Môđun phụ đối hữu hạn và môđun h phụ đối hữu hạn

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN HÀ THỊ PHƯƠNG THẢO VỀ MÔĐUN PHỤ ĐỐI HỮU HẠN VÀ MÔĐUN H- PHỤ ĐỐI HỮU HẠN LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC BÌNH ĐỊNH - NĂM 2019 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN HÀ THỊ PHƯƠNG THẢO VỀ MÔĐUN PHỤ ĐỐI HỮU HẠN VÀ MÔĐUN H- PHỤ ĐỐI HỮU HẠN Chuyên ngành : Mã số : Đại số lí thuyết số 8460104 Người hướng dẫn : Tiến sĩ Mai Quý Năm Lời cam đoan Tôi xin cam đoan luận văn với đề tài: Về môđun phụ đối hữu hạn môđun H- phụ đối hữu hạn cơng trình nghiên cứu khoa học hướng dẫn TS Mai Q Năm khơng chép Các kết trình bày luận văn trích dẫn nguồn gốc rõ ràng Bình Định, ngày 26 tháng 08 năm 2019 Học viên thực Hà Thị Phương Thảo Lời cảm ơn Lời xin gửi lời cảm ơn chân thành đến thầy TS MAI QUÝ NĂM, người trực tiếp hướng dẫn, dẫn tận tình giải đáp thắc mắc suốt q trình tơi hồn thành luận văn Đồng thời xin bày tỏ biết ơn sâu sắc đến thầy khoa Tốn thống kê, Trường Đại học Quy Nhơn bảo, truyền dạy cho tơi kiến thức bổ ích suốt năm theo học trường, lãnh đạo Trường Đại học Quy Nhơn, phòng Đào tạo sau đại học tạo điều kiện thuận lợi cho học viên khác Cuối cùng, xin gửi lời cảm ơn đến gia đình, bạn bè, người ln ủng hộ cổ vũ tinh thần giúp tơi có động lực để hoàn thành luận văn cách tốt Trong trình làm luận văn, thời gian có hạn lực, kiến thức thân cịn hạn chế nên khơng trách khỏi sai sót, kính mong thầy cô bảo độc giả đóng góp ý kiến để giúp luận văn hồn thiện Tơi xin chân thành cảm ơn! Lời mở đầu Cho M R-môđun N , L hai môđun M Người ta gọi N phần phụ L M N cực tiểu theo quan hệ bao hàm tập môđun A M thỏa mãn A + L = M Một môđun M gọi môđun phần phụ hay nói tắt phần phụ phần phụ mơđun M Phần phụ xuất lần cơng trình nghiên cứu E.A Mares (1966) môđun vành nửa hoàn chỉnh tiếp tục nghiên cứu F Kasch Mares quan hệ với phủ xạ ảnh môđun Phần phụ môđun không thiết tồn tồn phần phụ quan hệ chặt chẽ với tồn phủ xạ ảnh Một môđun M gọi môđun phụ mơđun có phần phụ Lớp môđun phụ mở rộng thực lớp môđun nâng- lớp môđun quan trọng quan tâm nghiên cứu rộng rãi nhiều chục năm qua Một điều rõ ràng hạng tử trực tiếp môđun M phần phụ, điều ngược lại nói chung khơng trường hợp tổng quát Bởi lẽ đó, phần phụ khảo sát theo ý tưởng xấp xỉ đồng với hạng tử trực tiếp Điều dẫn đến khái niệm môđun H-phụ định nghĩa sau: Môđun M goị H-phụ với môđun A M , tồn hạng tử trực tiếp D M cho với môđun X M , M = A + X M =A + D Từ định nghĩa dễ dàng chứng minh M H-phụ mơđun M có phần phụ hạng tử trực tiếp M , vậy, M mơđun phụ Các tính