’ chính phương, các hệ số là số nguyên nên các nghiệm của phương trình là số hữu tỉ.... chia hết cho 60 với mọi số tự nhiên n.[r]
(1)UBND HUYỆN DUYÊN HẢI PHÒNG GD&ĐT KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2013-2014 Môn: Toán Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian giao đề) I/ MA TRẬN ĐỀ Chủ đề chính Nhận biết Hàm số y = ax+b (a 0) Biết xác định dạng hàm số Số câu Số điểm Hai đường thẳng song song và hai đường thẳng cắt 3 Vận dụng Thấp Cao Vẽ đúng Đồ thị Và tìm toạ độ các giao điểm Biết tìm điều kiện đê hai đường thẳng song song và hai đường thẳng cắt 2 Số câu Số điểm Hệ số góc đường thẳng Số câu Số điểm Tổng Số câu Số điểm Thông hiểu 2 2 Tính các góc tạo đường thẳng 1 3 Tổng 1 10 (2) II/ ĐỀ Bài 1: (3 điểm) Thực tính: √2 x+ √ x − √ x − + x+ với x=2 √6 +3 Bài 2: (5 điểm) Giải các phương trình: a x 2+5 x − √ x2 +5 x +4=− b √ x2 −3 x+ 2+ √ x +3=√ x −2+ √ x 2+ x −3 Bài 3: (4 điểm) a Chứng minh phương trình (n+1)x2 + 2x - n(n+2)(n+3) = luôn có nghiệm hữu tỉ với số n nguyên b Gọi x1, x2 là nghiệm phương trình x2 + 2009x + = x3, x4 là nghiệm phương trình x2 + 2010x + = Tính giá trị biểu thức: (x1+x3)(x2 + x3)(x1-x4)(x2-x4) Bài 4: ( điểm) Cho đường tròn (O) và điểm A nằm ngoài đường tròn Vẽ các tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B, C là các tiếp điểm) Đoạn thẳng AO cắt đường tròn (O) M Trên cung nhỏ MC (O) lấy điểm D AD cắt (O) điểm thứ hai E I là trung điểm DE Đường thẳng qua D vuông góc với BO cắt BC H và cắt BE K a Chứng minh bốn điểm B, O, I, C cùng thuộc đường tròn b Chứng minh ICB = IDK c Chứng minh H là trung điểm DK Bài 5: ( điểm) Cho A(n) = n2(n4 - 1) Chứng minh A(n) chia hết cho 60 với số tự nhiên n III/ HƯỚNG DẪN CHẤM (3) Bài 1: (3 điểm) Thực tính: √2 x+ √ x − √ x − + x+ với x=2 √6 +3 √ x+2+ √ x − ¿2 Thay ¿ ¿ √¿ √ x +2+ x − 2+ √( x +2)(x − 2) =¿ ¿ √(x +2)( x −2)+ x +2 √3+ √ ¿2 ¿ ¿ x=2 √ +3 vào được: √¿ 1 = √2 √ 6+2+3 ¿ Bài 2: (5 điểm) Giải các phương trình: a x +5 x − √ x2 +5 x +4=− 2 x +5 x +4 − √ x +5 x +4=2 Đặt y=√ x 2+ x + (y 0) được: y2 - y - = Giải phương trình được: y1 = -1 (loại); y2 = Với y = giải √ x2 +5 x+ 4=2 x1 = 0; x2 = -5 Thử lại (hoặc đối chiếu với điều kiện) kết luận nghiệm Ghi chú: Có thể đặt y = x2 + 5x Lúc này cần đặt điều kiện bình phương hai vế b √ x2 −3 x+ 2+ √ x +3=√ x −2+ √ x 2+ x −3 √( x − 1)(x −2)+ √ x +3=√ x −2+ √(x −1)( x +3) √ x −1( √ x − 2− √ x+3)− √ x − 2+ √ x +3=0 ( √ x −2 − √ x +3)( √ x −1 −1)=0 √ x −2 − √ x +3=0 vô nghiệm; √ x −1 −1=0 x = Thử lại (hoặc đối chiếu với điều kiện) kết luận nghiệm Bài 3: (4 điểm) a.Chứng minh Phương trình (n+1)x2 + 2x - n(n+2)(n+3) = luôn có nghiệm hữu tỉ với số n nguyên n = -1: Phương trình có nghiệm Với n -1 n+10 ’= 1+ n(n+2)(n+3)(n+1) = 1+ (n2 + 3n)(n2+3n+2) = (n2 + 3n)2 + 2(n2 + 3n) + =(n2 + 3n + 1)2 ’ nên phương trình luôn có nghiệm ’ chính phương, các hệ số là số nguyên nên các nghiệm phương trình là số hữu tỉ 1,5 1,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 (4) b Gọi x1, x2 là nghiệm phương trình x2 + 2009x + = x3, x4 là nghiệm phương trình x2 + 2010x + = Tính giá trị biểu thức: (x1+x3)(x2 + x3)(x1-x4)(x2-x4) Giải: Chứng tỏ hai phương trình có nghiệm Có: x1x2 = x3x4 = x1+x2 = -2009 x3 + x4 = -2010 Biến đổi kết hợp thay: x1x2 = 1;x3x4 = (x1+x3)(x2 + x3)(x1-x4)(x2-x4) = (x1x2 + x2x3 - x1x4 -x3x4 )(x1x2+x1x3-x2x4-x3x4) = (x2x3 - x1x4 )(x1x3-x2x4 ) = x1x2x32 - x3x4x22 - x3x4x12+x1x2x42 = x32 - x22 - x12 + x42 = (x3 + x4 )2 - 2x3x4 -( x2+ x1)2 + 2x1x2 = (x3 + x4 )2 -( x2+ x1)2 Thay x1+x2 = -2009; x3 + x4 = -2010 : 20102 - 20092 =2010+2009 =4019 Ghi chú: Có thể nhân theo nhóm [(x1+x3)(x2 + x3)].[(x1-x4)(x2-x4)] Bài 4: ( điểm) 0,5 0,5 B K A M O H D I E C OB BA; OC CA ( AB, AC là các tiếp tuyến) OI IA (I là trung điểm dây DE) B, O, I, C cùng thuộc đường tròn đường kính AO ICB = IAB ( Cùng chắn cung IB đường tròn đường kính AO) DK // AB (Cùng vuông góc với BO) IDK = IAB Từ (1) và (2) được: ICB = IDK ICB = IDK hay ICH = IDH Tứ giác DCIH nội tiếp HID = HCD HCD = BED (Cùng chắn cung DB (O)) 1,5 (1) (2) 2,5 (5) HID = BED IH // EB IH là đường trung bình DEK H là trung điểm DK Bài 5: ( điểm) Chứng minh A(n) = n2(n4 - 1) chia hết cho 60 với số tự nhiên n - A(n) = n.n(n2 - 1)( n2 + 1) = n.n(n - 1)(n+1)( n2 + 1) Do n(n - 1)(n+1) chia hết cho nên A(n) chia hết cho với n - A(n) = n2(n4 - 1) = n(n5 - n) Do n5 - n chia hết cho theo phecma nên A(n) chia hết cho với n - Nếu n chẵn n2 chia hết cho A(n) chia hết cho Nếu n lẻ (n-1)(n+1) là tích hai số chẵn nên nó chia hết cho A(n) chia hết cho với n - Ba số 3,4,5 đôi nguyên tố cùng nên A(n) chia hết cho 3.4.5 hay A(n) chia hết cho 60 * Chú ý: học sinh làm cách khác đúng đạt điểm tối đa 0,5 0,5 0,5 0,5 (6)