Viết phương trình mặt phẳng P đi qua hai điểm A, B và mặt phẳng P cắt mặt cầu S theo một đường tròn có bán kính là... SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC.[r]
(1)SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC ĐỀ KTCL ÔN THI ĐẠI HỌC LẦN NĂM HỌC 2013-2014 Môn: TOÁN; Khối D Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) Câu (2,0 điểm) Cho hàm số y x3 m m x m2 3m 1 , đó m là tham số a) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) với m b) Tìm tất các giá trị m cho đồ thị hàm số (1) cắt đường thẳng y ba điểm phân biệt có hoành độ là x1 , x2 , x3 và đồng thời thỏa mãn đẳng thức x12 x22 x32 18 sin x Câu (1,0 điểm) Giải phương trình: cos x cos x 3 3 x y Câu (1,0 điểm) Giải hệ phương trình: x, y ¡ x y Câu (1,0 điểm) Tính tích phân: I x 2014 e2 x dx Câu (1,0 điểm) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông A và B, AB a, BC a , AD 2a Đường thẳng SA vuông góc với mặt phẳng ( ABCD) , góc mặt phẳng SCD với mặt phẳng ( ABCD) 600 Tính theo a thể tích khối chóp S ABCD và khoảng cách từ đỉnh B đến mặt phẳng SCD Câu (1,0 điểm ) Tìm các số thực dương x, y thỏa mãn hệ phương trình sau: x (4 x 1) y (2 y 1) y 32 x2 y x y II PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) Thí sinh làm hai phần (phần A phần B) A Theo chương trình Chuẩn Câu 7.a (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng (d ) : x y và hai điểm uuuur uuuur A(4; 6), B(0; 4) Tìm trên đường thẳng (d ) điểm M cho véc tơ AM BM có độ dài nhỏ Câu 8.a (1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A 1; 0; 1, B 1; 2;3 , C 0;1; và D 1; m; 6m Tìm m để bốn điểm A, B, C , D cùng thuộc mặt phẳng Câu 9.a (1,0 điểm) Lấy ngẫu nhiên chữ số khác từ chữ số 0;1; 2;3; 4} và xếp thành hàng ngang từ trái sang phải Tính xác suất để nhận số tự nhiên có chữ số B Theo chương trình Nâng cao Câu 7.b (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC cân đỉnh A, biết A 3; 3 , hai đỉnh B, C thuộc đường thẳng x y , điểm E 3;0 nằm trên đường cao kẻ từ đỉnh C Tìm tọa độ hai đỉnh B và C Câu 8.b (1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(0; 1; 3), B(3; 0; 3) và mặt cầu (S) có phương trình : x y z x y z Viết phương trình mặt phẳng ( P) qua hai điểm A, B và mặt phẳng ( P) cắt mặt cầu (S) theo đường tròn có bán kính là Câu 9.b (1,0 điểm) Giải phương trình: log x log x log x 2 -Hết Thí sinh không sử dụng tài liệu Cán coi thi không giải thích gì thêm! Họ và tên thí sinh:……….……… …….…….….