chất mơđun phụ mơđun H-phụ tìm thấy [8; 11; 13; 15; 18; 21] Vào năm 2001, R Alizade cộng [1] giới thiệu khái niệm môđun phụ đối hữu hạn - dạng tổng qt hóa mơđun phụ Một mơđun N môđun M gọi đối hữu hạn (cofinite) môđun thương M/N hữu hạn sinh, M gọi môđun phụ đối hữu hạn (cofinitely supplemented module) mơđun đối hữu hạn M có phần phụ Rõ ràng môđun phụ phụ đối hữu hạn Theo hướng này, vào năm 2007, M.T.Kosan [12] định nghĩa khảo sát môđun H-phụ đối hữu hạn tổng qt hóa mơđun Hphụ điều kiện tương tự hạn chế cho môđun đối hữu hạn Các môđun H-phụ đối hữu hạn tiếp tục nghiên cứu Y.Talebi cộng [17] (2013) Như biết, phần phụ mơđun phụ có quan hệ chặt chẽ với tồn phủ xạ ảnh Bởi vậy, cách tự nhiên, môđun phụ môđun H-phụ sử dụng khảo sát vành hoàn chỉnh nửa hoàn chỉnh Tương tự, Y.Talebi [17] nghiên cứu lớp vành với tính chất đặc trưng cho H-phụ đối hữu hạn Xuất phát từ nội dung trình bày đây, lựa chọn đề tài luận văn thạc sĩ " Về môđun phụ đối hữu hạn môđun H-phụ đối hữu hạn" Mục tiêu đề tài tổng hợp trình bày với chứng minh chi tiết kết môđun phụ đối hữu hạn môđun H-phụ đối hữu hạn từ tài liệu tham khảo [1], [2], [11], [12], [16] [17] Đồng thời, nghiên cứu, phát nhằm bổ sung kết lớp môđun mối quan hệ chúng với lớp môđun phụ Nội dung luận văn trình bày chương: Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Trong chương chúng tơi trình bày số khái niệm kết liên quan đến nội dung luận văn Chương 2: Môđun phụ đối hữu hạn Chúng giới thiệu định nghĩa số kết môđun phụ đối hữu hạn môđun phụ yếu đối hữu hạn Chương 3: Môđun H-phụ đối hữu hạn ứng dụng Chúng tơi trình bày định nghĩa số kết môđun H-phụ, môđun H-phụ đối hữu hạn ứng dụng vào đặc trưng vành Mục lục Lời mở đầu Bảng kí hiệu KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Môđun nhỏ, môđun hổng môđun 1.2 Môđun phụ môđun phụ yếu, phần phụ yếu 1.3 Một vài lớp môđun 10 MÔĐUN PHỤ ĐỐI HỮU HẠN 14 2.1 Môđun phụ đối hữu hạn 14 2.2 Môđun phụ yếu đối hữu hạn 25 MÔĐUN H- PHỤ ĐỐI HỮU HẠN VÀ ỨNG DỤNG 36 3.1 Môđun H- phụ 36 3.2 Môđun H- phụ đối hữu hạn ứng dụng 48 Kết luận 66 Tài liệu tham khảo 67 Bảng kí hiệu Mơđun Mơđun nhỏ ( hay đối cốt yếu) Soc(M ) Đế môđun M ⊆e Môđun cốt yếu ( hay lớn) Rad(M ) Căn môđun M Rad(R), J ac(R), J (R) Căn Jacobson vành R E(M ) Bao nội xạ môđun M ⊆⊕ Hạng tử trực tiếp Ker(f ) Hạt nhân đồng cấu f Im(f ) Ảnh đồng cấu f EndR (M ) Vành tự đồng cấu môđun M Môđun ⊕-phụ Môđun trực tiếp phụ cws- môđun Môđun phụ yếu đối hữu hạn Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong chương trình bày số khái niệm kết liên quan đến nội dung luận văn trích