c Chó ý:Trêng hîp ®iÓm H n»m ngoµi ®o¹n th¼ng BC còng chøng minh t¬ng tù Nh vậy ta có thể tính đợc độ dài đờng cao và diện tích của một tam giác thông qua đọ dàI 3 cạnh của một tam giác.[r]
(1)II.GI¶I QUYÕT VÊN §Ò: Bài toán: Cho tam giác ABC có AB = c, AC = b, BC = a.Các đờng cao và các đờng trung tuyến ứng với các đỉnh A,B,C lần lợt là h ❑a , h ❑b , h ❑c , m ❑a , m ❑b , m ❑c S vµ p lÇn lît lµ diÖn tÝch vµ n÷a chu vi cña tam gi¸c ABC Chøng minh: a, S = √ p ( p − a)( p −b)( p −c ) (1) b, b ❑2 = a ❑2 + c ❑2 - 2acCosB (2) 2 a ❑ = b ❑ + c ❑ - 2bcCosA (3) c ❑2 = a ❑2 + b ❑2 - 2abCosC (4) A Bµi gi¶i: h ❑a x a-x H B C a, Giả sử: AH = h ❑a (hình 1) đó ta có: BC = BH + CH (*) Đặt BH = x (0 x ≤ a).Từ (*) ta có: HC = a - x áp dụng định lý Pitago cho c¸c tam gi¸c vu«ng ABH vµ ACH ta cã hÖ sau: h a + x 2=c2 a − x ¿2=b ¿ ¿ ¿{ + ¿ (I) Trõ vÕ theo vÕ hai ph¬ng tr×nh hÖ (I) ta cã: 2 2ax - a ❑2 = c ❑2 - b ❑2 ⇒ x = a − b +c 2a Thay (5) vào phơng trình đầu hệ (I) ta đợc: h ❑a ⇒ 2 (5) 2 + ( a − b +c ) ❑2 = c ❑2 2a h ❑a 2 2 2 = (c + a − b +c )(c - a − b +c ) 2a 2a 2 = ac +a −b + c ac − a +b − c 2a 2a 2 a−c¿ a+ c ¿ −b (a+ b+c )(a+c −b)( a+b − c)(b+ c − a) ¿ = 2¿ = ¿ b −¿ a2 ¿ ¿ 2 V× p lµ n÷a chu vi cña tam gi¸c ABC nªn a + b + c = 2p,a + b - c = 2(p - c), a + c - b = 2(p - b),b + c - a = 2(p - a) Do đó: p( p − a)( p − b)(p − c) ⇒ h ❑a = a a √ p ( p − a)( p −b)( p −c ) ⇒ a = √ p ( p − a)( p −b)( p −c ) √ p ( p − a)( p −b)( p −c ) h ❑a = ⇒ S = (2) Vậy công thức (1) đã đợc chứng minh Bằng cách thay đổi vai trò a,b,c ta đợc: h ❑b = √ p (p − a)( p −b)( p −c ) b h ❑c = √ p ( p − a)( p −b)( p −c ) c Chó ý:Trêng hîp ®iÓm H n»m ngoµi ®o¹n th¼ng BC còng chøng minh t¬ng tù Nh ta có thể tính đợc độ dài đờng cao và diện tích tam giác thông qua đọ dàI cạnh tam giác b, Gi¶ sö trung tuyÕn AM = m ❑a A h ❑a B m ❑a C H M (h×nh2) *Trêng hîp1:Tam gi¸c ABC cã hai gãc B và C nhọn áp dụng định lý Pitago cho hai tam giác vuông ACH và ABH ta có: AH ❑2 + CH ❑2 = AC ❑2 vµ AH ❑2 + BH ❑2 = AB ❑2 Trừ theo vế hai đẳng thức trên ta có: CH ❑2 - BH ❑2 = AC ❑2 - AB ❑2 ⇒ (BC - BH) ❑2 - BH ❑2 = AC ❑2 - AB ❑2 BC ❑2 - 2BC.BH = AC ❑2 - AB ❑2 ⇒ Hay a ❑2 - 2a.BH = b ❑2 - c ❑2 Trong tam gi¸c vu«ng ABH cã cosB = cosB = a2 +c − b2 2ac ⇒ 2 BH = a +c − b BH kÕt hîp víi (6) suy AB hay b ❑2 = a ❑2 + c ❑2 - 2ac cosB (i) Tráo đổi vị trí điểm B với điểm C ta đợc: c ❑2 = a ❑2 + b ❑2 2ab cosC (ii) *Gi¶ sö AB < AC th× BH < BM nªn 2 2 HM = BM - BH = a - a +c − b = c −b ⇒ 2a 2a 2 HM = c −b 2a 2a (6) (3) Từ đó m ❑a HM ❑2 = AM ❑2 = AH ❑2 + HM ❑2 = AB ❑2 - BH ❑2 + 2 2 = c ❑2 - ( a +c − b ) ❑2 + ( c −b ) ❑2 2a 2a 2 = c ❑2 - a +2 a (c2 −b ) 4a m ❑a ⇒ 2 = c +b − a (iii) Nếu