Chương 1.2 LT HSLượng gác VD

HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC 11 CÁC VÍ DỤ Các dạng toán liên quan đến hàm số lượng giác Dạng 1:Bài tốn tìm tập xác định hàm số lượng giác CHÚ Ý Với hàm số f  x  cho biểu thức đại số ta có: f  x   f1  x  f2  x  , điều kiện: * f1  x  có nghĩa * f  x  có nghĩa f  x   f  x   m f1  x  ,  m  f  x   f1  x  2m f2  x  ,m   , điều kiện: f1  x  có nghĩa f1  x    , điều kiện: f1  x  , f  x  * Hàm số y  sin x; y  cos x xác định có nghĩa f  x   , y  sin u  x   ; y  cos u  x   xác định u  x  xác định * y  tan u  x   có nghĩa u  x  xác định u  x     k ; k  * y  cot u  x   có nghĩa u  x  xác định u  x   k ; k  Suy nghĩ chút xíu: Tìm TXĐ hàm số sau  sin x sin x   3/ y  tan  x   4/ y  5/ y  cot x  1  cos x 4  cot x Ví dụ Tập xác định hàm số y  là: sin x       A D  \   k 2 k   B D  \ k k   3        C D  \   k 2 ; k k   D D  \   k 2 k   2 2   Chọn C 1/ y  sin x x2 Ví dụ Tập hợp 2/ y  cos 1 x x \ k  k   tập xác định hàm số nào?  cos x  cos x  cos x  cos x B y  C y  D y  sin x 2sin x sin x sin x Chọn C Ta có thể gộp hai họ nghiệm k 2 và   k 2 thành k dựa theo đường tròn lượng giác: A y  HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC 11 y x π O Hình 1.11 Ví dụ Tìm tập xác định hàm số y  sin  x x D   2; D   1;1 A B     \ 0 C D  D D  \ 0 Chọn D Ví dụ Tập xác định hàm số y  2021tan 2022 x A D    \   k k   2  B D     \ k k     C D  D D     \   k k   4  Chọn D Ví dụ Tập xác định hàm số y  2021.co t 2022 x A D    \   k k   2  B D     \ k k     C D  D D     \   k k   4  B D  D D    \   k 2 k   2  B D  D D    \   k 2 | k   4  B D    \   k 2 k   3  Chọn B Ví dụ Tập xác định hàm số y   cos 2021x A D  \ k k  C D     \   k ;  k  k   4   Chọn B Ví dụ Tập xác định hàm số y  A D  \ k  | k  C D    \   k | k   4    sin x Chọn B Ví dụ là: cos x  5   \   k 2 ,  k 2 k   3  Tập xác định hàm số y  A D  HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC 11 5   5   C D    k 2 , D D  \   k 2 k    k 2 k   3    Chọn A Mợt dạng khác bài tốn liên quan đến tìm tập xác định hàm lượng giác sau: Ví dụ Để tìm tập xác định hàm số y  tan x  cos x , học sinh giải theo bước sau: sin x  Bước 1: Điều kiện để hàm số có nghĩa  cos x     x   k ;k   Bước 2:    x  k   \   k ; k  | k   2  Bài giải bạn chưa? Nếu sai, sai bắt đầu bước nào? A Bài giải B Sai từ bước C Sai từ bước D Sai từ bước Chọn B Ví dụ 10 Hàm số y  xác định sin x     A x  \   k 2 | k   B x    Bước 3: Vậy tập xác định hàm số cho D  C x     k , k  D x     k 2 , k  Chọn A Dạng chứa tham số toán liên quan đến tập xác định hàm số lượng giác Với S  D f (là tập xác định hàm số f  x  )  f  x   m, x  S  max f  x   m  f  x   m, x  S  f  x   m S S  x0  S , f  x0   m  f  x   m  x0  S , f  x0   m  max f  x   m S S Ví dụ Cho hàm số h  x   sin x  cos x  2m sin x.cos x Tất giá trị tham số m để hàm số xác định với số thực x (trên toàn trục số) 1 1 A   m  B  m  C   m  D m  2 2 Chọn A     cos x   m sin x   sin x  cos x   2sin x cos Xét hàm số g  x   sin x 2 2 2 2 x  m sin x   sin 2 x  m sin x Đặt t  sin x  t   1;1 Hàm số h  x  xác định với x   g  x   0, x    t  mt   0, t   1;1  t  2mt   0, t   1;1 HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC 11 Đặt f  t   t  2mt   1;1 Đồ thị hàm số ba đồ thị Ta thấy max f t   f 1  max f  t   f  1  1;1  1;1  f 1  Ycbt f  t   t  2mt   0, t   1;1  max f  t      1;1  f  1   1  2m  1   m 2  1  2m  