dẫn từ tài liệu [8], [15], [16], [21] 1.1 Môđun nhỏ, môđun hổng môđun Định nghĩa 1.1.1 Một môđun A môđun M gọi nhỏ M với mơđun B = M ta có A + B = M Một cách tương đương, A + B = M kéo theo B = M Khi ta kí hiệu A M Mệnh đề 1.1.2 ([21]; 19.3) Cho K, L M R-môđun, (1) Nếu K ⊂ L ⊆ M L M K M L/K M/K (2) Nếu Ki M , (1 ≤ i ≤ n) K1 + K2 + Kn M (3) Nếu K ⊂ L ⊆ M L hạng tử trực tiếp M K K L M 55 hạng tử trực tiếp, M gọi môđun phân phối dàn môđun M dàn phân phối Định lý 3.2.7 ([12]; Định lý 2.1) (1) Giả sử M môđun H- phụ đối hữu hạn X môđun M Nếu với hạng tử trực tiếp K M , (X + K)/X hạng tử trực tiếp M/X M/X H- phụ đối hữu hạn (2) Giả sử M môđun H- phụ đối hữu hạn SSP Thế hạng tử trực tiếp M môđun H- phụ đối hữu hạn (3) Giả sử M môđun phân phối H- phụ đối hữu hạn Thế M/N H- phụ đối hữu hạn với môđun N M Chứng minh (1) Mỗi mơđun đối hữu hạn M/N có dạng T /N với T môđun đối hữu hạn M N ⊆ T Vì M Hphụ đối hữu hạn nên tồn hạng tử trực tiếp D M cho M = T + Y M = D + Y Bởi giả thiết, (D + N )/N hạng tử trực tiếp M/N Do đó, M/N = T /N + L/N M/N = (D + N )/N + L/X với L/N ≤ M/N (2) Cho N hạng tử trực tiếp M Xét M = N ⊕N với N ≤ M Để chứng minh N H- phụ đối hữu hạn ta cần M/N Hphụ đối hữu hạn Giả sử L hạng tử trực tiếp M Vì M có SSP, L+N hạng tử trực tiếp M Giả sử M = (L+N )⊕K với K ≤ M Thế M/N = (L + N )/N ⊕ (K + N )/N Do đó, M/N mơđun H- phụ đối hữu hạn (1) (3) Lấy D hạng tử trực tiếp M Và M = D ⊕D với D ≤ M 56 Bây M/N = (D + N )/N + (D + N )/N với môđun N M Chú ý N = N + (D ∩ D ) = (N + D) ∩ (N + D ) theo tính chất phân phối M Bây M/N = (D + N )/N ⊕ (D + N )/N Bởi (1) M/N mơđun H- phụ đối hữu hạn Một môđun M gọi Duo mơđun N M bất biến hồn tồn, có nghĩa f (N ) ⊆ N với tự đồng cấu M Một kết biết mơđun Duo có SSP Bởi vậy, Định lý 3.2.7 (2) có hệ sau: Hệ 3.2.8 [12, Hệ 2.3] Giả sử M mơđun Duo H- phụ đối hữu hạn Thế hạng tử trực tiếp M môđun H- phụ đối hữu hạn Quay lại mối quan hệ tính chất H- phụ đối hữu hạn ⊕- phụ đối hữu hạn, ta có: Mệnh đề 3.2.9 [12, Mệnh đề 2.4] Giả sử M môđun ⊕- phụ đối hữu hạn cho với phân tích M = M1 ⊕ M2 M1 M2 xạ ảnh tương hỗ Thế M môđun H- phụ đối hữu hạn Chứng minh Lấy N môđun đối hữu hạn M Vì M mơđun ⊕- phụ đối hữu hạn nên N có phần phụ hạng tử trực tiếp M2 M Thế tồn phân tích M = M1 ⊕ M2 cho M = N + M2 N ∩ M2 M2 với môđun M1 M2 Theo giả thiết, M1 M2 - xạ ảnh Bởi [15, Bổ đề 4.47] ta nhận M = A ⊕ M2 với môđun A M cho A ≤ N Thế N = A ⊕ (M2 ∩ N ).Giả sử X M với M = N + X Thế M = A + (M2 ∩ N ) + X Vì M2 ∩ N 57 nhỏ M2 nhỏ M , M = A + X Do đó, M = N + X M = A + X Vậy, M môđun H- phụ đối hữu hạn Nhận xét 3.2.10 