Trong toán học, bất đẳng thức Cauchy, bất đẳng so sánh giữa trung bình cộng và trung bình nhân của n số thực không âm được phát biểu như sau: Trung bình cộng của n số thực không âm luôn [r]
(1)Bất đẳng thức tam giác Trong toán học, bất đẳng thức tam giác là định lý phát biểu tam giác chiều dài cạnh phải nhỏ tổng, lớn hiệu, hai cạnh còn lại Bất đẳng thức là định lý các không gian hệ thống các số thực, tất các không gian Euclide, các không gian Lp (p≥1) và không gian tích Bất đẳng thức xuất là tiên đề định nghĩa nhiều cấu trúc giải tích toán học và giải tích hàm, chẳng hạn các không gian vectơ định chuẩn và các không gian metric Không gian vectơ định chuẩn Trong không gian vectơ định chuẩn V, bất đẳng thức tam giác phát biểu sau: ||x + y|| ≤ ||x|| + ||y|| với x, y thuộc V tức là, chuẩn tổng hai vectơ không thể lớn tổng chuẩn hai vectơ đó Đường thẳng thực là không gian vectơ định chuẩn với chuẩn là giá trị tuyệt đối, vì có thể phát biểu bất đẳng thức tam giác cho hai số thực x và y sau: Trong giải tích toán học, bất đẳng thức tam giác thường dùng để ước lượng chặn trên tốt cho giá trị tổng hai số, theo giá trị số hai số đó Cũng có ước lượng chặn mà có thể tìm cách dùng bất đẳng thức tam giác đảo chiều, mà phát biểu với hai số thực x và y: [Không gian metric Trong không gian metric M với metric là d, bất đẳng thức tam giác có dạng (2) d(x, z) ≤ d(x,y) + d(y,z) với x, y, z thuộc M tức là, khoảng cách từ x đến z không thể lớn tổng các khoảng cách từ x đến y với khoảng cách từ y đến z Hệ Người ta thường sử dụng hệ sau đây bất đẳng thức tam giác, thay vì cho cận trên hệ này cho cận dưới: | ||x|| - ||y|| | ≤ ||x - y|| hay phát biểu theo metric | d(x, y) - d(x, z) | ≤ d(y, z) điều này cho thấy chuẩn ||–|| hàm khoảng cách d(x, –) là 1-Lipschitz và đó là hàm liên tục Sự đảo chiều không gian Minkowski Trong không gian Minkowski thông thường hay các không gian Minkowski mở rộng với số chiều tùy ý, giả sử các vectơ không và các vectơ giống-thời-gian có cùng chiều thời gian, bất đẳng thức tam giác bị đảo chiều: ||x + y|| ≥ ||x|| + ||y|| với x, y thuộc V cho ||x|| ≥ 0, ||y|| ≥ và tx ty ≥ Bất đẳng thức Cauchy Bài này viết bất đẳng thức trung bình cộng và trung bình nhân Để xem bài viết bất đẳng thức tích vectơ, xem Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz Trong toán học, bất đẳng thức Cauchy, bất đẳng so sánh trung bình cộng và trung bình nhân n số thực không âm phát biểu sau: Trung bình cộng n số thực không âm luôn lớn trung bình nhân chúng, và trung bình cộng trung bình nhân và n số đó (3) • Với số: Đẳng thức xảy và a = b • Với n số: Đẳng thức xảy và Tổng quát hóa Trung bình có hệ số Cho n số x1, x2, , xn ≥ và các hệ số α1, α2, , αn > Đặt Bất đẳng thức trung bình cộng và trung bình nhân đúng hai giá trị trung bình có hệ số, sau: Dấu " = " xảy và Với các loại trung bình khác (4) Trung bình điều hòa ≤ trung bình nhân ≤ trung bình cộng Đẳng thức và Ứng dụng lý thuyết toán bat dang thuc rat phu hop voi viec danh gia tu trung binh cong sang tb nhan Ứng dụng các lĩnh vực khác Việc sử dụng bất đẳng thức giúp chúng ta nhiều việc giải các phương trình vô tỉ Bất đẳng thức Bunyakovsky Bất đẳng thức Bunhia hay còn gọi là Bất đẳng thức Bunyakovsky Victor Yakovlevich Bunyakovsky đưa để chứng minh các bất đẳng thức toán học Một số dạng Bất đẳng thức Bunyakovsky dạng thông thường • (a² + b²)(c² + d²) ≥ (ac + bd)² • Bất đẳng thức này dễ dàng chứng minh cách khai triển, rút gọn và biến đổi thành: (ad - bc)² ≥ • Dấu " = " xảy Bất đẳng thức Bunyakovsky cho số • Với hai số (a1;a2; ;an) và (b1;b2; ;bn) ta có : (5) • Dấu "=" xảy và với quy ước số bi nào đó (i = 1, 2, 3, , n) thì tương ứng Bất đẳng thức Bernoulli Trong toán học, bất đẳng thức Bernoulli là bất đẳng thức cho phép tính gần đúng các lũy thừa + x Bất đẳng thức này phát biểu sau: với số nguyên r ≥ và với số thực x > −1 Nếu số mũ r là chẵn, thì bất đẳng thức này đúng với số thực x Bất đẳng thức này trở thành bất đẳng thức nghiêm ngặt sau: với số nguyên r ≥ và với số thực x ≥ −1 với x ≠ Bất đẳng thức Bernoulli thường dùng việc chứng minh các bất đẳng thức khác Bản thân nó có thể chứng minh phương pháp quy nạp toán học: Chứng minh: Khi r=0, bất đẳng thức trở thành Bây giả sử bất đẳng thức đúng với r=k: Cần chứng minh: tức là mà rõ ràng đúng (6) • Trong trường hợp không gian xác suất , là các ký hiệu để không gian các biến ngẫu nhiên với momentphữu hạn, , đó là ký hiệu giá trị kỳ vọng Bất đẳng thức Holder trở thành Trường hợp tổng quát Có thể chứng minh trường hợp tổng quát sau phương pháp quy nạp Giả sử Giả sử cho Khi đó ta có và Bất đẳng thức Jensen Với hàm lồi f trên và ta có (7) Với hàm lõm f trên và ta có Lưu ý: f là hàm lồi ta có f''(x) > trên và là hàm lõm ta có f''(x)< trên Bất đẳng thức Jensen là trường hợp đặc biệt bất đẳng thức Karamata Bất đẳng thức Minkowski Trong giải tích toán học, bất đẳng thức Minkowski dẫn đến kết luận các không gian Lp là các không gian vector định chuẩn Giả sử S là không gian đo, giả sử ≤ p ≤ ∞, đồng thời f và g là các phần tử Lp(S) Khi đó f + g thuộc Lp(S), và chúng ta có dấu đẳng thức xảy f và g phụ thuộc tuyến tính Bất đẳng thức Minkowski chính là bất đẳng thức tam giác Lp(S) Có thể chứng minh nó cách dùng bất đẳng thức Holder Cũng bất đẳng thức Holder, có thể đưa bất đẳng thức Minkowski các trường hợp đặc biệt cho các dãy và các vector bẳng cách dùng khái niệm độ đo kiểu đếm được: với số thực (hay số phức) x1, , xn, y1, , yn và n là số chiều S (8)