Ví dụ Tìm m để hàm số y  A m   2 2; 2     3x 2sin x  m sin x  xác định  D m  2  2 B m  2 2; 2  C m  ; 2  2;  2; Chọn B 2sin x  m sin x   0, x  Hàm số xác định Đặt t  sin x  t   1;1 Lúc ta tìm điều kiện m để f  t   2t  mt   0, t   1;1 Ta có t  m  TH 1:  t   m    2  m  2 Khi f  t   0, t (thỏa mãn)  m  2 TH 2:  t   m     (thử lại hai trường hợp khơng thỏa mãn)  m  2  m  2 TH 3:  t   m     tam thức f  t   2t  mt  có hai nghiệm  m  2 phân biệt t1; t2  t1  t2   m  m2    m   m  VN  t1   Để f  t   0, t   1;1   m  m   t  1   1  m    m  VN     Vậy m  2 2;2 thỏa mãn yêu cầu toán Chú ý: Với toán dạng ta cần chia ba trường hợp để tìm đủ giá trị m HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC 11 Ở toán TH3 áp dụng qui tắc xét dấu tam thức bậc hai “trong trái cùng” Tức khoảng hai nghiệm dấu với hệ số a , cịn khoảng hai nghiệm trái dấu với hệ số a Dạng 2: Xét Tính Chẵn Lẻ Của Hàm Số Lượng Giác Phương pháp chung: Bước 1: Tìm tập xác định D hàm số,  Nếu D tập đối xứng (tức x  D   x  D ), ta thực tiếp bước  Nếu D tập đối xứng(tức x  D mà  x  D ) ta kết luận hàm số khơng chẵn không lẻ Bước 2: Xác định f   x  :  Nếu f   x   f  x  , x  D kết luận hàm số hàm số chẵn  Nếu f   x    f  x  , x  D kết luận hàm số hàm số lẻ  Nếu không thỏa mãn hai điều kiện kết luận hàm số khơng chẵn không lẻ Để kết luận hàm số y  f  x  khơng chẵn khơng lẻ ta cần điểm x0  D cho  f   x0   f  x0  tập xác định f  x  tập đối xứng   f   x0    f  x0  Các kiến thức học hàm lượng giác bản: 1, Hàm số y  sin x hàm số lẻ D  2, Hàm số y  cos x hàm số chẵn D  3, Hàm số y  tan x hàm số lẻ D    \   k | k   2  4, Hàm số y  cot x hàm số lẻ D  \ k  | k  Ví dụ Hàm số sau hàm số chẵn? A y  2 cos x B y  2sin x  C y  2sin   x  D y  sin x  cos x Chọn A Ví dụ Xét tính chẵn lẻ hàm số y  A Hàm số chẵn C Không chẵn không lẻ Chọn B sin x y  f  x  cos x  B Hàm số lẻ D Vừa chẵn vừa lẻ     Ví dụ Xét tính chẵn lẻ hàm số y  f  x   cos  x    sin  x   , ta y  f  x  là: 4 4   A Hàm số chẵn B Hàm số lẻ C Không chẵn không lẻ D Vừa chẵn vừa lẻ ChọnD Hàm số y  vừa hàm số chẵn, vừa hàm số lẻ vừa hàm  3sin x g  x   sin  x Kết luận sau tính x 3 chẵn lẻ hai hàm số này? Ví dụ Cho hai hàm số f  x   HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC 11 A Hai hàm số f  x  ; g  x  hai hàm số lẻ B Hàm số f  x  hàm số chẵn; hàm số f  x  hàm số lẻ C Hàm số f  x  hàm số lẻ; hàm số g  x  hàm số không chẵn không lẻ D Cả hai hàm số f  x  ; g  x  hàm số khơng chẵn khơng lẻ ChọnD Khi xét tính chẵn lẻ hàm số ta cần ý xét tập xác định trước tiên để giải toán cách xác Ví dụ Xét tính chẵn lẻ hàm số f  x   sin 2007 x  cos nx , với n  Hàm số y  f  x  là: A Hàm số chẵn C Không chẵn không lẻ ChọnC B Hàm số lẻ D Vừa chẵn vừa lẻ sin 2022n x  2021 , với n  Xét biểu thức sau: cos x 1, Hàm số cho xác định D  2, Đồ thị hàm số cho có trục đối xứng 3, Hàm số cho hàm số chẵn 4, Đồ thị hàm số cho có tâm đối xứng 5, Hàm số cho hàm số lẻ 6, Hàm số cho hàm số không chẵn không lẻ Số phát biểu sáu phát biểu A B C D Ví dụ Cho hàm số f  x   Chọn B Đồ thị hàm số lẻ thì đối xứng qua tâm O Đồ thị hàm số chẵn thì đối xứng qua trục Oy Ví dụ Cho hàm số f  x   x sin x Phát biểu sau hàm số cho? A Hàm số cho có tập xác định D  \ 0 B Đồ thị hàm số cho có tâm đối xứng C Đồ thị hàm số cho có trục xứng D Hàm số có tập giá trị  1;1 Chọn B Ví dụ Xác định tất giá trị tham số m để hàm số y  f  x   3m sin4x  cos 