LTSGKBTOnthiHHGT12

a Chứng minh d1 và d2 chéo nhau a Tìm toạ độ điểm C đối xứng với điểm A qua b Viết phương trình đường thẳng qua A và cắt cả mp P 2 đường d1, d2 b Viết phương trình đuờng thẳng  đi qua [r]

PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN *** A HỆ TỌA ĐỘ KHÔNG GIAN Trong KG cho ba trục Ox, Oy, Oz phân biệt và vuông góc đôi Trên Ox có véc tơ đơn vị i , trên Oy có véc tơ đơn   k Hệ vị j và trên Oz có véc tơ đơn vị    Oxyz hay (O, i , j , k ) trên là hệ tọa độ không gian Gốc tọa độ O, truc hoành Ox, trục tung Oy, trục cao Oz, các mặt tọa độ Oxy, Oyz,Ozx Khi không gian có hệ tọa độ thì gọi là không gian tọa độ Oxyz hay không gian Oxyz 2 2 2 i  j k 1 2  a a    Chú ý: i j ik  jk 0 5. Tọa độ véc tơ:      u ( x; y; z )  u( x; y; z)  u  xi  y j  zk Tọa độ điểm:     M ( x; y; z )  OM xi  y j  zk Các công thức tọa độ cần nhớ:   Cho u ( a; b; c), a) b) c) d) e) v ( a; b; c)  a a    u v  b b c c    u v  a a; b b; c c  ku (ka; kb; kc )          u.v  u v cos(u ,v) aa  bb  cc   u.v aa  bb  cc cos(u,v)       u.v u.v  2 u  u  a  b2  c2 f)     g) u  v  u.v 0 AB  xB  x A ; yB  y A ; z B  z A  h) i)  AB  AB  ( xB  x A )  ( yB  y A )  ( z B  z A )   u, v  Chú ý: góc véc tơ là góc hình học (nhỏ) tia mang véc tơ có, giá trị  0;     sin u, v   cos u, v 0   Suy   Chia tỉ lệ đoạn thẳng: M chia AB theo tỉ số   k nghĩa là MA k MB , công thức tọa độ x A  kxB   xM   k  y A  kyB   yM  1 k  z A  kz B   zM   k M là :  10 M là trung điểm AB: x A  xB   xM   y A  yB   yM   z A  zB      zM  MA  MB 0   11 G là trọng tâm tam giác ABC: x A  xB  xC   xG   y  y  A B  yC  yG   z  z  A B  zC      zG  GA  GB  GC 0   12 G là trọng tâm tứ diện ABCD: x A  xB  xC  xD   xG   y A  yB  yC  yD   yG   z A  z B  zC  z D        zG  GA  GB  GC  GD 0   13 Các ví dụ:   VD1: Tọa độ các véc tơ i, j , k ? VD2: Điểm M(a;b;c) thuộc (Oxy)? thuộc (Oyz)? thuộc (Ozx)? VD3: Điểm M(a;b;c) thuộc Ox? thuộc Oy? thuộc Oz? VD4: Cho  u  x; y; z       u Tính i, u j , u.k    VD5: Trong không gian (O, i , j , k ) cho I, J, K là           các điểm cho i OI , j OJ , k OK M là trung điểm JK và G  là trọng tâm tam giác IJK Tính tọa độ G và MG VD5: Trong không gian Oxyz cho A(5;3;1) B(2;3;4) C(1;2;0) D(2;1;2) a) Chứng minh điểm ABCD không đồng phẳng b) Chứng minh tứ diện ABCD có các cạnh đối vuông góc c) Chứng minh D.ABC là hình chóp d) Tìm toạ độ chân đường cao H hình chóp D.ABC HD:   a) DA và DB không cùng phương (A,B,C,D đồng   phẳng)   m, n : DC m.DA  n.DB Ta giải hệ pt trên tìm m,n b) Tính độ dài cạnh để suy kết c) H chính là trọng tâm tam giác ABC 14 Định nghĩa  tích có hướng 2véc tơ: Cho    véc tơ u (a; b; c) và v (a ; b ; c ) ta định nghĩa tích có hướng véc tơ đó    u, v   v, u   và   VD8: So sánh  ( tích có hướng véc tơ không có tính chất “giao hoán”- khí thay đổi thứ tự véc tơ thành phần thì kết cho véc tơ đối 15 Tính chất tích có hướng véc tơ:     u, v    u v a vuông góc với và      u , v   u v sin(u, v)  b      u, v  0 u  c   , v cùng phương 16 Ứng dụng tích có hướng véc tơ: a Diện tích hình bình hành ABCD:   S   AB, AD  b Diện tích tam giác ABC:   S   AB, AC  2   c Ba véc tơ u , v, w đồng phẳng:    u, v  w 0     Tương tự, ba véc tơ u , v, w không đồng phẳng là:    u, v  w 0   d Thể tích khối hộp có đáy hình bình hành ABCD  và cạnh bên AA’: V   AB, AD  AA e Thể tích khối tứ diện S.ABC:   V   AB, AC  SA    VD9: Cho điểm