Đối với mơđun H- phụ trình bày Chương 2, ta có kết hồn toàn tương tự với Hệ 3.2.8 Mệnh đề 3.2.9 ( xem Nhận xét 3.1.13., mục 3.1) Như nói, ta chưa biết hạng tử trực tiếp mơđun H- phụ đối hữu hạn có H- phụ đối hữu hạn hay khơng Từ đó, người ta khảo sát mơđun M có hạng tử trực tiếp H- phụ đối hữu hạn gọi mơđun H- phụ đối hữu hạn hồn tồn (Completely H-cofinitely supplemented) Với khái niệm này, Hệ 3.2.8 khẳng định môđun Duo H- phụ đối hữu hạn H- phụ đối hữu hạn hồn tồn Với tính chất Duo, ta xét tổng trực tiếp hữu hạn môđun Hphụ đối hữu hạn Định lý 3.2.11 ([12]; Định lý 2.5) Giả sử M = M1 ⊕ M2 môđun Duo Nếu M1 M2 H- phụ đối hữu hạn M H- phụ đối hữu hạn Chứng minh Giả sử M1 M2 môđun H- phụ đối hữu hạn Lấy môđun đối hữu hạn L M Bởi [14], L = (L∩M1 )⊕(L∩M2 ) Hiển nhiên L ∩ M1 L ∩ M2 môđun đối hữu hạn M1 M2 , tương ứng Với i tồn hạng tử trực tiếp Di Mi cho Mi = Di + Yi Mi = Ai + Yi với Yi ≤ Mi Đặt D = D1 ⊕ D2 , lấy X ≤ M Thế X = X1 ⊕ X2 , Xi = X ∩ Mi giả thiết Duo Do M = A + X Mi = Ai + Xi (i = 1, 2) 58 Mi = Di + Xi (i = 1, 2) M = D + X Từ Định lý 3.2.11., thu hệ sau cho tổng hữu hạn Hệ 3.2.12 Giả sử M = ⊕ni=1 Mi môđun Duo Nếu Mi Hphụ đối hữu hạn với i = 1, , n M H- phụ đối hữu hạn Chứng minh Trường hợp n = chứng minh Định lý 3.2.11 Ta chứng minh Hệ 3.2.12 cho n > quy nạp Trước hết ta chứng minh rằng, hạng tử trực tiếp môđun Duo môđun Duo Giả sử M = N ⊕ L môđun Duo Xét tự đồng cấu f : N −→ N môđun A N Gọi p : M −→ N phép chiếu tổng trực tiếp M = N ⊕ L lên N , có nghĩa p(x + y) = x, ∀x ∈ N , y ∈ L Kí hiệu q phép nhúng tắc N vào M = N ⊕ L Đặt φ = q.f.p : M −→ M Thế giả thiết M mơđun Duo, ta có φ(A) ⊆ A Dễ thấy φ(A) = f (A), A bất biến f Vậy N n môđun Duo Bây giả sử M = Mi , (n > 2) môđun Duo i=1 n−1 Mi H- phụ đối hữu hạn với i = 1, , n Thế thì, N = Mi i=1 mơđun Duo M = N ⊕ Mn H- phụ đối hữu hạn giả thiết quy nạp Bây M = N ⊕ Mn H- phụ đối hữu hạn Định lý 3.2.11 Tiếp theo, trở lại xem xét hạng tử trực tiếp môđun thương môđun H- phụ đối hữu hạn Mệnh đề 3.2.13 [17; Mệnh đề 3.5] Cho M môđun H- phụ đối hữu hạn N môđun M Giả sử với hạng tử 59 trực tiếp K M , (K + N )/N chặn hạng tử trực tiếp M/N Thế M/N H- phụ đối hữu hạn Chứng minh Lấy Y /N ≤ M/N môđun đối hữu hạn Vì M Hphụ đối hữu hạn nên tồn hạng tử trực tiếp K M cho M = X + Y M = X + K với X ≤ M Bởi giả thiết, có mơđun L M cho N ⊆ L ⊆ K + N , L/N (K + N )/N M/N hạng tử trực tiếp M/N Lấy X ≤ M L/N L/N môđun cho N ⊆ X Nếu M/N = X/N + L/N , M = X + L Vậy M = X + K + N = X + K Do đó, M = X + Y Vì M/N = X/N + Y /N Mặt khác, M/N = X/N + Y /N , M = X +Y Vì M = X +K Vậy M/N = [(X +L)/N ]+[(K +N )/N M/N (X + L)/N (K + N )/N Theo = + Điều dẫn đến M/N = L/N L/N L/N X/N + L/N Mệnh đề chứng minh Mệnh đề 3.2.14 [17; Mệnh đề 3.7] Cho M môđun H- phụ đối hữu hạn N hạng tử trực tiếp M Giả sử với hạng tử trực tiếp K M với M = N + K, N ∩ K hạng tử trực tiếp M Thế N H- phụ đối hữu hạn Chứng minh Lấy N môđun M cho M = N ⊕ N Xét A môđun đối hữu hạn N Thì A ⊕ N môđun đối hữu hạn M Bởi giả thiết có hạng tử trực tiếp D M cho M = Y + D M = Y + A + N với Y ≤ M Vì M = N + A + N , ta có M = N + D Vì D ∩ N hạng tử trực tiếp N Lấy X ≤ N môđun Nếu N = X + A, M = X + A + N Vậy M = X + D Do N = X + (D ∩ N ) Mặt 60 khác, N = X + (D ∩ N ), M = X + (D ∩ N ) + D = X + D M = N + D Vì M = X + A + N Vì X + A ≤ N , ta có N = X + A Kết là, N H- phụ đối hữu hạn Xin nhắc lại, môđun M gọi có (D3 ) với hạng tử trực tiếp tùy ý M1 M2 cho M = M1 + M2 , M1 ∩ M2 hạng tử trực tiếp M Môđun M gọi có SIP (Summand Intersection Property) giao hai hạng tử trực tiếp tùy ý M hạng tử trực tiếp M Rõ ràng, M mơđun H- phụ đối hữu hạn có (D3 ) có SIP hạng tử trực tiếp N M thỏa mãn giả thiết Mệnh đề 3.2.14 đây, đó, N H- phụ đối hữu hạn Nói cách khác, M mơđun H- phụ đối hữu hạn hồn tồn Ta có kết sau: Định lý 3.2.15 [17; Định lý 3.8] Giả sử M môđun H- phụ đối hữu hạn có (D3 ) có SIP Thế M mơđun H- phụ đối hữu hạn hồn toàn Chứng minh Suy từ Mệnh đề 3.2.14 Hoàn tồn tương tự mơđun H- phụ Mệnh đề 3.1.5, kết cho điều kiện đủ để môđun thương hạng tử trực tiếp môđun H- phụ đối hữu hạn H- phụ đối hữu hạn Mệnh đề 3.2.16 [17; Mệnh đề 3.10] Cho M môđun N môđun M cho với phân tích M = M1 ⊕ M2 , ta có N = (N ∩ M1 ) ⊕ (N ∩ M2 ) Nếu M H- phụ đối hữu hạn M/N 61 H- phụ đối hữu hạn Thêm nữa, N hạng tử trực tiếp M N H- phụ đối hữu hạn Chứng minh Lấy D D môđun M cho M = D ⊕ D Bởi giả thiết, ta có N = (D∩N )⊕(D ∩N ) Thế (D+N )∩(D +N ) = [D ⊕ (D ∩ N )] ∩ [(D ∩ N ) ⊕ D ] = (D ∩ N ) ⊕ (D ∩ N ) = N Vì vậy, M/N = [(D + N )/N ] ⊕ [(D + N )/N ] Mệnh đề 3.2.13 M/N môđun H- phụ đối hữu hạn Bây giả sử N hạng tử trực tiếp M Lấy D D môđun M cho M = D ⊕ D = N + D Vì N = (D ∩ N ) ⊕ (D ∩ N ), ta có M = (D ∩ N ) + (D ∩ N ) + D = D ⊕ (D ∩ N ) Dẫn đến D ∩ N = D Do D ⊆ N Theo N = (D ∩ N ) ⊕ D Kết từ Mệnh đề 3.2.14 Nhận xét 3.2.17 Một môđun N M thỏa mãn giả thiết Mệnh đề 3.2.16 N mơđun bất biến chiếu (projection invariant), có nghĩa e(N ) ⊆ N với tự đồng cấu lũy đẳng (e2 = e) M Kết cho điều kiện đủ để hạng tử trực tiếp môđun H- phụ đối hữu hạn H- phụ đối hữu hạn Kết hoàn toàn tương tự với kết cho Định lý 3.1.9(2) môđun Hphụ Định lý 3.2.18 [17; Định lý 3.12] Giả sử M = M1 ⊕ M2 Nếu