Qua M là trung điểm của BC kẻ đường vuông góc với đường phân giác trong của góc A, cắt các đường thẳng AB, AC lần lượt tại D, E.. đề thi học sinh giỏi..[r]
(1)§Ò sè 1: đề thi học sinh giỏi huyện M«n To¸n Líp (Thêi gian lµm bµi 120 phót) Bµi T×m gi¸ trÞ n nguyªn d¬ng: n 16 2 n ; a) b) 27 < 3n < 243 Bµi Thùc hiÖn phÐp tÝnh: ( 1 1 49 ) 4.9 9.14 14.19 44.49 89 Bµi a) T×m x biÕt: |2 x+3|=x +2 b) Tìm giá trị nhỏ A = |x − 2006|+|2007 − x| Khi x thay đổi Bài Hiện hai kim đồng hồ 10 Sau ít bao lâu thì kim đồng hồ nằm đối diện trên đờng thẳng Bài Cho tam giác vuông ABC ( A = 1v), đờng cao AH, trung tuyến AM Trên tia đối tia MA lấy điểm D cho DM = MA Trên tia đối tia CD lấy điểm I cho CI = CA, qua I vẽ đờng thẳng song song với AC cắt đờng thẳng AH E Chứng minh: AE = BC §Ò sè 2: đề thi học sinh giỏi huyện M«n To¸n Líp (Thêi gian lµm bµi 120 phót) Bài 1:(4 điểm) a) Thực phép tính: A 212.35 46.92 3 510.73 255.492 125.7 59.143 b) Chứng minh : Với số nguyên dương n thì : 3n2 2n 3n 2n chia hết cho 10 Bài 2:(4 điểm) Tìm x biết: x a 3, 5 x 7 b x 1 x 7 x 11 0 (2) Bài 3: (4 điểm) : : a) Số A chia thành số tỉ lệ theo Biết tổng các bình phương ba số đó 24309 Tìm số A a c a2 c2 a 2 b) Cho c b Chứng minh rằng: b c b Bài 4: (4 điểm) Cho tam giác ABC, M là trung điểm BC Trên tia đối của tia MA lấy điểm E cho ME = MA Chứng minh rằng: a) AC = EB và AC // BE b) Gọi I là điểm trên AC ; K là điểm trên EB cho AI = EK Chứng minh ba điểm I , M , K thẳng hàng H BC c) Từ E kẻ EH BC Biết HBE = 50o ; MEB =25o Tính HEM và BME Bài 5: (4 điểm) Cho tam giác ABC cân A có A 20 , vẽ tam giác DBC (D nằm tam giác ABC) Tia phân giác góc ABD cắt AC M Chứng minh: a) Tia AD là phân giác góc BAC b) AM = BC ……………………………… Hết ……………………………… Đáp án đề 1toán Bµi T×m gi¸ trÞ n nguyªn d¬ng: (4 ®iÓm mçi c©u ®iÓm) n 16 2 n ; a) => 24n-3 = 2n => 4n – = n => n = b) 27 < 3n < 243 => 33 < 3n < 35 => n = Bµi Thùc hiÖn phÐp tÝnh: (4 ®iÓm) ( 1 1 49 ) 4.9 9.14 14.19 44.49 89 1 1 1 1 (1 49) ( ) 44 49 12 = 9 14 14 19 1 (12.50 25) 5.9.7.89 ( ) 89 5.4.7.7.89 28 = 49 Bµi (4 ®iÓm mçi c©u ®iÓm) a) T×m x biÕt: |2 x+3|=x +2 Ta cã: x + => x - + NÕu x - th× |2 x+3|=x +2 => 2x + = x + => x = - (Tho¶ m·n) (3) x < - Th× |2 x+3|=x +2 => - 2x - = x + => x = - (Tho¶ + NÕu - 2 m·n) + NÕu - > x Kh«ng cã gi¸ trÞ cña x tho¶ m·n b) Tìm giá trị nhỏ A = |x − 2006|+|2007 − x| Khi x thay đổi + NÕu x < 2006 th×: A = - x + 2006 + 2007 – x = - 2x + 4013 Khi đó: - x > -2006 => - 2x + 4013 > – 4012 + 4013 = => A > + NÕu 2006 x 2007 th×: A = x – 2006 + 2007 – x = + NÕu x > 2007 th× A = x - 2006 - 2007 + x = 2x – 4013 Do x > 2007 => 2x – 4013 > 4014 – 4013 = => A > Vậy A đạt giá trị nhỏ là 2006 x 2007 Bài Hiện hai kim đồng hồ 10 Sau ít bao lâu thì kim đồng hồ nằm đối diện trên đờng thẳng (4 điểm mỗi) Gọi x, y là số vòng quay kim phút và kim 10giờ đến lúc kim đối trên đờng thẳng, ta có: x – y = (ứng với từ số 12 đến số trên đông hồ) vµ x : y = 12 (Do kim phót quay nhanh gÊp 12 lÇn kim giê) x 12 x y x−y 1 = => = = = :11= y 12 11 33 Do đó: x = 12 (vòng) => x= (giê) 33 11 Vậy thời gian ít để kim đồng hồ từ 10 đến lúc nằm đối diện trên đờng thẳng là 11 giê Bài Cho tam giác vuông ABC ( A = 1v), đờng cao AH, trung tuyến AM Trên tia đối tia MA lấy điểm D cho DM = MA Trên tia đối tia CD lấy điểm I cho CI = CA, qua I vẽ đờng thẳng song song với AC cắt đờng thẳng AH E Chứng minh: AE = BC (4 ®iÓm mçi) §êng th¼ng AB c¾t EI t¹i F Δ ABM = Δ DCM v×: AM = DM (gt), MB = MC (gt), E AMB = DMC (®®) => BAM = CDM F =>FB // ID => ID I A AC (4) B C M H Vµ FAI = CIA (so le trong) (1) IE // AC (gt) => FIA = CAI (so le trong) (2) Tõ (1) vµ (2) => Δ CAI = Δ FIA (AI chung) => IC = AC = AF (3) vµ E FA = 1v (4) MÆt kh¸c EAF = BAH (®®), BAH = ACB ( cïng phô ABC) => EAF = ACB (5) Tõ (3), (4) vµ (5) => Δ AFE = Δ CAB =>AE = BC D §Ò sè 2: đề thi học sinh giỏi huyện M«n To¸n Líp (Thêi gian lµm bµi 120 phót) Bài 1:(4 điểm) a) Thực phép tính: A 212.35 46.92 3 510.73 255.492 125.7 59.143 Chứng minh : Với số nguyên dương n thì : 3n2 2n2 3n 2n chia hết cho 10 Bài 2:(4 điểm) Tìm x biết: x a 3, 5 x 7 b x 1 x 7 x 11 0 Bài 3: (4 điểm) : : c) Số A chia thành số tỉ lệ theo Biết tổng các bình phương ba số đó 24309 Tìm số A a c a2 c2 a 2 d) Cho c b Chứng minh rằng: b c b Bài 4: (4 điểm) Cho tam giác ABC, M là trung điểm BC Trên tia đối của tia MA lấy điểm E cho ME = MA Chứng minh rằng: (5) a) AC = EB và AC // BE b) Gọi I là điểm trên AC ; K là điểm trên EB cho AI = EK Chứng minh ba điểm I , M , K thẳng hàng H BC c) Từ E kẻ EH BC Biết HBE = 50o ; MEB =25o Tính HEM và BME Bài 5: (4 điểm) Cho tam giác ABC cân A có A 20 , vẽ tam giác DBC (D nằm tam giác ABC) Tia phân giác góc ABD cắt AC M Chứng minh: c) Tia AD là phân giác góc BAC d) AM = BC ……………………………… Hết ……………………………… Đáp án đề toán Bài 1:(4 điểm): a) (2 điểm) 212.35 46.9 10 510.73 255.49 212.35 212.34 510.73 A 12 12 9 3 3 125.7 14 212.34 1 510.73 12 1 59.73 23 10 212.34.2 12 59.73.9 10 b) (2 điểm) 3n2 2n2 3n 2n = 3n2 3n n2 2n n n = (3 1) (2 1) n n n n = 10 5 3 10 10 = 10( 3n -2n) n2 n 2 n n Vậy 10 với n là số nguyên dương Bài 2:(4 điểm) a) (2 điểm) (6) x 4 16 3, x 5 5 x 14 5 x 2 x 12 x 1 x217 3 x 21 3 b) (2 điểm) x 7 x 1 x 7 x 11 0 x 10 0 10 x 1 x 0 x 7 x 7 x 1 x x 10 1 ( x 7)10 0 x 7010 x7 x 8 ( x 7) Bài 3: (4 điểm) a) (2,5 điểm) Gọi a, b, c là ba số chia từ số A : : Theo đề bài ta có: a : b : c = (1) và a2 +b2 +c2 = 24309 (2) a b c k a k;b k;c Từ (1) = k (7) ) 24309 25 16 36 Do đó (2) k = 180 và k = 180 k2( + Với k =180, ta được: a = 72; b = 135; c = 30 Khi đó ta có số A = a + b + c = 237 + Với k = 180 , ta được: a = 72 ; b = 135 ; c = 30 Khi đó ta có só A = 72 +( 135 ) + ( 30 ) = 237 b) (1,5 điểm) a c Từ c b suy c a.b a c a a.b 2 đó b c b a.b a ( a b) a b ( a b ) b = Bài 4: (4 điểm) a/ (1điểm) Xét AMC và EMB có : AM = EM A (gt ) I AMC = EMB (đối đỉnh ) BM = MC (gt ) B Nên : AMC = EMB (c.g.c ) điểm K AC = EB Vì AMC = EMB MAC = MEB (2 góc có vị trí so le tạo thẳng AC và EB cắt đường thẳng AE ) Suy AC // BE b/ (1 điểm ) Xét AMI và EMK có : AM = EM (gt ) MAI = MEK ( vì AMC EMB ) AI = EK (gt ) Nên AMI EMK ( c.g.c ) Suy AMI = EMK Mà AMI + IME = 180o ( tính chất hai góc kề bù ) EMK + IME = 180o M C H E 0,5 đường 0,5 điểm (8) Ba điểm I;M;K thẳng hàng c/ (1,5 điểm ) Trong tam giác vuông BHE ( H = 90o ) có HBE = 50o HBE = 90o - HBE = 90o - 50o =40o HEM = HEB - MEB = 40o - 25o = 15o A BME là góc ngoài đỉnh M HEM o o BME HEM MHE Nên = + = 15 + 90 = 105o ( định lý góc ngoài tam giác ) 20 M Bài 5: (4 điểm) a) Chứng minh ADB = ADC (c.c.c) suy DAB DAC 0 Do đó DAB 20 : 10 b) ABC cân A, mà A 20 (gt) nên D B ABC (1800 200 ) : 800 DBC 600 C ABC nên 0 Tia BD nằm hai tia BA và BC suy ABD 80 60 20 Tia BM là phân giác góc ABD nên ABM 10 Xét tam giác ABM và BAD có: AB cạnh chung ; BAM ABD 20 ; ABM DAB 10 Vậy: ABM = BAD (g.c.g) suy AM = BD, mà BD = BC (gt) nên AM = BC §Ò sè 3: đề thi học sinh giỏi M«n To¸n Líp (Thêi gian lµm bµi 120 phót) C©u 1: T×m tÊt c¶ c¸c sè nguyªn a biÕt a 4 C©u 2: T×m ph©n sè cã tö lµ biÕt nã lín h¬n C©u Cho ®a thøc P ( x ) = x ❑2 + 2mx + m ❑2 vµ 9 10 vµ nhá h¬n 11 (9) Q ( x ) = x ❑2 + (2m+1)x + m ❑2 T×m m biÕt P (1) = Q (-1) C©u 4: T×m c¸c cÆp sè (x; y) biÕt: x y a/ ; xy=84 1+3y 1+5y 1+7y b/ 12 5x 4x C©u 5: T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt hoÆc lín nhÊt cña c¸c biÓu thøc sau : A = |x +1| +5 B= x +15 x +3 Câu 6: Cho tam giác ABC có  < 90 Vẽ phía ngoài tam giác đó hai đoạn thẳng AD vu«ng gãc vµ b»ng AB; AE vu«ng gãc vµ b»ng AC a Chøng minh: DC = BE vµ DC BE b Gọi N là trung điểm DE Trên tia đối tia NA lấy M cho NA = NM Chøng minh: AB = ME vµ ABC = EMA c Chøng minh: MA BC Đáp án đề toán a 4 C©u 1: T×m tÊt c¶ c¸c sè nguyªn a biÕt a 4 0 a => = 0; 1; 2; ; a * = => a = a * = => a = hoÆc a = - a * = => a = hoÆc a = - a * = => a = hoÆc a = - a * = => a = hoÆc a = - 9 C©u 2: T×m ph©n sè cã tö lµ biÕt nã lín h¬n 10 vµ nhá h¬n 11 Gäi mÉu ph©n sè cÇn t×m lµ x Ta cã: 9 9 63 63 63 10 x 11 => 70 x 77 => -77 < 9x < -70 V× 9x 9 => 9x = -72 => x = (10) VËy ph©n sè cÇn t×m lµ C©u Cho ®a thøc P ( x ) = x ❑2 + 2mx + m ❑2 vµ Q ( x ) = x ❑2 + (2m+1)x + m ❑2 T×m m biÕt P (1) = Q (-1) P(1) = 12 + 2m.1 + m2 = m2 + 2m + Q(-1) = – 2m – +m2 = m2 – 2m §Ó P(1) = Q(-1) th× m2 + 2m + = m2 – 2m ⇔ 4m = -1 ⇔ m = -1/4 C©u 4: T×m c¸c cÆp sè (x; y) biÕt: x y x y xy 84 a/ ; xy=84 4 => 49 3.7 21 => x2 = 4.49 = 196 => x = 14 => y2 = 4.4 = 16 => x = 4 Do x,y cïng dÊu nªn: x = 6; y = 14 x = -6; y = -14 b/ 1+3y 1+5y 1+7y 12 5x 4x ¸p dông tÝnh chÊt d·y tØ sè b»ng ta cã: 1+3y 1+5y 1+7y 7y 5y 2y 5y 3y 2y 12 5x 4x 4x 5x x 5x 12 5x 12 2y 2y => x x 12 => -x = 5x -12 => x = Thay x = vào trên ta đợc: 1 3y y y 12 2 =>1+ 3y = -12y => = -15y 1 => y = 15 1 Vậy x = 2, y = 15 thoả mãn đề bài C©u 5: T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt hoÆc lín nhÊt cña c¸c biÓu thøc sau : (11) A = |x +1| +5 Ta cã : |x +1| DÊu = x¶y ⇔ x= -1 ⇒ A DÊu = x¶y ⇔ x= -1 VËy: Min A = ⇔ x= -1 B= x +15 x +3 Ta cã: x ❑2 ⇒ x ❑2 + ⇒ 12 x +3 = ( x2 +3 ) +12 =1+ x +3 12 x +3 DÊu = x¶y ⇔ x = ( vÕ d¬ng ) 12 ⇒ 12 x +3 ⇒ 1+ 122 x +3 1+ ⇒ B DÊu = x¶y ⇔ x = VËy : Max B = ⇔ x = C©u 6: a/ XÐt ADC vµ BAF ta cã: DA = BA(gt) AE = AC (gt) DAC = BAE ( cïng b»ng 900 + BAC ) => DAC = BAE(c.g.c ) => DC = BE XÐt AIE