A(0;1;1), B(1;0;2), C(1;1;0)  u, v    u là véc tơ, kí hiệu hay  v có và D(2;1;2) toạ độ:   b c c a a b  u, v   ; ;        b c c a a b   tức là:   u, v   bc  bc; ca  ac; ab  ba   VD6: Tính tích   có hướng véc tơ u (1;0;  1) và v (2;1;1)     i, j   j , k   k , i  ;  VD7: Tính   ,  a) Chứng minh điểm đó không đồng phẳng suy tồn tứ diện ABCD b) Chứng minh tồn tam giác ABC c) Tính độ dài đường cao AH tam giác ABC d) *Tính bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC e) *Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC f) *Tính góc CBD g) *Tính góc đường thẳng AB và CD h) Tính thể tích khối chóp ABCD 17 Phương trình mặt cầu a) Phương trình theo tâm và bán kính: Mặt cầu tâm I(x0;y0;z0) và bán kính R có phương trình: b Tìm toạ độ hình chiếu vuông góc M lên các trục toạ độ Tính khoảng cách từ M đến các trục toạ độ c Tìm toạ độ các điểm đối xứng với M qua các mp toạ độ 2 2 d Tìm toạ độ các điểm đối xứng với M  x  x0    y  y0    z  z0  R qua các trục toạ độ b) Phương trình dạng khai triển: Cho A(x1;y1;z1) và B(x2;y2;z2) Tìm toạ độ x  y  z  2ax  2by  2cz  d 0 M(x;y;z) chia AB theo tỉ số k≠1 Cho các điểm A(3;2;0), B(3;3;1), C(5;0;2) Trong đó : 2 2 a Chứng minh A,B,C không thẳng hàng tâm I(a;b;c) và R a  b  c  d với điều b Viết phương trình mp(ABC) 2 kiện a  b  c  d  c Tìm đỉnh D hình bình hành ABCD VD10: Viết phương trình mặt cầu qua điểm d Tính diện tích hình bình nành ABCD A(0;0;0), B(1;0;0), C(0;1;0) và D(0;0;1) e Tính khoảng cách các đường thẳng AB và CD BÀI TẬP TỌA ĐỘ KHÔNG GIAN f Tính khoảng cách B và đường thẳng AD           u  i  j v  i  5( j  k ) AC  g Tính góc véc tơ và BD Cho , ,  véc tơ  các Cho A(1;2;3) và B(3;3;2) Tìm phương trình w 2i  k  j tập hợp điểm M cách A và B Tìm toạ độ a Tìm toạ độ các véc tơ trên điểm M thuộc Oz và cách A,B     v, i  , v, j  b Tìm cosin các góc   c Tính tích vô hướng u.i và v.w   u 0 Cho Chứng minh    cos u, i  cos u, j  cos u, k 1   u v Tính góc hai véc tơ và các       trường hợp:   u  (1;1;1) v a   và (2;1; 1)  b u 3i  j và v  j  3k   u 2 v 5 Biết và góc véc tơ đó là   2  Tìm k để p k.u  17.v vuông góc    q 3.u  v Cho M(a;b;c) a Tìm toạ độ hình chiếu vuông góc M lên các mp toạ độ Tính khoảng cách từ M đến các mp toạ độ Cho A(2;0;4), B(4; ,5) và C(sin5t;cos3t;sin3t) Định t để AB vuông góc OC 10 Cho A(1;0;0), B(0;0;1) và C(2;1;1) a Chứng minh A,B,C không thẳng hàng b Tính chu vi và diện tích tam giác ABC c Tính độ dài đường cao tam giác ABC kẻ từ A d Tính các góc tam giác ABC 11 Cho A(1;0;0), B(0;1;0), C(0;0;1) và D(2;1;2) a Chứng minh tồn tứ diện ABCD b Tính góc các cạnh đối ABCD c Tính thể tích ABCD và chiều cao tứ diện đó kẻ từ A 12 Cho hình chóp SABC có đường cao SA=h, đáy là tam giác ABC vuông C, AC=b, BC=a Gọi M là trung điểm AC và N là điểm  1 SN  SB cho a Tính độ dài MN b Tìm liên hệ a,b,h để MN vuông góc SB 13 Tìm toạ độ tâm và bán kính mặt cầu có phương trình: a x2+y2+z28x+2y+1=0 b 3x2+3y2+3z2+6x3y+15z2=0 c 9x2+9y2+9z26x+18y+1=0 14 Viết phương trình mặt cầu qua A(0;8;0), B(4;6;2), C(0;12;4) và có tâm thuộc mp(Oyz) 15 Viết phương trình mặt cầu có bán kính R=2, tiếp xúc mp(Oyz) và có tâm thuộc tia Ox 16 Viết phương trình mặt cầu có tâm I(1;2;3) và tiếp xúc mp(Oyz)    (P) song song chứa Oy  B=0 (P) song song chứa Oz  C=0 (P) cắt Ox A(a;0;0), cắt Oy B(0;b;0) và cắt Oz C(0;0;c)  (P) có x y z   1 phương trình a b c VD5: Cho M(30;15;6) Viết