AB > AC tráo đổi ký hiệu điểm B với điểm C (hình 2) thì công thức (iii) đổi vị trí b với c nên ta vẩn có công thức (iii) Nếu AB = AC thì H trùng với M và lúc đó : m ❑a =b 2 ❑ - a nghĩa là công thức (iii) vẩn đúng *B©y giê ta xÐt c¸c trêng hîp tam gi¸c ABC cã gãc A nhän hoÆc tï hoÆc vu«ng 1, Tam gi¸c ABC cã gãc nhän Tam giác ABC có góc B , C nhọn nên đã có các công thức (i),(ii),(iii) Nếu góc A nhọn thì áp dụng kết chứng minh trên tam giác có các gãc A,C ta cã c«ng thøc m ❑b vµ a, víi tam gi¸c cã c¸c gãc A,B nhän ta cã c«ng thøc m ❑c Nh vËy víi tam gi¸c ABC cã ba gãc nhän ta cã c¸c c«ng thøc sau: a ❑2 = b ❑2 + c ❑2 - 2bc cosA b ❑2 = a ❑2 + c ❑2 - 2ac cosB c ❑2 = a ❑2 + b ❑2 - 2ab cosC m ❑a m ❑b 2 2 = c +b − a m ❑c 2 2 a +c b = − 2 = a +b − c 2,Tam gi¸c ABC cã gãc A tï Khi tam giác ABC có góc A tù thì các góc B,C nhọn nên có các c«ng thøc (i),(ii),(iii).Ta chØ cÇn xÐt thªm c«ng thøc cña a, m ❑b , m ❑c Gọi BK là đờng cao tam giác ABC (hình 3) áp dụng định lý Pitago tam giác BCK có BK ❑2 + CK ❑2 = BC ❑2 vµ tam gi¸c BAK cã BK ❑2 + AK ❑2 = AB ❑2 (4) Trừ vế theo vế hai đẳng thức trên ta có CK ❑2 - AK ❑2 = BC ❑2 - AB ❑2 ⇒ (AC + AK) ❑2 - AK ❑2 = BC ❑2 - AB ❑2 K A (h×nh 3) N B C ⇒ AC ❑2 + 2AC.AK = BC ❑2 - AB ❑2 2 + 2b.AK = a ❑2 - c ❑2 ⇒ AK = a − b −c 2b Hay b ❑2 Xét tam giác ABK có Cos(180 ❑0 - Â) = AK Từ đó suy ra: AB 2 a − b −c hay a Cos(180 ❑0 - ¢) = ❑2 = b ❑2 + c ❑2 + bc 2bcCos(180 ❑0 - ¢) TÝnh m ❑b = BN ❑2 = BK ❑2 + KN ❑2 = AB ❑2 - AK ❑2 + (AK + AN) ❑2 = AB ❑2 + AN ❑2 + 2AN.AK 2 2 2 2 = c ❑2 + b + a − b −c = a +c − b Tráo đổi kí hiệu 2 ®iÓm B víi ®iÓm C trªn (h×nh 3) Hay m ❑b Tõ c«ng thøc m ❑b trªn ta thÊy l¹i c«ng thøc m ❑c 2 2 = a +b − c m ❑c Nh với tam giác ABC có góc A tù ta vẩn có các công thức đờng trung tuyến m ❑a 2 2 = c +b − a 2 = a +c − b 2 a +b c2 = − m ❑b m ❑c Cßn víi c¸c c¹nh th× cã c¸c c«ng thøc: a ❑2 = b ❑2 + c ❑2 + 2bc cos(180 ❑0 - ¢) b ❑2 = a ❑2 + c ❑2 - 2ac cosB c ❑2 = a ❑2 + b ❑2 - 2ab cosC 3,Tam gi¸c ABC cã gãc A vu«ng Khi góc A vuông (hình 4) thì theo định lý Pitago có a ❑2 = b ❑2 + c ❑ cßn c¸c gãc B,C nhän nªn c¸c c«ng thøc b ❑2 = a ❑2 + c ❑2 - 2ac cosB (5) c ❑2 = a ❑2 + b ❑2 - 2ab cosC 2 m ❑a = c +b − a 2 vẩn đúng C«ng thøc m ❑a ❑2 + c ❑2 ) ⇒ m ❑a = 2 = c +b − a 2 a 2 trë thµnh m ❑a = a (do a ❑2 = b 4 Ta cã m ❑b = BN ❑2 = AB ❑2 + AN ❑2 2 = c ❑2 + b Tráo đổi vị trí điểm B với điểm C và điểm N P víi ®iÓm P trªn (h×nh 3) tõ c«ng thøc ⇒ m ❑b B M = c ❑2 + b ta cã m ❑c = b ❑2 + N C Nh vËy víi tam gi¸c vu«ng ABC ta cã c¸c c«ng thøc: b ❑2 = a ❑2 + c ❑2 - 2ac cosB c ❑2 = a ❑2 + b ❑2 - 2ab cosC a ❑2 = b ❑2 + c ❑2 m ❑a = a m ❑b 2 m ❑c = b ❑2 + c2 , m ❑b = c ❑2 + b2 c2 A (6)