vµ TIC I1 = I2 ( ®®) E1 = C1( DAC = BAE) => EAI = CTI => CTI = 900 => DC BE b/ Ta cã: MNE = AND (c.g.c) => D1 = MEN, AD = ME mµ AD = AB ( gt) => AB = ME (®pcm) (1) V× D1 = MEN => DA//ME => DAE + AEM = 1800 ( cïng phÝa ) mµ BAC + DAE = 1800 => BAC = AEM ( ) Ta l¹i cã: AC = AE (gt) ( 3) Tõ (1),(2) vµ (3) => ABC = EMA ( ®pcm) (12) c/ KÐo dµi MA c¾t BC t¹i H Tõ E h¹ EP MH XÐt AHC vµ EPA cã: CAH = AEP ( cïng phô víi gPAE ) AE = CA ( gt) PAE = HCA ( ABC = EMA c©u b) => AHC = EPA => EPA = AHC => AHC = 900 => MA BC (®pcm) §Ò sè 4: đề thi học sinh giỏi (Thêi gian lµm bµi 120 phót) C©u ( ®iÓm) Thùc hiÖn phÐp tÝnh : 1 − − +1 : (− −1) 3 3 2 ( )2003 − −1 2 − 12 a- [( ) ( ) ] b- ()( ) ()( ) − C©u ( ®iÓm) a- Tìm số nguyên a để a +a+3 là số nguyên a+1 b- T×m sè nguyªn x,y cho x - 2xy + y = C©u ( ®iÓm) a- Chøng minh r»ng nÕu a + c = 2b vµ 2bd = c (b+d) th× a = c víi b,d kh¸c b d b- Cần bao nhiêu số hạng tổng S = 1+2+3+… để đ ợc số có ba chữ số giống C©u ( ®iÓm) Cho tam giác ABC có góc B 45 , góc C 1200 Trên tia đối tia CB lấy ®iÓm D cho CD = 2CB TÝnh gãc ADE C©u ( 1®iÓm) T×m mäi sè nguyªn tè tho¶ m·n : x2 - 2y2 =1 C©u Đáp án đề Híng dÉn chÊm §iÓm (13) 1.a 1.b 2.a Thực theo bớc đúng kết -2 cho điểm tối đa Thực theo bớc đúng kết 14,4 cho điểm tối đa Ta cã : a +a+3 = a(a+ 1)+3 =a+ a+1 v× a lµ sè nguyªn nªn a +a+3 a+1 a+1 a+1 lµ sè nguyªn nguyên hay a+1 là ớc đó ta có bảng sau : a+1 -3 -1 a -4 -2 lµ sè a+1 0,25 VËy víi a { − 4,− 2,0,2 } th× a +a+3 lµ sè nguyªn a+1 2.b HoÆc 0,25 0,25 0,25 0,25 ¿ 1− y =−1 x −1=1 ⇒ ¿ x=1 y=1 ¿{ ¿ VËy cã cÆp sè x, y nh trªn tho¶ m·n ®iÒu kiÖn ®Çu bµi V× a+c=2b nªn tõ 2bd = c (b+d) Ta cã: (a+c)d=c(b+d) Hay ad=bc Suy a = c ( §PCM) b 3.b 0,25 Tõ : x-2xy+y=0 Hay (1-2y)(2x-1) = -1 0,25 V× x,y lµ c¸c sè nguyªn nªn (1-2y)vµ (2x-1) lµ c¸c sè nguyªn đó ta có các trờng hợp sau : ¿ −2 y=1 x −1=− ⇒ ¿ x=0 y=0 ¿{ ¿ 3.a 1§iÓm 1§iÓm 0,25 d Gi¶ sö sè cã ch÷ sè lµ aaa =111.a ( a lµ ch÷ sè kh¸c 0) Gäi sè sè h¹ng cña tæng lµ n , ta cã : n(n+1) =111a=3 37 a Hay n(n+1) =2.3.37.a 0,5 0,5 0,25 VËy n(n+1) chia hÕt cho 37 , mµ 37 lµ sè nguyªn tè vµ n+1<74 ( NÕu n = 74 kh«ng tho¶ m·n ) 0,25 Do đó n=37 n+1 = 37 Nếu n=37 thì n+1 = 38 lúc đó n(n+1) =703 không thoả mãn (14) Nếu n+1=37 thì n = 36 lúc đó n(n+1) =666 VËy sè sè h¹ng cña tæng lµ 36 tho¶ m·n 0,5 A H 0,5 B C D Kẻ DH Vuông góc với AC vì ACD =600 đó CDH = 300 Nªn CH = CD ⇒ CH = BC Tam gi¸c BCH c©n t¹i C ⇒ CBH = 300 ⇒ ABH = 150 Mµ BAH = 15 nªn tam gi¸c AHB c©n t¹i H Do đó tam giác AHD vuông cân H Vậy ADB = 450+300=750 Tõ : x2-2y2=1suy x2-1=2y2 Nếu x chia hết cho vì x nguyên tố nên x=3 lúc đó y= nguyªn tè tho¶ m·n Nếu x không chia hết cho thì x2-1 chia hết cho đó 2y2 chia hết cho Mà(2;3)=1 nên y chia hết cho đó x2=19 kh«ng tho¶ m·n Vậy cặp số (x,y) tìm đợc thoả mãn điều kiện đầu bài lµ (2;3) 0,5 1,0 1,0 0,25 0,25 0,25 0,25 §Ò sè 5: đề thi học sinh giỏi (Thêi gian lµm bµi 120 phót) Bài (3đ): 1, Tính: 1 2003 2004 2005 5 P = 2003 2004 2005 2 2002 2003 2004 3 2002 2003 2004 2, Biết: 13 + 23 + + 103 = 3025 Tính: S = 23 + 43 + 63 + + 203 (15) x x 0, 25 xy x2 y 3, Cho: A = x ; y Tính giá trị A biết là số nguyên âm lớn Bài (1đ): Tìm x biết: 3x + 3x + + 3x + = 117 Bài (1đ): Một thỏ chạy trên đường mà hai phần ba đường băng qua đồng cỏ và đoạn đường còn lại qua đầm lầy Thời gian thỏ chạy trên đồng cỏ nửa thời gian chạy qua đầm lầy Hỏi vận tốc thỏ trên đoạn đường nào lớn ? Tính tỉ số vận tốc thỏ trên hai đoạn đường ? Bài (2đ): Cho ∆ABC nhọn Vẽ phía ngoài ∆ABC các ∆ ABD và ACE Gọi M là giao điểm BE và CD Chứng minh rằng: 1, ∆ABE = ∆ADC 2, BMC 120 Bài (3đ): Cho ba điểm B, H, C thẳng hàng, BC = 13 cm, BH = cm, HC = cm Từ H vẽ tia Hx vuông góc với đường thẳng BC Lấy A thuộc tia Hx cho HA = cm 1, ∆ABC là ∆ gì ? Chứng minh điều đó 2, Trên tia HC lấy điểm D cho HD = HA Từ D vẽ đường thẳng song song với AH cắt AC E Chứng minh: AE = AB §Ò sè 6: đề thi học sinh giỏi (Thêi gian lµm bµi 120 phót) Bài (4đ): Cho các đa thức: A(x) = 2x5 – 4x3 + x2 – 2x + B(x) = x5 – 2x4 + x2 – 5x + 4 C(x) = x + 4x + 3x – 8x + 1, Tính M(x) = A(x) – 2B(x) + C(x) 16 2, Tính giá trị M(x) x = 0, 25 3, Có giá trị nào x để M(x) = không ? Bài (4đ): 1, Tìm ba số a, b, c biết: (16) 3a = 2b; 5b = 7c và 3a + 5b – 7c = 60 2, Tìm x biết: 2x x x Bài (4đ): Tìm giá trị nguyên m và n để biểu thức 1, P = m có giá trị lớn 8 n 2, Q = n có giá trị nguyên nhỏ Bài (5đ): Cho tam giác ABC có AB < AC; AB = c, AC = b Qua M là trung điểm BC kẻ đường vuông góc với đường phân giác góc A, cắt các đường thẳng AB, AC D, E 1, Chứng minh BD = CE 2, Tính AD và BD theo b, c Bài (3đ): Cho ∆ABC cân A, BAC 100 D là điểm thuộc miền ∆ABC cho DBC 100 , DCB 200 Tính góc ADB ? §Ò sè 7: đề thi học sinh giỏi (Thêi gian lµm bµi 120 phót) Bài (3đ): Tính: 3 1 1 1, 1 2, (63 + 62 + 33) : 13 1 1 1 1 3, 10 90 72 56 42 30 20 12 Bài (3đ): a b c 1, Cho b c a và a + b + c ≠ 0; a = 2005 Tính b, c a b c d 2, Chứng minh từ hệ thức a b c d ta có hệ thức: a c b d Bài (4đ): (17) Độ dài ba cạnh tam giác tỉ lệ với 2; 3; Ba chiều cao tương ứng với ba cạnh đó tỉ lệ với ba số nào ? Bài (3đ): Vẽ đồ thị hàm số: x ; x 0 y = x ; x Bài (3đ): Chứng tỏ rằng: A = 75 (42004 + 42003 + + 42 + + 1) + 25 là số chia hết cho 100 Bài (4đ): Cho tam giác ABC có góc A = 60 Tia phân giác góc B cắt AC D, tia phân giác góc C cắt AB E Các tia phân giác đó cắt I Chứng minh: ID = IE §Ò sè 8: đề thi học sinh giỏi (Thêi gian lµm bµi 120 phót) Bài (5đ): 1, Tìm n N biết (33 : 9)3n = 729 2, Tính : A= | (√ ) | + − Bài (3đ): Cho a,b,c a c R và a,b,c = − − 0,(4)+ − − | | thoả mãn b2 = ac Chứng minh rằng: a+2007 b ¿ ¿ b+ 2007 c ¿2 ¿ ¿ ¿ Bài (4đ): Ba đội công nhân làm công việc có khối lượng Thời gian hoàn thành công việc đội І, ІІ, ІІІ là 3, 5, ngày Biêt đội ІІ nhiều đội ІІІ là người và suất công nhân là Hỏi đội có bao nhiêu công nhân ? Câu (6đ): Cho ∆ABC nhọn Vẽ phía ngoài ∆ABC các ∆ ABD và ACE 1, Chứng minh: BE = DC 2, Gọi H là giao điểm BE và CD Tính số đo góc BHC Bài (2đ): (18) p Cho m, n N và p là số nguyên tố thoả mãn: m−1 = Chứng minh : p2 = n + m+n p §Ò sè 9: đề thi học sinh giỏi (Thêi gian lµm bµi 120 phót) Bµi 1: (2 ®iÓm) a, Cho A=(0,8 7+0 82).(1 ,25 − 1, 25)+31 ,64 B= (11, 81+8 , 19) , 02 : 11, 25 Trong hai sè A vµ B sè nµo lín h¬n vµ lín h¬n bao nhiªu lÇn ? b) Sè A=10 1998 − cã chia hÕt cho kh«ng ? Cã chia hÕt cho kh«ng ? C©u 2: (2 ®iÓm) Trên quãng đờng AB dài 31,5 km An từ A đến B, Bình từ B đến A Vận tốc An so víi B×nh lµ 2: §Õn lóc gÆp nhau, thêi gian An ®i so víi B×nh ®i lµ 3: Tính quãng đờng ngời tới lúc gặp ? C©u 3: a) Cho f ( x)=ax2 + bx+ c víi a, b, c lµ c¸c sè h÷u tØ Chøng tá r»ng: f (−2) f (3)≤ BiÕt r»ng 13 a+b+ 2c =0 b) Tìm giá trị nguyên x để biểu thức A= cã gi¸ trÞ lín nhÊt 6−x C©u 4: (3 ®iÓm) Cho ABC dùng tam gi¸c vu«ng c©n BAE; BAE = 900, B vµ E n»m ë hai nöa mÆt ph¼ng kh¸c bê AC Dùng tam gi¸c vu«ng c©n FAC, FAC = 90 F vµ C n»m ë hai nöa mÆt ph¼ng kh¸c bê AB a) Chøng minh r»ng: ABF = ACE b) FB EC C©u 5: (1 ®iÓm) T×m ch÷ sè tËn cïng cña 89 A=19 +2 96 (19) §Ò sè 10: đề thi học sinh giỏi (Thêi gian lµm bµi 120 phót) C©u 1: (2 ®iÓm) 3 + 1,5+1 −0 , 75 11 12 1890 a) TÝnh A= + : +115 5 2005 2,5+ −1 , 25 − ,625+ 0,5− − 11 12 1 1 1 b) Cho B= + + + + + 2004 + 2005 3 3 3 Chøng minh r»ng B< ( , 375− 0,3+ ) C©u 2: (2 ®iÓm) a) Chøng minh r»ng nÕu a = c th× a+3 b = c +3 d b d a − b c −3 d (giả thiết các tỉ số có nghĩa) b) T×m x biÕt: x −1 + x − − x − = x − 2004 2003 2002 2001 C©u 3: (2®iÓm) a) Cho ®a thøc f (x)=ax2 + bx+ c víi a, b, c lµ c¸c sè thùc BiÕt r»ng f(0); f(1); f(2) cã gi¸ trÞ nguyªn Chøng minh r»ng 2a, 2b cã gi¸ trÞ nguyªn b) Độ dài cạnh tam giác tỉ lệ với 2; 3; Ba đờng cao tơng ứng với ba cạnh đó tØ lÖ víi ba sè nµo ? C©u 4: (3 ®iÓm) Cho tam giác cân ABC (AB = AC0 Trên cạnh BC lấy điểm D, trên tia đối tia CB lấy điểm E cho BD = CE Các đờng thẳng vuông góc với BC kẻ từ D và E cắt AB, AC lÇn lît ë M, N Chøng minh r»ng: a) DM = EN b) §êng th¼ng BC c¾t MN t¹i trung ®iÓm I cña MN c) Đờng thẳng vuông góc với MN I luôn qua điểm cố định D thay đổi trªn c¹nh BC C©u 5: (1 ®iÓm) Tìm số tự nhiên n để phân số n− có giá trị lớn 2n − (20) §Ò sè 11: đề thi học sinh giỏi C©u 1: (2 ®iÓm) a) TÝnh: A= B= (Thêi gian lµm bµi 120 phót) (0 , 75 −0,6+ 37 +133 ): (117 + 1113 +2 ,75 − 2,2) (10 √17 , 21 +22 √30 ,25 ) :( √549 + √225 ) b) Tìm các giá trị x để: |x +3|+|x +1|=3 x C©u 2: (2 ®iÓm) a) Cho a, b, c > Chøng tá r»ng: M = a + b + c kh«ng lµ sè nguyªn a+b b+c c+ a b) Cho a, b, c tho¶ m·n: a + b + c = Chøng minh r»ng: ab+ bc+ ca ≤ C©u 3: (2 ®iÓm) a) T×m hai sè d¬ng kh¸c x, y biÕt r»ng tæng, hiÖu vµ tÝch cña chóng lÇn lît tØ lÖ nghÞch víi 35; 210 vµ 12 b) VËn tèc cña m¸y bay, « t« vµ tµu ho¶ tØ lÖ víi c¸c sè 10; vµ Thêi gian m¸y bay bay từ A đến B ít thời gian ô tô chạy từ A đến B là 16 Hỏi tàu hoả chạy từ A đến B bao lâu ? C©u 4: (3 ®iÓm) Cho cạnh hình vuông ABCD có độ dài là Trên các cạnh AB, AD lấy các điểm P, Q cho chu vi APQ b»ng Chøng minh r»ng gãc PCQ b»ng 450 C©u 5: (1 ®iÓm) Chøng minh r»ng: + + + + < 15 25 1985 20 §Ò sè 12: đề thi học sinh giỏi (Thêi gian lµm bµi 120 phót) Bµi 1: (2 ®iÓm) a) Chứng minh với số n nguyên dơng có: A= 5n (5n +1)− 6n (3 n+ 2)⋮ 91 b) T×m tÊt c¶ c¸c sè nguyªn tè P cho P2+ 14 lµ sè nguyªn tè Bµi 2: ( ®iÓm) a) T×m sè nguyªn