ĐB AXTT phần 1

Khóa – GV: Nguyễn Đức Trung TỐN CAO CẤP 2016 - 2017 Facebook: Thay.Trung.Toan ĐẠI SỐ Chuyên đề 3: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH Định nghĩa tính chất ánh xạ tuyến tính Bài 04.03.1.001 Cho A ma trận cấp m  n K Ánh xạ  : K n  K m xác định   x   Ax Chứng minh  ánh xạ tuyến tính Bài 04.03.1.002 Kiểm tra ánh xạ h:  có phải ánh xạ tuyến tính không? ( x; y ) (2 x  y; x  y ) Bài 04.03.1.003 Cho A ma trận cấp n K Ánh xạ  : M n  K   M n  K  xác định   X   XA  AX , với X  M n  K  Chứng minh  ánh xạ tuyến tính Bài 04.03.1.004 Ánh xạ f   có phải tuyến tính khơng:   x, y     x, y  3) f   x, y     y, x  5) f   x, y     x, y  1 7) f   x, y     y, y  1) f   x, y     x , y  4) f   x, y     0, y  6) f   x, y     2x  y, x  y  8) f   x, y     x , y  2) f 3 Bài 04.03.1.005 Ánh xạ f :  có phải tuyến tính khơng:   x, y , z     x , x  y  z  3) f   x, y, z    1,1 1) f Moon.vn - Học để khẳng định   x, y, z     0,0  4) f   x, y, z     x  y,3 y  z  2) f Hotline: 0432 99 98 98 Khóa – GV: Nguyễn Đức Trung TOÁN CAO CẤP 2016 - 2017 Facebook: Thay.Trung.Toan Bài 04.03.1.006 Ánh xạ f : M2   a 1) f    c  a 3) f    c có phải tuyến tính khơng: b ad d   b   2a  3b  c  d d    a 2) f    c  a 4) f    c b a b    det    d c d  b 2  a b  d Bài 04.03.1.007 Ánh xạ f : P2  P2 có phải tuyến tính khơng: 1) f  a0  a1 x  a2 x   a0   a1  a2  x   2a0  3a1  x 2) f  a0  a1 x  a2 x   a0  a1  x  1  a2  x  1 3) f  a0  a1 x  a2 x   4) f  a0  a1 x  a2 x    a0  1  a1 x  a2 x Bài 04.03.1.008 Cho f :  ánh xạ biến điểm mặt phẳng thành điểm đối xứng trục y Hãy tìm cơng thức cho f chứng tỏ tốn tử tuyến tính Bài 04.03.1.009 Gọi M mn tập ma trận cỡ m  n Cho B ma trận cỡ 2x3 hoàn toàn xác định Chứng minh ánh xạ T : M22  M23 định nghĩa T  A  AB ánh xạ tuyến tính Bài 04.03.1.010 Cho ánh xạ T : phẳng xy  W phép chiếu trực giao điểm lên mặt a) Tìm cơng thức T b) Tìm T   2,7, 1  Moon.vn - Học để khẳng định Hotline: 0432 99 98 98 Khóa – GV: Nguyễn Đức Trung TOÁN CAO CẤP 2016 - 2017 Facebook: Thay.Trung.Toan Bài 04.03.1.011 S sở không gian n chiều V a) Chứng minh v1 , v2 , , vr họ độc lập tuyến tính V vecto tọa độ  v1 S ,  v2 S , ,  vr S tạo thành họ độc lập tuyến tính ngược lại b) {v1 , , vr } sinh V { v1 S , ,  vr S sinh R n ngược lại Bài 04.03.1.012 Cho f :  ánh xạ tuyến tính cho f (1,1,2)  (1,2,3), f (2,1,1)  (0,1,1), f (2,2,3)  (0, 1,0) Hãy xác định công thức f , nghĩa tìm f ( x1 , x2 , x3 ) Bài 04.03.1.013 Cho ánh xạ tuyến tính f : Xác định f ( x1 , x2 )  xác định f (3, 1)=(2, -4) f (1, 1) =(0, 2) Bài 04.03.1.014 Cho ánh xạ tuyến tính f :  g :  xác định f ( x1, x2 , x3 )  ( x1, x2  x3 ) g ( x1, x2 , x3 )  ( x1  x2 , x3 ) Hãy xác định ánh xạ f + g; 3f; 2f – 5g Bài 04.03.1.015 cho sở tắc {e1  (1,0,0); e2  (0,1,0); e3  (0,0,1)} , cho vectơ v1  (1,1); v2  (2,3); v3  (4,5) Hãy xác định ánh xạ f :  thỏa tính chất f (ei )  vi , i  1,2,3 Trong Bài 04.03.1.016 Xét sở S  {v1 , v2 , v3} , v1  1,2,3 ; v2   2,5,3; v3  1,0,10  Tìm cơng thức biểu diễn ánh xạ tuyến tính T : T  v1   1,0 , T  v2   1,0 , T  v3    0,1 Tính T 1,1,1 sở tắc Moon.vn - Học để khẳng định 3 ,  xác định Hotline: 0432 99 98 98 Khóa TỐN CAO CẤP 2016 - 2017 – GV: Nguyễn Đức Trung Facebook: Thay.Trung.Toan T : P2  P2 định Bài 04.03.1.017 Tìm ánh xạ tuyến tính xác T 1   x, T  x    x , T  x    x  3x Tính T   x  3x  Bài 04.03.1.018 Trong cho hai hệ vectơ {u1  (1,1,0); u2  (0,1,1); u3  (1,0,1)} {v1  (1,1,1); v2  (0,0,1); v3  (1,2,1)} Hỏi có tồn phép biến đổi tuyến tính f :  thỏa f (ui )  vi , i  1,2,3 khơng? Nếu có xác định công thức f Bài 04.03.1.019 Cho f : V  V ' ánh xạ tuyến tính hệ vecto 1 ,  , , r V Chứng       minh hệ vecto f 1 , f  , , f  r độc lập tuyến tính V’ hệ vecto cho độc lập tuyến tính Bài 04.03.1.020 Cho V V’ hai không gian vecto trường K với số chiều V’ hữu hạn, f : V  V ' toàn cấu Chứng minh tồn ánh xạ tuyến tính g : V '  V cho fg ánh xạ đồng V’ Ánh xạ g có khơng? Bài 04.03.1.021 Giả sử E  K  X  không gian vecto đa thức ẩn X trường K, p số tự nhiên Xét tự đồng cấu f : E  E f  P   1  pX  P  X P ' P Trong P’ đạo hàm đa thức P Chứng minh f đơn cấu, khơng phải tồn cấu Nhân ảnh ánh xạ tuyến tính Bài 04.03.1.022 Cho tốn tử tuyến tính f :  xác định f ( x, y, z)  ( x  y  z,2 x  y  3z,4 x  y  5z) Hãy tìm Kerf Imf Moon.vn - Học để khẳng định Hotline: 0432 99 98 98 Khóa – GV: Nguyễn Đức Trung TOÁN CAO CẤP 2016 - 2017 Facebook: Thay.Trung.Toan Bài 04.03.1.023 Cho T :   1 ánh xạ nhân với ma trận    8  1) Hỏi vecto  Im T  ? a) 1, 4 b)  5,0  c)  3,12  2) Vecto  Ker T  ? a)  5,10 b) 3,2  c) 1,1 Bài 04.03.1.024 1) Cho ánh xạ tuyến tính T : P2  P3 xác định T  p  x    xp  x  Hỏi phần tử thuộc Ker T  : a) x c)1  x b)0 2) Hỏi phần tử thuộc Im T  : a) x  x b)1  x c)3  x Bài 04.03.1.025 V không gian n chiều Tìm hạng ánh xạ tuyến tính T : V  V xác định bởi: a)T  x   x b)T  x    c)T  x   3x Bài 04.03.1.026 V không gian vecto cho T : V  V xác định T  v   3v a) Tìm Ker(T) b) Tìm Im(T) Bài 04.03.1.027 Tìm số chiều Ker(T) Im(T) với: a) T :   1 ánh xạ nhân với ma trận    8  b) T : V  V xác định T  p  x    xp  x  Moon.vn - Học để khẳng định Hotline: 0432 99 98 98 Khóa – GV: Nguyễn Đức Trung TỐN CAO CẤP 2016 - 2017 Facebook: Thay.Trung.Toan Bài 04.03.1.028 Tính dim  Ker T   đó: a) T :  có hạng b) T : P4  P3 có hạng c) Im T :  d) T : M2  M2 có hạng Bài 04.03.1.029 A ma trận cỡ 5x7 có hạng a) Hãy tìm số chiều không gian nghiệm Ax   b) Hỏi Ax  b có tương thích với b khơng? Lí Bài 04.03.1.030 1 1  T ánh xạ ma trận  4  Hãy tìm:   7  a) Số chiều Im T  Ker T  b) Một sở cho Im T  c) Một sở cho Ker T  Bài 04.03.1.031  1 T ánh xạ ma trận  2  Hãy tìm:    0  a) Số chiều Im T  Ker T  b) Một sở cho Im T  c) Một sở cho Ker T  Moon.vn - Học để khẳng định Hotline: 0432 99 98 98 Khóa – GV: Nguyễn Đức Trung TOÁN CAO CẤP 2016 - 2017 Facebook: Thay.Trung.Toan Bài 04.03.1.032 4 2 T ánh xạ ma trận A    Hãy tìm: 1  a) Số chiều Im T  Ker T  b) Một sở cho Im T  c) Một sở cho Ker T  Bài 04.03.1.033 1  2 T ánh xạ ma trận A    1 1  2 9 1  Hãy tìm: 1  8 a) Số chiều Im T  Ker T  b) Một sở cho Im T  c) Một sở cho Ker T  Bài 04.03.1.034 Gọi D : P3  P2 ánh xạ đạo hàm D  p   p ' Hãy mô tả Ker  D  Bài 04.03.1.035 Gọi J : P1  ánh xạ tích phân J  p    p  x  dx Hãy mô tả Ker  J  1 Bài 04.03.1.036 Cho ánh xạ tuyến tính f :  xác định f ( x, y, z, t )  ( x  y  t ,3x  y  z,4 x  y  z  t ) a) Lập ma trận f cặp sở tắc b) Tìm Kerf Imf c) f có phải đơn cấu, tồn cấu khơng? Moon.vn - Học để khẳng định Hotline: 0432 99 98 98 Khóa – GV: Nguyễn Đức Trung TỐN CAO CẤP 2016 - 2017 Facebook: Thay.Trung.Toan Bài 04.03.1.037 Cho toán tử tuyến tính f xác định f ( x1, x2 , x3 )  ((a  1) x1  x2  x3 ; x1  (a  1) x2  x3 ; x1  x2  (a  1) x3 ) sau Với a số thực a) Tìm a cho rank( f ) = 3, rank(f )