phương trình mp(P) qua các hình chiếu M trên các trục tọa độ Tìm tọa độ H, hình chiếu gốc tọa độ trên mp(P) (quy ước “hình chiếu” là “hình chiếu vuông góc”) B-PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG   Bộ số tỉ lệ: n khác và có giá vuông góc mp(P)  Xét số dạng gọi là véc tơ pháp tuyến (P) ( xi )  x1 , x2 , , xn  đó các xi không đồng n là véc tơ pháp tuyến (P) thì Nếu thời  Hai số (xi) và (yi) gọi là tỉ lệ với kn (k 0) là véc tơ pháp tuyến  có số t cho yi=t.xi (với (P) giá trị i từ tới n) Phương trình tổng quát mp(P): qua  Khi đó ta viết: M ( x0 ; y0 ; z0 ) và có véc tơ pháp tuyến x1 : x2 : : xn  y1 : y2 : : yn  n ( A; B; C ) là: A( x  x0 )  B ( y  y0 )  C ( z  z0 ) 0 Khai triển phương trình tổng quát: x1 x2 x    n y1 y2 yn  Ax  By  Cz  D 0 (A,B,C không đồng thời 0) VD1: Viết phương trình mp có véc tơ pháp tuyến  n =(2;1;3) và qua điểm M(3;1;2) VD2: Viết phương trình mp qua điểm A(1;2;0), B(0;1;2) và C(1;0;2) VD3: Viết phương trình mp qua A(1;2;4) và vuông góc đường thẳng BC (với B(1;6;0) và C(6;0;1)) VD4: Viết phương trình mp(P) qua M(1;1;2) và song song mp(Q):x+y+z1=0 Những trường hợp riêng phương trình tổng quát:  (P) qua gốc tọa độ  D=0  (P) song song trùng (Oxy)  A=B=0  (P) song song trùng (Oyz)  B=C=0  (P) song song trùng (Ozx)  A=C=0  (P) song song chứa Ox  A=0 Với quy ước đó: 1:0:4=2:0:8   Vị trí tương đối mp: ( P ) : Ax  By  Cz  D 0 Cho mp: (Q) : A ' x  B ' y  C ' z  D ' 0 A B C D     (P)  (Q)  A ' B ' C ' D ' A B C D     (P) // (Q)  A ' B ' C ' D '  (P) cắt (Q)  A : B : C  A ' : B ' : C '  (P)  (Q)  AA ' BB ' CC ' 0 VD6: Cho hai ( P ) : x  my  10 z  m  0 (Q ) : x  y  (3m  1) z  10 0 Hãy tìm giá trị m để: a) Hai mp trùng b) Hai mp song song mặt phẳng c) Hai mp cắt Suy phương trình đường thẳng giao tuyến d) Hai mp vuông góc Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng: Cho M(x0;y0;z0) và (P):Ax+By+Cz+D=0 d ( M ,( P ))  Ax0  By0  Cz0  D A2  B  C VD7: Cho tứ diện OABC có OA=a, OB=b, OC=c và đôi vuông góc Tính độ dài đường cao OH tứ diện VD8: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a Trên các cạnh AA’,BC,C’D’ lấy M,N,P cho AM=CN=D’P=t với 0<t<a Chứng minh mp(MNP) song song mp(ACD’) và tính khoảng cách mp đó BÀI TẬP PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG Lập phương trình mặt phẳng Lập phương trình mặt phẳng (P) biết: a) (P) qua điểm M(1;3;-2) và nhận  n (2;3;1) làm VTPT b) (P) qua M(1;3;-2) và song song (Q):x+y+z+1=0 c) (P) qua M(1;2;3) và song song với giá củacác vectơ  a (2;  1; 2), b (3;  2;1) d) (P) qua điểm A(4;-1;1), B(3;1;1) và song song Ox e) (P) qua điểm A(1;1;0), B(1;0;0), C(0;1;1) Lập phương trình mp(P) biết : a) (P) qua điểm A(-1;2;3) ,B(2;4;3),C(4;5;6) b) (P) qua M (1;3;  2) và vuông góc Oy c) (P) qua M (1;3;  2) và vuông góc BC, với B(0;2;-3),C(1;-4;1) d) (P) qua M (1;3;  2) và song song với mp(Q):2x-y+3z+4=0 e) (P) qua A(3;1;-1),B(2;-1;4) và vuông góc mp 2x-y+3z+4=0 f) (P) qua M (2;  1; 2) ,song song Oy và vuông góc mp 2x-y+3z+4=0 g) (P) qua M ( 2;3;1) và vuông góc với mặt phẳng 2x+y+2z+5=0,3x+2y+z-3=0 Cho A(1;2;3), B(3;4;-1) không gian Oxyz a) Viết phương trình mp(P) là mặt phẳng trung trực AB b) Viết phương trình mp(Q) qua A, vuông góc (P) và vuông góc (Oyz) c) Viết phương trình mp(R) qua A và song song (P) Lập phương trình mp(P) qua M(1;1;1) và song song các trục a) Ox,Oy b) Ox,Oz c) Oy,Oz Lập phương trình mp