Tài liệu TRÖÔØNG ÑAÏI HOÏC ÑAØ LAÏTKHOA TOAÙN - TIN HOÏCTAÏ LEÂ LÔÏI - ÑOÃ NGUYEÂN pptx

TRƯỜNG ĐẠI HỌC ĐÀ LẠT KHOA TOÁN - TIN HỌC TẠ LÊ LI - ĐỖ NGUYÊN SƠN GIẢI TÍCH (Giáo Trình) Lưu hành nội -Đà Lạt 2008 Giải Tích Tạ Lê Lợi - Đỗ Nguyên Sơn Mục lục Chương I Tích phân phụ thuộc tham số Tích phân phụ thuộc tham số Tích phân suy rộng phụ thuộc tham số Các tích phân Euler 14 Chương II Tích phân hàm số đa tạp Đa tạp khả vi Rn 19 Tích phân hàm số ña taïp 24 Chương III Dạng vi phân Dạng k-tuyến tính phản đối xứng 31 Dạng vi phân 33 Bổ đề Poincaré 37 Chương IV Tích phân dạng vi phân Định hướng 41 Tích phân dạng vi phân 44 Công thức Stokes 47 Bài tập 53 I TÝch ph©n phơ thc tham số 1.1 Tích phân phụ thuộc tham số Định nghĩa Định nghĩa Xét hàm f (x, t) = f (x1 , , xn , t1, , tm ) xác định miền X ì T Rn ì Rm Giả sử X đo đ-ợc (Jordan) với giá trị t T cố định, hàm f (x, t) khả tích theo x X Khi tích phân I(t) = f (x, t)dx (1) X lµ hµm theo biÕn t = (t1 , , tm ), gọi tích phân phụ thuộc tham số với m tham sè t1 , , tm 1.2 Tính liên tục Định lý Nếu f (x, t) liên tục X ì T Rn ì Rm , X, T tập compact, tích phân f (x, t)dx I(t) = X liên tục T Chứng minh Cố định t0 T Ta sÏ chøng minh víi mäi > 0, tån t¹i δ > cho víi mäi t ∈ T , d(t, t0) < δ ta cã | I(t) I(t0) |< Từ định nghĩa suy | I(t) − I(t0) |= (f (x, t) − f (x, t0))dx ≤ X | f (x, t) − f (x, t0) | dx X Do f liªn tơc trªn compact nên liên tục đó, tức tồn t¹i δ > cho | f (x , t ) − f (x, t) |< v(X) víi mäi (x, t), (x , t ) ∈ X × T , d((x , t ), (x, t)) < δ Tõ ®ã, víi d(t, t0) < δ ta cã | I(t) − I(t0) |< v(X) v(X) = VÝ dô 1) Ta cã lim t→0 −1 √ x2 + t2dx = |x|dx = hàm x2 + t2 liên tục 1 [1, 1] ì [− , ] −2 xt−2e−x t nÕu t = 2) Khảo sát tính liên tục điểm (0, 0) cđa hµm f (x, t) = nÕu t = Nếu f (x, t) liên tục (0, 0), f (x, t) liên tục [0, 1] ì [ , ] Khi đó, tích phân I(t) = f (x, t)dx liªn tơc trªn [− , ] Nh-ng ta cã lim I(t) = lim xt−2e−x t→0 t→0 −2 = − lim(e−t t→0 1 −2 = − lim e−x t d(−x2t−2 ) t→0 − 1) = = = I(0) 2 t−2 VËy, hµm f (x, t) không liên tục (0, 0) Sau khảo sát tổng quát hóa Định lý tr-ờng hợp X = [a, b] Định lý Cho f (x, t) liên tục [a, b] ì T , với T tập compact a(t), b(t) hai hàm liên tục T cho a(t), b(t) ∈ [a, b] víi mäi t T Khi đó, tích phân b(t) f (x, t)dx I(t) = a(t) liªn tơc trªn T Chøng minh Do f liªn tơc trªn tËp compact nªn giíi nội, tức tồn M > cho | f (x, y) |≤ M víi mäi (x, t) [a, b] ì T Cố định t0 T ta cã: a(t0 ) | I(t) − I(t0) |= b(t) f (x, t)dx + a(t) a(t0 ) ≤ f (x, t)dx + a(t) b(t0 ) f (x, t)dx + b(t0 ) b(t) [f (x, t) − f (x, t0)]dx a(t0 ) b(t0 ) f (x, t)dx + b(t0 ) (f (x, t) − f (x, t0))dx a(t0 ) b(t0 ) ≤ M | a(t) − a(t0) | +M | b(t) − b(t0) | + a(t0 ) | f (x, t) − f (x, t0) | dx Kh¼ng định suy từ tính liên tục a(t), b(t) Định lý liên tục [0, 1] ì [ , ] hàm (t) = t, + x2 + t β(t) = cos t liªn tơc trªn [− , ], ta cã VÝ dơ Do hµm cos t lim t→0 t 1.3 π dx = 1+x dx dx = + x2 + t TÝnh kh¶ vi ∂f (x, t), i = 1, , m, liên tục ti X ì T Rn ì Rm , X, T tập compact, tích phân Định lý Nếu f (x, t) đạo hàm riêng I(t) = f (x, t)dx X o khả vi T với i ta cã: ∂I (t) = ∂ti ∂f (x, t)dx ti X o Chứng minh Với t0 T cố định ta có: I(t0 + hi ei ) I(t0) = hi f (x, t0 + hi ei ) − f (x, t0) dx hi X ®ã ei sở tắc Rm áp dụng định lý giá trị trung bình cho hàm biến ta cã: f (x, t0 + hi ei ) − f (x, t0 ) = ∂f (x, t0 + θi hi ei )hi , ∂ti < θi < Khi ®ã : I(t0 + hi ei ) − I(t0) − hi ∂f (x, t0)dx = ∂ti X [ X ∂f ∂f (x, t0 + θihi ei) − (x, t0)]dx ∂ti ∂ti Sư dơng tÝnh liªn tơc cđa minh Định lý suy f (x, t) compact X ì T lý luận nh- chứng ti ∂I I(t0 + hi ei ) − I(t0) (t0) = lim = hi →0 ∂ti hi ∂f (x, t)dx ∂ti X TÝnh liªn tơc cđa ∂I (t) trªn T suy từ Định lý ti /2 + t cos x ln dx, t ∈ (−1, 1) Ta có hàm cos x t cos x VÝ dô XÐt I(t) =   ln + t cos x f (x, t) = cos x − t cos x 2t nÕu x = π/2 nÕu x = π/2 ∂f (x, t) = , cos2 x ∂t 1−t liªn tơc trªn [0, π/2] × [−1 + , − ] VËy, theo định lý /2 du = + u2 1−t − t2 dx =2 − t2 cos2 x I (t) = 0 Từ đó, I(t) = arcsin t + C Vì I(0) = 0, nªn C = VËy, I(t) = π arcsin t ∂f (x, t), i = 1, , m, liªn tơc ∂ti trªn [a, b] ì T , T tập compact Rm , (t), (t) khả vi T (t), β(t) ∈ [a, b] víi mäi t ∈ T , tích phân Định lý Nếu f (x, t) đạo hàm riêng b(t) f (x, t)dx I(t) = a(t) o khả vi T với i ta cã: β(t) ∂β ∂α ∂f (x, t)dx + f (β(t), t) (t) − f (α(t), t) (t) ∂ti ∂ti ∂ti ∂I (t) = ∂ti α(t) Chøng minh XÐt hµm m + biÕn v F (t, u, v) = f (x, t)dx, (t, u, v) ∈ D = T × [a, b] × [a, b] u Ta sÏ chØ r»ng F (t, u, v) lµ hµm khả vi Với u, v cố định, từ Định lý 3, suy v ∂F (t, u, v) = ti f (x, t)dx ti u Vế phải đẳng thức đ-ợc xem nh- tich phân phụ thuộc tham số t, u, v f Hàm (x, t) xem nh- hàm theo biến x, t, u, v liên tục [a, b] ì D Từ ti F (t, u, v) hàm liên tục Định lý 2, víi a(t, u, v) = u, b(t, u, v) = v, suy ti D Ngoài ta cßn cã ∂F (t, u, v) = −f (u, t) vµ ∂u ∂F (t, u, v) = f (v, t) v hàm liên tục D Vậy, hàm F (t, u, v) khả vi Hàm I(t) đ-ợc xem nh- hàm hợp I(t) = F (t, (t), (t)) Từ , hàm I(t) khả vi I ∂α ∂β ∂F ∂F ∂F (t, α(t), β(t)) (t) + (t, α(t), β(t)) (t) (t) = (t, α(t), β(t)) + ∂ti ∂ti ∂u ∂ti ∂v ∂ti β(t) = ∂β ∂α ∂f (x, t)dx + f (β(t), t) (t) − f (α(t), t) (t) ∂ti ∂ti α(t) ∂ti sin t etxdx Theo Định lý trên, hàm I(t) khả vi VÝ dơ XÐt tÝch ph©n I(t) = t sin t xetxdx + et sin t cos t − et I (t) = t 2.1 TÝch ph©n suy rộng phụ thuộc tham số Các định nghĩa Định nghĩa Giả sử hàm f (x, t) xác định [a, ) ì T , T R, cho với t T cố định , hàm f (x, t) khả tích [a, b], với b > a TÝch ph©n ∞ I(t) = f (x, t)dx (1), a gọi tích phân suy rộng loại phụ thuộc tham số Tích phân (1) gọi hội tụ t0 nếuu tích phân b f (x, t0 )dx hôi tụ, tức tồn lim f (x, t0)dx = I(t0) b a a hữu hạn Tích phân (1) gọi hội tụ T nếuu hội tụ điểm T , tức ∞ ∀ > 0, ∀t ∈ T, ∃a0( , t) > a, cho ∀b ≥ a0 =⇒ f (x, t) < b Tích phân (1) gọi hội tụ T nếuu > 0, a0( ) > a, cho ∀b ≥ a0, ∀t ∈ T = f (x, t) < b Định nghĩa Giả sử hàm f (x, t) xác định [a, b) × T , T ⊂ R, cho với t T cố định , hàm f (x, t) khả tích đoạn [a, b η], η > TÝch ph©n b−η b J (t) = f (x, t)dx = lim + f (x, t)dx, (2) a a gọi tích phân suy rộng loại phụ thuộc tham số Tích phân (2) gọi hội tụ b b t0 nếuu tích phân f (x, t0)dx hội tụ, tức tồn lim a η→0 a f (x, t0)dx = J (t0) hữu hạn Tích phân (2) gọi hội tụ T nếuu hội tụ điểm T , tøc lµ b ∀ > 0, ∀t ∈ T, ∃δ( , t) > 0, cho < ∀η < δ =⇒ f (x, t) < b−η 10 TÝch phân (2) gọi hội tụ T nếuu b ∀ > 0, ∃δ0( ) > 0, cho < ∀η < δ, ∀t ∈ T =⇒ f (x, t) < b−η Chó ý 1) T-¬ng tù, ta định nghĩa b I(t) = b f (x, t)dx = lim J (t) = a f (x, t)f (x, t), a→−∞ a b −∞ b f (x, t)dx = lim + f (x, t)f (x, t), η→0 a+η vµ có khái niệm hội tụ, hội tụ t-ơng ứng 2) Việc khảo sát tích phân suy rộng phụ thuộc tham số loại đ-ợc thực hoàn toàn t-ơng tự nh- loại 1, từ định nghĩa khái niệm đến tính chất Do đó, mục này, ta khảo sát tích phân suy rộng phụ thuộc tham sè ∞ I(t) = f (x, t)dx a ∞ textdx Khi Ví dụ Xét tích phân I(t) = a) I(t) hội tụ (0, ) ln ∀ > 0, ∀t ∈ T, ∃a0 = , ∀b > a0 =⇒ −t te−xt = e−bt < b b) I(t) không hội tụ (0, ) v× víi ∈ (0, 1), víi mäi a0 > 0, nÕu chän ∞ ln , th× ta cã te−xt = e−bt > b = a0 vµ t tõ bÊt ®¼ng thøc < t < −a0 b c) I(t) hội tụ Tr = [r, ), với r > ThËt vËy, ta cã ∞ ln , ∀b ≥ a0, ∀t ∈ Tr =⇒ ∀ > 0, ∃a0 = −r te−xt = e−bt < e−a0 r < b 50 IV.3 Công thưc Stokes (3) (4) ∂ai ∂ai = ∂xi ∂xj C ω = 0, , với i, j với đường cong kín C ⊂ U Chứng minh: Suy từ bổ đề Poincaré công thức Stokes (Bài tập) xdy − ydx Ví dụ Tập R2 \ {0} không co rút có dạng 2 đóng, x +y tích phân đường tròn 2π = Bài tập: Chứng minh Rn \ {0} không co rút cách xét dạng n i=1 (−1)i xi dx1 ∧ · · · dxi · · · ∧ dxn x n/2 (trong ký hiệu dxi để dxi mặt biểu thức.) 3.4 Ứng dụng vào giải tích vector Các toán tử grad, rot, div: Trong R3 với sở tắc e1, e2, e3 U tập mở R3 ∂ ∂ ∂ e1 + e2 + e3 , gọi toán tử nabla Ký hiệu ∇ = ∂x1 ∂x2 ∂x3 Cho f : U → R hàm khả vi Trường gradient f , định nghóa: grad f = ∇f = ∂f ∂f ∂f e1 + e2 + e3 ∂x1 ∂x2 ∂x3 Cho F = F1 e1 + F2 e2 + F3 e3 trường vector khả vi U Trường xoắn F , ký hiệu định nghóa rot F = ∇ × F = e1 ∂ ∂x1 F1 e2 ∂ ∂x2 F2 e3 ∂ ∂x3 F3 Hàm nguồn trường F , ký hiệu định nghóa: div F =< ∇, F >= ∂F1 ∂F2 ∂F3 + + ∂x1 ∂x2 ∂x3 Quan heä với toán tử vi phân Định nghóa đẳng cấu: h1 : X (U ) → Ω1 (U ), h2 (F1 e1 + F2 e2 + F3 e3 ) = F1 dx1 + F2 dx2 + F3 dx3 h2 : X (U ) → Ω2 (U ), h2 (F1 e1 +F2 e2 +F3 e3 ) = F1 dx2 ∧dx3 +F2 dx3 ∧dx1 +F3 dx1 ∧dx2 h3 : C ∞ (U ) → Ω3 (U ), h3 (f ) = f dx1 ∧ dx2 ∧ dx3 51 IV.3 Công thưc Stokes Khi biểu đồ sau giao hoán C ∞ (U ) ↓ id Ω0 (U ) nghóa ta có: grad → → d X (U ) ↓ h2 div Ω1 (U ) → Ω2 (U ) → X (U ) ↓ h1 rot → d → d C ∞ (U ) ↓ h3 Ω3 (U ) h1 ◦ grad = d ◦ id, h2 ◦ rot = d ◦ h1 , h3 ◦ div = d ◦ h2 Chứng minh: Xem tập Hệ qủa Từ d ◦ d = 0, suy rot ◦ grad = 0, div ◦ rot = 3.5 Công thức Stokes cho tích phân loại Cho F trường vector khả vi R3 (1) Giả sử S mặt cong compact R3 , định hướng trường vector pháp đơn vị N , có bờ ∂S = C đường cong định hướng cảm sinh trường vector tiếp xúc đơn vị T cho miền S nằm phía trái Khi C < F, T > dl = S < rot F, N > dS (2) Giả sử V miền giới nội R3 có bờ ∂V = S mặt cong định hướng trường vector pháp đơn vị N hướng phía Khi S < F, N > dS = V div F dV Chứng minh: Suy từ công thức Stokes mối quan hệ tích phân loại loại 53 Bµi tËp giải tích Bài tập tich phân phụ thuộc tham số Tính giới