….; Số báo danh:…………………………………… (2) SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC KTCL ÔN THI ĐẠI HỌC LẦN NĂM HỌC 2013-2014 Môn: TOÁN; Khối D HƯỚNG DẪN CHẤM (Đáp án có 06 trang) I LƯU Ý CHUNG: - Hướng dẫn chấm trình bày cách giải với ý phải có Khi chấm bài học sinh làm theo cách khác đúng và đủ ý thì cho điểm tối đa - Điểm toàn bài tính đến 0,25 và không làm tròn - Với Câu thí sinh không vẽ hình phần nào thì không cho điểm tương ứng với phần đó II ĐÁP ÁN: Câu Ý Nội dung trình bày Điểm a Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) m 1,0 Khi m hàm số (1) có dạng y x x a) Tập xác định D ¡ b) Sự biến thiên +) Chiều biến thiên: y ' x , y ' x 1 Hàm số đồng biến trên các khoảng ; 1 và 1; 0.25 Hàm số nghịch biến trên khoảng 1;1 +) Cực trị: Hàm số đạt cực đại x 1, yCD Hàm số đạt cực tiểu x 1, yCT 2 3 +) Giới hạn: lim y lim x 1 ; lim y lim x 1 x x x x x +) Bảng biến thiên: x 1 / + + y 3 x2 0.25 0.25 y 2 c) Đồ thị: y x x x 0, x 3;0 Đồ thị hàm số cắt trục Ox các điểm 0; , 3; , y '' x x đồ thị hàm số nhận điểm 0; làm điểm uốn 0.25 22 -10 -5 -1 -1 10 -2 -2 -4 b Tìm tất các giá trị thực m cho đồ thị hàm số (1) cắt đường thẳng y ba điểm phân biệt có hoành độ là x1 , x2 , x3 và đồng thời thỏa mãn đẳng thức 2 2 x x x 18 1.0 (3) Phương trình hoành độ giao điểm đồ thị hàm số (1) và đường thẳng y : x m m x m 3m x m m 3x m 3m x m x m x mx m x mx m 2 Đồ thị hàm số (1) cắt đường thẳng y điểm phân biệt và (2) có hai 0.25 0.25 m m m m nghiệm phân biệt khác m m 6 m m Giả sử x1 m ; x2 , x3 là nghiệm (2) Khi đó theo định lí Viet ta 2 x x m được: x2 x3 m 0.25 Do đó x12 x22 x32 18 m x2 x3 x2 x3 18 2 m m m m 18 m m 12 m 4 So sánh với điều kiện m ta m thỏa mãn sin x Giải phương trình: cos x cos x 3 3 sin x cos x cos x 3 3 2 2 x cos 2x cos sin x 2 2 2 2 sin x cos x cos x sin x cos cos x sin x cos x 2sin x sin x sin x 1 x k 2 (k Z) sin x (VN ) x y Giải hệ phương trình: x y x 2 Điều kiện: Ta có: y 0.25 1.0 Ta có: x y x x y y 10 x y x x y y Đặt u x x và v y y u v 10 u v 10 u 5 uv 25 v u v x x 1 Khi đó ta có hệ y y 2 Giải pt (1) ta được: x = 0.25 0.25 0.25 0.25 1,0 0.25 u; v , ta hệ 0.25 0.25 (4) x x x Giải pt(2) ta được: y = Khi đó y y y Vậy nghiệm hệ phương trình là: (x; y) = (2; 6) 0.25 Tính tích phân: I x 2014 e2 x dx 1,0 du dx u x 2014 Đặt 2x 2x dv e dx v e 11 I x 2014 e2 x e2 x dx 20 0.25 0.25 2013e 1007 e2 x 0.25 4029 4027e Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông A và B, AB a, BC a , AD 2a, SA ABCD , góc mặt phẳng SCD với mặt đáy 60 Tính theo a thể tích khối chóp S ABCD và khoảng cách từ đỉnh B đến mặt phẳng SCD 0.25 1,0 S 0.25 H O A B D C AD ·ACD 900 · Dễ thấy: CD SAC CD SC , đó góc (SCD) và mặt đáy là góc SCA Gọi O là trung điểm AD ta có ABCO là hình vuông nên CO a3 AD BC · 60 SA a V SCA AB.SA S ABCD 2 Trong mp SAC kẻ AH SC AH SCD AH d A, SCD Trong tam giác vuông SAC ta có: 1 1 AH a 2 2 AH AC AS a a 0.25 0.25 Vì BO / / SCD d B, SCD d O, SCD a a d A, SCD 2 0.25 Tìm x, y dương thỏa mãn hệ phương trình sau: x (4 x 1) y (2 y 1) y 32 x2 y x y 1,0 (5) x (4 x 1) y (2 y 1) y 32(1) x y x y (2) 2 0.25 a b 1 (2) ( x ) ( y ) Đặt x a, y b a b (1) 8a 14a 8a 4b3 4b 30 (4 a 11a 15)(a 1) 2b2 (b 1) 4a 11a 15 Vì: a 1 (3) (do a ) (4a 11a 15)(a 1) 0.25 và: 2b2 (b 1) ( b ) b a (3) b b