Tìm m biết đường thẳng cắt đường tròn C tại hai điểm phân biệt A,B thỏa mãn diện tích tam giác IAB bằng 12.. Viết phương trình chính tắc của đường.[r]
(1)ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG NĂM 2012 Môn thi: TOÁN Thời gian làm bài 180 phút, không kể thời gian giao đề SỞ GD & ĐT THANH HÓA TRƯỜNG THPT QUẢNGXƯƠNG PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7 điểm): y 2x x (C) Câu I: (2 điểm) Cho hàm số Khảo sát biến thiên và xẽ đồ thị hàm số (C) Tìm m để đường thẳng d: y = 2x + m cắt đồ thị (C) điểm phân biệt A, B cho AB = Câu II: (2 điểm) cos x cos x sin x cos x , (x R) Giải phương trình: x y x y 2 y x y 3 Giải hệ phương trình: (x, y R) Câu III: (1 điểm) Tính tích phân sau: e x 1 dx Câu IV: (1 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi ; hai đường chéo AC = 3a , BD = 2a và cắt O; hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) a Biết khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (SAB) , tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a x3 y x y P ( x 1)( y 1) Câu V: (1 điểm) Cho x,y R và x, y > Tìm giá trị nhỏ PHẦN RIÊNG (3 điểm) : Thí sinh làm hai phần ( phần A B) A Theo chương trình Chuẩn Câu VI.a (2 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C): x + y2 - 2x - 2my + m2 - 24 = có tâm I và đường thẳng : mx + 4y = Tìm m biết đường thẳng cắt đường tròn (C) hai điểm phân biệt A,B thỏa mãn diện tích tam giác IAB 12 x 1 y z 1 ; Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1: d 2: x y z 1 1 và mặt phẳng (P): x - y - 2z + = Viết phương trình chính tắc đường thẳng , biết nằm trên mặt phẳng (P) và cắt hai đường thẳng d1 , d2 log2 x 2log2 x 20 0 Câu VII.a (1 điểm) Giải bất phương trình 2 x B Theo chương trình Nâng cao Câu VI.b (2 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có phương trình cạnh AB: x - y - = 0, phương trình cạnh AC: x + 2y - = Biết trọng tâm tam giác G(3; 2) Viết phương trình cạnh BC x y z và điểm Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho đường thẳng : M(0 ; - ; 0) Viết phương trình mặt phẳng (P) qua điểm M song song với đường thẳng đồng thời khoảng cách đường thẳng và mặt phẳng (P) Câu VII.b (1 điểm) z Giải phương trình nghiệm phức : … Hết … 25 8 6i z (2) Thí sinh không sử dụng tài liệu Cán coi thi không giải thích gì thêm Họ và tên thí sinh: ………………………………………………; Số báo danh: ……… ĐÁP ÁN ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC - NĂM: 2011-2012 CÂU NỘI DUNG ĐIỂM Tập xác định D = R\- 1 Sự biến thiên: y' 0, x D ( x 1)2 0,25 -Chiều biến thiên: Hàm số nghịch biến trên các khoảng (- ; - 1) và (- ; + ) I-1 (1 điểm) - Cực trị: Hàm số không có cực trị - Giới hạn vô cực, giới hạn vô cực và tiệm cận: 2x 2x lim 2 ; lim 2 x x x x Đường thẳng y = là tiệm cận ngang 2x 2x lim ; lim x x x 1 x 1 Đường thẳng x = - là tiệm cận đứng -Bảng biến thiên: x - -1 + y’ + + + - Đồ thị: -Đồ thị hàm số cắt trục Ox điểm (1;0) -Đồ thị hàm số cắt trục Oy điểm (0;- 2) - Đồ thị hàm số có tâm đối xứng là giao điểm hai tiệm cận I(- 1; 2) y -1 y=2 0,25 O II-1 0,25 y I-2 (1 điểm) 0,25 x -2 * Nhận xét: Đồ thị hàm số nhận I(2; -1) làm tâm đối xứng x=- -1 Phương trình hoành độ giao điểm: 2x2 + mx + m + = , (x≠ 1) (1) d cắt (C) điểm phân biệt PT(1) có nghiệm phân biệt khác -1 m2 - 8m - 16 > (2) Gọi A(x1; 2x1 + m) , B(x2; 2x2 + m Ta có x1, x2 là nghiệm PT(1) m x1 x2 x1 x2 m 2 Theo ĐL Viét ta có 0,25 0,25 0,25 2 AB2 = ( x1 x2 ) 4( x1 x2 ) 5 ( x1 x2 ) 4x1 x2 1 m2 - 8m - 20 = m = 10 , m = - ( Thỏa mãn (2)) KL: m = 10, m = - 0,25 PT cos2x + cos8x + sinx = cos8x 0,25 (3) 1- 2sin2x + sinx = (1 điểm) sinx = v 7 x k 2 ; x k 2 ; x k 