n cho n2 +3 ⋮ n− bz −cy cx − az ay − bx = = a b c Chøng minh r»ng: a = b = c x y z b) BiÕt Bµi 3: (2 ®iÓm) An và Bách có số bu ảnh, số bu ảnh ngời cha đến 100 Số bu ảnh hoa cña An b»ng sè bu ¶nh thó rõng cña B¸ch + B¸ch nãi víi An NÕu t«i cho b¹n c¸c bu ¶nh thó rõng cña t«i th× sè bu ¶nh cña b¹n gÊp lÇn sè bu ¶nh cña t«i + An tr¶ lêi: cßn nÕu t«i cho b¹n c¸c bu ¶nh hoa cña t«i th× sè bu ¶nh cña t«i gÊp bèn lÇn sè bu ¶nh cña b¹n TÝnh sè bu ¶nh cña mçi ngêi (21) Bµi 4: (3 ®iÓm) Cho ABC có góc A 1200 Các đờng phân giác AD, BE, CF a) Chøng minh r»ng DE lµ ph©n gi¸c ngoµi cña ADB b) TÝnh sè ®o gãc EDF vµ gãc BED Bµi 5: (1 ®iÓm) T×m c¸c cÆp sè nguyªn tè p, q tho¶ m·n: 52 p +1997=5 p + q2 §Ò sè 13: đề thi học sinh giỏi (Thêi gian lµm bµi 120 phót) Bµi 1: (2 ®iÓm) (13 14 −2 275 −10 56 ) 230 251 + 46 34 (1103 +103 ): (12 13 −14 27 ) TÝnh: Bµi 2: (3 ®iÓm) a) Chøng minh r»ng: A=36 38+ 4133 chia hÕt cho 77 b) Tìm các số nguyên x để B=|x −1|+|x −2| đạt giá trị nhỏ c) Chøng minh r»ng: P(x) ¿ ax + bx +cx+ d cã gi¸ trÞ nguyªn víi mäi x nguyªn vµ chØ 6a, 2b, a + b + c vµ d lµ sè nguyªn Bµi 3: (2 ®iÓm) a) Cho tØ lÖ thøc a = c Chøng minh r»ng: b d ab a −b = cd c − d 2 vµ 2 a+b a +b = 2 c+ d c +d ( ) b) T×m tÊt c¶ c¸c sè nguyªn d¬ng n cho: 2n − chia hÕt cho Bµi 4: (2 ®iÓm) Cho cạnh hình vuông ABCD có độ dài là Trên các cạnh AB, AD lấy các điểm P, Q cho chu vi APQ b»ng Chøng minh r»ng gãc PCQ b»ng 450 Bµi 5: (1 ®iÓm) Chøng minh r»ng: a+2 b ⋮ 17 ⇔10 a+b ⋮ 17 (a, b Z ) §Ò sè 14: đề thi học sinh giỏi (Thêi gian lµm bµi 120 phót) Bµi 1: (2 ®iÓm) a) T×m sè nguyªn d¬ng a lín nhÊt cho 2004! chia hÕt cho 7a b) TÝnh 1 1 + + + .+ 2005 P= 2004 2003 2002 + + + + 2004 Bµi 2: (2 ®iÓm) x Cho y + z +t = y z t = = z +t + x t + x+ y x + y + z (22) chøng minh r»ng biÓu thøc sau cã gi¸ trÞ nguyªn P= x+ y y + z z +t t + x + + + z +t t+ x x+ y y+ z Bµi 3: (2 ®iÓm) Hai xe máy khởi hành cùng lúc từ A và B, cách 11 km để đến C Vận tèc cña ngêi ®i tõ A lµ 20 km/h VËn tèc cña ngêi ®i tõ B lµ 24 km/h Tính quãng đờng ngời đã Biết họ đến C cùng lúc và A, B, C thẳng hàng Bµi 4: (3 ®iÓm) Cho tam gi¸c nhän ABC KÎ AH BC (H BC) VÏ AE AB vµ AE = AB (E vµ C khác phía AC) Kẻ EM và FN cùng vuông góc với đờng thẳng AH (M, N AH) EF c¾t AH ë O Chøng minh r»ng O lµ trung ®iÓm cña EF Bµi 5: (1 ®iÓm) So s¸nh: 5255 vµ 2579 (23) §Ò sè 15: đề thi học sinh giỏi (Thêi gian lµm bµi 120 phót) C©u 1: (2 ®iÓm) TÝnh : 1 − + 39 51 A= 1 − + 52 68 ; B=512 − 512 512 512 512 − − − − 10 2 2 C©u 2: (2 ®iÓm) a) T×m x, y nguyªn biÕt: xy + 3x - y = x y z = = =x + y + z b) T×m x, y, z biÕt: z + y +1 x+ z +1 x+ y − C©u 3: (2 ®iÓm) a) Chøng minh r»ng: Víi n nguyªn d¬ng ta cã: chia hÕt cho 10 S=3 n+2 − 2n+2 +3 n −2 n (x, y, z ) b) T×m sè tù nhiªn x, y biÕt: x − 2004 ¿ =23 − y 7¿ C©u 4: (3 ®iÓm) Cho tam gi¸c ABC, AK lµ trung tuyÕn Trªn nöa mÆt ph¼ng kh«ng chøa B, bê lµ AC, kÎ tia Ax vu«ng gãc víi AC; trªn tia Ax lÊy ®iÓm M cho AM = AC Trªn nöa mÆt ph¼ng kh«ng chøa C, bê lµ AB, kÎ tia Ay vu«ng gãc víi AB vµ lÊy ®iÓm N thuéc Ay cho AN = AB LÊy ®iÓm P trªn tia AK cho AK = KP Chøng minh: a) AC // BP b) AK MN C©u 5: (1 ®iÓm) Cho a, b, c lµ sè ®o c¹nh cña mét tam gi¸c vu«ng víi c lµ sè ®o c¹nh huyÒn Chøng minh r»ng: a2 n +b 2n ≤ c 2n ; n lµ sè tù nhiªn lín h¬n §Ò sè 16: đề thi học sinh giỏi (Thêi gian lµm bµi 120 phót) C©u 1: (2 ®iÓm) TÝnh: 16 +3 19 A= : 24 14 −2 34 17 34 1 1 1 B= − − − − − − 54 108 180 270 378 ( ) C©u 2: ( 2, ®iÓm) 1) Tìm số nguyên m để: a) Gi¸ trÞ cña biÓu thøc m -1 chia hÕt cho gi¸ trÞ cña biÓu thøc 2m + b) |3 m− 1|<3 2) Chøng minh r»ng: 3n+ −2n +4 +3 n+ 2n chia hÕt cho 30 víi mäi n nguyªn d¬ng C©u 3: (2 ®iÓm) a) T×m x, y, z biÕt: (24) x y y z = = ; vµ x − y =−16 b) Cho f ( x)=ax2 + bx+ c Biết f(0), f(1), f(2) là các số nguyên Chøng minh f(x) lu«n nhËn gi¸ trÞ nguyªn víi mäi x nguyªn C©u 4: (2,5 ®iÓm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, đờng cao AH miền ngoài tam giác ABC ta vẽ các tam giác vuông cân ABE và ACF nhận A làm đỉnh góc vuông Kẻ EM, FN cïng vu«ng gãc víi AH (M, N thuéc AH) a) Chøng minh: EM + HC = NH b) Chøng minh: EN // FM C©u 5: (1 ®iÓm) Cho 2n +1 lµ sè nguyªn tè (n > 2) Chøng minh 2n − lµ hîp sè §Ò sè 17: đề thi học sinh giỏi C©u 1: (2 ®iÓm) TÝnh nhanh: (Thêi gian lµm bµi 120 phót) (1+ 2+ 3+ +99+100) A= B= ( ( 12 − 13 − 17 − 19 )( 63 1,2 −21 3,6) −2+3 − 4+ + 99− 100 √2 √2 − + (− ) 14 35 15 ) (101 +253 √ − √52 ) 57 C©u 2: (2 ®iÓm) a) TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc A=3 x − x +1 víi |x|= b) Tìm x nguyên để √ x+1 chia hết cho √ x −3 C©u 3: ( ®iÓm) a) T×m x, y, z biÕt x = y = z vµ x +2 y − z 2=1 64 216 b) Một ô tô phải từ A đến B thời gian dự định Sau đợc nửa quãng đờng ô tô tăng vận tốc lên 20 % đó đến B sớm dự định 15 phút Tính thời gian ô tô từ A đến B C©u 4: (3 ®iÓm) Cho tam giác ABC, trung tuyến AM Trên nửa mặt phẳng chứa đỉnh C bờ là đờng thẳng AB dựng đoạn AE vuông góc với AB và AE = AB Trên nửa mặt phẳng chứa đỉnh B bờ là đờng thẳng AC dựng đoạn AF vuông góc với AC và AF = AC Chứng minh rằng: a) FB = EC b) EF = AM c) AM EF C©u 5: (1 ®iÓm) Chøng tá r»ng: 1− + − + .+ − = + + + + 99 200 101 102 199 200 §Ò sè 18: đề thi học sinh giỏi (Thêi gian lµm bµi 120 phót) (25) C©u 1: (2 ®iÓm) 2 1 0,4 − + −0 ,25+ 11 − a) Thùc hiÖn phÐp tÝnh: M = 7 1,4 − + − , 875+0,7 11 1 1 1 b) TÝnh tæng: P=1 − − − − − − 10 15 28 21 C©u 2: (2 ®iÓm) 1) T×m x biÕt: |2 x+3|− 2|4 − x|=5 2) Trên quãng đờng Kép - Bắc giang dài 16,9 km, ngời thứ từ Kép đến Bắc Giang, ngời thứ hai từ Bắc Giang đến Kép Vận tốc ngời thứ so với ngời thứ hai b»ng 3: §Õn lóc gÆp vËn tèc ngêi thø nhÊt ®i so víi ngêi thø hai ®i lµ 2: Hái gÆp th× hä c¸ch B¾c Giang bao nhiªu km ? C©u 3: (2 ®iÓm) a) Cho ®a thøc f ( x)=ax2 + bx+ c (a, b, c nguyªn) CMR f(x) chia hết cho với giá trị x thì a, b, c chia hết cho b) CMR: nÕu a = c b d th× a2 +5 ac b 2+5 bd = a2 − ac b2 −5 bd (Giả sử các tỉ số có nghĩa) C©u 4: (3 ®iÓm) Cho tam giác ABC có AB < AC Gọi M là trung điểm BC, từ M kẻ đờng thẳng vu«ng gãc víi tia ph©n gi¸c cña gãc A, c¾t tia nµy t¹i N, c¾t tia AB t¹i E vµ c¾t tia AC t¹i F Chøng minh r»ng: a) AE = AF b) BE = CF c) AE= AB+ AC C©u 5: (1 ®iÓm) Đội văn nghệ khối gồm 10 bạn đó có bạn nam, bạn nữ Để chào mừng ngµy 30/4 cÇn tiÕt môc v¨n nghÖ cã b¹n nam, b¹n n÷ tham gia Hỏi có nhiều bao nhiêu cách lựa chọn để có bạn nh trên tham gia §Ò sè 19: đề thi học sinh giỏi (Thêi gian lµm bµi 120 phót) C©u 1: (2 ®iÓm) a) TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc: 11 − 15 −6 31 19 14 31 A= −1 93 50 1 + 12−5 6 1 1 > b) Chøng tá r»ng: B=1 − − − − .− 2 3 2004 2004 [ ( ( ) ) ( ) ] C©u 2: (2 ®iÓm) Cho ph©n sè: C= 3|x|+2 4|x|−5 (x Z) a) Tìm x Z để C đạt giá trị lớn nhất, tìm giá trị lớn đó (26) b) Tìm x Z để C là số tự nhiên C©u 3: (2 ®iÓm) Cho a = c b d Chøng minh r»ng: a+ b ¿ ¿ c +d ¿2 ¿ ¿ ab =¿ cd C©u 4: (3 ®iÓm) Cho tam gi¸c vu«ng c©n ABC (AB = AC), tia ph©n gi¸c cña c¸c gãc B vµ C c¾t AC vµ AB lÇn lît t¹i E vµ D a) Chøng minh r»ng: BE = CD; AD = AE b) Gäi I lµ giao ®iÓm cña BE vµ CD AI c¾t BC ë M, chøng minh r»ng c¸c MAB; MAC lµ tam gi¸c vu«ng c©n c) Từ A và D vẽ các đờng thẳng vuông góc với BE, các đờng thẳng này cắt BC lần lợt K và H Chứng minh KH = KC C©u 5: (1 ®iÓm) T×m sè nguyªn tè p cho: 2 p +1 ; 24 p +1 lµ c¸c sè nguyªn tè §Ò sè 20: đề thi học sinh giỏi C©u 1: (2 ®iÓm) a) Thùc hiÖn phÐp tÝnh: (Thêi gian lµm bµi 120 phót) 3 , 75− 0,6+ + 13 A= ; 11 11 , 75− 2,2+ + B=(−251 3+281)+3 251 −(1− 281) b) T×m c¸c sè nguyªn tè x, y cho: 51x + 26y = 2000 C©u 2: ( ®iÓm) a) Chøng minh r»ng: 2a - 5b + 6c ⋮ 17 nÕu a - 11b + 3c ⋮ b) BiÕt bz −cy =cx − az =ay − bx a b 17 (a, b, c Z) c a b c = = x y z Chøng minh r»ng: C©u 3: ( ®iÓm) Bây là 10 phút Hỏi sau ít bao lâu thì hai kim đồng hồ nằm đối diện trên đờng thẳng C©u 4: (2 ®iÓm) Cho ABC vu«ng c©n t¹i A Gäi D lµ ®iÓm trªn c¹nh AC, BI lµ ph©n gi¸c cña ABD, đờng cao IM BID cắt đờng vuông góc với AC kẻ từ C N TÝnh gãc IBN ? C©u 5: (2 ®iÓm) Số 2100 viết hệ thập phân tạo thành số Hỏi số đó có bao nhiêu chữ số ? (27) (28) §Ò sè 21: đề thi học sinh giỏi (Thêi gian lµm bµi 120 phót) Bµi 1: (2 ®iÓm) a) TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc 3 + 2,5+ −1 , 25 11 12 P=2005 : 5 1,5+ 1− ,75 − ,625+ 0,5 − − 11 12 ( , 375− 0,3+ ) b) Chøng minh r»ng: 19 + 2 + 2 + .