2x hàm chẵn A m  B m  1 C m  D m  Chọn C Dạng Xét tính đơn điệu hàm số lượng giác Phương pháp chung: Hàm số y  sin x :     * Đồng biến khoảng    k 2;  k 2  , k       * Nghịch biến khoảng   k 2;  k 2  , k  2  HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC 11 Hàm số y  cos x : * Đồng biến khoảng    k 2; k 2  , k  * Nghịch biến khoảng  k 2;   k 2  , k      Hàm số y  tan x đồng biến khoảng    k ;  k   , k    Hàm số y  cot x nghịch biến khoảng  k ;   k   , k  Ví dụ Xét hàm số y  sin x đoạn  ;  Khẳng định sau đúng?      A Hàm số đồng biến khoảng      ;  2      B Hàm số cho đồng biến khoảng    ; nghịch biến khoảng 2    C Hàm số cho nghịch biến khoảng    ; đồng biến khoảng 2       ;0         ;0         D Hàm số nghịch biến khoảng      ;  2    Chọn A Từ lý thuyết hàm số lượng giác ta có hàm số y  sin x nghịch biến      khoảng    đồng biến khoảng   ;  2    Ví dụ Xét hàm số y  cos x đoạn  ;   Khẳng định sau đúng? A Hàm số nghịch biến khoảng     0;   B Hàm số đồng biến khoảng    nghịch biến khoảng  0;   C Hàm số nghịch biến khoảng    đồng biến khoảng  0;   D Hàm số đồng biến khoảng     0;   Chọn B Theo lý thuyết ta có hàm số y  cos x đồng biến khoảng    k 2; k 2  , k  nghịch biến khoảng  k 2;   k 2  , k  Từ ta có với k  hàm số y  cos x đồng biến khoảng    nghịch biến khoảng  0;   Ví dụ Xét biến thiên hàm số y  tan x chu kì tuần hồn Trong kết luận sau, kết luận đúng?     A Hàm số cho đồng biến khoảng     ;   4 4 2     B Hàm số cho đồng biến khoảng    nghịch biến khoảng  ;   4 4 2   C Hàm số cho đồng biến khoảng  0;   2     D Hàm số cho nghịch biến khoảng    đồng biến khoảng  ;   4 4 2 Chọn A HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC 11 Tập xác định hàm số cho D  Hàm số y  tan x tuần hoàn với chu kì    \   k | k   4   , dựa vào phương án A; B; C; D thì ta xét tính     đơn điệu hàm số  0;  \     4 Dựa theo kết khảo sát biến thiên hàm số y  tan x phần lý thuyết ta suy     với hàm số y  tan x đồng biến khoảng     ;   4 4 2 Ví dụ Xét biến thiên hàm số y   sin x chu kì tuần hồn Trong kết luận sau, kết luận sai?    A Hàm số cho nghịch biến khoảng   ;      B Hàm số cho nghịch biến khoảng  0;   2   C Hàm số cho đồng biến khoảng  ;   2      D Hàm số cho nghịch biến khoảng    2  Chọn D Hàm số cho tuần hoàn với chu kỳ 2 kết hợp với phương án đề thì ta xét   3  biến thiên hàm số   ;   2 Ta có hàm số y  sin x :    * Đồng biến khoảng   ;   2     * Nghịch biến khoảng  ;  2  Từ suy hàm số y   sin x :    * Nghịch biến khoảng   ;   2     * Đồng biến khoảng  ;  Từ ta chọn D 2  Dựa vào đồ thị hàm số y   sin x hàm số y  sin x Ví dụ Xét biến thiên hàm số y  sin x  cos x Trong kết luận sau, kết luận đúng? HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC 11   3  A Hàm số cho đồng biến khoảng   ;   4   3   B Hàm số cho đồng biến khoảng  ;   4  C Hàm số cho có tập giá trị  1; 1     D Hàm số cho nghịch biến khoảng   ;   4  Chọn B   Ta có y  sin x  cos x  sin  x   4  Từ ta loại đáp án C, tập giá trị hàm số   2;    Hàm số cho tuần hoàn với chu kỳ 2 ta xét biến thiên hàm số đoạn      ;    Ta có:     * Hàm số đồng biến khoảng   ;   4      * Hàm số nghịch biến khoảng  ;  Từ ta chọn A  4  Cách 2: Sử dụng máy tính cầm tay Tương tự ví dụ 1, ta sử dụng máy tính cầm tay chức MODE 7: TABLE để giải toán Ấn Máy f  X   ta nhập sinX cos X Chọn STAR; TEND; STEP phù hợp ta có kết hình dưới:    0, 785 đến  2, 3561 