hạn 1) lim t→0 −1 1+t 4) lim t→0 t 1+t x2 + t2 dx 2) lim t→0 t ln(x + |t|) 5) lim t→0 ln(x2 + |t2| dx dx 3) lim + t2 n→∞ + (1 + x/n)n 1+x π/2 x −x2 /t2 e dx 6) lim e−t sin x dx t→∞ t2 Khảo sát tính liên tục hàm I(t) = tf (x) , hàm f (x) liên tục x2 + t d-ơng đoạn [0, 1] 1) Tìm đạo hàm tích phân eliptic π/2 π/2 − t2 sin2 xdx E(t) = dx F (t) = − t2 sin2 x dx 2) H·y biĨu diƠn E , F qua hàm E, F 3) Chứng minh rằnh E thỏa ph-ơng trình vi phân 1 E (t) + E (t) + E(t) = t − t2 Giả sử hàm f (x, y) có đạo hàm riêng liên tục Tính I (t) t2 t f (x + t, x − t)dx 1) I(t) = x+t sin(x2 + y − t2)dy dx 2) I(t) = 0 x−t Chøng minh r»ng hµm Bessel với số nguyên In (t) = π cos(nx − t sin x)dx, 54 tháa m·n ph-ơng trình Bessel t2 y + ty + (t2 n2)y = t Cho hµm ϕ(x) thc líp C 1) đoạn [0, a] I(t) = ϕ(x)dx √ Chøng t−x minh r»ng, víi mäi t ∈ (0, a) ta cã t ϕ(x)dx ϕ(0) √ + √ t−x t I (t) = B»ng cách lấy đạo hàm theo tham số, hÃy tính /2 π 2 ln(t sin x + cos x)dx 1) I(t) = ln(1 − 2t cos x + t2)dx 2) I(t) = 0 ∞ Chøng tá r»ng, hàm I(t) = cos x dx khả vi liên tơc trªn R + (x + t)2 Chøng minh c«ng thøc Frulanhi ∞ b f (ax) − f (bx) dx = f (0) ln , (a > 0, b > 0), x a ®ã f (x) hàm liên tục tích phân f (x) a x cã nghÜa víi mäi a > ∞ sin(tx) dx Chøng minh r»ng x 1) D(t) héi tụ đoạn [a, b] không chứa 2) D(t) hội tụ không đoạn [a, b] chøa 10 XÐt tÝch ph©n Dirichlet D(t) = ∞ e−tx 11 XÐt tÝch ph©n I(t) = sin x dx Chøng minh r»ng x 1) I(t) liªn tơc [0, ) 2) I(t) khả vi I (t) = − + t2 π 3) I(t) = − arctan(t) + π 4) D(1) = I(0) = lim I(t) = , D(t) tÝch ph©n Dirichlet t→0 55 12 Chøng minh r»ng D(t) = ∞ sin(tx) x dx = π sgnt 13 Bằng cách lấy đạo hàm theo tham số, h·y tÝnh 1)I(t) = ∞ e−tx2 3)I(t) = 2 ∞ e−tx − e−sx − e−sx dx, (t, s > 0) 2) I(t) = dx, (t, s > 0) x x ∞ −ax ln(1 − t2 x2) e − e−bx √ sin txdx, (a, b > 0) dx, (|t| ≤ 1) 4)I(t) = x x2 x2 14 Sử dụng tích phân Dirichlet công thức Frulanhi để tìm giá trị tích ph©n sau 1) ∞ sin ax cos bx 4) dx 2) ∞ sin ax sin bx x x ∞ sin ax sin ax dx, (|t| ≤ 1) 5) x x dx 3) ∞ sin4 ∞ dx 6) ax x2 sin4 ax − sin4 bx dx x 15 Sư dơng c¸c tÝch phân Euler để tính tích phân sau a ∞ ∞ dx √ x 2 − x2 dx, (a > 0) 2) 1) x a dx 3) 0 (1 + x) 1+x π/2 ∞ dx 4) √ dx, (n > 1) 5) sin6 x cos4 xdx 6) x2n e−x dx n − xn 0 16 H·y biĨu diƠn tích phân sau qua tích phân Euler ∞ xm−1 xm xm (n > 0) 2) dx (a, b, n > 0) 3) dx n n p −xn 1+x (a + bx ) e π/2 ∞ ∞ ln2 x 5) xpe−ax ln xdx (a > 0) 6) dx 4) tann xdx 0 1+x 1) 17 Chứng minh công thức Euler (λ > 0, p > 0, −π/2 < α < π/2) ∞ Γ(p) 1) xp−1e−λx cos α cos(λx sin α)dx = p cos αp λ ∞ Γ(p) xp−1 e−λx cos α sin(λx sin α)dx = p sin αp 2) λ 56 Bài tập II Tích phân hàm ña taïp Cho f : Rn → Rm Chứng minh f khả vi lớp C p đồ thị f đa tạp khả vi lớp C p Rn × Rm Cho F : Rn → Rm ánh xạ khả vi Gọi M tập Rm cho hệ phương trình F (x) = Chứng minh rank F (x) = m với x ∈ M , M đa tạp khả vi n − m chiều α : (a, b) → R2 tham số hoá đường cong trơn, α(t) = (x(t), y(t)) y(t) > Chứng minh mặt tròn xoay cho tham số hoá: Cho φ(t, θ) = (x(t), y(t) cos θ, y(t) sin θ), (t, θ) ∈ (a, b) × (0, 2π), đa tạp khả vi R3 Chứng minh