[r]
(1)KIỂM TRA PHẦN PHƯƠNG TRÌNH - HỆ PHƯƠNG TRÌNH VÀ SỐ HỌC Bồi tỉnh 2013 -2014 Cẩm Mỹ -Đồng Nai Bài 1: Giải phương trình –hệ phương trình 1) x 17 x x 17 x 9 ;- 17 x 17 t= 17 x ; t 0 x t 17 ( x t ) xt 17 ; S x t ; P xt ; S 4 P x t xt 9 x t xt 9 S P 17 S 5 S S P 9 S 5 P 4 x, t là n PT:u 5u 0 ( x; t ) (1; 4), (4;1) x 1 t 4 x 1 x 1( N ) 17 x 4 x 4 x 4( N ) 17 x S P 16( L) x 4 t 1 2) x x x x x ; x theo BCS x x2 x x x (1 x ) x (1 x ) x (1 x ) x (1 x ) x 2 x 1 x(1) " " xa y x 1 x(2) x 1(3) (1)Vô lý pt vô nghiệm x y 1 x t 1 (1) 3) 4 x y 1 ; Đặt t = - y x t 1 (2) Vai trò x , t x 1 4 t 1 từ (2) x 1 t 1 *)Nều x 1 x 1 x 1 ,từ (2) t = kết hợp (1) (x;t) = (1;0) (x;y) = (1;0) là nghiệm hệ *)Nều hệ *)Nếu t 1 t 1 t 1 x x4 3 ,từ (2) x = kết hợp (1) (x;t) = (0;1) (x;y) = (0;-1) là nghiệm x 1; t , từ (2) t 3 x x & t t x t x t x t 1 (2) 3 x t x3 t x3 t x3 t + Nếu x,y cùng dấu thì 3 + Nếu x,y trái dấu thì x t ( không thỏa (1)) Vậy (x;y) = (1;0) , (0;-1) x 1 4) y x y 2 2y x 1 ; Đặt t x 1 ; t 0 t t 2 t 2y t 2 x 8 y x y x y x y *) t=2 hệ thành : 4 x 2 y x y t x y 2 x y 2 *) Thử lại với (1) nghiệm ( không thỏa (1)) x 3 y 1 9 x y 13 Bài : 1)Chứng minh : n thì n2 + n + không chia hết cho Cách 1: dùng phép chia có dư Xét n = 9k + r với r {1; 2; 3; 4} n n không chia hết cho Cách 2: Giả sử n2 + n + = 9k ( k ) n2 + n + 1- 9k = (1) 36k 3(12k 1) Vì 12k – không chia hết cho nên chia hết cho mà không chia hết cho không chính phương (1) không có nghiệm nguyên nên n2 + n + không chia hết cho 2) Cho x.y thỏa (x - y)(y - z)(z - x) = x + y + z (1) Chứng minh : x + y + z chia hết cho 27 *)Nếu x,y,z chia cho có số dư đôi khác thì (x - y)(y - z)(z - x) và x+y+z (1) không xảy *) Nếu x,y,z chia cho có số có cùng dư Giả sử hai số đó là x,y thì x – y 3VT(1) còn VP(1) (1) không xảy Như x,y,z chia cho có cùng dư Nên : x – y 3, y – z 3, z –x 3, VT(1) 27 VP(1) 27 Vậy x + y + z chia hết cho 27 3)Giải phương trình nghiệm nguyên : x2 + 2y2 + 3xy - 2x - 4y + = (1) (1) x (3 y 2) x y y 0(2) y2 y (1) có nghiệm nguyên thì chính phương y2 + 4y – = k2 (k ) (y+2-k)(y+2+k) = 12 Ta có (y+2-k)+(y+2+k) = 2(k+2) (y+2-k) & (y+2+k) cùng chẵn (y+2-k)(y+2+k) = 2.6=6.2=-2.(-6)=-6.(-2) y= V y= -6 thay vào (2) (x;y)= (-1;2),(-3;2),(11;-6),(9;-6) Bài 3: (3) 1)Tìm m để phương trình : (x2 + mx + 1)2 + m(x2 + mx + 1) + – x = (1) có nghiệm Đặt y = x2 + mx + (1) thành y my x 0 x y m( x y ) x y 0 x mx y 0 x mx 1 y 0 x y 0 x y m 0 (1) (3) x mx y 0 x mx y 0 ( x y )( x y m 1) 0 x mx y 0 Giải (1): (1) có nghiệm x2 +(m-1)x +1 = có nghiệm (m-1)2 - 0 m m 3 Giải (2): (2) có nghiệm x2 +(m+1)x +m+2 = có nghiệm (m+1)2 –4(m+2) 0 m 1 2 m 1 2 Từ (4) &(5) (1) có nghiệm m m 3 (4) (5) (4) 2)Cho ba số lẻ a,b,c chứng minh phương rình : ax2 + bx + c = không có nghiệm hữu ti Ta có : b 4ac Vì a,b,c lẻ ac lẻ Đặt b = 2m + , ac = 2n + ( m,n là số nguyên) 4m 4m 8m 4m(m 1) 8(m 1) Vì m(m+1) nên 8k 5;(k ) Ta chứng minh không chính phương Bài toán : Tìm dư chia số chính phương cho Xét số chính phương p2 với p = 8q +r (p,q,r , r {0;1; 2; ;7} r 0 p 0(mod 8) r 1 p 1(mod 8) r 2 p 4(mod 8) r 3 p 1(mod 8) r 4 p 0(mod 8) r 5 p 1(mod 8) r 6 p 4(mod 8) r 7 p 1(mod 8) Vậy số chính phương chia cho có thể dư là hoặc Vì chia cho có dư là nên không chính phương phương rình : ax2 + bx + c = không có nghiệm hữu ti (4)