B Chủ đề MỘT SỐ DẠNG TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN TỨ GIÁC Hình thoi Bài 01 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy , cho hình thoi ABCD có A 1; , phương trình đường thẳng BD x y Tìm toạ độ đỉnh cịn lại hình thoi, biết BD AC B có tung độ âm Định hướng: Bài toán bản, việc sử dụng tính chất hai đường chéo vng góc với đường Viết phương trình đường thẳng AC Tìm tọa độ tâm I giao điểm AC BD Suy tọa độ điểm C Tham số hóa tọa độ điểm B từ BD AC IB 2IA Lời giải: Đường thẳng AC qua A vuông góc với BD nên có phương trình x y x y x I 2;1 Tọa độ giao điểm I AC BD nghiệm hệ phương trình x y y Vì I trung điểm AC nên suy C 3; Gọi B b; b 1 Do BC AC IB IA IB2 IA b b b 2 b Vì B có tung độ âm nên B 0; 1 D 4; b Vậy B 0; 1 , C 3; , D 4; Bài 02 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình thoi ABCD có tâm I 2;1 AC BD Điểm 1 M 0; thuộc đường thẳng AB , điểm N 0;7 thuộc đường thẳng CD Tìm tọa độ đỉnh B biết B có 3 hồnh độ dương Định hướng: B M Với giả thiết tốn hình thoi có tọa độ tâm I điểm N' A C I D M , N nằm cạnh song song AB,CD hình thoi, hướng ta có cách nghĩ lấy điểm đối xứng điểm qua tâm N I , chẳng hạn N ' đối xứng với N qua I N ' AB Viết phương trình đường thẳng AB Tính d I ; AB Sử dụng thức AC BD , tính IB B Lời giải: Gọi N ' đối xứng với N qua I N ' AB , ta có N ' 4; 5 Phương trình đường thẳng AB : x y Khoảng cách từ I đến đường thẳng AB d I ; AB 4.2 3.1 42 32 2 Vì AC BD nên AI BI , đặt BI x AI 2x tam giác vng ABI có: 1 1 1 x BI 4x2 x2 d2I ; AB IA IB2 x 1; y 1 4x y Tọa độ B nghiệm hệ: 2 x ; y x y 5 Vì B có hồnh độ dương nên B 1; 1 Bài 03 [Trích Đề thử sức trước kì thi THTT- 2015] Trong mặt phẳng hệ tọa độ Oxy cho hình thoi 1 ABCD có tâm I 2;1 AC 2BD Điểm M 0; thuộc đường thẳng AB , N 0;7 thuộc đường 3 thẳng CD Tìm tọa độ điểm P biết BP BI điểm B có hồnh độ dương Định hướng: u cầu toán tọa độ điểm P biết BP 5BI nghĩa hệ thức cho ta mối quan hệ ba điểm B, P, I mà điểm I có tọa độ, thực chất cần tìm tọa độ điểm B Liệu B AB BC AB BD ? Yếu tố định lượng AC 2BD cho ta cách nghĩ xác định giá trị lượng giác góc liên quan cos ABD 1 Giả thiết có điểm M 0; thuộc đường thẳng AB , N 0;7 thuộc đường thẳng CD với nhận xét 3 AB, CD đối xứng qua I Do phương trình đường thẳng AB xác định qua M N ' điểm đối xứng N qua I Như viết phương trình đường thẳng AB, BD , tốn xem có hướng giải Lời giải: Gọi N ' đối xứng với N qua I N ' 4; 5 Đường thẳng AB qua M N ' nên có phương trình x y Ta có AC 2BD nên IA IB tan ABD IA cos ABD IB Gọi phương trình đường thẳng BD có dạng a x 2 b y 1 với a2 b2 Theo ta có cos AB, BD a 3b a b 2 a 2b a2 b2 16a2 24 ab 9b2 11a2 24 ab 4b2 11a 2b Với a 2b , chọn a b 1 ta có phương trình 2x y 4 x y x Tọa độ điểm B thỏa mãn hệ phương trình 2 x y y 1 Với 11a 2b , chọn a b 11 ta có phương trình BD : 2x 11 y x 4 x y Tọa độ điểm B thỏa mãn hệ x 11 y y Vì B có hồnh độ dương nên B 1; 1 x xP P yP yP 1 1 Từ BP BI Vậy P 6;9 Bài 04 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hình thoi ABCD cạnh AC có phương trình là: x y 31 hai đỉnh B , D thuộc đường thẳng d1 : x y 0, d2 : x y Tìm tọa độ đỉnh hình thoi biết diện tích hình thoi 75 đỉnh A có hồnh độ âm Định hướng: Phân tích tốn ta thấy giải toán cách sử dụng tham số hóa tọa độ Tham số hóa tọa độ B , D Chú ý đến tính chất hình thoi trung điểm BD AC AC BD tâm I hình thoi Sử dụng giả thiết diện tích hình thoi 75 tính IA Suy A ,C Lời giải: Gọi B b; b d1 , D 2d 3; d d2 Khi BD b 2d 3; b d trung điểm BD b d b d I ; Theo tính chất hình thoi ta có : 2 BD AC 8b 13d 13 b I AC 6b d d Suy B 0; , D 1;1 9 Khi I ; ; A AC A 7 a 31; a 2 Theo ta có SABCD 2SABCD 15 AC.BD AC 15 IA BD a 63 9 225 9 a Do 7 a a 