đường cong tọa độ vuông góc với Tìm vector pháp mặt phẳng tiếp xúc Áp dụng: tham số hoá mặt trụ, cầu, xuyến Cho α : (a, b) → R2 tham số hoá đường cong trơn p = (p1 , p2 , p3 ) ∈ R3 với p3 = Chứng minh mặt nón cho tham số hoaù: φ(t, s) = (1 − s)p + s(α(t), 0), (t, s) ∈ (a, b) × (0, 1), đa tạp khả vi R3 Xác định đường cong tọa độ, vector pháp, mặt phẳng tiếp xúc Kiểm tra tập cho phương trình hay tham số sau đa tạp không Trong R2 : a) x = a(1 − sin t), y = a(1 − cos t) b) x = t2 , y = t3 Trong R3 : a) x = a cos t, y = a sin t, z = bt (a, b cá số dương) √ b) x = cos 2t, y = sin 2t, z = sin 2t x2 y z x2 y x2 y z c) + + = d) + − = ±1 e) + − z = a b c a b c a b f) x = (b + a cos θ) cos ϕ, y = (b + a cos θ) sin ϕ, z = a sin θ g) x2 + y = z y = ax h) x2 + y = a2 x+y+z = Tìm phương trình đường thẳng hay mặt phẳng tiếp xúc cho đa tạp Kiểm tra phương trình bất phương trình sau xác định đa tạp có bờ R3 : a) x2 + y2 + z = 1, z ≥ b) x2 + y2 ≤ a2 , x + y + z = c) x2 + y2 + z ≤ a2 , x + z = d) z ≤ y2 + x2 , z = a Chứng minh R3 , mặt cầu x2 + y2 + z = a2 cho tham số hoá, cho hai tham số hoá Xác định phương trình không gian tiếp xúc (x0 , f (x0 )) cho đa tạp tập 57 Bài tập Phác họa mặt, xác định đường cong tọa độ, vector pháp, không gian tiếp xúc mặt cho tham số hoá:: a) ϕ(t, θ) = (t cos θ, t sin θ, θ) (maët Helicoid) θ b) ϕ(t, θ) = ((1 + t cos ) cos θ, (1 + t cos θ ) sin θ, t sin ), 2 (laự Mobius) ă |t| < , θ ∈ (0, 2π) 10 Xeùt đa tạp M cho tập Gọi F = (F1 , · · · , Fm ) a) Chứng minh không gian tiếp xúc M laø Tx M = ker F (x) = {v ∈ Rn : < grad F1 (x), v >= · · · =< grad Fm (x), v >= } b) Cho f : Rn → R Chứng minh f đạt cực trị với điều kiện x ∈ M = {x : g(x) = 0} a, tồn λ1 , · · · , λm ∈ R, cho grad f (a) = λ1 grad F1 (a) + · · · + λm grad Fm (a) 11 Xeùt cực trị hàm: a) f (x, y) = ax + by, với điều kiện x2 + y2 = b) f (x, y, z) = x − 2y + 2z , với điều kiện x2 + y2 + z = x2 y z + + = (a > b > c > 0) a2 b c + y + z = 1, x + y + z = x c) f (x, y, z) = x2 + y2 + z , với điều kiện d) f (x, y, z) = xyz , với điều kiện: e) f (x, y, z) = x + y + z , với điều kiện: x2 + y = 2, x + z = 12 Xét cực trị haøm: a) f (x, y, z) = x2 + y2 + z , với điều kiện x2 + y2 − ≤ z ≤ b) f (x, y, z) = x2 + 2y2 + 3z , với điều kiện x2 + y2 + z ≤ 100 13 Tìm thể tích lớn hình hộp chữ nhật với điều kiện diện tích mặt 10m2 14 Chứng minh trung bình hình học không lớn trung bình số học, i.e (a1 · · · an ) n ≤ (a1 + · · · + an ), n (a1 , · · · , an > 0) x + y n xn + y n , (x, y > 0, n ∈ N) ≤ 2 n + yn x , với điều kieän x + y = s) f (x, y) = 15 Chứng minh bất đẳng thức (HD: Xét cực trũ 16 Chửựng minh baỏt ủaỳng thửực H older: ă n i=1 xi ≤ ( n i=1 ap ) p ( i n i=1 xq ) q , i neáu xi , > 0, 1 + = (p, q > 0) p q 58 Bài tập Suy bất đẳng thức Milkovski: n p p |ai + xi | ) ≤ ( i=1 n p p |ai | ) + ( i=1 HD: |a + x|p = |a + x||a + x| p q n |xi |q ) q i=1 p q ≤ |a||a + x| + |x||a + x| q 17 Chứng minh cực trị hàm f (x, y) = ax2 + 2bxy + cy2 , với điều kiện x2 + y2 = 1, b đạt vector riêng ma trận a c b 18 Tổng quát tập Cho A ma trận thực, đối xứng cấp n Định nghóa