+ 2 <1 2 3 10 C©u 2: (2 ®iÓm) a) Chøng minh r»ng víi mçi sè nguyªn d¬ng n th×: n+ n+1 n+ n+2 chia hÕt cho +3 +2 +2 b) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc: D=|2004 − x|+|2003 − x| C©u 3: (2 ®iÓm) Một ô tô phải từ A đến B thời gian dự định Sau đợc nửa quãng đờng ô tô tăng vận tốc lên 20 % đó đến B sớm dự định 10 phút Tính thời gian ô tô từ A đến B C©u 4: (3 ®iÓm) Cho tam gi¸c ABC, M lµ trung ®iÓm cña BC Trªn nöa mÆt ph¼ng kh«ng chøa C cã bờ AB, vẽ tia Ax vuông góc với AB, trên tia đó lấy điểm D cho AD = AB Trên nửa mặt phẳng không chứa B có bờ AC vẽ tia Ay vuông góc với AC Trên tia đó lấy điểm E cho AE = AC Chøng minh r»ng: a) DE = AM b) AM DE C©u 5: (1 ®iÓm) Cho n sè x1, x2, …, xn mçi sè nhËn gi¸ trÞ hoÆc -1 Chøng minh r»ng nÕu x x2 + x2 x3 + …+ xn x1 = th× n chia hÕt cho §Ò sè 22: đề thi học sinh giỏi (Thêi gian lµm bµi 120 phót) Bµi 1: (2 ®iÓm) a) TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc: ,75 ¿2 11 25 2 ([ ) :0 , 88+3 , 53] −¿ : 1325 ¿ 81 ,624 : − , 505 +125 A= ¿ ( ) b) Chøng minh r»ng tæng: S= Bµi 2: (2 ®iÓm) 1 1 1 − + − + n − − n + + 2002 − 2004 < 0,2 2 2 2 2 (29) a) T×m c¸c sè nguyªn x tho¶ m·n 2005=| x − 4|+|x −10|+|x +101|+|x +990|+| x+1000| b) Cho p > Chøng minh r»ng nÕu c¸c sè p, p + d , p + 2d lµ c¸c sè nguyªn tè th× d chia hÕt cho Bµi 3: (2 ®iÓm) a) §Ó lµm xong mét c«ng viÖc, mét sè c«ng nh©n cÇn lµm mét sè ngµy Mét b¹n häc sinh lËp luËn r»ng nÕu sè c«ng nh©n t¨ng thªm 1/3 th× thêi gian sÏ gi¶m ®i 1/3 Điều đó đúng hay sai ? vì ? b) Cho d·y tØ sè b»ng nhau: a+ b+c +d a+2 b+ c+ d a+ b+2 c+ d a+b+ c+2 d = = = a b c d a+b b+c c +d d +a M= + + + c+ d d +a a+b b+c TÝnh Bµi 4: (3 ®iÓm) Cho tam gi¸c nhän ABC, AB > AC ph©n gi¸c BD vµ CE c¾t t¹i I a) TÝnh c¸c gãc cña DIE nÕu gãc A = 600 b) Gọi giao điểm BD và CE với đờng cao AH ABC lần lợt là M và N Chøng minh BM > MN + NC Bµi 5: (1 ®iÓm) Cho z, y, z lµ c¸c sè d¬ng x y z Chøng minh r»ng: + + ≤ x + y + z y + z + x z+ x + y §Ò sè 23: đề thi học sinh giỏi (Thêi gian lµm bµi 120 phót) Bµi 1: (2 ®iÓm) a) T×m x biÕt: |x 2+|6 x − 2||=x +4 b) Tìm tổng các hệ số đa thức nhận đợc sau bỏ dấu ngoặc biểu thức: A(x) = 3+4 x+ x ¿2005 −4 x+ x ¿2004 ¿ ¿ Bµi 2: (2 ®iÓm) Ba đờng cao tam giác ABC có độ dài 4; 12; x biết x là số tự nhiªn T×m x ? Bµi 3: (2 ®iÓm) x y z t Cho = = = y + z +t z +t + x t + x+ y x + y + z CMR biÓu thøc sau cã gi¸ trÞ nguyªn: P= x+ y y + z z +t t + x + + + z +t t+ x x+ y y+ z Bµi 4: (3 ®iÓm) Cho tam gi¸c ABC vu«ng ë A cã gãc B = α Trªn c¹nh AC lÊy ®iÓm E cho gãc EBA= α Trên tia đối tia EB lấy điểm D cho ED = BC Chøng minh tam gi¸c CED lµ tam gi¸c c©n (30) Bµi 5: (1 ®iÓm) T×m c¸c sè a, b, c nguyªn d¬ng tho¶ m·n : a3 +3 a 2+5=5b vµ a+3=5c §Ò sè 24: đề thi học sinh giỏi (Thêi gian lµm bµi 120 phót) Bµi 1: (2 ®iÓm) a) TÝnh A=3 − 32+ 33 − 34 + .+ 32003 −32004 b) T×m x biÕt |x − 1|+|x +3|=4 Bµi 2: (2 ®iÓm) Chøng minh r»ng: x NÕu Th× y z = a+2 b+c a+b −c a −4 b+c a b c = = x +2 y + z x+ y − z x − y + z = Bµi 3: (2 ®iÓm) Hai xe máy khởi hành cùng lúc từ A và B, cách 11km để đến C (ba địa điểm A, B, C cùng trên đờng thẳng) Vận tốc ngời từ A là 20 km/h Vận tốc cña ngêi ®i tõ B lµ 24 km/h Tính quãng đờng ngời đã Biết họ đến C cùng lúc Bµi 4: (3 ®iÓm) Cho tam giác ABC có góc A khác 90 0, góc B và C nhọn, đờng cao AH Vẽ các điểm D, E cho AB lµ trung trùc cña HD, AC lµ trung trùc cña HE Gäi I, K lÇn lît lµ giao ®iÓm cña DE víi AB vµ AC TÝnh sè ®o c¸c gãc AIC vµ AKB ? Bµi 5: (1 ®iÓm) Cho x = 2005 TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc: x 2005 − 2006 x 2004 +2006 x 2003 −2006 x 2002 + − 2006 x2 +2006 x − §Ò sè 25: đề thi học sinh giỏi (Thêi gian lµm bµi 120 phót) C©u ( 2®) Cho: Chøng minh: ( a b c = = b c d a+ b+c a = b+c +d d ) C©u (1®) T×m A biÕt r»ng: A= a c b = = b+c a+b c +a (31) Câu (2đ) Tìm x ∈ Z để A Z và tìm giá trị đó a) A = x+ b) A = −2 x x −2 x+3 C©u (2®) T×m x: a) b) ( x+ 2) = 81 c) x + x+ = 650 |x − 3| = C©u (3®) Cho ABC vu«ng c©n t¹i A, trung tuyÕn AM E BC, BH,CK AE, (H,K AE) Chøng minh MHK vu«ng c©n §Ò sè 26: đề thi học sinh giỏi (Thêi gian lµm bµi 120 phót) C©u 1: (2®) x x Rót gän A= x x 20 C©u (2®) Ba lớp 7A,7B,7C có 94 học sinh tham gia trồng cây Mỗi học sinh lớp 7A trồng đợc cây, Mỗi học sinh lớp 7B trồng đợc cây, Mỗi học sinh lớp 7C trồng đợc cây, Hỏi lớp có bao nhiêu học sinh Biết số cây lớp trồng đợc nh C©u 3: (1,5®) 102006 53 Chøng minh r»ng lµ mét sè tù nhiªn C©u : (3®) Cho góc xAy = 600 vẽ tia phân giác Az góc đó Từ điểm B trên Ax vẽ đờng thẳng song song víi víi Ay c¾t Az t¹i C vÏ Bh Ay,CM Ay, BK AC.Chøng minh r»ng a, K lµ trung ®iÓm cña AC AC b, BH = c, KMC C©u (1,5 ®) Trong mét kú thi häc sinh giái cÊp HuyÖn, bèn b¹n Nam, B¾c, T©y, §«ng ®o¹t gi¶i 1,2,3,4 Biết câu câu dới đây đúng nửa và sai nửa: a, tây đạt giải 1, Bắc đạt giải b, Tây đạt giải 2, Đông đạt giải c, Nam đạt giải 2, Đông đạt giải Em hãy xác định thứ tự đúng giải cho các bạn §Ò sè 27: đề thi học sinh giỏi (Thêi gian lµm bµi 120 phót) Bài 1: (3 điểm): Tính (32) 2 3 18 (0, 06 : 0,38) : 19 4 a c Bài 2: (4 điểm): Cho c b chứng minh rằng: a2 c2 a b2 a2 b a 2 2 a a) b c b b) a c Bài 3:(4 điểm) Tìm x biết: a) x b) 15 x x 12 Bài 4: (3 điểm) Một vật chuyển động trên các cạnh hình vuông Trên hai cạnh đầu vật chuyển động với vận tốc 5m/s, trên cạnh thứ ba với vận tốc 4m/s, trên cạnh thứ tư với vận tốc 3m/s Hỏi độ dài cạnh hình vuông biết tổng thời gian vật chuyển động trên bốn cạnh là 59 giây Bài 5: (4 điểm) Cho tam giác ABC cân A có A 20 , vẽ tam giác DBC (D nằm tam giác ABC) Tia phân giác góc ABD cắt AC M Chứng minh: e) Tia AD là phân giác góc BAC f) AM = BC 2 Bài 6: (2 điểm): Tìm x, y biết: 25 y 8( x 2009) - §Ò sè 28: đề thi học sinh giỏi (Thêi gian lµm bµi 120 phót) Bµi 1 1 96.101 TÝnh 1.6 6.11 11.16 1 x y Bµi T×m gi¸ trÞ nguyªn d¬ng cña x vµ y, cho: Bµi T×m hai sè d¬ng biÕt: tæng, hiÖu vµ tÝch cña chóng tû lÖ nghÞch víi c¸c sè 20, 140 vµ Bµi T×m x, y tho¶ m·n: x x y x = Bµi Cho tam gi¸c ABC cã gãc ABC = 50 ; gãc BAC = 700 Ph©n gi¸c gãc ACB c¾t AB t¹i M Trªn MC lÊy ®iÓm N cho gãc MBN = 40 Chøng minh: BN = MC (33) §Ò sè 29: đề thi học sinh giỏi (Thêi gian lµm bµi 120 phót) a 4 C©u 1: T×m tÊt c¶ c¸c sè nguyªn a biÕt 9 C©u 2: T×m ph©n sè cã tö lµ biÕt nã lín h¬n 10 vµ nhá h¬n 11 Câu 3: Trong số x, y, z có số dơng , số âm và số Hỏi số đó thuộc loại nµo biÕt: x y3 y2 z C©u 4: T×m c¸c cÆp sè (x; y) biÕt: x y a, ; xy=84 1+3y 1+5y 1+7y b, 12 5x 4x C©u 5: TÝnh tæng: 3n S 1 14 (n Z* ) Câu 6: Cho tam giác ABC có  < 90 Vẽ phía ngói tam giác đó hai đoạn thẳng AD vu«ng gãc vµ b»ng AB; AE vu«ng gãc vµ b»ng AC d Chøng minh: DC = BE vµ DC BE e Gọi N là trung điểm DE Trên tia đối tia NA lấy M cho NA = NM Chøng minh: AB = ME vµ ABC EMA f Chøng minh: MA BC §Ò sè 30: đề thi học sinh giỏi (Thêi gian lµm bµi 120 phót) C©u 1: So s¸nh c¸c sè: A 1 2 250 a B =251 b 2300 vµ 3200 C©u 2: T×m ba sè a, b, c biÕt a tØ lÖ thuËn víi vµ 11; b vµ c tØ lÖ nghÞch víi vµ vµ 5a 3b + 2c = 164 C©u 3: TÝnh nhanh: 1 761 4 417 762 139 762 417.762 139 Câu Cho tam giác ACE cho B và E hai nửa mặt phẳng đối có bờ AC a Chøng minh tam gi¸c AED c©n b TÝnh sè ®o gãc ACD? (34) Tuyển tập các đề thi học sinh giái líp Mét sè kinh nghiÖm nhá vÒ t×m chö sè tËn cïng vµ øng dông vµo c¸c bµi to¸n chøng minh chia hÕt cña c¸c líp 6,7 I phÇn më ®Çu : T×m chö sè tËn cïng cña mét luû thõa đây là bài toán tơng đối phức tạp học sinh các lớp 6,7 nhng lại là bài toán lí thú , nó tạo cho học sinh lòng say mê khám phá từ đó các em ngµy cµng yeu m«n to¸n h¬n cã nh÷ng bµi cã sè mñ rÊt lín tëng nh lµ m×nh kh«ng thÓ giãi đợc Nhng nhờ phát và nắm bắt đợc qui luật , vận dungj qui luật đó các em tự giãi đợc và tự nhiên thấy mình làm đợc việc vô cùng lớn lao từ đó gieo vào trí tuệ c¸c em kh¶ n¨ng kh¸m ph¸ , kh¶ n¨ng tù nghiªn cøu Tuy lµ khã nhng chóng ta híng dÈn c¸c em mét c¸ch tõ tõ cã hÖ thèng ,l« rÝch vµ chÆt chÎ th× c¸c em vÈn tiÕp fhu tèt ®©y lµ mét kinh nghiÖm nhá mµ t«i muèn tr×nh bµy vµ trao đổi cùng các bạn II Néi dung cô thÓ : (35) LÝ thuyÕt vÒ t×m chö sè tËn cïng : phÇn nµy rÊt quan träng , cÇn lÝ gi¶i cho häc sinh cách kỉ lởng ,đầy đủ ( X ) n = A mét sè cã tËn cïng lµ luû thõa bËc n cã tËn cïng vÈn lµ ( X ) n = B mét sè cã tËn cïng lµ luû thõa bËc n cã tËn cïng vÈn lµ ( X ) n = C mét sè cã tËn cïng lµ luû thõa bËc n cã tËn cïng vÈn lµ ( X ) n = D mét sè cã tËn cïng lµ luû thõa bËc n cã tËn cïng vÈn lµ ch¾n X *a = F víi a ch¼n : mét sè cã tËn cïng lµ nh©n víi mmét sè sÎ cã chö sè tËn cïng lµ x *a = N víi a lÎ : mét sè cã tËn cïng lµ nh©n víi mét sè lÎ sÎ cã tËn cïng lµ Qua c¸c c«ng thøc trªn ta cã quy t¾c sau : Mét sè tn nhiªn cã chö sè tËn cïng lµ : (0,1,5,6) nâng lên luỷ thừa với số mủ tự nhiên thì có chử số tự nhiên không thay đổi Kết luận trên là chìa khoá để giả các bài toán tìm chử số tận cùng luỷ thừa C¸c bµi to¸n c¬ b¶n Bµi to¸n : T×m chö sè tËn cïng cña c¸c luû thõa sau a) 2100 ; b) 3100 ; c) 4100 d) 5100 ; e) 6100 ; f) 7100 g) 8100 ; 9100 Ta nhận thấy các luỷ thừa 5100 , 6100 thuộc dạng đả trình bày trên cßn l¹i c¸c luû thõa mµ c¬ sè lµ 2, , , , , Muèn gi·i c¸c bµi to¸n nµy th× ta phai ®a chóng vÒ mét d¹ng c¬ b¶n trªn thùc chất có đa hai dạng đó là : ( X ) n = M , ( X ) n = N gi¶i bµi to¸n a) 2100 = 24*25 = ( ( ) 4)25 = (16)25 = A b) 3100 = 34*25 = ( ( ) 4)25 = (81)25 = B c) 4100 = 44*50 =( ( ) 2)50 = (16)50 = C d) 7100 = 74*25 =( ( ) 4)25 = 240125 = D1 e) 8100 = 84*25 = ( ( ) 4)25 = 409625 = E f) 9100 = 92*50 = ( ( ) 2)50 = 8150 = F Bµi to¸n : t×m chö sè tËn cïng cña c¸c sè sau : a) 2101 ; b) 3101 ; c) 41o1 , d) 7101 ; e) 8101 ; f) 9101 Gi¶i bµi to¸n _ nhËn xÐt ®Çu tiªn sè mñ ( 101 kh«ng chia hÕt cho vµ ) _ Ta viÕt 101 = 4.25 +1 101 = 50 +1 _ ¸p dông c«ng thøc am+n = am.an ta cã : a) 2101 = 24.25+1 = 2100 = Y = M b) 3101 = 3100+1 = 3100 = B = Y c) 41o1 = 4100 +1 = 4100 = C = k d) 7101 = 7100+1 = 7100 = D1 = F e) 8101 = 8100+1 = 8100 = E = N8 101 100 +1 100 f) = = = F1 = M9 Mét sè bµi to¸n phøc t¹p h¬n Bµi to¸n 3: T×m chö sè tËn cïng cña c¸c luû thõa sau : a) 12921997 ; b) 33331997 ; c) 12341997 ; d) 12371997 ; e) 12381997 ; f) 25691997 (36) Bµi gi¶i NhËn xÐt quan träng : Thùc chÊt chö sè tËn cïng cña luû thõa bËc n cña métsè tù nhiªn phụ thuộc vào chử số tận cùng số