2 2 a 2 Vì A có hồnh độ âm nên A 11; Suy C 10; Bài 05 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hình thoi ABCD đường thẳng chứa AC có phương trình là: x y Điểm E 9; nằm đường thẳng AB , điểm F 2; 5 thuộc AD AC 2 Tìm độ đỉnh hình thoi ABCD biết đỉnh C có hồnh độ âm Định hướng : Khai thác tính chất hình thoi : Đường chéo hình thoi xuất phát từ đỉnh đường phân giác góc đỉnh Bài tốn cho phương trình đường thẳng chứa AC E thuộc AB nên cách xử lý quen thuộc lấy điểm E ' đối xứng E qua AC E' AD Viết phương trình AD , suy tọa độ điểm A Tham số hóa tọa độ điểm C Từ AC 2 C I Viết phương trình đường thẳng BD Từ D B B E I A J E' F D C Lời giải : Gọi E ' điểm đối xứng với E qua AC , AC phân giác góc BAD nên E ' thuộc AD EE' vng góc với AC qua điểm E 9; nên có phương trình x y x y x I 3; 2 Gọi J giao AC EE' , tọa độ J nghiệm hệ x y y 2 Vì I trung điểm EE' nên E' 3; 8 Đường thẳng AD qua E ' F nên phương trình x y 3 x y x Tọa độ điểm A nghiệm hệ A 0;1 x y y Giả sử C c;1 c Theo AC 2 c2 c 2 Do C có hồnh độ âm nên C 2; Gọi I trung điểm AC suy I 1; , đường thẳng BD qua I vng góc với AC nên có phương trình x y 3 x y x D 1; Tọa độ điểm D nghiệm hệ x y y Vậy A 0;1 , B 3; , C 2; , D 1; Bài 06 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình thoi ABCD ngoại tiếp đường trịn C có phương trình x 2 y 1 điểm A thuộc đường thẳng d : x y Tìm tọa 2 độ đỉnh hình thoi, biết BD AC hoành độ điểm A không nhỏ Định hướng: Khai thác giả thiết hình thoi ngoại tiếp đường trịn I 2; 1 bán kính R 2 Ta có khoảng cách từ tâm I đến cạnh R Với giả thiết BD AC Áp dụng hệ thức lượng tam giác vuông, định lương IA; IB Tham số hóa tọa độ điểm A từ suy A ,C Viết phương trình BD , tham số hóa tọa độ điểm B D Lời giải Kẻ IH AB H AB ta có Trong tam giác IAB có 1 IA 10 2 IA IB IH IA IB 10 IA 10 Giả sử A 2a 3; a từ a hay A 1;2 Suy C 3; 4 xA Phương trình đường thẳng BD : x y Kết hợp với IB ID 10 Tọa độ điểm B, D x 8; y x y 2 x 4; y 3 x y 1 40 nghiệm hệ phương trình Vậy tọa độ đỉnh hình thoi ABCD A 1;2 , B 8;1 , C 3; 4 , D 4; 3 A 1;2 , B 4; 3 , C 3; 4 , D 8;1 Bài 07 [Trích Đề thi thử Chuyên Lam Sơn 2015] Trong mặt phẳng hệ tọa độ Oxy cho hình thoi ABCD có diện tích 40 , đường thẳng AD tiếp xúc với đường tròn T : x y 1 , điểm 2 19 18 J ; nằm đường thẳng AB , đường thẳng AC có phương trình x y Tìm tọa độ 5 điểm A, D biết D có hồnh độ nhỏ Định hướng: Với giả thiết toán hình thoi ta quan tâm đến tính chất đối xứng trục hai đường chéo, tốn có tọa độ điểm J nằm đường thẳng AB phương trình đường thẳng AC nên gọi I điểm đối xứng J qua AC I thuộc AD Viết phương trình đường thẳng AD qua I tiếp xúc với T Yếu tố diện tích hình thoi giúp ta định lượng độ dài đoạn thẳng Từ tốn giải Lời giải: Gọi I điểm đối xứng J qua AC I thuộc AD I 5;0 Nhận xét I T nên đường thẳng AD tiếp xúc với đường tròn T I nên có phương trình x y 5 x y x A 8;3 Tọa độ điểm A nghiệm hệ x y y Gọi E tâm hình thoi EAD ta có cos cot Diện tích hình thoi ABCD 40 suy SEAD 10 DE.EA 20 DE.DE.cot 20 DE2 20 DE2 10 Gọi D d; d ta có DE d D; AC d d 5 10 Do hoành độ điểm D nhỏ nên D 3; 2 Vậy A 8;3 , D 3; 2 16 2d 10 d 10 16 2d 10 16 2d 10 d 13 ... Oxy cho hình thoi ABCD cạnh AC có phương trình là: x y 31 hai đỉnh B , D thuộc đường thẳng d1 : x y 0, d2 : x y Tìm tọa độ đỉnh hình thoi biết diện tích hình thoi 75 đỉnh A... tọa độ Tham số hóa tọa độ B , D Chú ý đến tính chất hình thoi trung điểm BD AC AC BD tâm I hình thoi Sử dụng giả thiết diện tích hình thoi 75 tính IA Suy A ,C Lời giải: Gọi B b; b d1... hệ tọa độ Oxy cho hình thoi ABCD đường thẳng chứa AC có phương trình là: x y Điểm E 9; nằm đường thẳng AB , điểm F 2; 5 thuộc AD AC 2 Tìm độ đỉnh hình thoi ABCD biết đỉnh C