f (x) =< Ax, x >= t xAx, x ∈ Rn Chứng minh neáu v ∈ R n , v = 1: f (v) = max{f (x) : x = 1}, Av = λv Suy matrận đối xứng có giá trị riêng thực 19 Cho u, v ∈ R3 Chứng minh v =( u v − < u, v >) = dieän tích hình bình hành tạo u, v Suy tọa độ u × v theo tọa độ u, v 20 Cho h : Rn → Rn , h(x) = λx, P hình bình hành k chiều Rn Tìm mối quan hệ thể tích k chiều Vk (P ) Vk (h(P )) 21 Tính tích phân đường: a) y2 dl, C laø cung cycloid x = a(t − sin t), y = a(1 − cos t), ≤ t ≤ 2π C b) a c) C xdl, C phần đường loga có phương trình tọa độ cực: zdl, C C cung xoắn x = t cos t, y = t sin t, z = t, ≤ t ≤ T r = a kϕ , r ≤ d) x2 dl, C cung tròn x2 + y2 + z = 1, x + y + z = C (HD: Dựa vào tính đối xứng biến) 22 Tính tích phân mặt: a) zdS , S mặt x = u cos v, y = u sin v, z = v, < u < a, < v < 2π S b) c) S S zdS , S phần mặt noùn z = (x + y + z)dS , S x2 + y giới hạn trụ x2 + z ≤ 2az nửa mặt cầu x2 + y2 + z = a2 , z ≥ 23 Chứng minh công thức Poisson x2 +y +z =1 f (ax + by + cz)dS = 2π −1 f (u a2 + b2 + c2 )du (HD: Dùng phép quay để ý phép quay bảo toàn điện tích) 59 Bài tập 24 Tính độ dài đường cong tham số hoá: a) α(t) = (a cos bt, a sin bt, ct), t ∈ [0, h] b) α(t) = (t cos bt, t sin bt, ct), t ∈ [0, h] 25 Cho f : U → R hàm khả vi tập mở U tính thể tích n chiều Vn (graphf) = ⊂ Rn n U Chứng minh công thức ∂f 1+ ( ) ∂xi i=1 Áp dụng tính độ dài Ellip diện tích mặt Ellipsoid 26 Chứng minh công thức tính điện tích cho mặt tròn xoay taäp 3: Sφ = 2π b a y(t)(x (t)2 + y (t)2 ) dt Áp dụng tính diện tích mặt Ellipsoid mặt xuyến 27 Viết công thức tính diện tích mặt nón cho tập Nêu ví dụ cụ thể III Dạng vi phân Cho (x, y) = f (r, ϕ) = (r cos ϕ, r sin ϕ) Tính f ∗ (dx), f ∗ (dy), f ∗ (dx ∧ dy) Cho (x, y, z) = f (r, ϕ, θ) = (ρ cos ϕ sin θ, ρ sin ϕ sin θ, ρ cos θ) Tính f ∗ (dx), f ∗ (dy), f ∗ (dz), f ∗ (dx∧dy), f ∗ (dy ∧dz), f ∗ (dz ∧dx), f ∗ (dx∧dy ∧dz) Cho f : R n → Rm (g ◦ f )∗ = f ∗ ◦ g ∗ v… g : R m → Rp ánh xạ khả vi Chứng minh Cho f : Rn → Rm khả vi rank f (x) < k với x ∈ Rn Chứng minh f ∗ ω = với ω ∈ Ωk (Rm ) Tính dω dạng vi phân trong R3 sau a) ω = xdx + ydz b) ω = sin xdx + ydy + exy dz c) ω = exy dx ∧ dz d) ω = xdy ∧ dz + ydz ∧ dx + zdx ∧ dy Tìm (n − 1)-dạng vi phaân ω Rn cho dω = dx1 ∧ · · · ∧ dxn Giả sử ω1 v… ω2 1-dạng đóng Chứng minh ω1 ∧ ω2 dạng đóng Chứng minh dạng ω(x, y, z) = (xdy ∧ dz + ydz ∧ dx + zdx ∧ dy), r với r2 = x2 + y2 + z , đóng không khớp R \ {0} 60 Bài tập Cho dạng vi phân ω = n (x)dxi i=1 cầu mở tâm a Rn Giả sử ω đóng Chứng minh để tìm hàm f cho df = ω dùng công thức sau: n (a + t(x − a))dt xi a) f (x) = i=1 x1 a1 (x1 , · · · , xn )dx1 + b) f (x) = α1 a = (α1 , · · · , αn ) x2 α2 a2 (α1 , x2 , · · · , xn )dx2 +· · ·+ xn αn an (α1 , α2 , · · · , xn )dxn 10 Kiểm tra tính đóng dạng ω, tìm tích phân đầu a) ω = (x4 +4xy3 )dx+(6x2 y2 −5y4 )dy b) ω = (x+sin y)dx+(x cos y+sin y)dy c) ω = ex cos ydx − ex sin ydy d) ω = (x2 + 2xy − y2 )dx + (x2 − 2xy − y2 )dy e) ω = a(x)dx + b(y)dy + c(z)dz , a, b, c hàm khả vi R f) ω = a(x2 + y2 + z )(xdx + ydy + zdz), a hàm khả vi R 11 Xác định α để dạng vi phân sau đóng, tìm