tự nhiên đó mà thôi (cơ số) Nh bài toá thùc chÊt lµ bµi to¸n a) 12921997 = 12924 499 +1= (12924)499 1292 = A 1292=M b) 33331997 = 33334 499 +1 =(33334)499 +1 3333 = ( B1) 499 3333 = D c) 12341997 = 12344 499 +1 = (12344)499 1234 = ( C )499 1234 = G d) 12371997 = 12374 499 +1 = (12374) 499 1237 = D1 ¿ ¿ 499 .1237 = X vËn dông vµo c¸c bµi to¸n chøng minh chia hÕt ¸p dông dÊu hiÖu chia hÕt Ta dÓ dµng nhËn thÊy : NÕu hai sè cã chö sè tËn cïng gièng th× thùc hiÖn phÐp trõ sÎ cã chö sè tËn cïng lµ ta sÎ cã c¸c bµi to¸n chøng minh chia hÕt cho { 2,5,10 } NÕu mét sè cã tËn cïng lµ vµ mét sè cã tËn cïng lµ ch¼ng h¹n ta sÎ cã bµi to¸n chøng minh tổng hai số đó chia hết cho (vì chử số tận cùng tổng là 4) C¸c bµi to¸n cô thÓ : H¶y chøng minh a) 12921997 + 33331997 ⋮ Theo bµi to¸n trªn ta cã 12921997 = M 33331997 = D nh vËy tæng cña hai sè nµy sÎ cã tËn cïng lµ ⇒ 12921997 + 33331997 ⋮ b) Chøng minh 16281997 + 12921997 ⋮ 10 Ap dông qui t¾c t×m chö sè tËn cïng ta cã 16281997 sÎ cã tËn cïng lµ M 12921997 SÎ Cã tËn cïng lµ N Nh vËy 16281997 + 12921997 ⋮ 10 (v× chö sè tËn cïng cña tæng nµy sÎ lµ 0) Ta củng có thể vận dung hiệu hai số tích hai số để các bài toán chøng minh t¬ng tù III Kết luận : Trên đây tôi đã trình bày phần vấn đề tìm chử số tận cùng mét luû thõa vµ nh÷ng øng dông cña nã bµi to¸n chøng minh chia hÕt tËp hîp sè tù nhiªn Trong năm học qua tôi đã trực tiếp hớng dẩn cho số học sinh các em tỏ thích thú và xem đó nh là khám phá chính các em với cách đặt vấn đề nh trên các em đã tự đề đợc và có nhiều bài hay Cách đặt vấn đề cung nh trình bày nội sẻ không tránh khỏi phần sai sót mong các đồng nghiệp góp ý chân thành (37) đề thi Ô-lim -pic huyện M«n To¸n Líp N¨m häc 2006-2007 (Thêi gian lµm bµi 120 phót) Bµi T×m gi¸ trÞ n nguyªn d¬ng: n 16 2 n ; a) b) 27 < 3n < 243 Bµi Thùc hiÖn phÐp tÝnh: (38) ( 1 1 49 ) 4.9 9.14 14.19 44.49 89 Bµi a) T×m x biÕt: |2 x+3|=x +2 b) Tìm giá trị nhỏ A = |x − 2006|+|2007 − x| Khi x thay đổi Bài Hiện hai kim đồng hồ 10 Sau ít bao lâu thì kim đồng hồ nằm đối diện trên đờng thẳng Bài Cho tam giác vuông ABC ( A = 1v), đờng cao AH, trung tuyến AM Trên tia đối tia MA lấy điểm D cho DM = MA Trên tia đối tia CD lấy điểm I cho CI = CA, qua I vẽ đờng thẳng song song với AC cắt đờng thẳng AH E Chứng minh: AE = BC §¸p ¸n to¸n Bµi T×m gi¸ trÞ n nguyªn d¬ng: (4 ®iÓm mçi c©u ®iÓm) n 16 2 n ; a) => 24n-3 = 2n => 4n – = n => n = b) 27 < 3n < 243 => 33 < 3n < 35 => n = Bµi Thùc hiÖn phÐp tÝnh: (4 ®iÓm) ( 1 1 49 ) 4.9 9.14 14.19 44.49 89 1 1 1 1 (1 49) ( ) 44 49 12 = 9 14 14 19 1 (12.50 25) 5.9.7.89 ( ) 89 5.4.7.7.89 28 = 49 Bµi (4 ®iÓm mçi c©u ®iÓm) a) T×m x biÕt: |2 x+3|=x +2 Ta cã: x + => x - + NÕu x + NÕu - - th× |2 x+3|=x +2 => 2x + = x + => x = - (Tho¶ m·n) x < - Th× |2 x+3|=x +2 => - 2x - = x + => x = - (Tho¶ m·n) + NÕu - > x Kh«ng cã gi¸ trÞ cña x tho¶ m·n (39) b) Tìm giá trị nhỏ A = |x − 2006|+|2007 − x| Khi x thay đổi + NÕu x < 2006 th×: A = - x + 2006 + 2007 – x = - 2x + 4013 Khi đó: - x > -2006 => - 2x + 4013 > – 4012 + 4013 = => A > + NÕu 2006 x 2007 th×: A = x – 2006 + 2007 – x = + NÕu x > 2007 th× A = x - 2006 - 2007 + x = 2x – 4013 Do x > 2007 => 2x – 4013 > 4014 – 4013 = => A > Vậy A đạt giá trị nhỏ là 2006 x 2007 Bài Hiện hai kim đồng hồ 10 Sau ít bao lâu thì kim đồng hồ nằm đối diện trên đờng thẳng (4 điểm mỗi) Gọi x, y là số vòng quay kim phút và kim 10giờ đến lúc kim đối trên đờng thẳng, ta có: x – y = (ứng với từ số 12 đến số trên đông hồ) vµ x : y = 12 (Do kim phót quay nhanh gÊp 12 lÇn kim giê) x 12 x y x−y 1 = => = = = :11= y 12 11 33 Do đó: => x = 12 ( vòng) => x= (giê) 33 11 Vậy thời gian ít để kim đồng hồ từ 10 đến lúc nằm đối diện trên đờng thẳng là 11 giê Bài Cho tam giác vuông ABC ( A = 1v), đờng cao AH, trung tuyến AM Trên tia đối tia MA lấy điểm D cho DM = MA Trên tia đối tia CD lấy điểm I cho CI = CA, qua I vẽ đờng thẳng song song với AC cắt đờng thẳng AH E Chứng minh: AE = BC (4 điểm mçi) §êng th¼ng AB c¾t EI t¹i F Δ ABM = Δ DCM v×: AM = DM (gt), MB = MC (gt), E AMB = DMC (®®) => BAM = CDM F I A B H M =>FB // ID => ID AC Vµ FAI = CIA (so le trong) (1) IE // AC (gt) => FIA = CAI (so le trong) (2) Tõ (1) vµ (2) => Δ CAI = Δ FIA (AI chung) => IC = AC = AF (3) (40) vµ E FA = 1v MÆt kh¸c EAF = BAH (®®), BAH = ACB ( cïng phô ABC) => EAF = ACB Tõ (3), (4) vµ (5) => Δ AFE = Δ CAB =>AE = BC (4) (5) BÀI TẬP VỀ CÁC ĐẠI LƯỢNG TỈ LỆ Ba đơn vị kinh doanh góp vốn theo tỉ lệ : : Hỏi đơn vị chia bao nhiêu tiền tổng số tiền lãi là 350 000 000 đ và tiền lãi chia theo tỉ lệ thuận với số vốn đóng góp Hai nhà hình chữ nhật có chiều dài Nền nhà thứ có chiều rộng là mét, nhà thứ hai có chiều rộng là 3,5 mét Để lát hết nhà thứ nhấtngười ta dùng 600 viên gạch hoa hình vuông Hỏi phải dùng bao nhiêu viên gạch cùng loại để lát hết nhà thứ hai? Khi tổng kết cuối năm học người ta thấy số học sinh giỏi trường phân bố các khối 6,7,8,9theo tỉ lệ 1,5 : 1,1 : 1,3 : 1,2 Hỏi số học sinh giỏi khối lớp, biết khối nhiều khối là học sinh giỏi Ba đội máy san đất làm khối lượng công việc Đội thứ nhất, thứ hai, thứ ba hoàn thành công việc ngày, ngày, ngày Hỏi đội có máy, biết đội thứ có nhiều đội thứ hai là máy và suất các máy Với thời gian để người thợ lành nghề làm 11 sản phẩm thì người thợ học nghề làm sản phẩm Hỏi người thợ học việc phải dùng bao nhiêu thời gian để hoàn thành khối lượng công việc mà người thợ lành nghề làm 56 giờ? Một vật chuyển động trên các cạnh hình vuông Trên hai cạnh đầu vật chuyển động với vận tốc 5m/s, trên cạnh thứ ba với vận tốc 4m/s, trên cạnh thứ tư với vận tốc 3m/s Hỏi độ dài cạnh hình vuông biết tổng số thời gian vật chuyển động trên cạnh là 59s BÀI TẬP HÌNH HỌC Cho góc xOz và yOz kề bù Ot và Ot’ là phân giác hai góc xOy và yOz từ điểm M trên Ot hạ MH Ox ( H Ox ) Trên tia Oz lấy điểm N cho ON = MH Đường vuông góc kẻ từ N cắt tia Ot’ K Tính số đo góc KM^O ? Cho tam giác ABC có B^ = 300 , C^ = 200.Đường trung trực cùa AC cắt BC E cắt BA F.Chứng minh : FA = FE (41) Cho tam giác ABC tia phân giác góc B và góc C cắt O Qua O kẻ đường thẳng song song với BC cắt AB D và AC E Chứng minh : DE = BD + EC Cho tam giác ABD có B = D Kẻ AH vuông góc với BD (H BD ) trên tia đối tia BA lấy BE = BH, đường thẳng EH cắt AD F Chứng minh : FH = FA = FD Cho tam giác cân ABC (AB = AC) trên tia đối tia CA lấy điểm D a) Chứng minh : ABD = CBD + CDB b) Giả sử A = 300, ABD = 900, hãy tính góc CBD MỘT SỐ BÀI TOÁN KHÓ Tìm x, y, biết : a) (x – 1)2 + (y + 2)2 = b) |x +2005| + | y +1| = Trong chạy đua tiếp sức 100m ( Mỗi đội tham gia gồm vận động viên, VĐV chạy xong 100m truyền gậy tiếp sức cho VĐV Tổng số thời gian chạy VĐV là thành tích đội, thời gian chạy đội nào càng ít thì thành tích càng cao ) Giả sử đội tuyển gồm : chó, mèo, gà, vịt có vận tốc tỉ lệ với 10, 8, 4, Hỏi thời gian chạy đội tuyển là ? giây Biết vịt chạy hết 80 giây? x 3 Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn : − y = §Ò sè 31: đề thi học sinh giỏi (Thêi gian lµm bµi 120 phót) Bài (3đ): 1, Tính: 1 2003 2004 2005 5 P = 2003 2004 2005 2 2002 2003 2004 3 2002 2003 2004 2, Biết: 13 + 23 + + 103 = 3025 Tính: S = 23 + 43 + 63 + + 203 x x 0, 25 xy x2 y 3, Cho: A = x ; y Tính giá trị A biết là số nguyên âm lớn Bài (1đ): (42) Tìm x biết: 3x + 3x + + 3x + = 117 Bài (1đ): Một thỏ chạy trên đường mà hai phần ba đường băng qua đồng cỏ và đoạn đường còn lại qua đầm lầy Thời gian thỏ chạy trên đồng cỏ nửa thời gian chạy qua đầm lầy Hỏi vận tốc thỏ trên đoạn đường nào lớn ? Tính tỉ số vận tốc thỏ trên hai đoạn đường ? Bài (2đ): Cho ∆ABC nhọn Vẽ phía ngoài ∆ABC các ∆ ABD và ACE Gọi M là giao điểm BE và CD Chứng minh rằng: 1, ∆ABE = ∆ADC 2, BMC 120 Bài (3đ): Cho ba điểm B, H, C thẳng hàng, BC = 13 cm, BH = cm, HC = cm T H vẽ tia Hx vuông góc với đường thẳng BC Lấy A thuộc tia Hx cho HA = cm 1, ∆ABC là ∆ gì ? Chứng minh điều đó 2, Trên tia HC lấy điểm D cho HD = HA Từ D vẽ đường thẳng song song với AH cắt AC E Chứng minh: AE = AB §Ò sè 32 đề thi học sinh giỏi (Thêi gian lµm bµi 120 phót) Bài (4đ): Cho các đa thức: A(x) = 2x5 – 4x3 + x2 – 2x + B(x) = x5 – 2x4 + x2 – 5x + C(x) = x4 + 4x3 + 3x2 – 8x + 1, Tính M(x) = A(x) – 2B(x) + C(x) 16 2, Tính giá trị M(x) x = 0, 25 3, Có giá trị nào x để M(x) = không ? Bài (4đ): 1, Tìm ba số a, b, c biết: (43) 3a = 2b; 5b = 7c và 3a + 5b – 7c = 60 2, Tìm x biết: 2x x x Bài (4đ): Tìm giá trị nguyên m và n để biểu thức 1, P = m có giá trị lớn 8 n 2, Q = n có giá trị nguyên nhỏ Bài (5đ): Cho tam giác ABC có AB < AC; AB = c, AC = b Qua M là trung điểm BC kẻ đường vuông góc với đường phân giác góc A, cắt các đường thẳng AB, AC D, E 1, Chứng minh BD = CE 2, Tính AD và BD theo b, c Bài (3đ): Cho ∆ABC cân A, BAC 100 D là điểm thuộc miền ∆ABC cho DBC 100 , DCB 200 Tính góc ADB ? §Ò sè 33: đề thi học sinh giỏi (Thêi gian lµm bµi 120 phót) Bài (3đ): Tính: 3 1 1 1, 1 2, (63 + 62 + 33) : 13 1 1 1 1 3, 10 90 72 56 42 30 20 12 Bài (3đ): a b c 1, Cho b c a và a + b + c ≠ 0; a = 2005 Tính b, c (44) a b c d 2, Chứng minh từ hệ thức a b c d ta có hệ thức: a c b d Bài (4đ): Độ dài ba cạnh tam giác tỉ lệ với 2; 3; Ba chiều cao tương ứng với ba cạnh đó tỉ lệ với ba số nào ? Bài (3đ): Vẽ đồ thị hàm số: x ; x 0 y = x ; x Bài (3đ): Chứng tỏ rằng: A = 75 (42004 + 42003 + + 42 + + 1) + 25 là số chia hết cho 100 Bài (4đ): Cho tam giác ABC có góc A = 60 Tia phân giác góc B cắt AC D, tia phân giác góc C cắt AB E Các tia phân giác đó cắt I Chứng minh: ID = IE (45) §Ò sè 34: đề thi học sinh giỏi (Thêi gian lµm bµi 120 phót) Bài (5đ): 1, Tìm n N biết (33 : 9)3n = 729 2, Tính : A= | (√ ) | + − Bài (3đ): Cho a,b,c a c R và a,b,c = − − 0,(4)+ − − | | thoả mãn b2 = ac Chứng minh rằng: a+2007 b ¿ ¿ b+ 2007 c ¿2 ¿ ¿ ¿ Bài (4đ): Ba đội công nhân làm công việc có khối lượng Thời gian hoàn thành công việc đội І, ІІ, ІІІ là 3, 5, ngày Biêt đội ІІ nhiều đội ІІІ là người và suất công nhân là Hỏi đội có bao nhiêu công nhân ? Câu (6đ): Cho ∆ABC nhọn Vẽ phía ngoài ∆ABC các ∆ ABD và ACE 1, Chứng minh: BE = DC 2, Gọi H là giao điểm BE và CD Tính số đo góc BHC Bài (2đ): p Cho m, n N và p là số nguyên tố thoả mãn: m−1 = Chứng minh : p2 = n + m+n p §Ò sè 35: (46) đề thi học sinh giỏi (Thêi gian lµm bµi 120 phót) Bµi 1: (2 ®iÓm) a, Cho A=(0,8 7+0 82).