qua điểm A(1;-1;1), B(2;1;1) và song song với a) Ox; b) Oy c) Oz Lập phương trình mp(P) a) Chứa Ox và qua A(1;-2;3) b) Chứa Oy và qua B(-1;3;-2) c) Chứa Oz và qua C(1;0;-2) Lập phương trình mp(P) qua M(a;b;c) (với abc0) và song song với mp tọa độ Cho tứ diện ABCD có A(5;1;3), B(1;6;2), C(5;0;4), D(4;0;6) a) Viết phương trình các mp (ABC), (ACD), (ABD), (BCD) b) Viết phương trình mp (P) qua cạnh AB và song song với cạnh CD Viết phương trình mp(P) qua các điểm là hình chiếu điểm M(2;-3;4) lên các trục toạ độ 10 Lập phương trình mp(P) qua G(1;2;3) và cắt các trục tọa độ các điểm A,B,C cho G là trọng tâm tam giác ABC 11 Lập phương trình mp(P) qua H(2;1;1) và cắt các trục tọa độ các điểm A,B,C cho H là trực tâm tam giác ABC 12 Cho A(-1;6;0), B(3;0;-8), C(2;-3;0) a) Viết phương trình mp(P) qua điểm A,B,C b) Mp(P) cắt Ox,Oy,Oz K,M,N Tính thể tích tứ diện OKMN Vị trí tương đối mặt phẳng: 10 Cho mặt phẳng: (P):2x-my+3z6+m=0, (Q):(m+3)x-2y+(5m+1)z10=0.Với giá trị nào m thì (P)và (Q) a) Song song với b) Trùng c) Cắt 11 Tìm  để mặt phẳng 19 Lập phương trình mặt cầu tâm I(2;1;3) và tiếp xúc mp(P):x+2y+2z-1=0 20 Cho mặt cầu ( S ) : x  y  z  x  y  z  0, M (4;3;0) Viết phương trình mp tiếp xúc mặt cầu M 21 Cho A(3;-2;-2), B(3;2;0), C(0;2;1), D(1;1;2) Viết phương trình mặt cầu tâm A, tiếp xúc (BCD) 22 Viết phương trình mặt cầu qua điểm A(1;0;0), B(0;1;0), C(0;0;1) và có tâm I nằm trên mp x+y+z-3=0 x  y  z  0, x s in +ycos  z sin   0 23 Viết pt mp(P) chứa trục Oz và tạo với vuông góc với mp ( ) : x  y  z 0 góc 60 12 Viết phương trình mặt phẳng các 24 Tìm tập hợp các điểm cách mp(P) trường hợp sau: và (Q) các trường hợp sau: M (2;1;  1) a) (P):2xy+4z+5=0, a) Đi qua điểm và qua giao (Q):3x+5yz1=0 tuyến mặt phẳng: x-y+z-4=0, b) (P):2x+y2z1=0, 3x-y+z-1=0 (Q):6x3y+2z2=0 b) Qua giao tuyến mặt phẳng c) (P):x+2y+z1=0, y+2z-4=0, x+y-z+3=0 đồng thời (Q):x+2y+z+5=0 song song với mặt phẳng x+y+z-2=0 25 Cho mặt phẳng song song c) Qua giao tuyến mặt phẳng 3x(P):Ax+By+Cz+D=0 và y+z-2=0, x+4y-5=0 đồng thời vuông (Q):Ax+By+Cz+D’=0 Tính khoảng góc với mặt phẳng 2x-z+7=0 cách mp đó 13 Xác định các giá trị k và m để mp sau Giải bài toán không gian phương đây cùng qua đường thẳng pháp toạ độ 5x+ky+4z+m=0, 3x-7y+z-3=0, x-9y26 Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ 2z+5=0 có cạnh Khoảng cách a) Chứng minh mp (AB’D’), (BC’D) 14 Cho điểm: A(-2;1;0), B(3;1;-2), song song C(2;3;1), D(1;4;-1) b) Tính khoảng cách mp đó a) Viết phương trình mp (BCD) Suy c) Tính góc tạo các đường thẳng điểm A,B,C,D tạo thành tứ AC’, A’B diện d) Gọi M,N,P là trung điểm các b) Tính diện tích tam giác BCD và cạnh A’B’, BC, DD’ Chứng minh khoảng cách từ A đến mp(BCD), suy AC’ vuông góc (MNP) thể tích tứ diện ABCD e) Tính thể tích tứ diện AMNP 15 Tìm tập hợp các điểm cách mp 27 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có (P): 2x-y+4z+5=0, (Q):3x+5y-z-1=0 cạnh đáy a, chiều cao h Gọi I 16 Tính khoảng cách mp (P):x+y+zlà trung điểm cạnh bên SC Tính 6=0, (Q): x+y+z+5=0 khoảng cách từ S đến mp(ABI) 17 Trên trục Oz, tìm điểm cách điểm 28 Cho hình chóp S.ABC có cạnh đáy A(2;3;4)và mp(P):2x+3y+z-17=0 a, chiều cao h Gọi M,N là 18 Trên trục Oy, tìm điểm cách mp x+y-z+1=0, x-y+z-5=0 a trung điểm SB,SC Tính tỉ số h để VD4: Viết phương trình tham số đường thẳng qua M(2;1;0) và song song đường  x 2   y 1  t  z 3  3t  mp(AMN)vuông góc mp(SBC) 