tích phân đầu ω= 12 Xác định hàm ϕ : R → R, 3x2 y − y x3 − 3xy dx + dy (x2 + y )α (x + y )α ϕ(0) = 0, cho dạng sau đóng ω = (1 + x2 )ϕ(x)dx − 2xyϕ(x)dy − 3zdz Tìm tích phân đầu IV Tích phân dạng vi phân Chứng minh đường hay mặt liên thông định hướng được, định hướng Một đường hay mặt có d thành phần liên thông định hướng được, định hướng? Nêu ví dụ đa tạp có bờ không định hướng được, bờ định hướng với C đường xoắn x = a cos t, y = a sin t, z bt, ≤ t ≤ 2π , định hướng (a, 0, 0) đến (a, 0, 2πb) Tính Tính C C ydx + zdy + xdz , (x + y)dx − (x − y)dy , x2 + y khi: a) C đường tròn đơn vị định hướng ngược chiều kim đồng hồ b) C đường cong kín không qua (0, 0) = 61 Bài tập Cho α : [a, b] → R2 \ {0} tuyến Giả sử α(t) = (x(t), y(t)) = (r(t) cos θ(t), r(t) sin θ(t)) với x, y, r, θ hàm khả vi −y(t)x (t) + x(t)y (t) x2 (t) + y (t) −ydx + xdy Chứng minh ω đóng ω= x2 + y a) Chứng minh θ (t) = không khớp b) Xét c) Định nghóa số vòng quay α quanh 0: I(α, 0) = 2π α ω= b a −y(t)x (t) + x(t)y (t) dt x2 (t) + y (t) Tính số α(t) = (a cos kt, a sin kt), t ∈ [0, 2π] (y − z )dx + (z − x2 )dy + (x2 − y )dz , Tính C C chu vi tam giác cầu: x2 + y2 + z = 1, x, y, z caûm sinh hướng pháp mặt cầu ≥ 0, định hướng Cho S đồ thị hàm z = x2 + y2 + 1, (x, y) ∈ (0, 1)2 Haõy xác định hướng cho S tính S ydy ∧ dz + xzdx ∧ dz Tính tích phân đo góc khối mặt S gốc 0: S xdy ∧ dz + ydz ∧ dx + zdx ∧ dy (x2 + y + z )3/2 trường hợp S là: a) Mặt cầu b) Nửa mặt cầu c) Một phần tám mặt cầu Trong R3 , cho S : 4x2 + y2 + 4z = 4, y ≥ a) Phác họa S ∂S b) Tham số hoá S ϕ(u, v) = (u, 2(1 − u2 − v2 ) , v) Xác định hướng cho tham số ϕ ω vaø dω c) Cho ω = ydx + 3xdz Tính ∂S 10 Áp dụng công thức Green, tính: I = định hướng ngược chiều kim đồng hồ S C xy dy − x2 ydx, với C : x2 + y2 = a2 11 Áp dụng công thức Green, n diệnntích hình giới hạn đường cong R tính x y cho phương trình + = (a, b, n > 0) a b 12 Cho I = xdx + ydy + zdz , C với C đường tròn: x2 + y2 + z = a2 , x + y + z = 0, với định hướng tự chọn a) Tính trực tiếp I b) Dùng công thức Stokes tính I 62 Bài tập 13 Cho S ⊂ R3 mặt trơn có bờ đường cong C = ∂S Giả sử C chứa mặt phẳng cố ñònh ax + by + cz − d = 0, (a2 + b2 + c2 = 1) Tính C dx dy dz a b c x y z 14 Cho I = yzdx ∧ dy + xzdy ∧ dz + xydz ∧ dx, S với S phía mặt: x2 + y2 = R2 , x, y, z ≥ 0, z ≤ H a) Tính trực tiếp I b) Dùng công thức Gauss-Ostrogradski tính I 15 Cho I = 4xdy ∧ dz − 2y2 dz ∧ dx + z dx ∧ dy, S với S phía mặt giới hạn bởi: x2 + y2 ≤ 4, ≤ z ≤ a) Tính trực tiếp I b) Dùng công thức Gauss-Ostrogradski tính I 16 Tính I(t) = P (x2 + y2 )dx ∧ dy + Q(y, z)dy ∧ dz + R(z, x)dz ∧ dx, St với P, Q, R hàm khaû vi, St = {(x, y, z) : x2 + y2 + (z − 1)2 = t2 , z ≥ 0} Suy I (t) 17 Cho ω = n i=1 dxi ∈ Ω1 (U ), với U tập mở, co rút Rn Chứng minh điều sau tương đương: (i) ω khớp, i.e tồn hàm f : ω = df (ii) ω đóng, i.e dω = ∂a ∂a (iii) i = j , với i, j = 1, · · · , n (iv) (iv) ∂xj C ∂xi ω = 0, Ca,b ω với đường cong kín C phụ thuộc a, b mà không phụ thuộc đường cong C a,b nối chúng 18 Kiểm tra kết qủa ω = a) f (x2 + y2 )(xdx + ydy) b) f (x)dx + g(y)dy + h(z)dz