  x  k , k  Z  3 12) tan x(1  sin x)  cos x  0 PT  sin x  cos x tan x   cos x cos x   cos x    cos x   cos x + Kinh nghiệm giảng dạy Vì cos x  có chứa thừa số cosx -1 nên ta biến đổi số hạng còn lại theo cosx - + Gợi ý cách giải Biến đổi: cos x 1  sin x   sin x    sin x  + Kinh nghiệm giảng dạy Sau bỏ mẫu thức học sinh có thể nhân phân phối các thừa số dẫn đến bài toán phức tạp, giáo viên gợi ý hs biến đổi các số hạng làm xuất thừa số giống + Gợi ý cách giải Đặt 1+tanx làm thừa số chung + Kinh nghiệm giảng dạy Không nên biến đổi tanx theo sinx và cosx vì bài toán phức tạp  x   k Điều kiện: PT    cos x   sin x  cos x   sin x  cos x  sin x.cos x  0  x k 2    x   l    k , l , m, n  Z   2  x   arcsin  m2   3 2  x   arcsin  n 2  cos x  cos x  1 2   sin x  sin x  cos x 13) ĐK: sin x  cos x 0 PT    sin x    cos x  0   x   k 2   k,l  Z    x   l 2 14) (1+tanx)(1+ sin2x) = 1+ tanx  x   k , k  Z ĐK:  tan x  Pt    sin x 0   x   k    k,l  Z    x l + Gợi ý cách giải x x  x 15)1  sin sin x  cos sin x 2cos    Biến đổi: 2  2  x   x  x x  2cos    1  cos   x  1  sin x   sin x  sin  1  2sin  2sin   0  2 2   2   Đặt sinx làm thừa số chung, sau đó tiếp  x k ,  k  Z  tục biến đổi: x x x cos sin x 2cos sin 2 x x 2sin   sin  2 2 x x  x 2sin   sin    sin  2  2 + Kinh nghiệm giảng dạy Sau biến đổi:  x   2cos    1  cos   x  1  sin x  2 2  Ta biến đổicác số hạng còn lại xuất thừa số sinx + Gợi ý cách giải 16)2cos x  cos    x  Biến đổi: *cos    x  cos x 1  sin x     sin x  3cos x     sin x + Kinh nghiệm giảng dạy 2  - Nhóm các số hạng cho xuất    sin x   6cos x  2sin x   0 thừa số 1-sinx  - Phân tích 2sin x  9sin x  thành  x   k 2 , k  Z tích cách tìm nghiệm + Gợi ý cách giải Biến đổi: *sin x 3sin x  4sin x 17) sin3x-3sin2x –cos2x +3sinx +3cosx-2=0 *cos x 2cos x    2sin x  1  2cos x  3cos x  1 0 *sin x 2sin x.cos x   Nhóm các số hạng cho xuất x   k 2  thừa số 2sinx –  + Kinh nghiệm giảng dạy  x 5  l 2  Không áp dụng công thức biến đổi  tổng thành tích đó ta biến đổi các số    x   m 2  k , l , m, n, t  Z  hạng theo sinx và cosx đưa  phương trình tích    x   n 2   x t 2   + Gợi ý cách giải tan x  cot x Biến đổi: sin8 x Áp dụng công thức tana – tanb + Kinh nghiệm giảng dạy -Sau biến đổi dạng : 3tan6x -4tanx -2tan2x = muốn biến 2 tan x  cot x sin8 x 18) cos6 x 0  sin8 x 0 ĐK:  3tan x  đổi tổng thành tích thì ta phải nhóm các số hạng có cùng hệ số, vì cần phân tích 3tan6x =2tan6x + tan6x - Nếu biến đổi tang theo sin và co6sin từ đầu thì bài toán phức tạp - Học sinh có thể loại sin2x = theo điều kiện sin8x 0 mà không cần giải đến nghiệm + Gợi ý cách giải Biến đổi: sin x cos x *tan x  ,cot x  cos x sin x *cos x  cos x  sin x   cos x  sin x  *sin x.cos x  sin x  cos x *sin x  + Kinh nghiệm giảng dạy Nhận xét các số hạng có chứa thừa số cosx – sinx nên ta đặt cosx – sinx làm nhân tử chung trước qui đồng bỏ mẫu + Gợi ý cách giải Biến đổi: sin x * sin x  cos x   2sin x *1  cot x  PT   tan x  tan x   tan x  