M Hphụ đối hữu hạn M2 M1 - xạ ảnh M1 H- phụ đối hữu hạn Chứng minh Lấy D hạng tử trực tiếp M cho M = M1 + D Vì M2 M1 - xạ ảnh nên theo [8; 4.12] ta có M = M1 ⊕ D với 62 môđun D ≤ D Vậy D = (M1 ∩ D) ⊕ D Vì M1 ∩ D hạng tử trực tiếp M Dẫn đến M1 H- phụ đối hữu hạn Mệnh đề 3.2.14 Bổ đề 3.2.19 [17; Bổ đề 4.5] Cho M = M1 ⊕ M2 tổng trực tiếp hai môđun H- phụ đối hữu hạn M1 M2 Giả sử N môđun đối hữu hạn M với M1 ⊆ N Thế tồn hạng tử trực tiếp D2 M2 cho M = X + N M = X + M1 + D2 với mơđun X M Chứng minh Vì M/M1 H- phụ đối hữu hạn N/M1 môđun đối hữu hạn M/M1 nên tồn môđun D M chứa M1 cho D/M1 hạng tử trực tiếp M/M1 M/M1 = X/M1 + N/M1 M/M1 = X/M1 + D/M1 với X ≤ M với M1 ⊆ X Lấy D môđun M cho M1 ⊆ D (D/M1 )⊕(D /M1 ) = M/M1 Vì D = M1 ⊕(M2 ∩D), ta có D +(M2 ∩D) = M Nhưng D ∩(M2 ∩D) ≤ M1 ∩M2 = Thế D ⊕(M2 ∩D) = M Lấy D2 = M2 ∩ D Hiển nhiên D2 hạng tử trực tiếp M2 Bây giả sử X môđun M Nếu M = X + N M = X + M1 + N Vì M = X + M1 + D = X + M1 + D2 ra, M = X + M1 + D2 , M = X + M1 + D Vậy M = X + M1 + N = X + N Bổ đề chứng minh xong Bổ đề 3.2.20 [21, Bổ đề 1.24] Cho K, L N môđun M Giả sử K + L = M (K ∩ L) + N = M Thế K + (L ∩ N ) = L + (K ∩ N ) = M 63 Chứng minh Đầu tiên ý K + (L ∩ N ) = K + (L ∩ K) + (L ∩ N ) = K + (L ∩ ((L ∩ K) + N )) = K + (L ∩ M ) = K + L = M Lập luận tương tự cho L + (K ∩ N ) ta L + (K ∩ N ) = M Định lý xét tổng trực tiếp hai môđun H- phụ đối hữu hạn Kết hoàn toàn tương tự kết môđun H- phụ Định lý 3.1.9(1) Định lý 3.2.21 [17; Định lý 4.7] Cho M = M1 ⊕ M2 Nếu M1 M2 xạ ảnh (hoặc M2 M1 - xạ ảnh căn) M1 , M2 H- phụ đối hữu hạn M H- phụ đối hữu hạn Chứng minh Lấy Y môđun đối hữu hạn M Thế M/Y phụ yếu đối hữu hạn Mệnh đề 2.2.4 Mệnh đề 2.2.9 Do tồn môđun L M cho Y ⊆ L, M/Y = (L/Y )+[(Y +M2 )/Y ] [L ∩ (Y + M2 )/Y ] M/Y Thế M = L + M2 Bởi [17, Bổ đề 4.4] (L + M1 )/L M/L Bởi bổ đề 3.2.19, tồn hạng tử trực tiếp D1 M1 cho X + Y + M2 = M X + D1 + M2 = M với X ≤ M Cũng theo Bổ đề 3.2.19 tồn hạng tử trực tiếp D2 M2 cho X + L + M1 = M X + M1 + D2 = M với X ≤ M Ta đặt D = D1 ⊕ D2 = (D1 ⊕ M2 ) ∩ (M1 ⊕ D2 ) Rõ ràng, D hạng tử trực tiếp M Lấy X ≤ M mơđun Thế M = X + D ⇔ M = X + [(D1 ⊕ M2 ) ∩ (M1 ⊕ D2 )] 64 ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔    M = (D1 ⊕ M2 ) + [X ∩ (M1 ⊕ D2 )],   M= X + (M1 ⊕ D2 ) Bổ đề 3.2.20    M = (Y+M2 ) + [X ∩ (M1 ⊕ D2 )],   M = X + (M1 ⊕ D2 )    M= (M1 ⊕ D2 ) + [X ∩ (Y + M2 )],   M= X+Y+M2 Bổ đề 3.2.20    M= (L+M1 ) + [X ∩ (Y + M2 )],   M= X+Y+M2    M= L + [X ∩(Y + M2 )]   M= X+Y+M2 (L + M1 )/L M/L    M= X+ [ L ∩(Y + M2 )] Bổ đề 3.2.20   M= L+M2 ⇔ M = X + Y [L ∩ (Y + M2 )]/Y M/Y Do M