29 Cho hình hộp ABCD A1B1C1D1 có đáy ABCD là hình thoi tâm O cạnh a, Â=60 , B1O  ( ABCD), BB1 a a) Tính góc cạnh bên và mặt đáy b) Tính khoảng cách từ B, B1 đến ( ACD1 ) 30 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA a 3, SA  ( ABCD) a) Tính khoảng cách từ A đến mp(SBC) b) Tính khoảng cách từ tâm O hình vuông ABCD đến mp(SBC) c) Tính khoảng cách từ trọng tâm tam giác SAB đến mp(SAC) C-PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG Phương trình tham số đường thẳng qua điểm M(x0;y0;z0) và có véc tơ  u  a; b; c   x x0  at   y  y0  bt  z z  ct  phương là Phương trình chính tắc đường thẳng qua điểm M(x0;y0;z0) và có véc tơ  u  a; b; c  x  x0 y  y0 z  z0   b c là a phương Ghi chú : dùng phương trình chính tắc abc≠0 (tức là a,b,c là giá trị cùng không ) VD1: Viết phương trình tham số đường thẳng qua điểm A(1;2;3) và B(2;5;8) VD2: Viết phương trình tham số đường thẳng qua điểm M(2;1;0) và vuông góc với mp(P): 2xyz=0 VD3: Viết phương trình tham số đường thẳng qua trọng tâm G tam giác ABC và vuông góc với mp(Oyz) Biết A(3;0;0), B(0;4;0) và C(0;2;9) thẳng có phương trình VD5: Cho mp (P): 2x+2y+z4=0 và (Q): 2xyz+5=0 1) Chứng minh (P) và (Q) cắt 2) Tìm tọa độ hai điểm M,N phân biệt thuộc giao tuyến (P) và (Q) 3) Tìm tọa độ véc tơ phương giao tuyến (P) và (Q) Suy phương trình tham số giao tuyến (P) và (Q)  x 1  2t   y 2  t  z 2t  VD6: Cho đường thẳng d: 1) Chỉ tọa độ phương d 2) Xác định tọa độ các điểm d ứng với t=1; t=0; t=2 3) Trong các điểm A(3;1;2), B(3;4;2), C(0;5/2;5), điểm nào thuộc d? VD7: Cho tứ diện ABCD với A(0;0;2), B(3;0;5), C(1’1’0), D(4;1;2) 1) Viết phương trình đường cao tứ diện ABCD vẽ từ D 2) Tìm tọa độ hình chiếu H D lên mp(ABC) Chú ý: SGK quy ước “hình chiếu” là “hình chiếu vuông góc” VD8: Cho mp (P): x+2y+z+1=0 và (Q): x+y+2z+3=0 1) Chứng minh (P) và (Q) cắt 2) Viết phương trình tham số giao tuyến mp trên VD9: Từ phương trình tham số hãy viết phương trình chính tắc các đường thẳng:  x 1  t   y t  z 2  t   x 1  2t   y 3  t  z 2  5t   x 1  t   y 2  z 2  t  1) ; 2) ; 3) VD10: Từ phương trình chính tắc, hãy viết phương trình tham số các đường thẳng: x 1 y z    2 1) x 1 y  z 1   2) x  y  z 1   3)  VD11: Cho đường thẳng d1:  x 1  mt  d m :  y m  2t  z 1  m  3t   x t   y   4t  z 6  6t  x y z2    Viết phương trình và d2: chính tắc đường thẳng qua M(1;1;2) và vuông góc với đường thẳng trên Vị trí tương đối đường thẳng: Cho đường thẳng d (qua A và có véc tơ  phương  u ) và d’ (qua B và có véc tơ phương u  ) a Hai đường thẳng d và d’ trùng    u , u , AB đôi cùng phương         u , u  u , AB  0     b Hai đường thẳng d vàd’ song song    u , u cùng phương và u , AB khác phương     u , u  0        u , AB  0 c  Hai đường thẳng d và d’ cắt     u, u khác phương và u, u, AB đồng phẳng     u , u  0        u , u  AB 0 Tùy theo m xác định vị trí tương đồi đường thẳng     u, u AB  B1: xét     u , u  AB 0     : chéo nhau(./.)   u , u  AB 0   sang B2   u , u   B2: xét     u , u  0     : cắt (./.)   u , u  0   : sang B3 B3: Lấy A (bất kỳ) thuộc dm A thuộc dm’ thì đường thẳng trùng nhau, không thì song song (./.)     