Bìa tâp Đại số đại cương

Bài tập Chương Họ Tên: Hoàng Nguyễn Thái Bình - MSSV: 191109 Ngày 30 tháng năm 2021 Bài tập Cho A,B tập hợp Chứng minh (a) (A \ B) ∩ (B \ A) = ∅ ; (b) (A \ B) ∪ (B \ A) = ∅ ⇔ A = B; (c) (A × B) ∩ (B × A) = ∅ ⇔ A ∩ B = ∅ Lời giải tập (a) Ta có: Với  x  (A \ B) ∩ (B \ A)  x  A  x  A \ B  x  B   => x  ∅ ( đpcm) x B \ A  x  B  x  A  (b) Ta có: Với  x  (A \ B) ∪ (B \ A)  x  A \ B x  B \ A    x  A   x  B  x  B    x  A Nếu A  B  tồn x  x  A  x  A Nếu A=B   => x  ∅ ( đpcm) x  A    x  A (c) Ta có: Với  (x,y)  (A × B) ∩ (B × A)  x  A  ( x, y )  A  B  y  B   ( x, y )  B  A  x  B  y  A  x  A  B y A B   x, y  A∩B Nếu (x,y)  ∅  A∩B  ∅ Bài tập Cho f : X → Y ánh xạ A,B tập X Chứng minh (a) f (A ∪ B) = f (A) ∪ f (B); (b) f (A ∩ B) ⊂ f (A) ∩ f (B); (c) f (A \ B) ⊃ f (A) \ f (B) Hãy tìm ví dụ để khơng có dấu mục (b) (c) Lời giải tập (a) Ta có: Với  y  f (A ∪ B) ⇒  x  A ∪ B, y  f ( x )  x  A  f ( x )  f ( A)  => f ( x)  f (A) ∪ f (B)  x  B  f ( x )  f ( B ) ⇒ f (A ∪ B)  f (A) ∪ f (B) (1) Ta lại có: Với  y  f (A) ∪ f (B)   y  f ( A)  x  A  y  f ( B )  x  B => x  A∪B => f ( x)  f (A ∪ B)  ⇒ f (A) ∪ f (B)  f (A ∪ B) (2) Từ (1) (2) => f (A ∪ B) = f (A) ∪ f (B) (đpcm) (b) Với  y  f (A ∩ B) ⇒  x  A ∩ B, y=f(x)  x  A  f ( x )  f ( A) ⇒ f ( x)  f(A) ∩ f(B)  x  B  f ( x )  f (B )  ⇒ f (A ∩ B) ⊂ f (A) ∩ f (B) (đpcm) Điều ngược lại không đúng, ví dụ: Xét ánh xạ f :   , x  x A={-1}, B={1} Khi f ( A  B)   f ( A)  f ( B)  {1} (c) Với  y  f (A) \ f (B) ,  x cho y  f ( x )  y  f ( A) x  A ⇒x  A\B ⇒ f ( x)  f ( A \ B )    y  f (B) x  B ⇒ f (A \ B) ⊃ f (A) \ f (B) Khơng có dấu xảy chẳng hạn xét ánh xạ f ( x) = �2 Và A={-1;1)} ⇒ f (A) ={1} B={-1} ⇒ f (B) ={1} Ta có A\B={1} ⇒ f (A \ B)=1 f (A) \ f (B)=∅ Bài tập Cho f : X → Y ánh xạ A,B tập Y Chứng minh (a) f −1(A ∪ B) = f −1(A) ∪ f −1(B); (b) f −1(A ∩ B) = f −1(A) ∩ f −1(B); (c) f −1(A \ B) = f −1(A) \ f −1(B) Lời giải tập (a) Ta có: 1  f ( x)  A  x  f ( A) x  f ( A  B)  f ( x)  A  B     x  f 1 ( A)  f 1 ( B) 1  f ( x)  B  x  f ( B) 1 Vậy f −1(A ∪ B) = f −1(A) ∪ f −1(B) (đpcm) (b) Ta 1  f ( x)  A  x  f ( A)   x  f 1 ( A)  f 1 ( B) 1  f ( x)  B  x  f ( B) có: x  f 1 ( A  B)  f ( x)  A  B   Vậy f −1(A ∩ B) = f −1(A) ∩ f −1(B) (đpcm) 1  f ( x)  A  x  f ( A)   x  f 1 ( A) \ f 1 ( B) 1  f ( x)  B  x  f ( B) (c) Ta có: x  f 1 ( A \ B)  f ( x)  A \ B   Bài tập Cho a,b hai số thực cho a < b Hãy xây dựng song ánh f : (a,b) →ℝ Lời giải tập � Chọn a= − ,b= � Xét ánh xạ : f (   , )   , x  tan x 2  Ánh xạ f đơn ánh vì: � ∀ x1,x2  (− ; � ), f ( x1 )  f ( x2 )  tan x1  tan x2  x1  x2  Ánh xạ f tồn ánh vì: � ∀ � ∈ ℝ, ∃� ������� ∈(− ; Vậy f song ánh � ) ��� �ℎ� �(�) = � Bài tập Cho f : X → Y, g : Y → Z ánh xạ Chứng minh (a) g ◦ f đơn ánh f vậy; (b) g ◦ f tồn ánh g Lời giải tập (a) Do g ◦ f đơn ánh g ( f ( x1 ))  g ( f ( x2 )) x1  x2  f ( x1 )  f ( x2 )x1  x2 ⇒ f đơn ánh (b) Giả sử g tồn ánh f(X)  Y => g  f ( X )   g(Y)  Z dẫn đến g ◦ f khơng phải tồn ánh, trái với giả thiết ban đầu Vậy g phải toàn ánh ( đpcm) Bài tập Chứng minh ánh xạ f : X → Y song ánh tồn ánh xạ g : Y → X cho g  f =IdX f  g =IdY Lời giải tập Với y  Y, x = g ( y ) phần tử X Theo giả thiết, ta có f ( x) = f  g =IdY Do f tồn ánh (1) Với hai phần tử x1, x2  X, f ( x1 )  f ( x2 ) Do đó, g  f ( x1 )   g  f ( x2 )  từ hệ thức g  f =IdX suy x1=x2 Vậy f đơn ánh (2) Từ (1) (2) f song ánh (đpcm) ... f ( x)  B  x  f ( B) (c) Ta có: x  f 1 ( A B)  f ( x)  A B   Bài tập Cho a,b hai số thực cho a < b Hãy xây dựng song ánh f : (a,b) →ℝ Lời giải tập � Chọn a= − ,b= � Xét ánh xạ :