2 , ( k Z ) 6 ĐK: x + y , x - y 0, y sin x II-2 (1 điểm) 0,25 0,25 0,25 0,25 2 y x 0 (3) x y 2 y x 5 y 4 xy (4) 2 0,25 PT(1) x x y 4 y Từ PT(4) y = v 5y = 4x Với y = vào PT(2) ta có x = (Không thỏa mãn đk (3)) Với 5y = 4x vào PT(2) ta có x x 3 x 1 0,25 0,25 4 ( x; y ) 1; 5 KL: HPT có nghiệm Tính: I= III (1 điểm) Đặt dx x 0 t 1 x t dx t.dt x t ; t 0 ; x 1 t 2 2 t te dt I= 0,25 u t du dt t t Đặt dv e dt v e 2 I (tet et dt ) e 3 Ta có Từ giả thiết AC = 2a ; BD = 2a và AC ,BD vuông góc với trung điểm O đường chéo.Ta có tam giác ABO vuông O và AO = a ; BO = a , đó ABD 60 Hay tam giác ABD Từ giả thiết hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) nên giao tuyến chúng là SO (ABCD) Do tam giác ABD nên với H là trung điểm AB, K là trung điểm HB ta có a OK DH a 2 OK AB AB (SOK) DH AB và DH = ; OK // DH và Gọi I là hình chiếu O lên SK ta có OI SK; AB OI OI (SAB) , hay OI là khoảng cách từ O đến mặt phẳng (SAB) 1 a SO 2 OK SO Tam giác SOK vuông O, OI là đường cao OI Vậy IV (1 điểm) x 1 e Diện tích đáy S ABC D 4S ABO 2.OA.OB 2 3a SO đường cao hình chóp Thể tích khối chóp S.ABCD: 3a VS ABC D S ABC D SO 3 ; 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 a S 0,25 I D www.VNMATH.com A 3a O H (4) C Đặt t = x + y ; t > Áp dụng BĐT 4xy (x + y)2 ta có V (1 điểm) xy B t2 0,25 t t xy (3t 2) t2 P xy xy t nên ta có Do 3t - > và t (3t 2) t3 t2 t2 P t2 t t 1 t2 t 4t f (t ) ; f '(t ) ; t ( t 2) Xét hàm số f’(t) = t = v t = t f’(t) - 0,25 + + + 0,25 + f(t) x y 4 x 2 y 2 Do đó P = ( 2; ) = f(4) = đạt xy 4 Đường tròn (C) có tâm I(1; m), bán kính R = Gọi H là trung điểm dây cung AB Ta có IH là đường cao tam giác IAB | m 4m | | 5m | d ( I , ) A m 16 m 16 IH = 0,25 f (t ) VI.a -1 (1 điểm) VI.a -2 (1 điểm) 0,25 I H B (5m ) 20 m 16 m 16 Diện tích tam giác IAB là SIAB 12 2S IAH 12 m 3 d ( I , ) AH 12 25 | m |3(m 16) 16 m Gọi A = d1(P) suy A(1; ; 2) ; B = d2 (P) suy B(2; 3; 1) Đường thẳng thỏa mãn bài toán qua A và B Một vectơ phương đường thẳng là u (1;3; 1) x y z 1 Phương trình chính tắc đường thẳng là: AH IA2 IH 25 4log2 x x 2log2 x 20 0 Điều kiện: x> ; BPT t Đặt t log x Khi đó x 2 VII.a (1 điểm) 2 BPT trở thành y2 + y - 20 - y Đối chiếu điều kiện ta có : 2 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 2t 2t 2t BPT trở thành 20 0 Đặt y = ; y 2t 0,25 0,25 0,25 4 2t 2 t 1 - t 1 x 2 log x Do đó - 1 www.VNMATH.com www.VNMATH.com www.VNMATH.com www.VNMATH.com www.VNMATH.com 0,25 (5) VI.b- (1 điểm) x - y - 0 Tọa độ điểm A là nghiệm HPT: x y - 0 A(3; 1) Gọi B(b; b- 2) AB, C(5- 2c; c) AC b 2c Do G là trọng tâm tam giác ABC nên 1 b c 6 u BC ( 4; 1) Một vectơ phương cạnh BC là 0,25 0,25 b 5 c 2 Hay B(5; 3), C(1; 2) Phương trình cạnh BC là: x - 4y + = n Giả sử ( a; b; c ) là vectơ pháp tuyến mặt phẳng (P) Phương trình mặt phẳng (P): ax + by + cz + 2b = VI.b-2 (1 điểm) u Đường thẳng qua điểm A(1; 3; 0) và có vectơ phương (1;1; 4) n.u a b 4c 0 (1) / /( P ) | a 5b | 4 (2) d ( A; ( P )) 4 2 a b c Từ giả thiết ta có 2 2 Thế b = - a - 4c vào (2) ta có (a 5c ) (2a 17c 8ac) a - 2ac 8c 0 a a 4 v c c a 4 Với c chọn a = 4, c = b = - Phương trình mặt phẳng (P): 4x - 8y + z - 16 = a Với c chọn a = 2, c = - b = Phương trình mặt phẳng (P): 2x + 2y - z + = Giả sử z = a +bi với ; a,b R và a,b không đồng thời Khi đó VII.b (1 điểm) z a bi ; 1 a bi z a bi a b2 z 25 25( a bi ) 8 6i a bi 8 6i z a b2 Khi đó phương trình 2 2 a ( a b 25) 8( a b ) (1) b a 2 (2) b( a b 25) 6( a b ) vào (1) Lấy (1) chia (2) theo vế ta có Ta có a = v a = Với a = b = ( Loại) Với a = b = Ta có số phức z = + 3i 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 (6)