tan x 0 sin x sin x  0 cos6 x.cos x cos6 x.cos x sin x    4  0 cos6 x  cos x   sin x 0   cos x      1  x  arccos     k     k,l  Z    1   x  arccos     l    2 cos x cot x    sin x  sin x  tan x 19) sin x 0  sin x  cos x 0 ĐK  PT cos x  sin x cos x.cos x    sin x  sin x.cos x sin x cos x  sin x   cos x  sin x   sin x.cos x  sin x  1 0   cos x  sin x   sin x  cos x  3 0   x   k ,  k  Z   sin x  cos x  20)  2sin x   cot x       sin   x    sin  3x     4    ĐK: sin x 0   pt   cos x  sin x  sin x  cos   x  sin x 4     cos   x   sin x  1 0 4  3  + Kinh nghiệm giảng dạy  x   k  Sau biến đổi vế phải có chứa thừa số   k,l  Z   x   l 2  sin x   2sin x sin x  cos x Vế phải biến đổi tổng thành tích     cos   x  cos   x  4  theo 4  Tức là biến đổi theo sin2x + cos2x   sin x  cos x  sin  x  + Gợi ý cách giải  * sin(x + ) = sinx + cosx sin x *tan x  cos x * cos x 1  2sin x + Kinh nghiệm giảng dạy Nếu học sinh thấy mối quan hệ  sin(x + ) = sinx + cosx thì bài toán giải dể dàng  21)   4  tan x  cos x    x   k  k,l  Z    x    l ĐK:  PT    sin x  cos x   sin x  cos x  cos x sin x  cos x cos x  cos x   sin x  cos x  cos x   sin x  cos x 0   2sin x  sin x  0   x   m2   m, n  Z     x   n2  Vậy nghiệm phương trình là:  sin x 1  1  sin x     x   m2   m, n  Z    x  n 2  DẠNG 6: Một số phương trình dạng khác Phương pháp chung là nhận xét giá trị các biểu thức chứa phương trình  A 0 sin f  x  1, cos f  x  1, A2  B 0    B 0 Chú ý: Giải các phương trình sau: 1)sin x + sinxcos4x+cos 4x = 2 2) 4cos2x + 3tan2x-4 cosx+2 tanx+4=0 3) cos22x.cosx =-1 4) sinx+cosx= (2-sin3x) 5) (cos x  cos x ) 5  sin x 6)sin x(cos x  2sin x)  cos3 x(1  sin x  2cos3 x) 0 7) cos x  cos x  4(3sin x  4sin x  1) 0 8)(sin x x 81  )  (cos3  )  cos x sin x cos3 x 2 HƯỚNG DẪN TÓM TẮT LỜI GIẢI-ĐÁP SỐ + Gợi ý cách giải Đưa pt dạng 1) sin x + sinxcos4x+cos 4x = (sinx + cos4x) = sin24x  sin x  cos x 0  sin x 0 Phương trình vô nghiệm + Kinh nghiệm giảng dạy Thêm, bớt các số hạng để đưa dạng đẳng thức, nhiên hs thường thêm sinx.cosx nên các số hạng còn lại không thể đưa theo đẳng thức + Gợi ý cách giải Đưa dạng A2+B2=0 2 2) 4cos2x + 3tan2x-4 cosx+2 tanx+4=0  (2cosx - )2 +( tanx + 1)2=0 + Kinh nghiệm giảng dạy 2cos x  0 - Nhóm các số hạng có dạng a  2ab  - Hướng dẫn hs biểu diển các họ nghiệm  tan x  0 trên đường tròn lượng giác để kết luận   nghiệm   x   k 2        x   l 2  x   l 2 , l  Z 6      x   m  + Gợi ý cách giải 3) cos 2x.cosx =-1 cos x 1 cos 2 x 1 Pt   Chú ý: cos x 1 cos x  + Kinh nghiệm giảng dạy   x k  Phương trình có dạng tích      x   l  x   m2 , m  Z  thừa số chứa sin f  x  và cos g  x   x   m 2 -1 thì có thể giải theo phương pháp trên + Gợi ý cách giải 4) sinx+cosx= (2-sin3x) sin x  cos x      sin 3x   2 (2-sin3x)  (vì 2-sin3x1)   + Kinh nghiệm giảng dạy  x   k 2 Nhận xét giá trị vế phương trình    x   l 2  Phương trình vô nghiệm + Gợi ý cách giải 5) (cos x  cos x ) 5  sin x VT4; VP 4  sin 3x 1 + Kinh nghiệm giảng dạy (1)  cos x  cos x  Nhận xét giá trị vế phương trình    sin 3x 1  (2)  cos x  cos x   Ta có sinx+cosx= sin(x+ )   2    x   k    x   l       x   m 2    2cos x  cos x  0( ptvn) 3  n2 , n  Z 6)sin x(cos x  2sin x)  cos3 x(1  sin x  2cos3 x) 0  sin x  cos3 x 2 sin x 1  cos3 x 1    x  k     x l 2   Phương trình vô nghiệm  x + Gợi ý cách giải Biến đổi : sin3x.cosx + sinxcos3x = sin4x + Kinh nghiệm giảng dạy -Vì các số hạng không thể biến đổi để xuất các thừa số giống nên ta khai triển các số hạng , sau đó thu gọn theo công thức cộng - Nhận thấy VT 2 nên phương trình nghiệm đúng VT = + Gợi ý cách giải Chú ý 3sinx-4sin3x=sin3x cos x 1  2sin x đưa PT dạng A2+B2=0 + Kinh nghiệm giảng dạy 7) cos x  cos x  4(3sin x  4sin x  1) 0  cos x   sin x  1 0 Sau biến đổi nhận thấy các số hạng có dạng đẳng thức vì ta đưa PT dạng A2+B2=0 + Gợi ý cách giải 64 81 VT=4+(1- sin2x)(1+ s in x ) 81 VP  + Kinh nghiệm giảng dạy - Học sinh có thể sai lầm chỗ dùng BĐT Côsi dẫn đến VT  và kết luận phương trình vô nghiệm -Giáo viên gợi ý hs đưa giả thiết theo sinx cách áp dụng công thức sin   x   k     x   m 2 , m  Z  x   l 2  x x 8)(sin  )  (cos  ) sin x cos3 x 2 81  cos x 64  81       sin x      cos x    sin x    sin x 1  x   k ,  k  Z  x x  cos 1  sin x 2 và sin x 64 DẠNG 7: Nhận dạng tam giác Phương pháp chung là dựa vào giả thiết đã cho giải tìm các góc tam giác, từ đó xác định đặc tính tam giác Chú ý tam giác ABC , gọi A,B,C là số đo góc tam giác, a,b,c là số đo cạnh tương ứng Ta có: A + B + C = 1800 (số đo các góc dương) Nhận dạng tam giác thỏa điều kiện sau: ( Giả sử các biểu thức đã cho có nghĩa) sin B  sin C 1)sinA= cos B  cos C b c a   2) cos B cos C sin B.sin C a  b  sin  A  B   a  b  sin  A  B   3) sin x.cos6 x  AB 4) atanB +btanA= (a+b)tan 5) 6) c sin A  a sin 2C b cot B 2a  c 1  cos B (1)  sin B  2 a  c  a  b  c  a  b3  c  a (2)  sin A  sin B  sin C  7) cos A  cosB  cos C 8) 2(acosA +bcosB +ccosC) = a+b+c sin A  sin B  2sin A sin B   3cos C  cos C 9) a cos A  b cos B  c cos C P  a sin B  b sin C  c sin A 9R 10) ( P là nửa chu vi, R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC) HƯỚNG DẪN + Gợi ý cách giải TÓM TẮT LỜI GIẢI- ĐÁP SỐ sin B  sin C 1) sinA= cos B  cos C Biến đổi tổng thành tích B C B C 2sin cos + Kinh nghiệm giảng dạy 2 Cần lưu ý A, B, C là góc  sin A  B C B C 2cos cos tam giác nên ta có: 2 B C A cos 0 cos 0 A A 2  sin A.sin cos và 2 A A A  2sin cos  cos 0 2 A  sin  2  A 90 Vậy tam giác ABC vuông A + Gợi ý cách giải b c a   Đưa a,b,c theo sinA , sinB và 2) cos B cos C sin B.sin C sinC sin B sin C sin A    sinB.cosC + sinC.cosB= cos B cos C sin B.sin C sin(B+C) = sinA 1   + Kinh nghiệm giảng dạy  sin A    0 Trong giả thiết có chứa cạnh  cos B.cos C sin B.sin C  và góc tam giác thì ta áp  cos B.cos C  sin B.sin C 0 dụng định lí sin để đưa chúng  cos( B  C ) 0 theo cùng1 đại lượng là góc  B  C 900 (hoặc cạnh) tam giác Thông thường ta nên dưa giả thiết theo góc tam giác vì