Tìm giá trị của x để biểu thức Câu 6: 4 điểm Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng 1 và M là một điểm tùy ý trên AC.. Qua M kẻ ME, MF vuông góc với AB và BC.[r]
(1)PHÒNG GIÁO DỤC&ĐÀO TẠO HUYỆN BÙ GIA MẬP ĐỀ CHÍNH THỨC Câu 1: (2 điểm) a/ Chứng minh rằng: ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VÒNG HUYỆN Năm học 2011 – 2012 MÔN: Toán THỜI GIAN: 150 phút ( không kể thời gian phát đề ) 1 1 1 < + + + + < 52 72 100 Câu 2: ( điểm) Tìm ba chữ số a, b, c cho abc < ab + bc + ac Câu : ( điểm) a/ Chứng minh : ( x y z )2 3( x y z ) x, y , z R 1 1 1 x y z 1 ; x , y , z 4 b/ Cho Chứng minh : x y z 21 Dấu “=” xảy x , y , z bao nhiêu ? Câu 4: (4 điểm) a/ Chứng minh : Nếu b là số nguyên tố khác thì số A = 3n + + 2009b là hợp số với n N b/ Tìm các số tự nhiên n cho n +18n + 2020 là số chính phương Câu 5: (2 điểm ) N x x 2010 đạt giá trị lớn nhất Cho x Tìm giá trị x để biểu thức Câu 6: ( điểm) Cho hình vuông ABCD có cạnh và M là điểm tùy ý trên AC Qua M kẻ ME, MF vuông góc với AB và BC Xác định vị trí M trên AC để diện tích tam giác DEF đạt giá trị nhỏ nhất Câu 7: ( điểm) Từ M là điểm bên ngoài đường tròn (O) kẻ tiếp tuyến MT và cát tuyến MAB đường tròn đó a/ Chứng minh cát tuyến MAB quay quanh M ta luôn có MT2= MA MB b/ Cho MT = 20 cm và cát tuyến dài nhất cùng xuất phát từ M 50 cm Tính bán kính đường tròn Hết (2) PHÒNG GIÁO DỤC&ĐÀO TẠO HUYỆN BÙ GIA MẬP KỲ CHỌN HỌC SINH GIỎI VÒNG HUYỆN Năm học 2011 – 2012 Hướng dẫn chấm: Toán ĐỀ CHÍNH THỨC Câu 1: (2 điểm) 1 1 + + + + 1002 1 1 A< + + + + 4.5 5.6 6.7 99 100 ¿ 1 1 1 1 1 ¿= − + − + − + + − = − 5 6 99 100 100 ¿ Đặt A= Ta có 1 1 + + + + 6 7 100 101 1 1 1 1 1 ¿ − + − + − + .+ − = − > 6 7 100 101 101 A> Câu 2: ( điểm) Chia vế bất đẳng thức abc < ab + bc + ac cho số dương abc ta 1 1< + + c a b (1) Giả sử a> b>c ≥ Trong ba phân số Do đó c<3 Vậy c= Thay c vào (1) 1 + > a b 1 , a b , phân số Trong hai phân số b<4, mà b > c = , b = Thay b = vào (2) ta : 1 > a 1 1 , , thì c a b c lớn nhất nên (2) b lớn nên 1 > b ; 2= , đó a < , mà a > b = và a là số nguyên tố , a = Vậy các số a, b, c phải tìm là 2, 3, và các hoán vị chúng Câu a/ ( điểm) Xét hiệu : 1 > c , đó (3) 3( x y z ) ( x y z )2 3 x y z x y z xy yz zx 2 x y z xy yz zx ( x y ) ( y z ) ( z x) 0 x, y, z R 2 2 Vây 3( x y z ) ( x y z ) x, y, z R 2 2 Hay ( x y z ) 3( x y z ) x, y, z R Dấu “= “ xảy (x - y)2 +(y – z)2 + (z- x)2 = (x - y)2 = (y – z)2 = (z- x)2 =0 x=y=z=0 Câu 3: b/ ( điểm) Lập luận tương tự ta có : 4z 1 z 1 x 1 y 1 z 1 x 1 y 1 4x 1 y 1 2 3 x y z 3 3 x y z 3 3.(4 3) 21 21 x y z Dấu “= “ xảy x y z 1 x y z Câu 4: a/ (1,5 điểm) Vì b là số nguyên tố khác nên b2 - Ta có A = 3n + + 2009b2 = 3( n + + 669b2 ) + 2b2 - = 3( n + + 669b2 ) + 2(b2 - 1) Do A > nên A là hợp số với n N b/ (2,5 điểm) 2 Để n +18n + 2020 là số chính phương thì n +18n + 2020 = m (1) với m nguyên, dương, 2 (1) m -18n - n = 2020 m - n +18n = 2020 m - n + = 2020 - 81 = 1939 m - n - m + n + = 1939 Mà 1939 = 1939 = 277 m + n + = 1939 m + n + = 277 Nên m - n - = m - n - = m + n + = 1939 m + n = 1930 2n = 1920 n = 960 m n = m n = 10 * Với (4) m + n + = 277 m n = * Với m + n = 268 2n = 252 n = 126 m - n = 16 Thử lại các giá trị n vừa tìm thỏa mãn đề bài Vậy n = 960 và n = 126 là các số cần tìm Câu 5: (2 điểm) N nhỏ nhất Do x > nên N > N lớn nhất 2 x 2010 x 2010 x 2.2010 x 20102 4.2010 4.2010 x x x Ta có : N dấu “ = “ xảy x 2010 Suy giá trị nhỏ nhất N là 4.2010 = 8040 đạt x = 2010 Vậy với x = 2010 thì N đạt giá trị lớn nhất Giá trị lớn nhất là 8040 Câu 6: (4 điểm) A E B M D F C Ta có: S(DEF) = S(EMF) + S(MED) + S(MFD) Mà: S(MED) = S(MEA) (Cùng đáy ME và đường cao nhau) S(MFD) = S(MFC) (Cùng đáy MF và đường cao nhau) Do đó: S(DEF) = S(MEA) + S(MFC) + S(MEF) = S(ABC) – S(BEF) 1 = − BE BF= (1− BE BF) Suy ra: S(DEF) BE.BF max Ta lại có: BE + BF = BE + AE = AB = : Không đổi Do đó: BE.BF max BE = BF Lúc đó: M là trung điểm AC Câu 7: (2 điểm) (5) a/ ta có góc MTA= góc MBT (cùng chắn cung TA) góc TMB chung Suy : MTA MBT (g.g) MT MB = MA MT MT2 = MA.MB (1) b/ Cát tuyến dài nhất xuất phát từ M là cát tuyến MCD qua tâm O CBD vuông B nên CD > CB mà MD = MC + CD > MC + CB > MB Theo (1) ta có: MT2 = MC.MD 202 = (50 - 2R).50 R = 21 (6)