PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN

LÊ HỔNG ĐỨC - LÊ HỬU TRÍ PHƯƠNG PHÁP GIAI TOÁN GỒ M 36 CHỦ ĐẾ CHO 58 DẠNG TOÁN VỚI 146 v í D Ị 119 BÀI TỐN CHỌN LỌ C VÀ 218 BÀI TẬP ĐỄ NGHỊ Giải hình không gian phương pháp tọa độ khôn? gian Đ CpGỈ Hã NỘI NHÀ XU Ấ T BẢN ĐẠI HỌC QUỐC G IA HÀ NỘI LÊ HỔNG ĐỨC - LÊ HỮU TRÍ n n lM I I Ì N I T U G P I I H H M Ọ Ỉ H I I Í P G C I Ả G l lt I Ả a I T O I T G Á N Í C H I M NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI PHƯƠNG PHÁP GIẢI TỐN HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHƠNG GIAN BIỆN SOẠN THEO CHƯƠNG TRÌNH CHỈNH LÝ HỢP NHẤT HIỆN HÀNH CỦA Bộ GIÁO DỤC VÀ DÀO TẠO Hưởng ứng lời kêu goi đối phương pháp day hoc LẤY HỌC TRÒ l.ÀM TRUNG TÂM T i liệ u n y x in d n h tặ n g C đ n g k ín h củ a tá c g iả LỜI GIỚI THIỆU Xin trán trọng giới tihiộu tới l\ìti ítỉk lx) tiìi iiộu P 1I I \< , PHÁI* GIẢI TO ÁN T R lT iW H Ọ C P H Ổ T I I Ô M Ỉ Thạc s ĩ 7(kín học Lơ Hổm; Dứcchỉì Nơn Bỏ tài iiơu gồm 10 tập: Tập Tâp Tâp Tâp Tâp Tâp Tâp Tảp Tập Tập 10 Phương phap giãi Tn LưỢng giác Phương pháp giài Tốn Hình học Giai tích Măt phảng Phướng pháp giài Tốn Hình học Giài tích trorg Khổng gian Phương pháp giài Tốn Hình học Khơng gian Phương pháp giải Tốn Véctơ Phương pháp giài Toán Dại số Phương pháp giài Toan Hàm sổ Phương pháp giài Tốn Tích phân Phương pháp giải Tốn Tổ hợp Ơn tập Tốn thi Tốt nghiộp Trung học phổ thơng Với mục LĨích giúp Thả V, Cổ giáo cỏ dược giiìng có hiệu q em có dược nhìn tơng quan, hiểu dược bàn chài cúđ môi vấn dề đặt ra, từ dưđ phương pháp giải mạch lạc phù hợp với nhừng đòi hỏi thi, nên m ôi tập tài liệu chúng tỏi xếp, hộ thông kiến thức dược dề cập chương trình Tốn Trung học Phơ thơng thành Chủ dề Mỏi Chủ dể liươc chia thành ba mục: Kiến thức bần: Gồm phương pháp giẩi cho dạng toán dược trình bày dạng bdi tốn ví dụ vẻ giải tốn II Các toán chọn lọc: Gồm toán tuyển chọn có chọn lọc từ tập Bộ dề thi tuyển sinh mơn Tốn từ cấc Dề thi tuỵơn sinh mơn Tốn vào trường Đại học kẽ từ năm 1994 tới III Bài tập để nghị I N hư m ỗi chủ dề: Với việc trình bày íỉiìĩlỊĩ bái tốn hìn óìng ví dụ minh hoạ sau dó, giúp tăng chílt lượng giàng cho Thày, Cô giáo với cấc em học sinh sè hiểu biết cách trình bày Tiếp dó tới toán chọn lọc dược lây từ dề thi vào ưường Dại học, sè giúp Thàv, Cô giảo dẫn dát em học sinh tiếp cận nhanh chóng với địi hịi thực tế Đặc biột nội dung ý sau vài ví dụ h(Jăc tốn chọn lọc sè giúp Thảy, Cô giáo củng cố hiêu biết chưa thật