u , AB  0  Hoặc là xét  thì trùng nhau, không thì cắt Cũng có thể xét số giao điểm có nghiệm: cắt có nghiệm: trùng      u , u  u, u 0    vô nghiệm: xét  thì song song, không thì chéo Áp dụng cho VD2: VD2: Cho d là giao tuyến mp ( P) : x  y 0 và (Q ) : x  y  z  15 0 và đường thẳng d’ có  x 1  t   y 2  2t  z 3  phương trình Xác định vị trí tương đối đường thẳng Công thức tính khoảng cách từ điểm M tới đường thẳng d (qua M0 và có véc tơ  phương u : d Hai đường thẳng d và d’ chéo   u, u , AB không đồng phẳng     u , u  AB 0   VD1: Cho đường thẳng :  x m  2t '  d m :  y mt '  z 1  m  t '    MM , u    d (M , d )   u Ghi chú: nhắc lại a) Diện tích hình bình hành ABCD là   S   AB, AC  VD6: Cho đường thẳng S b) Diện tích tam giác ABC là   AB, AC    c) Thể tích hình hộp ABCDA’B’C’D’ là   V   AB, AC  AA ' d) Thể tích tứ diện ABCD là:   V   AB, AC  AD d ': d: x y  z 4   5 , x 1 y  z    2  Chứng minh đó là đường thẳng chéo nhau, tính khoảng cách chúng Tìm tọa độ chân đường vuông góc chung đường chéo nhau:  VD3: Tính khoảng cách từ M(4;3;2) tới đường Cách 1: d qua A và có véc tơ phương u , d’  thẳng d: x2 y 2 z   1 qua B và có véc tơ phương u    w  u , u  B1: Tính (cùng phương đường vuông góc chung) Khoảng cách đường thẳng cắt B2: Viết phương trình mp(P) qua d (nên qua A) hay trùng   và có cặp véc tơ phương là u và w Khoảng cách đường thẳng song song B3: Viết phương trình mp(Q) qua d’ (nên qua B)   d, d’ là khoảng cách từ M thuộc d tới d’  u và có cặp véc tơ phương là và w B4: Viết phương trình đường thẳng a là giao Khoảng cách đường thẳng d tới mp(P) tuyến (P) và (Q) song song nó là khoảng cách từ M thuộc d B5: Lập giao điểm C a và (P); giao điểm D tới mp(P) a và (Q) C và D chính là chân đường vuông góc chung d và d’ VD5: Cho M(1;2;0) và mp(P): x+2y+2z=0 Viết Cách 2: phương trình đường thẳng qua M, song song (P) B1:Viết phương trình tham số t d, và phương Tính khoảng cách đường đó và (P) trình tham số t’của d’ B2: Gọi C thuộc d và D thuộc d’ là chân đường Khoảng cách đường thẳng chéo vuông góc chung Viết tọa độ C theo t và D theo nhau: t’        u1 , u2  AB   d (d1 , d )     u1 , u2    B3:   CD.u 0, Vì   CD  u, CD  v nên CD.v 0 Thiết lập hệ phương trình theo t,t’ Giải t và t’ B4: Suy tọa độ C và D Thực chất công thức trên là “chiều cao hình hộp thể tích hình hộp chia diện tích đáy x y  z 4 d:   hình hộp” 5 , VD7: Cho đường thẳng Cho AB, CD chéo nhau, khoảng cách AB,CD là:     AB, CD  AC    d ( AB, CD)   AB, CD    d ': x 1 y  z    2  Chứng minh đó là đường thẳng chéo nhau, tìm tọa độ chân đường vuông góc đường thẳng 10 Góc đường thẳng: Góc đường thẳng là góc nhọn  xác định bởi:  cos   cos u, u  b) Đi qua A(-2;1;2) và song song với trục Oz c) Đi qua A(2;3;-1), B(1;2;4) d) Đi qua A(4;3;1) và song song với   u , u là véc tơ phương đường  x 1  2t   :  y  3t  z 3  2t  thẳng VD8: Cho đường thẳng d ': d: đường thẳng e) Đi qua A(1;2;-1) và song song với đường thẳng giao tuyến mp x+y-z+3=0, 2x-y+5z-4=0 f) Đi qua A(-2;1;0) và vuông góc với mp x+2y-2z+1=0 g) Là giao tuyến mp x-3y+z=0, x+y-z+4=0 x y  z 4   5 , x 1 y  z    2  Tính góc chúng 11 Góc mặt phẳng: Góc mặt phẳng là góc nhọn  xác định bởi: Viết phương trình hình chiếu đường thẳng  cos   cos n, n  x 1  2t    n, n là véc tơ pháp tuyến mặt phẳng VD 9: Tính góc mp(P):2xy=0 và mp(Oxy) 12 Góc đường thẳng và mặt phẳng: Góc đường thẳng và mặt phẳng là góc nhọn  xác định bởi:  sin   cos u , n     u là véc tơ phương đường thẳng và n là véc tơ pháp tuyến mặt phẳng VD10: Tính góc tạo các mp tọa độ d: x y  z 4    và *** BÀI TẬP ĐƯỜNG THẲNG Viết phương trình tham số đường thẳng (d) a) Đi qua A(2;0;-1) và cóvectơ    u  i  j  5k