a 1 (vì a b ) x a x 2 + Với b y y 2 0.25 ( thỏa mãn) 0.25 2 Kết luận : Hệ phương trình có nghiệm ( x; y ) ( ; ) 7.a Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng (d ) : x y và hai điểm A(4;6), B(0; 4) Tìm trên đường thẳng (d ) điểm M cho véc tơ uuuur uuuur AM BM có độ dài nhỏ uuuur uuuur M ( x0 ; x0 2) (d ) AM ( x0 4; x0 4) , BM (x ; x0 6) uuuur uuuur AM BM (2 x0 4; x0 2) uuuur uuuur AM BM 20 x02 20 uuuur uuuur AM BM nhỏ x0 M (0; 2) 8.a Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A 1; 0; 1, B 1; 2;3 , C 0;1; và D 1; m; 6m Tìm m để bốn điểm A, B, C , D cùng thuộc mặt phẳng uuur uuur Ta có AB 0; 2; , AC 1;1;3 r uuur uuur Suy n AB, AC 10; 4; 2 ur Chọn n1 5; 2;1 làm vectơ pháp tuyến mặt phẳng (ABC) 9.a 1,0 0.25 0.25 0.25 0.25 1.0 0.25 0.25 mp ABC :5 x y z Để A, B, C, D đồng phẳng thì D ABC 0.25 5.1 1 m 1 6m 4m m 1 0.25 Lấy ngẫu nhiên chữ số khác từ chữ số 0;1; 2;3; xếp thành hàng ngang từ trái sang phải Tính xác suất để nhận số tự nhiên có chữ số 1,0 (6) X 0;1; 2;3; 4 + Số cách lấy chữ số khác từ X và xếp chúng thành hàng ngang từ trái sang phải : A53 60 ( cách) Không gian mẫu : 60 + Gọi A là biến cố: “ Nhận số tự nhiên có chữ số khác nhau” Giả sử số có chữ số khác tạo thành là: abc (a 0) a nên a có cách chọn b có cách chọn c có cách chọn 0.25 A 3.4.4 48 0.25 Vậy xác suất cần tính là: P( A) 7.b A 48 60 0.25 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC cân đỉnh A, biết A 3; 3 , hai đỉnh B, C thuộc đường thẳng x y , điểm E 3; nằm trên đường cao kẻ từ đỉnh C Tìm tọa độ hai đỉnh B và C uur Gọi I là trung điểm BC, I BC I 2 m 1; m , mà A(3;-3) AI 2m 4; m r uur r Do AI uBC , mà u BC 2;1 2 m m 3 m I 1;1 B BC B 2b 1; b , b ¡ Do C đối xứng với B qua I, suy uuur uuur C 3 2b; b , AB 2b 4; b , CE 2b; b uuur uuur Do AB CE nên ta được: 2b 2b b b 3 b 2; b Với b B 3; , C 1; 11 21 13 Với b B ; , C ; 5 5 8.b 0.25 1,0 0.25 0.25 0.25 0.25 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(0; 1; 3), B(3; 0; 3) và mặt cầu (S) có phương trình : x y z x y z Viết phương trình mặt phẳng ( P) qua hai điểm A, B và mặt phẳng ( P) cắt mặt cầu (S) theo 1,0 đường tròn có bán kính là Mặt cầu ( S ) có tâm I (1; 1; 1) , bán kính R r Giả sử (P) có véc tơ pháp tuyến n(a; b; c) , (a b c 0) mp(P) qua A nên phương trình mặt phẳng (P) là: a( x 0) b( y 1) c( z 3) 0.25 ax by cz b 3c B ( P) : 3a 3c b 3c b 3a d ( I , ( P)) 32 ( 5)2 a b c b 3c 2 a b c a 2c a b c a 2c 10a c a0 39a 4ac a 4c 39 Với a thì b Ta có phương trình ( P) : z Với a c Chọn c 39 thì a 4 b 12 39 Ta phương trình ( P) : x 12 y 39 z 129 0.25 0.25 0.25 (7) 9.b Giải phương trình: log x log x log x 2 1,0 x2 x Điều kiện: x ; 3 2; (*) log x x Biến đổi pt đã cho ta được: log x 4 0.25 x log x log x log x 2 t Đặt t log x t thì pt (3) trở thành t 3t t 4 loai x 2 (loai ) 2 t log x x x 2 Vậy nghiệm phương trình là x 2 Hết (3) 0.25 0.25 0.25 (8)