H- phụ đối hữu hạn Để kết thúc Luận văn, chúng tơi trình bày định lý đặc trưng vành nửa hồn chỉnh mơđun H- phụ đối hữu hạn Định lý phát biểu hoàn toàn tương tự với Định lý 2.9 [6] đặc trưng vành nửa hồn chỉnh mơđun ⊕- phụ đối hữu hạn Hơn nữa, phương pháp kỹ thuật chứng minh hai kết tương tự 65 Định lý 3.2.22 ([17]; Định lý 5.1) Đối với vành R phát biểu sau tương đương: (1) Vành R nửa hoàn chỉnh (2) Mọi R-môđun trái tự hữu hạn sinh H-phụ đối hữu hạn (3) R R H-phụ (4) R R H-phụ đối hữu hạn (5) Mọi R-môđun trái tự H-phụ đối hữu hạn Chứng minh Bằng phương pháp ký thuật tương tự phép chứng minh kết [6; Định lý 2.9], đồng thời sử dụng kết áp dụng Mệnh đề 3.2.6, ta có phép chứng minh cho Định lý 66 Kết luận Luận văn bao gồm nội dung sau: Trình bày chi tiết số kết môđun phụ đối hữu hạn môđun phụ yếu đối hữu hạn: Định nghĩa; tính chất đặc trưng môđun phụ đối hữu hạn (Định lý 2.1.12) môđun phụ đối hữu hạn đủ (Định lý 2.1.14); tính chất đặc trưng môđun phụ yếu đối hữu hạn (Định lý 2.2.12) môđun phụ yếu đối hữu hạn với nhỏ (Định lý 2.2.16) Trình bày chi tiết số vấn đề môđun H- phụ: Định nghĩa; tính chất đặc trưng (Định lý 3.1.4); Mơđun thương hạng tử trực tiếp môđun H- phụ (Mệnh đề 3.1.5); Tổng trực tiếp hữu hạn môđun H- phụ (Định lý 3.1.9) Trình bày số nội dung môđun H- phụ đối hữu hạn: Định nghĩa; tính chất đặc trưng mơđun H- phụ đối hữu hạn (Định lý 3.2.3); môđun H- phụ đối hữu hạn π- xạ ảnh (Mệnh đề 3.2.6); kết môđun thương hạng tử trực tiếp môđun H- phụ đối hữu hạn (Định lý 3.2.7; Mệnh đề 3.2.13; Mệnh đề 3.2.14; Mệnh đề 3.2.16 Định lý 3.2.18); Kết tổng trực tiếp hai môđun H- phụ đối hữu hạn (Định lý 3.2.11; Định lý 3.2.21).Trong mục luận văn phát biểu chứng minh kết tổng trực tiếp hữu hạn môđun Hphụ đối hữu hạn (hệ 3.2.12) 67 Tài liệu tham khảo [1] R Alizade, G Bilhan and P F Smith, Modules whose maximal submodules have supplements, Comm Algebra 29 (2001), no 6, 23892405 [2] R Alizade and E Buyukasik, Cofinitely weak supplemented modules, Comm Algebra 31 (2003), no 11, 5377-5390 [3] F.W Andreson and K.R Fuller, Rings and categories of modules, Springger Verlag, New York, 1974 [4] G.F Birkenmeier, F Takil Mutlu, C Nebiyev, N Sokmez and A Tercan, Goldie*-supplemented modules, Glasg Math J 52 (2010) 41-52 [5] E Buyukasik and C Lomp, On a recent generalization of semiperfect rings, Bull Aust Math Soc 78 (2008), no 2,317-325 [6] H Calisici and A Pancar, ⊕-cofinitely supplemented modules, Czechoslovak Math J 54 (2004), no 4, 1083-1088 [7] M.T Kosan and D Kesin, H-supplemented duo modules, Journal of Algebra and Its