phương  d :  y   3t  z 3  t  trên mp sau: mp(Oxy), mp(Oyz), (Oxz), ( ) : x  y  z  0 Viết phương trình hình chiếu đường thẳng   x   3t  d :  y  2t  z  2t   trên mp x+2y-2z-2=0 Xét vị trí tương đối cặp đường thẳng d và d’ cho các phương trình sau: a) d: x y z x  y 1 z    ,d ':   2 x y z x y 8 z    ,d ':   2 2 b) x  y z 1 x y z d:   ,d ':   6 8 6 12 c) d: d: x y z x y z   ,d ':   6 d) Xét vị trí tương đối đường thẳng d và mp ( ) cho các phương trình sau: x  12 y  z    , a) ( ) : x  y  z  0 d: x 1 y  z   , ( ) : x  y  z  0 b) x y z d:   , c) ( ) : x  y  z  0 x y z d:   , d) ( ) : x  y  z  0 d: Tính khoảng cách từ điểm M tới đường thẳng d trường hợp sau: d: x  y  z 1   2 a) M(2;3;1), b) M(2;3;-1), d là giao tuyến mp x+y2z-1=0, x+3y+2z+2=0 x y  z 3   c) M(1;2;1), x y z d:   d) M(1;0;0), d: Tính khoảng cách các cặp đường thẳng sau: a)  x 1  t  x 2  3t '   d1 :  y   t d :  y   3t '  z 1  z 3t '   , x  y 3 z    2 , b) x  y  z 1 d2 :   4 2 d1 :  x 2  t  x  y  z  d :  y   t d1 :    z t  , c) Tính góc các cặp đường thẳng sau: a)  x 1  2t   y   t  z 3  4t  ,  x 2  t '   y   3t '  z 4  2t '  x y 2 z 2   , d’ là giao tuyến b) mp ( ) : x  y  z 1 0 , d: ( ') : x  3z  0 Tính góc đường thẳng  và mặt phẳng ( ) các trường hợp sau:  x 1  2t   :  y   3t  z 2  t  a) , ( ) : x  y  z  0 x2 y  z  :    , ( ) : x  y  z  0 b) x  y 1 z    1 , ( ) : x  y  z  0 c) x  y  z 3 :    , ( ) : x  y  z  0 d) : 10 Tìm toạ độ hình chiếu vuông góc điểm M (1;  1; 2) trên mp ( ) : x  y  z  12 0 11 Cho điểm A(4;1;4),B(3;3;1),C(1;5;5),D(1;1;1) Tìm toạ độ hình chiếu D lên mp(ABC) 12 Cho điểm A(1;1;2), B(-2;1;-1),C(2;-2;1).Tìm toạ độ hình chiếu gốc O trên mp (ABC) 13 Tìm toạ độ điểm đối xứng M (2;  3;1) qua mp ( ) : x  y  z  0 14 Tìm toạ độ điểm đối xứng A(0;0;1) qua mp 6x+3y+2z-6=0 15 Tìm toạ độ điểm đối xứng B(2;3;5) qua mp 2x+3y+z-17=0 16 Cho điểm A(3;1;0),B(-9;4;9) và mp ( ) : x  y  z  0 Tìm toạ độ điểm M trên ( ) cho MA  MB đạt giá trị lớn 17 Cho điểm A(3;1;1),B(7;3;9) và mp ( ) : x  y  z  0 Tìm điểm M trên ( ) để   MA  MB đạt giá trị nhỏ 18 Cho điểm A(-1;3;2),B(4;0;-3),C(5;-1;4) Tìm toạ độ hình chiếu H điểm A trên đường thẳng BC 19 Cho đường thẳng d: x y z   Chứng minh hai phương trình  x2 y2 z    và điểm đường thẳng d và AB cùng nằm mặt phẳng M (4;  3; 2) Tìm toạ độ hình chiếu H điểm Tìm điểm C thuộc đường thẳng d cho tam giác ABC cân A M trên đường thẳng d 20 Tìm toạ độ điểm đối xứng M (2;  1;1) qua đường thẳng  x 1  1t  d :  y   t  z 2t  x y z1   1 21 Tìm toạ độ điểm đối xứng M (  3;1;  1) qua đường thẳng d là giao tuyến mp ( ) : x  y  13 0 , ( ') : y  z  0 22 Viết phương trình đường vuông góc chung các cặp đường thẳng sau: x y  z 4 d:   5 , a) x 1 y  z  d ':   2 1  x 2  t  x 2  2t   d :  y 1  t d ' :  y 3  z 2t  z t   b) 3) Trong không gian với hệ toạ độ 0xyz cho điểm A(1;1;3) và đường thẳng d có phương trình: a) Viết phương trình mp (P) qua A và vuông góc với d b) Tìm toạ độ điểm M thuộc d cho tam giác MOA cân O 4) Trong không gian với hệ toạ độ 0xyz cho đường thẳng x  y 1 z  x  y  z 1     2 và d2: 2 d1: a) Chứng minh d1 và d2 song song với b) Viết phương trình mp chứa đường thẳng trên c) Tính khoảng cánh đường d1 và d2 5) Trong hệ trục toạ độ 0xyz cho điểm A(1;3;2), B(1;2;1), C ( 1;1; 3) Hãy viết phương trình đưòng thẳng qua trọng tâm G tam giác ABC và vuông góc với m chứa tam giác ABC , ÔN TẬP 1) Trong không gian với