Bài toán 3 : Chứng minh rằng nếu một số có tổng các chữ số là 2004 thì số đó không phải là số chính phương.. Dùng tính chất của số dư Chẳng hạn các em gặp bài toán sau đây : Bài toán 4 :[r]
(1)Chứng minh số không phải là số chính phương Trong chương trình Toán lớp 6, các em đã học và gia sư môn toán nhà hướng dẫn các bài toán liên quan tới phép chia hết số tự nhiên cho số tự nhiên khác và đặc biệt là giới thiệu số chính phương, đó là số tự nhiên bình phương số tự nhiên (chẳng hạn : ; ; ; ;16 ; 25 ; 121 ; 144 ; …) Kết hợp các kiến thức trên, các em có thể giải bài toán : Chứng minh số không phải là số chính phương Đây là cách củng cố các kiến thức mà các em đã học Những bài toán này làm tăng thêm lòng say mê môn toán cho các em Nhìn chữ số tận cùng Vì số chính phương bình phương số tự nhiên nên có thể thấy số chính phương phải có chữ số tận cùng là các chữ số ; ; ; ; ; Từ đó các em có thể giải bài toán kiểu sau đây : Bài toán : Chứng minh số : n = 20042 + 20032 + 20022 - 20012 không phải là số chính phương Lời giải : Dễ dàng thấy chữ số tận cùng các số 20042 ; 20032 ; 20022 ; 20012 là ; ; ; Do đó số n có chữ số tận cùng là nên n không phải là số chính phương Chú ý : Nhiều số đã cho có chữ số tận cùng là các số ; ; ; ; ; không phải là số chính phương Khi đó các bạn phải lưu ý thêm chút : Nếu số chính phương chia hết cho số nguyên tố p thì phải chia hết cho p2 Bài toán : Chứng minh số 1234567890 không phải là số chính phương Lời giải : Thấy số 1234567890 chia hết cho (vì chữ số tận cùng là 0) không chia hết cho 25 (vì hai chữ số tận cùng là 90) Do đó số 1234567890 không phải là số chính phương Chú ý : Có thể lý luận 1234567890 chia hết cho (vì chữ số tận cùng là 0), không chia hết cho (vì hai chữ số tận cùng là 90) nên 1234567890 không là số chính phương Bài toán : Chứng minh số có tổng các chữ số là 2004 thì số đó không phải là số chính phương Lời giải : Ta thấy tổng các chữ số số 2004 là nên 2004 chia hết cho mà không chia hết nên số có tổng các chữ số là 2004 chia hết cho mà không chia hết cho 9, đó số này không phải là số chính phương Dùng tính chất số dư Chẳng hạn các em gặp bài toán sau đây : Bài toán : Chứng minh số có tổng các chữ số là 2006 không phải là số chính phương Chắc chắn các em dễ bị “choáng” Vậy bài toán này ta phải nghĩ tới điều gì ? Vì cho giả thiết tổng các chữ số nên chắn các em phải nghĩ tới phép chia cho cho Nhưng lại không gặp điều “kì diệu” bài toán Thế thì ta nói điều gì số này ? Chắc chắn số này chia cho phải dư Từ đó ta có lời giải Lời giải : Vì số chính phương chia cho có số dư là mà thôi (coi bài tập để các em tự chứng minh !) Do tổng các chữ số số đó là 2006 nên số đó chia cho dư Chứng tỏ số đã cho không phải là số chính phương Tương tự các em có thể tự giải bài toán : Bài toán : Chứng minh tổng các số tự nhiên liên tiếp từ đến 2005 không phải là số chính phương Bài toán : Chứng minh số : n = 20044 + 20043 + 20042 + 23 không là số chính phương Bây các em theo dõi bài toán sau để nghĩ tới “tình huống” Bài toán : Chứng minh số : n = 44 + 4444 + 444444 + 44444444 + 15 không là số chính phương (2) Nhận xét : Nếu xét n chia cho 3, các em thấy số dư phép chia là 1, là không “bắt chước” cách giải các bài toán ; ; ; Nếu xét chữ số tận cùng các em thấy chữ số tận cùng n là nên không làm “tương tự” các bài toán ; Số dư phép chia n cho là dễ thấy nhất, đó chính là Một số chính phương chia cho cho số dư nào ? Các em có thể tự chứng minh và kết : số dư đó có thể là Như là các em đã giải xong bài toán “Kẹp” số hai số chính phương “liên tiếp” Các em có thể thấy : Nếu n là số tự nhiên và số tự nhiên k thỏa mãn n2 < k < (n + 1)2 thì k không là số chính phương Từ đó các em có thể xét các bài toán sau : Bài toán : Chứng minh số 4014025 không là số chính phương Nhận xét : Số này có hai chữ số tận cùng là 25, chia cho dư 1, chia cho dư Thế là tất các cách làm trước không vận dụng Các em có thể thấy lời giải theo hướng khác Lời giải : Ta có 20032 = 4012009 ; 20042 = 4016016 nên 20032 < 4014025 < 20042 Chứng tỏ 4014025 không là số chính phương Bài toán : Chứng minh A = n(n + 1)(n + 2)(n + 3) không là số chính phương với số tự nhiên n khác Nhận xét : Đối với các em đã làm quen với dạng biểu thức này thì có thể nhận A + là số chính phương (đây là bài toán quen thuộc với lớp 8) Các em lớp 6, lớp có thể chịu khó đọc lời giải Lời giải : Ta có : A + = n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + = (n2 + 3n)(n2 + 3n + 2) + = (n2 + 3n)2+ 2(n2 + 3n) +1 = (n2 + 3n +1)2 Mặt khác : (n2 + 3n)2 < (n2 + 3n)2 + 2(n2 + 3n) = A Điều này hiển nhiên đúng vì n ≥ Chứng tỏ : (n2 + 3n)2 < A < A + = (n2 + 3n +1)2 => A không là số chính phương Các em có thể rèn luyện cách thử giải bài toán sau : Bài toán 10 : Hãy tìm số tự nhiên n cho A = n4 - 2n3 + 3n2 - 2n là số chính phương Gợi ý : Nghĩ đến (n2 - n + 1)2 Bài toán 11 : Chứng minh số 235 + 2312 + 232003 không là số chính phương Gợi ý : Nghĩ đến phép chia cho phép chia cho Bài toán 12 : Có 1000 mảnh bìa hình chữ nhật, trên mảnh bìa ghi số các số từ đến 1001 cho không có hai mảnh nào ghi số giống Chứng minh : Không thể ghép tất các mảnh bìa này liền để số chính phương Bài toán 13 : Chứng minh : Tổng các bình phương bốn số tự nhiên liên tiếp không thể là số chính phương Gợi ý : Nghĩ tới phép chia cho Bài toán 14 : Chứng minh số 333333 + 555555 + 777777 không là số chính phương Gợi ý : Nghĩ đến phép chia cho … chục (?) Bài toán 15 : Lúc đầu có hai mảnh bìa, cậu bé tinh nghịch cầm mảnh bìa lên lại xé làm bốn mảnh Cậu ta mong làm đến lúc nào đó số mảnh bìa là số chính phương Cậu ta có thực mong muốn đó không ? Các em hãy tự giải thử bài tập trên thử xem, khó quá hãy tham khảo ý kiến gia sư nhà minh (3)