thâu dáo, với cách ruhìn nhận vấn dỏ dặt cho em học sinh, đô trả lờ i cách thồ dáng câu hịi " Tại Ịại nghĩ làm ỉĩhư ? Ngoải có rât nhiều tốn dược giải bắng nhiều cách khắc giúp học sinh trờ lên linh hoạt việc lựa chọn phương pháp giai Bộ tài liệu viết trơn tư tường hồn tồn mè, có tính sư phạm, có tnh tơng hợo cao, giai quvẽt tưitng dôi triệt LỈé vấn đố cùa toán học sơ cấp Bộ tải liệu ('hắc chăn phù hợp với nhiều dôi tượng bạn dọc từ Thcìỵ, Cơ giáo đến cắc em Học sinh lớp 10, 11, 12 vả em chuân bị dự thi mơn Tốn Tốt nghiệp PTTH hoăc vào cắc Trường Đại học Cuốn IMIIÍOỈNG PH Ấ P GIẢI TOẢN II ì MI HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHƠNG GIAM việt dựa trôn việc rút kinh nghiệm tiếp thu ỷ kiến dórtg góp bạn dọc từch Tun tập cấc Chun dề Luyện thi Đại học Mơn Toắn Hình học Giẩi tích Lê'Hồng Đức Trán Phương, dã Nhà xuất Hà N ội âh hành quý II năm 2002 Ch tài liệu dược chia ứìành phần: Phẩn I Mặt phăng Phẩn II Đường thăng khơng gian Phẩn III Các bải tốn điểm, đường thăng vả mặt phăng Phần IV Mătcầu Phẩn V Các tốn hình học khơng gian giải bàng phương pháp toạ độ không gian bao gồm 36 chủ dề, miêu tả chi tiết phương pháp giải cho 60 dạng tốn hình học giải tích khơng gian thường gặp Và đ ể giúp bạn đọc tiện tra cứu, chúng tơi mạnh dạn tíìay dổi cách trình bày phần mục lục so với lề thói cù việc liệt kê toán thay cho đáu mục Thay m ặt nhóm tác giả, tơi xừỉ bày tỏ đđỵ lời cảm ơn đến người học trị m ình Lẽ Bích Ngọc vui lịng nhận kiêm tra lại phán thảo với việc cộng tác viết " Phương pháp giãi Tốn Tích phân " Xùi dược bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới giúp dờ động viên từìh thấn người Thảy mà hàng kmh trọng, gồm: GS TS Trần Mạnh Tuâh nguyên Phó Giấm Đốc Trung Tâm KHTN & CNQG, Nhà Giáo ưu tú Đào Thiện Khải nguyên Hiệu Trưởng Trường PTTH Hà N ội - Amsterdam, PCS TSKH Đinh Quang Lưu, GS TSK tì Nguyễn Văn Thu người Thày thủa thiếu thời Bấc Ngô Lâm Cuối cùng, cho dù đả rđt cổ gắng việc tham khảo m ột lượng rât lớn tài liệu naỵ đ ể vừa viết, vừa mang đ ì giảng dạy cho học sinh m ình từ kiêm nghiệm bơ’xung thiếu só t với việc tiếp thu có chọn lọc ý kiến bạn dồng nghiệp đ ể hoàn thiện tài liệu này.; thát khó tránh khỏi nhùng thiêu sót nhùng hiểu biết kừứi nghiệm cỏn hạn chế, tác giả Tất m ong nhận dược nhùng ý kiến dóng góp quý báu bạn đọc gần xa M ọiý kiến xin liên hệ trực tiếp gửi theo địa chỉ: Nhóm tác giả Cự Mồn Số 20 - Ngõ 86 - Đường Tô Ngọc Vân - Quận Tây Hò - Hà Nội Điện thoại: (04) 7196671 E-maiỉ: cumon@)hn.vnn.vn lehongduc39(&yahoo.com Website: www.toanpt.cumon.edu (sẽ khai trương vào ngày 31/10/2004) Hà nội, ngày ữiắng năm 2003 LÊ HỔNG ĐỨC MỤC LỤC LỜIGIỚI THIỆU MỞ DẦU PHẨN I MẶT PHẢNG Chủ đế Phương trình măt phăng 15 Bài tốn Phương trình măt phăng qua điếm cỏ vtpt n 16 Bài toán Phưưng trình mặt phảng qua điểm có vtcp ă b .17 Bài tốn Phương trình mặt phăng qua điêYn khỏng thăng hàng 18 Bải tốn Phương trình măt phăng theo đoạn chán .19 Chủ để Chuyển dạng phương trình măt phăng 21 Bầi tốn Tìm căp vtcp măt phăng 21 Bài tốn Bải tốn Tìm vtpt mặt phăng 22 Chuyển phương trình tổng qt măt phăng Bài tốn dạng tham số 23 Chuyển phương trình tham sơ mặt phăng vẻ dạng tông quát 24 Chủ đế Vị trí tương đối hai măt phăng 31 Chù để Chùm mặt phăng 35 Chủ để Khoảng cách từ diêm đến mặt phăng 49 Bải tốn Bài tốn Khoảng cách hình học từ điểm đến măt phăng 49 Viết phương trình mảt phăng cách mặt phăng (p) Bài toán khoảng băng h vầ thoả mản điểu kiện K 50 Viết phương trình mặt phăng phân giác góc tạo (Pj), (Pị) chứa điêm Mfl góc đối đỉnh với 51 Bài tốn Viết phương trình mặt phăng phân giác góc nhị diện 52 PHẨN II ĐƯỜNG THẢNG t r o n g k h ô n g g i a n Chủ để Phương trình đường thăng 55 Chủ đế Chuyển dạng phương trình đường thăng 59 Bài toán Bàỉ toán Tim vtcp đường thâng (d) cho trước .59 Chuyển dạng phương trinh tổng quát đường thăng Bài toán sang dạng phương trình tham số tắc 60 Cách chuyển dạng phương trình tham số đường thăng sang dạng phương trình tổng quát 61 Chủ để Vị trí tương đối đường thăng mặt phăng 67 Bài tốn Vị trí tương đối đường thăng mặt phăng 67 Bài toan Giả sử (d)r\(P)={A| Lâp phương trình đường tháng (d,)) qua A vng góc với (d) năm mẫt phing (P) 75 Bài toán Chủ đê Bải toán họ đường thăng (đm) 71 Vị trí tương đối hai đường thăng 77 Bàỉ tốn ứng dụng tích hổn tạp xét vị trí tương đơi hai đườnjg thăng 77 Bàỉ tốn Bài toản Xét vị trí tương đô'i hai đường thăng 78 Viết phương trình măt phăng (P) song song cách đểu Bài toán hai đường thảng (đ,), (dj) chéo 79 Viết phương trình đường thăng (d) song song, cách đéu hai đường thăng song song (dj), (dj) thuộc măt phăng chiứa Bài toán hai đường thăng (dị), ( d j 79 Viết phương trình đường phân giác hai đường thăn$ cắt (dị), (cU) 80 Chủ để Hai đường thăng phăng toán lièn quan 83 Bài toán Bài toán Xác định toạ độ giao điôm hai đường thăng 83 Viết phương trình mặt phăng (P) chứa hai đường tháng phảng (dt) (dj) 84 Chủ để Hai đường thăng chéo vả