Vậy tam giác ABC vuông A nó có nhiều công thức biến đổi + Gợi ý cách giải  a  b  sin  A  B   a  b  sin  A  B  3) Đưa a,b theo sinA và sinB  sin A  sin  A  B   sin  A  B   Biến đổi tổng thành tích + Kinh nghiệm giảng dạy sin B  sin  A  B   sin  A  B   Học sinh có thể thiếu nghiệm  sin A.sin B  sin A  sin B  0 A + B = 900  sin A sin B  A B   A  B 90 Vậy tam giác ABC vuông cân C + Gợi ý cách giải Đưa a,b theo sinA và sinB Biến đổi tổng thành tích 2sinA.cosA= sin2A + Kinh nghiệm giảng dạy Học sinh cần nắm công thức biến đổi tổng thành tích tang để lời giải ngắn gọn A B 4) atanB +btanA= (a+b)tan A B  A B     a  tan B  tan  tan A   b  tan     AB AB     sin A  tan B  tan  tan A   sin B  tan     B A B A sin sin 2  sin A sin B AB AB cos B cos cos A cos 2 B A sin  sin A  sin B  0  A  B  cos B cos A  cos B A  sin 0  A B     sin A  sin B 0  A  B 90 Vậy tam giác ABC vuông cân C B c sin A  a sin 2C b cot 5)  2sin C.sin A.cos A  2sin A.sin C.cos C B B B 4sin cos cos 2 B  2sin A sin C sin  A  C   2sin B cos 0  cos  A  C   cos B 1  cos B + Gợi ý cách giải Đưa a,b,c theo sinA, sinB, sinC và côtang theo sin và côsin sin2A =2 sinA.cosA B B sin B 2sin cos 2 sinA.cosC + sinC.cosA= sin(A +C) = sinB 2sin A.sin C   cos( A  C ) 1 cos( A  C )  cos( A  C )  A  C 0 B 2cos 1  cos B  A C Vậy tam giác ABC cân B + Kinh nghiệm giảng dạy B Cần đưa góc theo góc B để biến đổi chúng theo A và C + Gợi ý cách giải sin B 1  cos B   cos B    cos B  4a  c  2a  c   2a  c  + Kinh nghiệm giảng dạy 2 Nhận thấy 4a  c không thể lấy bậc vì ta bình phương vế (1) 2a  c 1  cos B (1)  sin B  2 a  c  a  b  c  a  b3  c  a (2)  6) Bình phương vế pt (1) Đưa a,c theo sinA,sinC ta  cos B 2sin A  sin C   cos B 2sin A  sin C  2sin A cos B  sin  A  B  0  2sin A cos B  sin A cos B  sin B cos A 0  sin A cos B  sin B cos A 0  sin  A  B  0 + Gợi ý cách giải Ta có: A  B  C  AB  C    2 AB   C     + Kinh nghiệm giảng dạy Cần bám sát giả thiết: A  B  C  để chuyển đổi qua lại các đại lượng chứa góc A, B theo góc C  A B  a b Thay a = b vào (2) ta a=c Vậy tam giác ABC là tam giác sin A  sin B  sin C  cos A  cosB  cos C 7)  sin A  cos A  sin B  cos B  sin C         2sin  A    2sin  B    2sin  C   0 3 3 3    A B   AB     4sin    cos  2sin  C   0 3 3   A B  C C   C    4sin    cos  4sin    cos    0 6 2  6  6   sin   6 A  sin   2 C  A B  A  B    cos     0   cos       B   C    sin    sin    0 6  6  6  A 600    B 600  C 600  Vậy tam giác ABC có ít góc 600 + Gợi ý cách giải Đưa a,b,c theo sinA, sinB, sinC Hướng dẫn học sinh cm: *sin2A+sin2B+sin2C =4sinA.sinB.sinC cos C 0 8) 2(acosA +bcosB +ccosC) = a+b+c sin A  sin B  sin C A B C 4cos cos cos 2 B C A sin 2 + Kinh nghiệm giảng dạy Học sinh cần thuộc các công thức trên để dể dàng tìm cách giải bài toán cos + Gợi ý cách giải Lấy bậc vế Biến đổi tổng thành tích C cos C 2cos2  A B A B  cos2 sin 2 + Kinh nghiệm giảng dạy Sau biến đổi giả thiết thấy có chứa số hạng C A B cos 2 C 2cos 2 2cos Gợi ý chúng