c) f (x + y + z)(dx + dy + dz) d) f ( x2 + y2 + z )(xdx + ydy + zdz), f, g hàm lớp C f (x2 + y )(ydx + xdy), với f hàm lớp C 19 Xét C Chứng minh tích phân không phụ thuộc dạng đường cong phụ thuộc đầu mút C 20 Tìm điều kiện cho hàm P, Q thuộc lớp C cho C P (tx, ty)dx + Q(tx, ty)dy, không phụ thuộc t, với đường cong kín C C mà 63 Bài tập cos(N, r) dS , r = (x, y, z), S mặt trơn, 21 Tính tích phân Gauss r S kín R3 , ∈ S , N trường pháp, đơn vị, hướng 22 Cho V ⊂ R3 khối giới hạn mặt tr7n, kín S , vaø N = (cos α, cos β, cos γ) laø trường pháp vector đơn vị định hướng mặt S Chứng minh: a) cos(N, v)dS = 0, với hướng v ∈ Rn S b) Thể tích V cho công thức V = S (x cos α + y cos β + z cos γ)dS c) Neáu F (x, y, z) = (ax, by, cz), 23 Tính S với < F, N > dS = (a + b + c)V vaø f (x, y) x2 + y + z ≤ 1; f (x, y) = trường hợp ngược laïi F (t) = f dS , S S : x + y + z = t, = x2 + y , neáu ((cos z − cos y) cos α + (cos x − cos z) cos β + (cos y − cos x) cos γ) dS , 24 Tính S với S phía mặt cầu x2 + y2 + z = 1, vaø α, β, γ góc tạo trường pháp vector S với trục tọa độ (x2 cos α + y cos β + z cos γ)dS , 25 Tính S với S mặt nón giới hạn mieàn: x2 + y2 ≤ z , ≤ z ≤ h, định hướng trường pháp vector N = (cos α, cos β, cos γ) hướng 26 Cho trường vector F (x, y, z) = (x2 z, −2y3 z , xy2 z) Tính div F rot F = ∇ × F 27 Chứng minh rot(grad )f lôp C ) = 0, =< ∇, F > vaø vaø div(rot F )= (f laø hàm, F trường vector 28 Trường vector F = (F1 , · · · , Fn ) treân U ⊂ Rn , gọi trường nếuu hàm f khả vi U , cho F = grad f (gọi hàm thế) a) F trường ωF = F1 dx1 + · · · + Fn dxn dạng khớp (x, y, z) b) Trường hấp dẫn F (x, y, z) = −m 2 có trường thế? Nếu có tìm hàm (x + y + z ) 29 Trong R3 , cho trường vector F Thử giải thích vật lý người ta gọi a) < F, T > ds công trường F dọc theo đường cong C b) C S < F, N > dS thông lượng dòng F qua mặt cong cong S 30 Trong R3 cho trường vector khả vi F Chứng minh div F (x0 ) = lim r→0 Vr Sr < F, N > dS, 64 Bài tập Với Vr thể tích hình cầu tâm x0 bán kính r, với Sr bờ N trường pháp vector đơn vị Sr 31 Cho S mặt giới hạn khối V N trường pháp vector đơn vị S Chứng minh div N dV = diện tích (S) × thể tích (V ) V 32 Cho ϕ, ψ hàm lớp C miền giới nội V ⊂ R3 , có bờ mặt kín S , định hướng trường pháp vector đơn vị N hướng phía Chứng minh a) Công thức Green thứ nhất: V (ϕ∆ψ+ < ∇ϕ, ∇ψ > dV = S < ϕ∇ψ, N > dS b) Công thức Green thứ hai: V (ϕ∆ψ − ψ∆ϕ > dV = ∆ =< ∇, ∇ >= S < ϕ∇ψ − ψ∇ϕ, N > dS ∂2 ∂2 ∂2 + + 2, ∂x2 ∂y ∂z toán tử Laplace ... vi phân Tích ngoại 1-vi phân ϕ1 , · · · , ϕk ∈ Ω1 (U ): (ϕ1 ∧ · · · ∧ ϕk )(x) = ϕ1 (x) ∧ · · · ∧ ϕk (x), x ∈ U, k-dạng vi phân U Do 1-dạng dx1 , · · · , dxn sở Ω1 (U ), nên k-dạng vi phân U có... y, z) Khi Các 0-dạng vi phân hàm f : U → R Các 1-dạng vi phân gọi dạng Pfaff có biểu diễn P dx + Qdy + Rdz Các 2-dạng vi phân có biểu diễn Adx ∧ dy + Bdy ∧ dz + Cdz ∧ dx Caùc 3-dạng vi phân... ? ?-? ??c Γ(p + q) = (1 + t)p+q y p+q−1 e−(1+t)y dy Nhân hai vế đẳng thức với tp1 lấy tích phân theo t từ đến ta ? ?-? ??c (p + q) tp1 dy = (1 + t)p+q ∞ ∞ tp−1 e−ty y p+q−1 ey dy dt 0 t tp1 , ta ? ?-? ??c