(1 ,25 − 1, 25)+31 ,64 B= (11, 81+8 , 19) , 02 : 11, 25 Trong hai sè A vµ B sè nµo lín h¬n vµ lín h¬n bao nhiªu lÇn ? b) Sè A=10 1998 − cã chia hÕt cho kh«ng ? Cã chia hÕt cho kh«ng ? C©u 2: (2 ®iÓm) Trên quãng đờng AB dài 31,5 km An từ A đến B, Bình từ B đến A Vận tốc An so víi B×nh lµ 2: §Õn lóc gÆp nhau, thêi gian An ®i so víi B×nh ®i lµ 3: Tính quãng đờng ngời tới lúc gặp ? C©u 3: a) Cho f ( x)=ax2 + bx+ c víi a, b, c lµ c¸c sè h÷u tØ Chøng tá r»ng: f (−2) f (3)≤ BiÕt r»ng 13 a+b+ 2c =0 b) Tìm giá trị nguyên x để biểu thức A= cã gi¸ trÞ lín nhÊt 6−x C©u 4: (3 ®iÓm) Cho ABC dùng tam gi¸c vu«ng c©n BAE; BAE = 900, B vµ E n»m ë hai nöa mÆt ph¼ng kh¸c bê AC Dùng tam gi¸c vu«ng c©n FAC, FAC = 90 F vµ C n»m ë hai nöa mÆt ph¼ng kh¸c bê AB a) Chøng minh r»ng: ABF = ACE b) FB EC C©u 5: (1 ®iÓm) T×m ch÷ sè tËn cïng cña 89 A=19 +29 96 (47) §Ò sè 36: đề thi học sinh giỏi (Thêi gian lµm bµi 120 phót C©u 1: (2 ®iÓm) 3 , 375− 0,3+ + 1,5+1 −0 , 75 11 12 1890 a) TÝnh A= + : +115 5 2005 2,5+ −1 , 25 − ,625+ 0,5− − 11 12 1 1 1 b) Cho B= + + + + + 2004 + 2005 3 3 3 Chøng minh r»ng B< ( ) C©u 2: (2 ®iÓm) a) Chøng minh r»ng nÕu a = c th× a+3 b = c +3 d b d a − b c −3 d (giả thiết các tỉ số có nghĩa) b) T×m x biÕt: x −1 + x − − x − = x − 2004 2003 2002 2001 C©u 3: (2®iÓm) a) Cho ®a thøc f (x)=ax2 + bx+ c víi a, b, c lµ c¸c sè thùc BiÕt r»ng f(0); f(1); f(2) cã gi¸ trÞ nguyªn Chøng minh r»ng 2a, 2b cã gi¸ trÞ nguyªn b) Độ dài cạnh tam giác tỉ lệ với 2; 3; Ba đờng cao tơng ứng với ba cạnh đó tØ lÖ víi ba sè nµo ? C©u 4: (3 ®iÓm) Cho tam giác cân ABC (AB = AC0 Trên cạnh BC lấy điểm D, trên tia đối tia CB lấy điểm E cho BD = CE Các đờng thẳng vuông góc với BC kẻ từ D và E cắt AB, AC lÇn lît ë M, N Chøng minh r»ng: a) DM = EN b) §êng th¼ng BC c¾t MN t¹i trung ®iÓm I cña MN c) Đờng thẳng vuông góc với MN I luôn qua điểm cố định D thay đổi trªn c¹nh BC C©u 5: (1 ®iÓm) Tìm số tự nhiên n để phân số n− có giá trị lớn 2n − (48) §Ò sè 37: đề thi học sinh giỏi (Thêi gian lµm bµi 120 phót C©u 1: (2 ®iÓm) a) TÝnh: A= B= (0 , 75 −0,6+ 37 +133 ): (117 + 1113 +2 ,75 − 2,2) (10 √17 , 21 +22 √30 ,25 ) :( √549 + √225 ) b) Tìm các giá trị x để: |x +3|+|x +1|=3 x C©u 2: (2 ®iÓm) a) Cho a, b, c > Chøng tá r»ng: M = a + b + c kh«ng lµ sè nguyªn a+b b+c c+ a b) Cho a, b, c tho¶ m·n: a + b + c = Chøng minh r»ng: ab+ bc+ ca ≤ C©u 3: (2 ®iÓm) a) T×m hai sè d¬ng kh¸c x, y biÕt r»ng tæng, hiÖu vµ tÝch cña chóng lÇn lît tØ lÖ nghÞch víi 35; 210 vµ 12 b) VËn tèc cña m¸y bay, « t« vµ tµu ho¶ tØ lÖ víi c¸c sè 10; vµ Thêi gian m¸y bay bay từ A đến B ít thời gian ô tô chạy từ A đến B là 16 Hỏi tàu hoả chạy từ A đến B bao lâu ? C©u 4: (3 ®iÓm) Cho cạnh hình vuông ABCD có độ dài là Trên các cạnh AB, AD lấy các điểm P, Q cho chu vi APQ b»ng Chøng minh r»ng gãc PCQ b»ng 450 C©u 5: (1 ®iÓm) Chøng minh r»ng: + + + + < 15 25 1985 20 (49) §Ò sè 38: đề thi học sinh giỏi (Thêi gian lµm bµi 120 phót Bµi 1: (2 ®iÓm) a) Chứng minh với số n nguyên dơng có: A= 5n (5n +1)− 6n (3 n+ 2)⋮ 91 b) T×m tÊt c¶ c¸c sè nguyªn tè P cho P2+ 14 lµ sè nguyªn tè Bµi 2: ( ®iÓm) a) T×m sè nguyªn n cho n2 +3 ⋮ n− b) BiÕt bz −cy =cx − az =ay − bx a b Chøng minh r»ng: c a b c = = x y z Bµi 3: (2 ®iÓm) An và Bách có số bu ảnh, số bu ảnh ngời cha đến 100 Số bu ảnh hoa cña An b»ng sè bu ¶nh thó rõng cña B¸ch + B¸ch nãi víi An NÕu t«i cho b¹n c¸c bu ¶nh thó rõng cña t«i th× sè bu ¶nh cña b¹n gÊp lÇn sè bu ¶nh cña t«i + An tr¶ lêi: cßn nÕu t«i cho b¹n c¸c bu ¶nh hoa cña t«i th× sè bu ¶nh cña t«i gÊp bèn lÇn sè bu ¶nh cña b¹n TÝnh sè bu ¶nh cña mçi ngêi Bµi 4: (3 ®iÓm) Cho ABC có góc A 1200 Các đờng phân giác AD, BE, CF a) Chøng minh r»ng DE lµ ph©n gi¸c ngoµi cña ADB b) TÝnh sè ®o gãc EDF vµ gãc BED Bµi 5: (1 ®iÓm) T×m c¸c cÆp sè nguyªn tè p, q tho¶ m·n: 52 p +1997=5 p + q2 (50) §Ò sè 39: đề thi học sinh giỏi (Thêi gian lµm bµi 120 phót Bµi 1: (2 ®iÓm) TÝnh: (13 14 −2 275 −10 56 ) 230 251 + 46 34 (1103 +103 ): (12 13 −14 27 ) Bµi 2: (3 ®iÓm) a) Chøng minh r»ng: A=36 38+ 4133 chia hÕt cho 77 b) Tìm các số nguyên x để B=|x −1|+|x −2| đạt giá trị nhỏ c) Chøng minh r»ng: P(x) ¿ ax + bx +cx+ d cã gi¸ trÞ nguyªn víi mäi x nguyªn vµ chØ 6a, 2b, a + b + c vµ d lµ sè nguyªn Bµi 3: (2 ®iÓm) a) Cho tØ lÖ thøc a = c b ab a2 −b = cd c − d d vµ Chøng minh r»ng: a+b a2 +b = 2 c+ d c +d ( ) b) T×m tÊt c¶ c¸c sè nguyªn d¬ng n cho: 2n − chia hÕt cho Bµi 4: (2 ®iÓm) Cho cạnh hình vuông ABCD có độ dài là Trên các cạnh AB, AD lấy các điểm P, Q cho chu vi APQ b»ng Chøng minh r»ng gãc PCQ b»ng 450 Bµi 5: (1 ®iÓm) Chøng minh r»ng: a+2 b ⋮ 17 ⇔10 a+b ⋮ 17 (a, b Z ) (51) §Ò sè 40: đề thi học sinh giỏi (Thêi gian lµm bµi 120 phót) Bµi 1: (2 ®iÓm) a) T×m sè nguyªn d¬ng a lín nhÊt cho 2004! chia hÕt cho 7a b) TÝnh 1 1 + + + .+ 2005 P= 2004 2003 2002 + + + + 2004 Bµi 2: (2 ®iÓm) x y z t = = = Cho y + z +t z +t + x t + x+ y x + y + z chøng minh r»ng biÓu thøc sau cã gi¸ trÞ nguyªn P= x+ y y + z z +t t + x + + + z +t t+ x x+ y y+ z Bµi 3: (2 ®iÓm) Hai xe máy khởi hành cùng lúc từ A và B, cách 11 km để đến C Vận tèc cña ngêi ®i tõ A lµ 20 km/h VËn tèc cña ngêi ®i tõ B lµ 24 km/h Tính quãng đờng ngời đã Biết họ đến C cùng lúc và A, B, C thẳng hàng Bµi 4: (3 ®iÓm) Cho tam gi¸c nhän ABC KÎ AH BC (H BC) VÏ AE AB vµ AE = AB (E vµ C khác phía AC) Kẻ EM và FN cùng vuông góc với đờng thẳng AH (M, N AH) EF c¾t AH ë O Chøng minh r»ng O lµ trung ®iÓm cña EF Bµi 5: (1 ®iÓm) So s¸nh: 5255 vµ 2579 (52) §Ò sè 41: đề thi học sinh giỏi (Thêi gian lµm bµi 120 phót) C©u 1: (2 ®iÓm) TÝnh : 1 − + 39 51 A= 1 − + 52 68 ; B=512 − 512 512 512 512 − − − − 10 2 2 C©u 2: (2 ®iÓm) a) T×m x, y nguyªn biÕt: xy + 3x - y = x y z = = b) T×m x, y, z biÕt: z + y +1 x+ z +1 x+ y − =x + y + z (x, y, z ) C©u 3: (2 ®iÓm) a) Chøng minh r»ng: Víi n nguyªn d¬ng ta cã: chia hÕt cho 10 S=3 n+2 − 2n+2 +3 n −2 n 2 b) T×m sè tù nhiªn x, y biÕt: x − 2004 ¿ =23 − y 7¿ C©u 4: (3 ®iÓm) Cho tam gi¸c ABC, AK lµ trung tuyÕn Trªn nöa mÆt ph¼ng kh«ng chøa B, bê lµ AC, kÎ tia Ax vu«ng gãc víi AC; trªn tia Ax lÊy ®iÓm M cho AM = AC Trªn nöa mÆt ph¼ng kh«ng chøa C, bê lµ AB, kÎ tia Ay vu«ng gãc víi AB vµ lÊy ®iÓm N thuéc Ay cho AN = AB LÊy ®iÓm P trªn tia AK cho AK = KP Chøng minh: a) AC // BP b) AK MN C©u 5: (1 ®iÓm) Cho a, b, c lµ sè ®o c¹nh cña mét tam gi¸c vu«ng víi c lµ sè ®o c¹nh huyÒn Chøng minh r»ng: 2n 2n 2n ; n lµ sè tù nhiªn lín h¬n a +b ≤ c (53) §Ò sè 42: đề thi học sinh giỏi (Thêi gian lµm bµi 120 phót) C©u 1: (2 ®iÓm) TÝnh: 16 +3 19 A= : 24 14 −2 34 17 34 1 1 1 B= − − − − − − 54 108 180 270 378 ( ) C©u 2: ( 2, ®iÓm) 1) Tìm số nguyên m để: a) Gi¸ trÞ cña biÓu thøc m -1 chia hÕt cho gi¸ trÞ cña biÓu thøc 2m + b) |3 m− 1|<3 2) Chøng minh r»ng: 3n+ −2n +4 +3 n+ 2n chia hÕt cho 30 víi mäi n nguyªn d¬ng C©u 3: (2 ®iÓm) a) T×m x, y, z biÕt: x y y z = ; = 2 vµ x − y =−16 b) Cho f ( x)=ax2 + bx+ c Biết f(0), f(1), f(2) là các số nguyên Chøng minh f(x) lu«n nhËn gi¸ trÞ nguyªn víi mäi x nguyªn C©u 4: (2,5 ®iÓm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, đờng cao AH miền ngoài tam giác ABC ta vẽ các tam giác vuông cân ABE và ACF nhận A làm đỉnh góc vuông Kẻ EM, FN cïng vu«ng gãc víi AH (M, N thuéc AH) a) Chøng minh: EM + HC = NH b) Chøng minh: EN // FM C©u 5: (1 ®iÓm) Cho 2n +1 lµ sè nguyªn tè (n > 2) Chøng minh 2n − lµ hîp sè (54) §Ò sè 43: đề thi học sinh giỏi (Thêi gian lµm bµi 120 phót) C©u 1: (2 ®iÓm) TÝnh nhanh: (1+ 2+ 3+ +99+100) A= B= ( ( 12 − 13 − 17 − 19 )( 63 1,2 −21 3,6) −2+3 − 4+ + 99− 100 √2 √2 − + (− ) 14 35 15 ) (101 +253 √ − √52 ) 57 C©u 2: (2 ®iÓm) a) TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc A=3 x − x +1 víi b) Tìm x nguyên để √ x+1 chia hết cho √ x −3 |x|= C©u 3: ( ®iÓm) a) T×m x, y, z biÕt x = y = z vµ x +2 y − z 2=1 64 216 b) Một ô tô phải từ A đến B thời gian dự định Sau đợc nửa quãng đờng ô tô tăng vận tốc lên 20 % đó đến B sớm dự định 15 phút Tính thời gian ô tô từ A đến B C©u 4: (3 ®iÓm) Cho tam giác ABC, trung tuyến AM Trên nửa mặt phẳng chứa đỉnh C bờ là đờng thẳng AB dựng đoạn AE vuông góc với AB và AE = AB Trên nửa mặt phẳng chứa đỉnh B bờ là đờng thẳng AC dựng đoạn AF vuông góc với AC và AF = AC Chứng minh rằng: a) FB = EC b) EF = AM c) AM EF C©u 5: (1 ®iÓm) Chøng tá r»ng: 1− + − + .