Applications vol.6, No (2007) 965-971 68 [8] H Calisici and A Pancar, Cofinitely semiperfect modules, Sib Math J 46 (2005), no 2, 359-363 [9] J Clack, C Lomp, N Vanaja and R Wisbauer, Lifting Modules supplements and Projectivity in Module Theory, Frontier in Mathematics, Birkhauser Verlag, Basel, 2006 [10] P Fleury, Hollow modules and local endomorphism rings, Pacific J Math 53 (1974), no 2, 359-385 [11] J Hausen, Modules with the summand intersection property, Comm Algebra 17 (1989), no 1, 135-148 [12] D Keskin Tutuncu, M.J Nematollahi and Y Talebi, On Hsupplemented modules, Agebra Colloq 18 (2011), no Spec 1, 915924 [13] M.T Kosan, H-cofinitely supplemented modules, Vietnam J Math 35 (2007), no 2, 1-8 m14 T Kosan, N Agayev, A Leghwel, and A Harmanci, Duo modules and Duo rings, Far East J Math 20 (2006) 314-346 [14] M.T Kosan and D Kesin, H-supplemented duo modules, Journal of Algebra and Its Applications vol.6, No (2007) 965-971 [15] T Kosan, N Agayev, A Leghwel, and A Harmanci, Duo modules and Duo rings, Far East J Math 20 (2006) 314-346 69 [16] S.H Mohamed and B.J.Muller, Continuous and discrete modules, London Math Soc Lecture Note Series 147, Cambridge University Press, 1990 [17] Khitam Salameh, On Some Types of Supplemented Modules, Master in Mathematics, Birzeit University, 2013 [18] Y Talebi, R Tribak and A R Moniri Hamzekolaee, On H-Cofinitely supplemented modules, Bulletin of the Iranian Mathematical Society Vol 39 No (2013), pp 325-346 [19] R Tribak, H-supplemented modules with small radical, East-West J Math 11 (2009), no 2, 211-221 [20] R Tribak, On cofinitely lifting and cofinitely weak lifting modules, Comm Algebra 36 (2008), no 12, 4448-4460 [21] G.V Wilson, Modules with the summand intersection property, Comm Algebra 14 (1986), no 1, 21-38 [22] Wisbauer, R (1991), Foundations of Modules and Rings, Gordon and Breach ... Mơđun phụ đối h? ??u h? ??n Chúng giới thiệu định nghĩa số kết môđun phụ đối h? ??u h? ??n môđun phụ yếu đối h? ??u h? ??n Chương 3: Môđun H -phụ đối h? ??u h? ??n ứng dụng Chúng tơi trình bày định nghĩa số kết môđun H -phụ, ... Thế M phụ yếu đối h? ??u h? ??n M phụ đối h? ??u h? ??n Chứng minh Cho U mơđun đối h? ??u h? ??n M Vì M mơđun phụ yếu đối h? ??u h? ??n, U có phần phụ yếu N M theo Bổ đề 2.2.14 , U có phần phụ Do M phụ đối h? ??u h? ??n Khép... phụ đối h? ??u h? ??n Ngược lại, môđun h? ??u h? ??n sinh M phụ đối h? ??u h? ??n M mơđun phụ c) Mọi mơđun phụ đối h? ??u h? ??n đủ phụ đối h? ??u h? ??n d) Môđun phụ đối h? ??u h? ??n dạng tổng qt h? ?a thực mơđun phụ Chúng tơi dẫn