toán liên quan 93 Bài toán Bài toán z CMR hai đường thăng chéo 93 Viết phương trình đường vng góc chung hai đường thăng chéo 94 Bài tốn Tính khoảng cách giừa hai đường thăng chéo 98 PHẦN IU ĐIỂM, ĐƯỜNG THĂNG VÀ MẶT PHĂNG w • Chủ để Chủ đế Đường thăng qua điểm cắt hai dường thăng cho trướtc 109 Đường tháng qua điôm vuông góc với hai Chủ để đường thăng cho trước 119 Đường thăng qua điơm vng góc với đường thãng vả cắt đường tháng khác 123 Chủ để Hình chiêu vng góc điểm lên mặt phăng .129 Bài tốn Tim toạ độ hình chiếu điểm lên măt phăng 129 Bài toán Bài tốn Tìm điểm đối xứng điểm A qua măt phăng (P) .129 Xác định phương trinh đường thăng đối xứng với đường thing cho trước qua mặt phăng cho trước 130 Chủ đ í Hình chỉéíi vng góc đường thing măt phăng 137 Chủ để Hình chiếu vuổng góc cùa điểm lên đường thăng 147 Bái toán Tim toạ độ hình chiếu điểm đường thăng; 147 Bái tốn Bài tốn Tìm điểm đơì xứng điểm A qua đường thing (d ) 147 Xác định phương trình đường thảng đối xứng với đường thăng cho trước qua đường thăng cho trước 147 Chúi đề DiCrn phàn>; 159 Chúi đế Diổm đườn^ t h c l n ^ lf>7 Bài toán Tìm trOn đưnin^ thãnp, (li) vliõm M(xN„ VM, /A1) thoti mãn tính chất K Bai tốn 167 Tim tròn đường tilling (li) đh'm \1(xM, yu, /v.,) cho xịt + V\1 + Bai toán nhỏ nhát 168 Cho htii điốm A, Bvá đưỏng thàng (lỉ) Tim itiôm Me(d) cho MA+MB nho nhát 168 C hủ đê Góc không gian 173 Bài tốn Xác định góc hai đưỡnj; thăn^ 173 Bài tốn Góc đường thân}' va mặt phănj; 174 Bài toán Xác dinh góc măt piling 175 Chủ để 10 Tam giác không gian 181 PHẦN IV M Ặ TC Ầ U Chủ đế Phương trình cẩu 189 Chủ đê Mặt cầu tiếp xúc với mặt phăng 197 Chủ đê Măt cầu cắt mặt phàng .203 Chủ để Măt cầu tiếp xúc với đường tháng 207 Bài tốn Lập phương trình mặt cầu (S) cỏ tâm I(a, b, c) tiếp xúc với đường thăng (đ) cho trước 207 Bài tốn Lâp phương trình mặt cấu (S) tiỏp xúc voi dường thăng (d) điỏm H(x(l/ V(í/ /-(») thoả mán điều kiên K 208 Bài tốn Lâp phương trình măt câu (S) tiêp xúc với đường thăng cắt (đj), (d2) cho trướr thoa mãn điổu kiộn K 209 Bải tốn Lập phương trình mặt cảu (S) tiếp xúc với đường thăng (đ ,), ( d j song song với cho trước thoà mân điểu kiện K 210 Bài tốn Lâp phương trinh mặí cầu (S) tiôp xúc vơi dường thăng chéo (đ |), (d:) cho trước thoà mànđiõu kiộn K 2i2 Chủ để Mặt cầu cắt đường thỉỉng 219 Chu để Mặt cầu ngoại tiếp khỏi đa diện 223 Chủ đê Măt cầu nội tiếp khối đa điện 231 Chủ đê Vị trí tương đối cùa diêm mặt c ầ u 237 Bài tốn Xác định