ta đưa chúng dạng đẳng thức  sin A sin B sin C cos A B C cos cos 2 A B C sin sin 1 2 A B C A B C  4sin cos  4sin cos 1 2 2 A A B C  sin  sin cos  0 2 A B C B C    sin  cos 0   sin 2    8sin B C  A sin  cos 0  2  sin B  C 0   B C   A 60 Vậy tam giác ABC là tam giác sin A  sin B  2sin A sin B   3cos C  cos C 9)  sin A  sin B cos C  C A B C  2cos cos 2cos   2 2 2 C A B  A B    cos  cos    sin  0 2  2   A B  C cos  cos 0  1  2   sin A  B 0    2    A B Thay vào (1) ta được: C cos   C 1200  A B 300 2 Vậy tam giác ABC có C=1200, A=B=300 + Gợi ý cách giải Từ a b c   2 R sin A sin B sin C đưa a, b, c theo R và sinA, sinB, sinC sin2A+sin2B+sin2C =4sinA.sinB.sinC Đưa sinA, sinB, sinC theo a, b, c và R + Kinh nghiệm giảng dạy Đưa giả thiết theo sinA, sinB và sinC từ đó dùng định lí sin đưa chúng theo các cạnh tam giác a cos A  b cos B  c cos C 2P  a sin B  b sin C  c sin A 9R 10) R  2sin A cos A  2sin B cos B  2sin C cos C  P   a sin B  b sin C  c sin A 9R R  sin A  sin B  sin 2C  P   a sin B  b sin C  c sin A 9R R.4sin A sin B sin C 2P   a sin B  b sin C  c sin A R abc a bc   ab  bc  ca 2  b  a  c   c  b  a   a  b  c  0 a  c 0   b  a 0  a b c b  c 0  Vậy tam giác ABC là tam giác V Hiệu áp dụng: Sau thực đề tài ôn luyện cho các em học sinh trường các dạy bồi yếu, bồi giỏi, luyện thi đại học, tôi thấy học sinh có tiến giải bài toán lượng giác,các em có tích cực và hứng thú học chuyên đề này C.KẾT LUẬN I Ý nghĩa đề tài công tác giảng dạy, học tập Việc áp dụng đề tài này cho học sinh có ý nghĩa quan trọng nhằm giúp các em có kiến thức vững vàng môn lượng giác, từ đó các em có thái độ tích cực học tập và giáo viên có hứng thú giảng dạy II Bài học kinh nghiệm, hướng phát triển: - Trong giảng dạy môn toán cần hệ thống và phân loại các dạng bài tập từ đó đưa phương pháp giải chung cho loại - Học sinh ứng dụng kiến thức đề tài để giải các bài tập có liên quan đến lượng giác các lớp trên D.TÀI LIỆU THAM KHẢO: - Sách giáo khoa đại số và giải tích 11của Bộ giáo dục và đào tạo Trần Văn Hạo chủ biên, xuất năm 2007 - Sách bài tâp đại số và giải tích 11 NC nhà xuất GD Nguyễn Huy Đoan chủ biên, xuất năm 2007 - Giới thiệu đề thi tuyển sinh ĐH và CĐ nhà xuất trẻ doLê Anh Vũ chủ biên, xuất năm 1999 - 111 bài toán lượng giác nhà xuất Đại học Quốc gia TP Hồ Chí Minh Phan Văn Hùng chủ biên, xuất năm 2001 - Một số đề thi đại học và cao đẳng giáo dục và đào tạo MỤC LỤC Trang A.Phần mở đầu I Lí chọn đề tài II Mục đích và phương pháp nghiên cứu III Giới hạn đề tài IV Kế hoạch thực B.Phần nội dung I Cơ sở lí luận II Cơ sở thực tiển III.Thực trạng nghiên cứu IV Các biện pháp giải vấn đề V.Hiệu áp dụng C.KẾT LUẬN I Ý nghĩa đề tài công tác giảng dạy, học tập II Khả áp dụng III Bài học kinh nghiệm, hướng phát triển IV Đề xuất, kiến nghị D.TÀI LIỆU THAM KHẢO 1 1 2 2 35 35 35 36 36 36 Châu Thành, ngày 20 tháng 10 năm 2013 NGƯỜI VIẾT NGUYỄN THỊ ÁNH SƯƠNG DUYỆT CỦA BAN GIÁM HIỆU DUYỆT CỦA TỔ TRƯỞNG ĐOÀN CHÍ TRUNG