+ − = + + + + 99 200 101 102 199 200 (55) §Ò sè 44: đề thi học sinh giỏi (Thêi gian lµm bµi 120 phót) C©u 1: (2 ®iÓm) 2 1 0,4 − + −0 ,25+ 11 − a) Thùc hiÖn phÐp tÝnh: M = 7 1,4 − + − , 875+0,7 11 1 1 1 b) TÝnh tæng: P=1 − − − − − − 10 15 28 21 C©u 2: (2 ®iÓm) 1) T×m x biÕt: |2 x+3|− 2|4 − x|=5 2) Trên quãng đờng Kép - Bắc giang dài 16,9 km, ngời thứ từ Kép đến Bắc Giang, ngời thứ hai từ Bắc Giang đến Kép Vận tốc ngời thứ so với ngời thứ hai b»ng 3: §Õn lóc gÆp vËn tèc ngêi thø nhÊt ®i so víi ngêi thø hai ®i lµ 2: Hái gÆp th× hä c¸ch B¾c Giang bao nhiªu km ? C©u 3: (2 ®iÓm) a) Cho ®a thøc f ( x)=ax2 + bx+ c (a, b, c nguyªn) CMR f(x) chia hết cho với giá trị x thì a, b, c chia hết cho b) CMR: nÕu a = c b d th× a2 +5 ac b 2+5 bd = 2 a − ac b −5 bd (Giả sử các tỉ số có nghĩa) C©u 4: (3 ®iÓm) Cho tam giác ABC có AB < AC Gọi M là trung điểm BC, từ M kẻ đờng thẳng vu«ng gãc víi tia ph©n gi¸c cña gãc A, c¾t tia nµy t¹i N, c¾t tia AB t¹i E vµ c¾t tia AC t¹i F Chøng minh r»ng: a) AE = AF b) BE = CF c) AE= AB+ AC C©u 5: (1 ®iÓm) Đội văn nghệ khối gồm 10 bạn đó có bạn nam, bạn nữ Để chào mừng ngµy 30/4 cÇn tiÕt môc v¨n nghÖ cã b¹n nam, b¹n n÷ tham gia Hỏi có nhiều bao nhiêu cách lựa chọn để có bạn nh trên tham gia (56) §Ò sè 45: đề thi học sinh giỏi (Thêi gian lµm bµi 120 phót) C©u 1: (2 ®iÓm) a) TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc: A= [ 11 − 15 −6 31 19 ] ( ) −1 14 31 ( 93 ) 50 1 + ( 12−5 ) 6 1 1 > b) Chøng tá r»ng: B=1 − − − − .− 2 3 2004 2004 C©u 2: (2 ®iÓm) Cho ph©n sè: C= 3|x|+2 4|x|−5 (x Z) a) Tìm x Z để C đạt giá trị lớn nhất, tìm giá trị lớn đó b) Tìm x Z để C là số tự nhiên C©u 3: (2 ®iÓm) Cho a = c b d Chøng minh r»ng: a+ b ¿ ¿ c +d ¿2 ¿ ¿ ab =¿ cd C©u 4: (3 ®iÓm) Cho tam gi¸c vu«ng c©n ABC (AB = AC), tia ph©n gi¸c cña c¸c gãc B vµ C c¾t AC vµ AB lÇn lît t¹i E vµ D a) Chøng minh r»ng: BE = CD; AD = AE b) Gäi I lµ giao ®iÓm cña BE vµ CD AI c¾t BC ë M, chøng minh r»ng c¸c MAB; MAC lµ tam gi¸c vu«ng c©n c) Từ A và D vẽ các đờng thẳng vuông góc với BE, các đờng thẳng này cắt BC lần lợt K và H Chứng minh KH = KC C©u 5: (1 ®iÓm) T×m sè nguyªn tè p cho: 2 p +1 ; 24 p +1 lµ c¸c sè nguyªn tè (57) §Ò sè 46: đề thi học sinh giỏi C©u 1: (2 ®iÓm) a) Thùc hiÖn phÐp tÝnh: (Thêi gian lµm bµi 120 phót) 3 , 75− 0,6+ + 13 A= ; 11 11 , 75− 2,2+ + B=(−251 3+281)+3 251 −(1− 281) b) T×m c¸c sè nguyªn tè x, y cho: 51x + 26y = 2000 C©u 2: ( ®iÓm) a) Chøng minh r»ng: 2a - 5b + 6c ⋮ b) BiÕt bz −cy =cx − az =ay − bx a b Chøng minh r»ng: 17 nÕu a - 11b + 3c ⋮ 17 (a, b, c Z) c a b c = = x y z C©u 3: ( ®iÓm) Bây là 10 phút Hỏi sau ít bao lâu thì hai kim đồng hồ nằm đối diện trên đờng thẳng C©u 4: (2 ®iÓm) Cho ABC vu«ng c©n t¹i A Gäi D lµ ®iÓm trªn c¹nh AC, BI lµ ph©n gi¸c cña ABD, đờng cao IM BID cắt đờng vuông góc với AC kẻ từ C N TÝnh gãc IBN ? C©u 5: (2 ®iÓm) Số 2100 viết hệ thập phân tạo thành số Hỏi số đó có bao nhiêu chữ số ? (58) §Ò sè 47: đề thi học sinh giỏi Bµi 1: (2 ®iÓm) a) TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc (Thêi gian lµm bµi 120 phót) 3 + 2,5+ −1 , 25 11 12 P=2005 : 5 1,5+ 1− ,75 − ,625+ 0,5 − − 11 12 ( , 375− 0,3+ ) b) Chøng minh r»ng: 19 + 2 + 2 + .+ 2 <1 2 3 10 C©u 2: (2 ®iÓm) a) Chøng minh r»ng víi mçi sè nguyªn d¬ng n th×: n+ n+1 n+ n+2 chia hÕt cho +3 +2 +2 b) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc: D=|2004 − x|+|2003 − x| C©u 3: (2 ®iÓm) Một ô tô phải từ A đến B thời gian dự định Sau đợc nửa quãng đờng ô tô tăng vận tốc lên 20 % đó đến B sớm dự định 10 phút Tính thời gian ô tô từ A đến B C©u 4: (3 ®iÓm) Cho tam gi¸c ABC, M lµ trung ®iÓm cña BC Trªn nöa mÆt ph¼ng kh«ng chøa C cã bờ AB, vẽ tia Ax vuông góc với AB, trên tia đó lấy điểm D cho AD = AB Trên nửa mặt phẳng không chứa B có bờ AC vẽ tia Ay vuông góc với AC Trên tia đó lấy điểm E cho AE = AC Chøng minh r»ng: a) DE = AM b) AM DE C©u 5: (1 ®iÓm) Cho n sè x1, x2, …, xn mçi sè nhËn gi¸ trÞ hoÆc -1 Chøng minh r»ng nÕu x x2 + x2 x3 + …+ xn x1 = th× n chia hÕt cho (59) §Ò sè 48: đề thi học sinh giỏi Bµi 1: (2 ®iÓm) a) TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc: (Thêi gian lµm bµi 120 phót) 2 ,75 ¿ 11 25 [( ) ] :0 , 88+3 , 53 −¿ : 13 25 ¿ 81 ,624 : − , 505 +125 A= ¿ ( ) b) Chøng minh r»ng tæng: S= 1 1 1 − + − + n − − n + + 2002 − 2004 < 0,2 2 2 2 2 Bµi 2: (2 ®iÓm) a) T×m c¸c sè nguyªn x tho¶ m·n 2005=| x − 4|+|x −10|+|x +101|+|x +990|+| x+1000| b) Cho p > Chøng minh r»ng nÕu c¸c sè p, p + d , p + 2d lµ c¸c sè nguyªn tè th× d chia hÕt cho Bµi 3: (2 ®iÓm) a) §Ó lµm xong mét c«ng viÖc, mét sè c«ng nh©n cÇn lµm mét sè ngµy Mét b¹n häc sinh lËp luËn r»ng nÕu sè c«ng nh©n t¨ng thªm 1/3 th× thêi gian sÏ gi¶m ®i 1/3 Điều đó đúng hay sai ? vì ? b) Cho d·y tØ sè b»ng nhau: TÝnh a+ b+c +d a+2 b+ c+ d a+ b+2 c+ d a+b+ c+2 d = = = a b c d a+b b+c c +d d +a M= + + + c+ d d +a a+b b+c Bµi 4: (3 ®iÓm) Cho tam gi¸c nhän ABC, AB > AC ph©n gi¸c BD vµ CE c¾t t¹i I a) TÝnh c¸c gãc cña DIE nÕu gãc A = 600 b) Gọi giao điểm BD và CE với đờng cao AH ABC lần lợt là M và N Chøng minh BM > MN + NC Bµi 5: (1 ®iÓm) Cho z, y, z lµ c¸c sè d¬ng x Chøng minh r»ng: y z + ≤ x + y + z y + z + x z+ x + y + (60) §Ò sè 49: đề thi học sinh giỏi (Thêi gian lµm bµi 120 phót) Bµi 1: (2 ®iÓm) a) T×m x biÕt: |x 2+|6 x − 2||=x +4 b) Tìm tổng các hệ số đa thức nhận đợc sau bỏ dấu ngoặc biểu thức: A(x) = 3+4 x+ x ¿2005 −4 x+ x ¿2004 ¿ ¿ Bµi 2: (2 ®iÓm) Ba đờng cao tam giác ABC có độ dài 4; 12; x biết x là số tự nhiªn T×m x ? Bµi 3: (2 ®iÓm) x y z t Cho = = = y + z +t z +t + x t + x+ y x + y + z CMR biÓu thøc sau cã gi¸ trÞ nguyªn: P= x+ y y + z z +t t + x + + + z +t t+ x x+ y y+ z Bµi 4: (3 ®iÓm) Cho tam gi¸c ABC vu«ng ë A cã gãc B = α Trªn c¹nh AC lÊy ®iÓm E cho gãc EBA= α Trên tia đối tia EB lấy điểm D cho ED = BC Chøng minh tam gi¸c CED lµ tam gi¸c c©n Bµi 5: (1 ®iÓm) T×m c¸c sè a, b, c nguyªn d¬ng tho¶ m·n : a3 +3 a 2+5=5b vµ a+3=5c (61) §Ò sè 40: đề thi học sinh giỏi (Thêi gian lµm bµi 120 phót) Bµi 1: (2 ®iÓm) a) TÝnh A=3 − 32+ 33 − 34 + .+ 32003 −32004 b) T×m x biÕt |x − 1|+|x +3|=4 Bµi 2: (2 ®iÓm) Chøng minh r»ng: x NÕu Th× y z = a+2 b+c a+b −c a −4 b+c a b c = = x +2 y + z x+ y − z x − y + z = Bµi 3: (2 ®iÓm) Hai xe máy khởi hành cùng lúc từ A và B, cách 11km để đến C (ba địa điểm A, B, C cùng trên đờng thẳng) Vận tốc ngời từ A là 20 km/h Vận tốc cña ngêi ®i tõ B lµ 24 km/h Tính quãng đờng ngời đã Biết họ đến C cùng lúc Bµi 4: (3 ®iÓm) Cho tam giác ABC có góc A khác 90 0, góc B và C nhọn, đờng cao AH Vẽ các điểm D, E cho AB lµ trung trùc cña HD, AC lµ trung trùc cña HE Gäi I, K lÇn lît lµ giao ®iÓm cña DE víi AB vµ AC TÝnh sè ®o c¸c gãc AIC vµ AKB ? Bµi 5: (1 ®iÓm) Cho x = 2005 TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc: x 2005 − 2006 x 2004 +2006 x 2003 −2006 x 2002 + − 2006 x2 +2006 x − §Ò sè 50: đề thi học sinh giỏi C©u ( 2®) Cho: Chøng minh: ( (Thêi gian lµm bµi 120 phót) a b c = = b c d a+ b+c a = b+c +d d ) C©u (1®) T×m A biÕt r»ng: (62) A= a = c = b b+c a+b c +a Câu (2đ) Tìm x ∈ Z để A Z và tìm giá trị đó a) A = x+ b) A = −2 x x −2 x+3 C©u (2®) T×m x: a) b) ( x+ 2) = 81 c) x + x+ = 650 |x − 3| = C©u (3®) Cho ABC vu«ng c©n t¹i A, trung tuyÕn AM E BC, BH,CK AE, (H,K AE) Chøng minh MHK vu«ng c©n §Ò thi häc sinh giái to¸n líp C©u 1: (2®) x x Rót gän A= x x 20 C©u (2®) Ba lớp 7A,7B,7C có 94 học sinh tham gia trồng cây Mỗi học sinh lớp 7A trồng đợc cây, Mỗi học sinh lớp 7B trồng đợc cây, Mỗi học sinh lớp 7C trồng đợc cây, Hỏi lớp có bao nhiêu học sinh Biết số cây lớp trồng đợc nh C©u 3: (1,5®) 102006 53 Chøng minh r»ng lµ mét sè tù nhiªn C©u : (3®) Cho góc xAy = 600 vẽ tia phân giác Az góc đó Từ điểm B trên Ax vẽ đờng thẳng song song víi víi Ay c¾t Az t¹i C vÏ Bh Ay,CM Ay, BK AC.Chøng minh r»ng a, K lµ trung ®iÓm cña AC AC b, BH = c, KMC C©u (1,5 ®) Trong mét kú thi häc sinh giái cÊp HuyÖn, bèn b¹n Nam, B¾c, T©y, §«ng ®o¹t gi¶i 1,2,3,4 Biết câu câu dới đây đúng nửa và sai nửa: a, tây đạt giải 1, Bắc đạt giải b, Tây đạt giải 2, Đông đạt giải c, Nam đạt giải 2, Đông đạt giải Em hãy xác định thứ tự đúng giải cho các bạn §Ò sè 51: đề thi học sinh giỏi (Thêi gian lµm bµi 120 phót) Bài 1: (3 điểm): Tính 2 3 18 (0, 06 : 0,38) : 19 4 (63) a c Bài 2: (4 điểm): Cho c b chứng minh rằng: a2 c2 a b2 a2 b a 2 2 a a) b c b b) a c Bài 3:(4 điểm) Tìm x biết: a) x b) 15 x x 12 Bài 4: (3 điểm) Một vật chuyển động trên các cạnh hình vuông Trên hai cạnh đầu vật chuyển động với vận tốc 5m/s, trên cạnh thứ ba với vận tốc 4m/s, trên cạnh thứ tư với vận tốc 3m/s Hỏi độ dài cạnh hình vuông biết tổng thời gian vật chuyển động trên bốn cạnh là 59 giây Bài 5: (4 điểm) Cho tam giác ABC cân A có A 20 , vẽ tam giác DBC (D nằm tam giác ABC) Tia phân giác góc ABD cắt AC M Chứng minh: g) Tia AD là phân giác góc BAC h) AM = BC 2 Bài 6: (2 điểm): Tìm x, y biết: 25 y 8( x 2009) - ĐÁP ÁN ĐỀ THI Bài 1: điểm 2 3 18 (0, 06 : 0,38) : 19 4 = 15 17 38 19 109 (100 : 100 ) : 19 = 109 17 19 38 50 15 50 : 19 = 109 323 19 250 250 : = 109 13 = 10 19 = 0.5đ 1đ 0.5 0.5đ (64) 506 253 = 30 19 95 0.5đ Bài 2: a c a) Từ c b suy c a.b a c a a.b 2 đó b c b a.b a ( a b) a = b( a b) b 0.5đ 0.5đ 0.5đ a2 c2 a b2 c b 2 2 b) Theo câu a) ta có: b c b a c a b2 c2 b b2 c b 1 2 2 a từ a c a a c 2 0.5đ 1đ b c a c b a 2 a c a hay b2 a2 b a 2 a a c 0.5đ 0.5đ Bài 3: a) x x 0.5đ 1 x 2 x 2 x 5 