vị trí tương đỏi cùa mạt câu (S) điôm A cho trước .237 Bài toán Cho mặt cầu (S) đỏm A khồng trùng với tâm ỉ (S) Tìm toạ độ ỏm M thuộc (S) cho khoảng cách MA đạt giá trị lớn nhất, nhỏ 237 Chù đế Vị trí tương đối đường thăng măt c ầ u 239 Bài toán Xae định vị trí tương đối mặt cầu (í- 'à đường thăng (đ) 239 Báỉ tốn Tìm toạ độ điếm M thuộc (S) cho khoảng cách từ M đỏn (d) đạt giá trị lớn nhâ't, nhỏ 241 Chủ đế 10 Vị trí tương đối mặt phăng vả mặt cầu 245 Bái tốn Xác định vị trí tương đối măt cầu (S) mặt pháng ( P) 245 Bài toán Tìm toạ độ điểm M thuộc (S) cho khoảng cách tử M \ nỊ V-, |v- /-I = ' i.\ị + X, y Vị + " ■ / , x ,j X, V, X3 y* (11 ) Các tính chất (i) D( Vj , Vọ , )=-D( v , V, , V; )= -D( VỊ , V*>, V2 )= -D ( V „ V ,V j ) (ii) D(X Vj, v2,v 3)=D( Vj ,k V2 , V, )=D( Vj, v: (iii) D( Vj ,ả + b, v3 )=D(ã )=XD( Vj, v2, v3), ẰeR ,V, )+D ( b, v , V , ) , , V2 D( Vj ,ã + b / v,)=D ( Vị ,ã , Vi )+D( Vị h, V,), D( V j, v , ẩ + b ) = D ( v , , v 2,ã )+D( V j, v : , b ) Ba vectơ phăng Điéu kiện cán đù để vectơ Vị (Xj, y v z1)( v (x2/ y2/ z2) v3 (xv y3, z3) đồng phảng là: X1 >'! Z] D ( v j , v2/ v3)= x Y: ( 12) =0 *3 y* Zj T h ể tích V X,-X j N x4 - x , (13) pT -r tích z2 " z l N (b) Thê V - Yl V = I I D( AB, AC, AD ) I= - , B(x2, y2, Z2)/ C ( xv y> zj) X-, - Xj Zị) N (a) Thể tích V tứ diện có đỉnh A ( X ị , y„ D(x4/ y4/ z4) cho cơng thức: h ì n h h ộ p d ự n g ba v e c t Vj (Xj, y „ Zj), v ( x 2, y:, z2) Các Em hcx' sinh tham gia học tập theo phưttng pháp" U y hoc trò làm trung tám " ^•rới sư hỗ trợ cùa Nhóm Cư Mơn Tlìs Ịjơ Ị ỉóny; Dm Nhíì £Ìáo Ifu tú Đao Thiên Khtìi phu trai h Hình hoc Giải tích Khổng gian v3 (X3, Ỵy, Zy) cho cổng thức: *1 yi *1 V =|D (à B ,à C ,à D )| = x2 y2 z2 *5 y 14 (14) PHẨN I MẶT PHẲNG CHỦ ĐỂ PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHANG I KIẾN T H Ứ C C BẢN CẶP VECTƠCHỈ PHƯƠNG VÀ VECTƠ PHÁP TUYẾN Đ ịnh nghĩa 1: Hai vectơ ấ ,b gọi cặp vectơ c h ỉ ph ng (vtcp) c ủ a măt phăng (P) chúng không cộng tuyến đường thăng chứa chúng đểu song song với (P) (hoăc nằm trẽn (P)) Các tính chất căp vectơ phương măt phăng (i) Mỗi m ặt phăng có nhiều cặp vectơ phương (ii) Hai mát phăng phân biệt có cặp vectơ phương song song với (iii) Một m ặt phăng (P) hoàn toàn xác định biết m ột điẽm M cặp vectơ phương ( ã , b ) Đ ịnh nghĩa 2: Vectơ n vtpt mặt phăng (P) Ịn l(P ) N hân x é t fi vtpt (P) vectơ k n với k*0 vtpt m ăt phăng C hú ý Toạ độ vectơ fi vng góc với hai vectơ không phương ă (a,, a->, a3) b (b|, b2, bj) cho trước, xác định bời: \ / 3i a3 a i a: a3 n = [ ã , b ]= / / Vbi b, b, b, b, b2 / Ví dụ 1: a Xác định toạ độ vectơ n vng góc với hai vectơ ă (2, -1, 2) b 6(3,-2,1) Tìm m ột vtpt m ặt phăng (P), biết (P) có căp vtcp ã (2, 1, 2) b (3, 2,1) Giải a Ta có: ni3 _ - 2 2 -1 ^ , o n * [ã , b]= -2 1 3 -2 n lb b Gọi n vtpt cần tìm (P) Ta có: / n ia _ 2 2 1\ ^ r o n * [ ã ,b Ị ’ / lh a lb V2 1 3 / - n (3, 4, -1) n ( '3 ,4 , ) Vây m ặt phăng (P) có m ổt vtpt n (-3,4,1) Cic Em học sóih hảy tham gia học tậổ ứieo phương pháp" Lầyhoe ệứ lim ừvrur Um" r ưóí sư tó trơ cùa NhómCự Mịn Ths Lê Hổng Đúc Nhà gi4o ưu tú Đào Thiện Khải phụ trách 15 Phcìn 1: Mat phàntt PHƯƠNG TRÌNH CỦA MẶT PHẢNG Măt phăng (P) khơng gian Oxyz có phướng trình tơng q u t : (P): Ax+By+Cz+D=0 với A2+B2+C2>0 nhận vectơ n (A, B, C) làm vtpt (1) M ồt s ố trường hơ p đăc b iê t p h n g trìn h (1) • Nếu D=0, m ặt phăng (P) qua gốc toạ độ • Nếu A=0, B*0, o o , m ăt phăng (P) có dạng (P): By+Cz+D=0 chứa hoăc song song với trục x'Ox Thật vây, vtpt (P) trường hdp n (0, B, C), đó: n ĩ =0 n -Lĩ n vng góc với trục x'Ox Vậy (P) song son^ với trục x'Ox Tương tự, mặt phăng ^P) có dạng (P): Ax+Cz+D=0 chứa song song với trục y'Oy, m ặt phăng (P) có dạng (P): Ax+By +D=0 sè chứa hoăc song song với trục z'Oz • Nếu A=0, B=0, o o , m ặt pháng (P) có dạng (P): Cz+D=0 sè chứa hoăc song song với trục x'Ox y'Oy nên song song trùng với m ặt phăng xOy Tương tự, mặt phăng (P) có dạng (P): Ax+D=0 sè song song trùng với mặt phăng yOz, m ăt phăng (P) có dạng (P): By +D=0 sè song song trùng với m ặt phăng xOz Đặc biệt phương trình x=0, y=0, z=0 theo thứ tự phương trình m ặt phăng toạ độ yOz, xOz, xOy • Nếu A*0, B*0, o o , D*0 cách đăt a=- — , b=- — , c=- — ta đươc: • A B c (P): £ + £ + £ - ! a b (2) c Phương trình (2) gọi ià phư ng trình đoạn chăn m ăt phăng (p) • Chia hai v ế phương trình (1) cho M= V a: + B2 + c Khi đó, đặt A A n B _ c ^ D A0- — Bn3 — C0- — D()= — M M M M ta được: (P): AoX+B0y+CoZ+Do= với Aổ + Bổ + C5 =1 Ị / f (3) Phương trình (3) gọi phư n g trình p h p dạng cùa m ặt phăng (P) PHƯƠNG PHÁPCHUNG Ta có: [qua M0(x0,y0,z0) [vtpt n(n1/n2/n 3) a Phương trhứi vectơcủa m ặ h ã n g Điêm M(x, y, z)€(P) o M ()M ln o lị ị M0M n *=0 Ị V b 16 Phương trình tơng q u t Ciifi m ặ t ph ă n g (P)7n1 (x-x0)+n 2(y-y0) K ( Z-*0) *0 • '■* ìn ẵ u Ị ' .» (1) ( hu lie I Phương tnnh mjit plì.