hệ trục 0xyz cho điểm A ( 1; 2; 1) , B ( 3; -1; 2) Cho đuờng thẳng d và 6) Trong không gian cho điểm A( -4; -5; 3) và mặt phẳng (P) có phương trình đường thẳng : x y  z 4   1 d: x  y  z  0 (P): x  y 5 z  x y z 4     3 và d2: a) Chứng minh d1 và d2 chéo a) Tìm toạ độ điểm C đối xứng với điểm A qua b) Viết phương trình đường thẳng qua A và cắt mp (P) đường d1, d2 b) Viết phương trình đuờng thẳng ( ) qua điểm A, cắt đường thẳng (d) và song song với 7) Trong không gian với hệ toạ đội 0xyz cho các đường d1 và d2, mp (P) có phương trình: mp(P) x 1 y  z  x y 2 z c, Tìm toạ độ điểm M thuộc (P) cho tổng     2, khaỏng cách MA +MB đạt giá trị nhỏ d1: và d2: (P): 2x – y – 5z +1 = 2) Trong không gian với hệ toạ độ 0xyz cho a) Chứng minh d1 và d2 chéo Tính khoảng điểm A(4;2;2), B(0;0;7) và đường thẳng d có cánh đường đó b) Viết phương trình đường thẳng d vuông góc với (P) đồng thời cắt d1, d2 b) Tìm toạ độ điểm M thuộc (S) cho khoảng cánh từ M đến (P) lớn 8) Trong không gian cho tứ diện ABCD với A(7;4;3), B(1;1;1), C (2; -1; 2), D ( -1; 3; 1) a) Tính khoảng cách hai đường AB và CD b) Tìm toạ độ điểm H là hình chiếu vuông góc A lên mp (BCD) c) Viết phương trình đường d đối xứng với đường thẳng AB qua mp (BCD) 14) Trong không gian cho A( 1; 4; 2) , B( -1; 2; 4) và đường thẳng d có phương trình 9) Trong không gian cho A( 2; 5; 3) và đường x y z   thẳng d: a) Tìm toạ độ hình chiếu vuông góc điểm A trên đường thẳng d b) Viết phương trình mp (P) chứa d cho khoảng cánh từ A đến (P) lớn x y2 z   d:  a) Viết phương trình đường d1 qua trọng tâm G tam giác OAB và vuông góc với mp (OAB) b) Tìm toạ độ điểm M thuộc đường d cho MA2 + MB2 nhỏ 15) Trong không gian cho A ( 0;1;2) và đưòng thẳng x y  z 1    và d2: d1:  x 1  t   y   2t  z 2  t  a) Viết phương trình mp(P) qua A đồng thời song 10) Trong không gian cho A( 0; 1; 2), B( 2; -2; song với d1, d2 b) Tìm toạ độ các điểm M thuộc d1, N thuộc d2 1), C ( -2; 0; 1) cho điểm A, M, N thẳng hàng a Viết phương trình mp (ABC) b Tìm toạ độ điểm M thuộc mp 2x + 2y + z 16) Cho A( 1; 2; 3) và đường thẳng d 1: – = cho MA = MB = MC x  y  z 1 11) Trong không gian với hệ toạ độ 0xyz cho x   y   z    điểm A(3;3;0), B(3; 0; 3), C(0;3;3), D ( 3; 3; 3) 1 và d2:  a) Viết phương trình mặt cầu qua điểm a) Tìm toạ độ điểm A’ đối xứng với A qua đường ABCD d1 b) Tìm toạ độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác Viết phương trình đuờng d qua A vuông góc với ABC d1 và cắt d2 12) Trong không gian cho đường thẳng d 1: x y  z 2   1 và d2:  x   2t   y 1  t  z 3  17) Trong hệ toạ độ 0xyz cho đường thẳng d: x  y 3 z    1 và mp(P): 2x + y – 2z+ = a) Tìm toạ độ điểm I thuộc d cho khoảng cách a) Chứng minh d1 và d2 chéo từ I đến mp (P) b) Viết phương trình đường d vuông góc với mp b) Tìm toạ độ giao điểm A đường thẳng d và (P): 7x +y – 4z = và cắt đường d1, d2 mp (P) Viết phương trình tham số đưòng   13) Trông không gian với hệ 0xyz cho mặt cầu thẳng nằm mp (P) biết qua A và vuông góc với d (S) và mp (P) có phưuơng trình: 18) cho mp (P) : x – 2y + 2z – = và các 2 (S): x  y  z  x  y  z  0 và (P): 2x – y đường thẳng: + 2z – 14 = x y z x  y z 5     a) Viết phương trình mp(Q) chứa trục 0x và cắt 3 và d2: 5 d1: (S) theo đường tròn có bán kính bàng a) Viết phương trình mp (Q) chứa d1 và (Q) vuông góc với (P) b) Tìm các điểm M thuộc d1, N thuộc d2 cho MN song song với P và cách (P) khoảng