4   3  giá trị hàm số tăng dần, tức hàm số đồng biến khoảng   ;   4  7   5, 49778 giá trị hàm số giảm dần, tức Phân tích thêm: Khi x chạy từ đến 4     hàm số nghịch biến khoảng  ;   4  Dạng Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn hàm số lượng giác Cho hàm số y  f  x  xác định miền D  R Từ bảng giá trị hàm số f  x  ta thấy x chạy từ  HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC 11 f  x   M, x  D Số thực M gọi giá trị lớn hàm số y  f  x  D  x  D, f  x   M f  x   m, x  D Số thực N gọi giá trị nhỏ hàm số y  f  x  D  x  D, f  x   m Một số kiến thức ta sử dụng tốn này: Tính bị chặn hàm số lượng giác Điều kiện có nghiệm phương trình bậc sin cos Bảng biến thiên hàm số lượng giác Kỹ thuật sử dụng máy tính cầm tay 10 Ví dụ Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số: y  2017 cos(8 x  )  2016 2017 A y  1; maxy  4033 B y  1; maxy  4033 C y  1; maxy  4022 D y  1; max y  4022 Chọn B Ví dụ Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số: y  cos x  sin x cos x  A y  0; maxy  B y   3; maxy   C y  4; maxy  D y  1  3; maxy   Chọn A BiẾn đổi tổng quát   a b y  a s inu+bcosu  y   sin u  cos u  a  b 2 a  b2  a b   a Vì  2  a b   b    2   a b  b a sin        R cho cos   a  b2 a  b2   y  a  b  sin u.cos   cos u.sin    y  a  b sin  u    Vì 1  sin  u       a  b  y  a  b Ngoài ta mở rộng tốn sau: y  a sin f  x    b cos f  x    c Ta có  a  b  c  y  a  b  c Từ tốn tổng qt ta giải nhanh tốn ví dụ từ dịng (*) sau: Ta có  1   y  1    y  s inx  cos x  Ví dụ Tìm giá trị nhỏ giá trị lớn hàm số y   cos x 2 A y   ; maxy  B y  ; maxy  3 3 B y  ; maxy  D y   ; maxy  2 2 Chọn B Ví dụ Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số y  s inx  cos x A y  1; maxy  B y  0; maxy  C y  1; maxy  D y  1; maxy không tồn Chọn B 4    1  y  Ta có 0  s inx   0  s inx  0  cos x  1   cos x  10 HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC 11  Vậy s inx   x  k2; k  Z cos x  Ví dụ Tìm giá trị nhỏ biểu thức P  cot a  cot b  tan a.tan b  A y  B y  C y  D Không tồn GTLN Chọn B   P  cot a  cot b  cot a.cot b  tan a.tan b     cot   cot  b b    cot   cot a  cot b  cot a.cot b  tan a.tan b   a  cot 2 a  cot 2 2  a.cot b  tan a.tan b  cot a.cotb.tan a.tan b    cot a.cot b  tan a.tan b    2  cot a  cot b cot a  Dấu xảy    cot a.cot b  tan a.tan b cot b   k ab  , (k  ) Với tốn tìm GTLN – GTNN hàm lượng giác ta đưa dạng y  A2 ( x)  B  B Nhưng cần lưu ý xem dấu có xảy hay khơng  7  Ví dụ Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số y  cos x  sin x.cos x  đoạn 0,   12  A y  2; max y  B y  0; max y   7  0, 12     7  0, 12     7  0, 12    D y  0; max y  C y  0; max y   7  0, 12     7  0, 12     7  0, 12     7  0, 12     7  0, 12    Chọn B    Từ ví dụ ta có y  cos  x    Đặt u  x  3   7    3  Từ đề ta xét x  0;   u   ;   12  3    3  Ta lập BBT hàm số y  cos u   ;  3  Từ bảng biến thiên ta thấy f (u)  u    x    3   3;     11 HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC 11 max f (u)  u    3   3;      x  Hay y  0; max y   7  0; 12     7  0; 12    Ví dụ Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn hàm số y  sin x  sin x  7 A y  ; max y  B y  ; max y  4 C y  1; max y  D y  ; max y  Chọn A Đặt sin x  u; u   1;1 Xét hàm số: y  u  u   1;1 Ta có: b    1;1 Từ có bảng biến thiên 2a max y   u  1  1;1  1;1 Hay y   sin x  max y   sin x  1 Ta kết luận: f  u   1  m   m   m  … HẾT… 12