^n^ C hú ý : Mạt phăng (p) có vtpt ri (11 ,, n , n^), ln ró đcỉiH': (P): n ,x + n :y+n^z+m =0 Đẽ xác đ ịn h (P), ta cần XtH định m Mạt phăng (P )//(Q ): Ax+By+Cz+D=0, ln có dạng: (P): Ax+By+Cz+E=0 Dê xác định (P), ta cần xả< định E Ví dụ 2: Láp phương trình tồng qt mặt phăng (P) biết: a (P) qua điểm M (l, 3, -2) nhận ri (2, 3, 1) làm vtpt b (P) qua điểm M (l, 3, -2) song song với (Q): x+y+z+l=0 Giãi a Ta có: jquaM (U -2) Ịvtpt n(2,3,l) 2(x-l)+3(y-3)+z+2=0 (P): 2x+3y+z-9=0 Vậy phường trình tổng quát cùa mặt phăng (P) là: (P): 2x+3y+z-9=0 b Ta có: íquaM (U ,-2) ' ; [(P )//(Q ):x + y + z + l =0 • Vì (P )//(Q ): x+y+z+1=0, có dạng: x+y+z+E=0 • Vì M (í, 3,-2) e(P), ta có 1+3+2.(-2)+E=0 Cv E=0 Vậy phương trình tơng qt mặt phăng (P) có dạng: x+y+z=0 Bài tốn Lập pliTg trình măt ỊÌiàng (F) qua điêm M, , y,> oó ựip vtLp la ă (&i,AyA^ b PHƯONGPHÁPCHUNG Ta có: qua M(x0,y 0,z„) X = x0 + a J11 + bịt-, (P): hai vtcp ã ( a , a %,a ,) o (P): y = y0 + a2tj + b2t2, (tị, t2eR) ỉ = /.() + ‘V j + b(bj/ b 2/ b,) ( 1) Phương trình (1) phương trình tham sốcủa mặt phăng (P) Ngược lại: (P) có pỉhương trình (1), ta có nhận xét: • Măt phăng (P) qua điêỉn Mofxjv y0/ z0) • Măt phăng (?) có căp vtcp ă (alr a2, a3) b (bị, b2/ by) Ví d u 3: Lập phương trìr\h tham số măt phăng (?) qua điểm M (l, 3, 2) vả c ó c ặ p v t c p ã (2, - , ) v b (3, - , ) Giải Ta có: X= + 2tj + 3t, [qua M(l,3,2) -(P): ' r ^ ( p)- y = - t/- t* Ịhai vtcpã(2,-l,2)& b(3,-2,l) z = t V f { K t ,Q i i O C G ỈA HA INỤ! Đo phương trình tham số mặt pháng (p).1 iiỉj.ụ,.v im 17 u - B = k2D Ax* + By^ + Czj + D = c =k Bước 3: Khi đó: (P): k 1Dx+k 2Dy+k:iDz+D,BS0 « (P): l^x+k-iy+kjZ+lK) Chủ ỷ sử dụng cách ta nhận phương trình tham số mặt phăng (P) sử dung cách , ta nhận phương trình tổng quát mặt phăng (P) P hương trìn h m ặ t p h ă n g theo đoạn chắn M ặt phăng (P) cắt trục Ox A(a, 0, 0), trục Oy B(0, b, 0), trục Oz C(0, 0, c) có phương trình (P ):Ị + J Ù - a 18 b c I Ví du 5: Lập phương t r ì n h mạt pỉuiiy, LỊUcì bcì đk ‘111 a A(l, l! 0), B(l, 0, 0) vã c ( , , 1) b A(1,0, 0), B(0,2,0) v à( Ịiựi.h) Chìị a Cáclì /: Ta có AB,AC la v/.ìp v k p mật pln^ (ĩ>), ta được: ! Khi phương trình mặt phăn^ (P) cho bời: íX : I (P) y = I / = t, t2 t ị, (tị, t: eR) Cách Gọi lĩ vtpt mật phăng (P), ta đước: n = [à B ,à C ]= (-l,0,-l) Khi itó phương trình mặt pỉìáng (P) dược cho bời: b Nhện xét ràng A, B, c theo thứ tư thuộc bcì trục toa độ, đó: (ABC): - + X + - =1 (ABC): 6x+3v+7.-f»=0 II.CÁC BÀI TOÁN C H Ọ N LOC z Bài Gv>hai điẩìi A(l, 3); B((3,4>-1) ktàìg gian G a (P):