1 x 2 x 2 x 5 hay Với 1 11 x x x 5 hay Với 1đ 0.25đ 0.25đ b) 15 x x 12 x x 13 ( )x 14 0.5đ 0.5đ (65) 49 13 x 20 14 130 x 343 0.5đ 0.5đ Bài 4: Cùng đoạn đường, cận tốc và thời gian là hai đại lượng tỉ lệ nghịch 0.5đ Gọi x, y, z là thời gian chuyển động với các vận tốc 5m/s ; 4m/s ; 3m/s 5.x 4 y 3.z và x x y z 59 Ta có: 1đ x y z x x y z 59 60 1 1 1 59 hay: 5 60 0.5đ Do đó: x 60 12 ; x 60 15 ; x 60 20 0.5đ 0.5đ Vậy cạnh hình vuông là: 5.12 = 60 (m) Bài 5: -Vẽ hình, ghi GT, KL đúng 0.5đ a) Chứng minh ADB = ADC (c.c.c) 1đ DAB DAC suy 0 Do đó DAB 20 : 10 b) ABC cân A, mà A 20 (gt) nên A 20 D ABC (1800 200 ) : 800 DBC 600 ABC nên Tia BD nằm hai tia BA và BC suy ABD 800 600 200 Tia BM là phân giác góc ABD ABM 100 nên M C B Xét tam giác ABM và BAD có: AB cạnh chung ; BAM ABD 20 ; ABM DAB 10 Vậy: ABM = BAD (g.c.g) suy AM = BD, mà BD = BC (gt) nên AM = BC Bài 6: 25 y 8(x 2009) Ta có 8(x-2009)2 = 25- y2 8(x-2009)2 + y2 =25 (*) 0.5đ (66) Vì y 25 , suy (x-2009)2 = (x-2009)2 =1 nên (x-2009) Với (x -2009)2 =1 thay vào (*) ta có y2 = 17 (loại) Với (x- 2009)2 = thay vào (*) ta có y2 =25 suy y = (do y ) Từ đó tìm (x=2009; y=5) 0.5đ 0.5đ 0.5đ §Ò sè 52: đề thi học sinh giỏi (Thêi gian lµm bµi 120 phót) 1 1 96.101 Bµi TÝnh 1.6 6.11 11.16 1 x y Bµi T×m gi¸ trÞ nguyªn d¬ng cña x vµ y, cho: Bµi T×m hai sè d¬ng biÕt: tæng, hiÖu vµ tÝch cña chóng tû lÖ nghÞch víi c¸c sè 20, 140 vµ Bµi T×m x, y tho¶ m·n: x x y x = Bµi Cho tam gi¸c ABC cã gãc ABC = 50 ; gãc BAC = 700 Ph©n gi¸c gãc ACB c¾t AB t¹i M Trªn MC lÊy ®iÓm N cho gãc MBN = 40 Chøng minh: BN = MC §Ò sè 52: đề thi học sinh giỏi (Thêi gian lµm bµi 120 phót) Bài 1:(4 điểm) a) Thực phép tính: A 212.35 46.92 3 510.73 255.492 125.7 59.143 Chứng minh : Với số nguyên dương n thì : 3n2 2n2 3n 2n chia hết cho 10 Bài 2:(4 điểm) Tìm x biết: x a 3, 5 (67) x 7 b x 1 x 7 x 11 0 Bài 3: (4 điểm) : : e) Số A chia thành số tỉ lệ theo Biết tổng các bình phương ba số đó 24309 Tìm số A a c a c2 a 2 f) Cho c b Chứng minh rằng: b c b Bài 4: (4 điểm) Cho tam giác ABC, M là trung điểm BC Trên tia đối của tia MA lấy điểm E cho ME = MA Chứng minh rằng: a) AC = EB và AC // BE b) Gọi I là điểm trên AC ; K là điểm trên EB cho AI = EK Chứng minh ba điểm I , M , K thẳng hàng H BC c) Từ E kẻ EH BC Biết HBE = 50o ; MEB =25o Tính HEM và BME Bài 5: (4 điểm) Cho tam giác ABC cân A có A 20 , vẽ tam giác DBC (D nằm tam giác ABC) Tia phân giác góc ABD cắt AC M Chứng minh: i) Tia AD là phân giác góc BAC j) AM = BC ……………………………… Hết ……………………………… (68) ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN Bài 1:(4 điểm): Đáp án Thang điểm a) (2 điểm) 212.35 46.9 10 510.73 255.49 212.35 212.34 510.73 A 12 12 9 3 3 125.7 14 212.34 1 510.73 12 1 59.73 23 0,5 điểm 0,5 điểm 0,5 điểm 10 212.34.2 12 59.73.9 10 0,5 điểm b) (2 điểm) n + - Với số nguyên dương n ta có: 3n 2 2n 2 3n 2n = 3n 2 3n n 2 2n n n = (3 1) (2 1) n n n n = 10 5 3 10 10 = 10( 3n -2n) n2 n2 n n Vậy 10 với n là số nguyên dương 0,5 điểm điểm 0,5 điểm Bài 2:(4 điểm) Đáp án Thang điểm a) (2 điểm) 0,5 điểm 0,5 điểm 0,5 điểm 0,5 điểm (69) x 4 16 3, x 5 5 x 14 5 0,5 điểm 0,5 điểm x 12 x 2 x 1 0,5 điểm x217 3 x 21 3 0,5 điểm b) (2 điểm) x 7 x 1 x 7 x 11 0 x 10 0 10 x 1 x 0 x 7 x 7 x 1 x x 10 1 ( x 7)10 0 x 7010 x7 x 8 ( x 7) Bài 3: (4 điểm) Đáp án Thang điểm a) (2,5 điểm) Gọi a, b, c là ba số chia từ số A : : Theo đề bài ta có: a : b : c = (1) và a2 +b2 +c2 = 24309 (2) 0,5 điểm 0,5 điểm a b c k a k;b k; c Từ (1) = k 0,5 điểm (70) ) 24309 25 16 36 Do đó (2) k = 180 và k = 180 k2( 0,5 điểm + Với k =180, ta được: a = 72; b = 135; c = 30 Khi đó ta có số A = a + b + c = 237 + Với k = 180 , ta được: a = 72 ; b = 135 ; c = 30 Khi đó ta có só A = 72 +( 135 ) + ( 30 ) = 237 b) (1,5 điểm) 0,5 điểm 0,5 điểm a c Từ c b suy c a.b a c a a.b 2 đó b c b a.b a ( a b) a b ( a b ) b = 0,5 điểm 0,5 điểm Bài 4: (4 điểm) Đáp án Thang điểm 0,5 điểm Vẽ hình A I M B C H K E a/ (1điểm) Xét AMC và EMB có : AM = EM (gt ) AMC = EMB (đối đỉnh ) BM = MC (gt ) AMC Nên : = EMB (c.g.c ) AC = EB 0,5 điểm (71) Vì AMC = EMB MAC = MEB (2 góc có vị trí so le tạo đường thẳng AC và EB cắt đường thẳng AE ) Suy AC // BE 0,5 điểm b/ (1 điểm ) Xét AMI và EMK có : AM = EM (gt ) MAI = MEK ( vì AMC EMB ) AI = EK (gt ) Nên AMI EMK ( c.g.c ) 0,5 điểm Suy AMI = EMK Mà AMI + IME = 180o ( tính chất hai góc kề bù ) EMK + IME = 180o Ba điểm I;M;K thẳng hàng 0,5 điểm c/ (1,5 điểm ) Trong tam giác vuông BHE ( H = 90o ) có HBE = 50o HBE = 90o - HBE = 90o - 50o =40o 0,5 điểm HEM = HEB - MEB = 40o - 25o = 15o 0,5 điểm BME là góc ngoài đỉnh M HEM Nên BME = HEM + MHE = 15o + 90o = 105o ( định lý góc ngoài tam giác ) 0,5 điểm Bài 5: (4 điểm) (72) A 20 M D C B -Vẽ hình a) Chứng minh ADB = ADC (c.c.c) suy DAB DAC 0 Do đó DAB 20 : 10 điểm 0,5 điểm 0,5 điểm 0 b) ABC cân A, mà A 20 (gt) nên ABC (180 20 ) : 80 600 ABC nên DBC 0 Tia BD nằm hai tia BA và BC suy ABD 80 60 20 Tia BM là phân giác góc ABD nên ABM 10 0 0,5 điểm 0,5 điểm Xét tam giác ABM và BAD có: AB cạnh chung ; BAM ABD 20 ; ABM DAB 10 Vậy: ABM = BAD (g.c.g) suy AM = BD, mà BD = BC (gt) nên AM = BC 0,5 điểm Lưu ý: Nếu học sinh làm theo cách khác đúng đạt điểm tối đa §Ò sè 53: đề thi học sinh giỏi (Thêi gian lµm bµi 120 phót) C©u ( ®iÓm) Thùc hiÖn phÐp tÝnh : (73) 1 − − +1 :(− −1) 3 a [( ) ( ) ] b 3 ( )2003 − −1 − 12 − ()( ) ()( ) C©u ( ®iÓm) a Tìm số nguyên a để a +a+3 là số nguyên a+1 b T×m sè nguyªn x, y cho x- 2xy + y = C©u ( ®iÓm) a Chøng minh r»ng nÕu a + c = 2b vµ 2bd = c(b + d) th× a = c víi b, d kh¸c b d b Cần bao nhiêu số hạng tổng S = + + +… để đợc số có ba chữ sè gièng C©u ( ®iÓm) Cho tam giác ABC có góc B 45 , góc C 1200 Trên tia đối tia CB lấy ®iÓm D cho CD = 2CB TÝnh gãc ADE C©u ( 1®iÓm) T×m mäi sè nguyªn tè tho¶ m·n : x2- 2y2 = §¸p ¸n chÊm To¸n C© Híng dÉn chÊm u 1.a Thực theo bớc đúng kết -2 cho điểm tối đa 1.b Thực theo bớc đúng kết 14,4 cho điểm tối đa §iÓm 1§iÓm 1§iÓm (74) 2.a 0,25 Ta cã : a +a+3 = a(a+ 1)+3 =a+ a+1 a+1 v× a lµ sè nguyªn nªn a+1 a2 +a+3 a+1 lµ sè nguyªn nguyên hay a+1 là ớc đó ta có bảng sau : a+1 -3 -1 a -4 -2 lµ sè a+1 0,25 2 VËy víi a { − 4,− 2,0,2 } th× a +a+3 lµ sè nguyªn a+1 2.b HoÆc 0,25 0,25 0,25 ¿ 1− y =−1 x −1=1 ⇒ ¿ x=1 y=1 ¿{ ¿ VËy cã cÆp sè x, y nh trªn tho¶ m·n ®iÒu kiÖn ®Çu bµi V× a + c = 2b nªn tõ 2bd = c(b + d) Ta cã: (a + c)d =c(b + d) Hay ad = bc Suy a = c ( §PCM) b 3.b 0,25 Tõ : x- 2xy + y = Hay (1- 2y)(2x - 1) = -1 0,25 V× x,y lµ c¸c sè nguyªn nªn (1 - 2y)vµ (2x - 1) lµ c¸c sè nguyªn đó ta có các trờng hợp sau : ¿ −2 y=1 x −1=− ⇒ ¿ x=0 y=0 ¿{ ¿ 3.a 0,25 d Gi¶ sö sè cã ch÷ sè lµ aaa =111.a ( a lµ ch÷ sè kh¸c 0) 0,5 0,5 Gäi sè sè h¹ng cña tæng lµ n , ta cã : n(n+1) =111a=3 37 a Hay n(n + 1) =2.3.37.a 0,25 VËy n(n+1) chia hÕt cho 37 , mµ 37 lµ sè nguyªn tè vµ n + < 74 ( NÕu n = 74 kh«ng tho¶ m·n ) Do đó n=37 n + = 37 0,25 Nếu n =37 thì n + = 38 lúc đó n(n+1) =703 không thoả mãn Nếu n + 1=37 thì n = 36 lúc đó VËy sè sè h¹ng cña tæng lµ 36 n(n+1) =666 tho¶ m·n 0,5 (75) A H 0,5 B C D Kẻ DH Vuông góc với AC vì ACD =600 đó CDH = 300 Nªn CH = CD ⇒ CH = BC Tam gi¸c BCH c©n t¹i C ⇒ CBH = 300 ⇒ ABH = 150 Mµ BAH = 15 nªn tam gi¸c AHB c©n t¹i H Do đó tam giác AHD vuông cân H Vậy ADB = 450 + 300 =750 Tõ : x2- 2y2 =1suy x2- = 2y2 Nếu x chia hết cho vì x nguyên tố nên x = lúc đó y = nguyên tố tho¶ m·n Nếu x không chia hết cho thì x 2-1 chia hết cho đó 2y2 chia hết cho Mà(2;3) =1 nên y chia hết cho đó x2 =19 không thoả mãn Vậy cặp số (x,y) tìm đợc thoả mãn điều kiện đầu bài là (2;3) 0,5 1,0 1,0 0,25 0,25 0,25 0,25 §Ò sè 54: đề thi học sinh giỏi (Thêi gian lµm bµi 120 phót) Bµi (4®) Rót gän biÓu thøc a- A = a - + - 2a - + a b- √ 1+ 2+ 3+ +(n− 1)+n+(n −1)+ +3+2+1 víi n N Bµi (4 ®) Chøng minh r»ng : nÕu a,b,c lµ c¸c sè kh«ng ©m tho¶ m·n c¸c ®iÒu kiÖn sau : a + c = và a + b = thì N = a + b - c - 17 là số không dơng Tìm a,b,c để N = Bµi (4 ®) Cho biÓu thøc A = x −3 2+ x Biểu thức A có giá trị lớn hay nhỏ nhát ? Tìm giá trị đó C©u (4 ®) (76) Cho tam gi¸c c©n ABC cã ACB = 100 Ph©n gi¸c cña CAB c¾t CB t¹i D Chøng minh r»ng AD + DC = AB Bµi ( ®) Cho tam giác ABC có AB = AC Trên đờng thẳng vuông góc với AC C lấy điểm D cho hai điểm B , D nằm khác phía đờng thẳng AC Gọi K là giao điểm đờng thẳng qua B vuông góc với AB và đờng thẳng qua trung điểm M CD và vuông gãc víi AD Chøng minh KB = KD -***** - §Ò sè 55: đề thi học sinh giỏi (Thêi gian lµm bµi 120 phót) Bài 1: Thực phép tính (2 điểm) a/ 5 : − + : − 11 22 15 ( ) ( ) −1 − − 69 − 2+ ( 3+ ( 4+5− ) ) 167 b/ ( b/ √ ( 1− √50 ) ( ) −1 ) Bài 2: So sánh (2 điểm) a/ 7+ √ với √ 48+2 với Bài 3: Tìm x, y, z biết (4,5 điểm) a/ 3(x-2) – 4(2x+1) – 5(2x+3) = 50 1 21 b/ : − |2 x+ 1| =22 ( x −2 y c/ 37 ) = y −3 z z − x = 15 và 10x - 3y - 2z = -4 Bài 4: (6 điểm) Cho hàm số y=( m+2009 ) x+ 2|x| Biết đồ thị hàm số qua điểm A(-1; -1) a/ Tìm m b/ Vẽ đồ thị hàm số với m tìm c/ Điểm nào sau đây không thuộc đồ thị hàm số trên B(-2; -2) C(5; 1) D(2; 10) d/ Tính diện tích tam giác OBC Bài 5: (5,5 điểm) (77) Cho ∆ABC, góc B = 600, AB = 7cm, BC = 14cm Trên BC lấy điểm D cho góc BAD = 600 Gọi H là trung điểm BD a/ Tính độ dài HD b/ Chứng minh ∆DAC cân c/ ∆ABC là tam giác gì? d/ Chứng minh AB2 + CH2 = AC2 + BH2 =======¯&¯======= (Cán coi thi không giải thích gì thêm) (78)