ĐỀ tài MA TRẬN đối XỨNG, xác ĐỊNH DƯƠNG và các ỨNG DỤNG

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HCM TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA BÀI TẬP LỚN MƠN HỌC ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH ĐỀ TÀI MA TRẬN ĐỐI XỨNG, XÁC ĐỊNH DƯƠNG VÀ CÁC ỨNG DỤNG LỚP: DT01, NHÓM 6, HK203 GVHD: TS ĐẶNG VĂN VINH SINH VIÊN THỰC HIỆN STT MSSV HỌ VÀ TÊN 1910333 Đinh Mạnh 1912560 Đinh Đức Anh 1911951 Phạm Anh Quốc 1952012 Nguyễn Hùng Anh 1911080 Phan Minh Giang TP HỒ CHÍ MINH, NĂM 2021 Mục Lục: Phần mở đầu: Ma trận đối xứng, xác định dương ứng dụng Chương 1: Lý thuyết ma trận đối xứng, xác định dương 1.1 Ma trận đối xứng 1.2 Ma trận bán xác định, xác định 1.3 Tính chất: Chương 2: Ứng dụng ma trận đối xứng, xác định dương 2.1 Ma trận Pascal: 2.2 Ma trận hiệp phương sai: Tài liệu tham khảo 12 PHẦN MỞ ĐẦU Ma trận đối xứng loại ma trận đặc biệt loại ma trận Đặc biệt ma trận đối xứng, xác định dương (các phần tử ma trận đối xứng lớn 0) có nhiều ứng dụng thực tế Bài báo cáo nhóm có mục đích giới thiệu, trình bày số kiến thức ma trận xác định dương vài ứng dụng thực tế: Ma trận Pascal, Ma trận hiệp phương sai, Mội dung báo cáo gồm chương: − Chương 1: Lý thuyết ma trận đối xứng, xác định dương − Chương 2: Ứng dụng ma trận đối xứng, xác định dương MA TRẬN ĐỐI XỨNG, XÁC ĐỊNH DƯƠNG VÀ ỨNG DỤNG Chương 1: Lý thuyết ma trận đối xứng, xác định dương 1.1 Ma trận đối xứng Ma trận A  M n [R] gọi ma trận đối xứng, thực, AT = A Mỗi phần tử ma trận đối xứng đối xứng qua đường chéo aij = a ji  −2    Ví dụ: A =  −2  Ta dễ thấy ma trận A ma trận đối xứng vì: phần tử  7   a12 = a21 = −2; a13 = a31 = 3; a23 = a32 = 1.2 Ma trận bán xác định, xác định Dạng toàn phương Rn hàm thực Q( X ) = X T AX , A  M n [ R], X = ( x1 , x2 , x3 , , xn ) Ma trận A gọi ma trận dạng toàn phương Dạng toàn phương Q(X) gọi là: − Xác định dương, X  0, Q( X )  0; − Xác định âm, X  0; Q ( X )  − Bán xác định dương, X  0, Q ( X )  tồn X a  để Q( X a ) = ; − Bán xác định âm, X  0, Q( X )  tồn X b  để Q( X b ) = ; − Không xác định dấu, tồn X1, X2 cho Q( X1 )  0, Q( X )  Dạng toàn phương Q( X ) = X T AX xác định dương tất giá trị riêng A dương Ví dụ: Q( x1 , x2 , x3 ) = ( x1 x2  0  x1     x3 )   x2  = x12 + 3x2 + x32  0  x     1 0 Ma trận A =   xác định dương X  0, Q ( X )  0 5   Hay nói cách khác, trị riêng A: Det ( A −  I ) =  (1 −  )( −  )( −  ) =   = 1;  = 3;  = Ta thấy trị riêng  mang giá trị dương, nên dạng toàn phương Q ( X ) xác định dương, A ma trận xác định dương Tiêu chuẩn Sylvester: Cho A = (aij )n nghĩa A  M n  R  đối xứng Các định thức có đường chéo phần đường chéo ma trận A gọi định thức chính: = a11 = a11 ; = a11 a12 a21 a22 ; Dạng toàn phương Q( X ) = X T AX xác định dương định thức ma trận A dương Dạng toàn phương Q( X ) = X T AX xác định âm ( −1) 1.3 k k  0, k  1; 2; ; n Tính chất: 1.3.1 Nếu A,B ma trận đối xứng xác định dương A  B với ma trận X, ta có X * AX  X * BX Chứng minh : Vì B  A nên giả sử C bậc hai dương B − A , với trận X ta có: X *( B − A) X = X * CCX = ( X * C )( CX ) = ( CX ) * ( CX )  Suy ra: X * ( B − A ) X   ( X * B − X * A ) X   X * BX − X * AX   X * BX  X * AX  A X 1.3.2 Giả sử A,B ma trận đối xứng xác định dương Khi đó, ma trận khối   X* B xác định dương A  XB−1 X *  I Chứng minh: Đặt M =  −1 *  −B X I − XB −1   A  * I  X 0 Ta có:  I 0 *  M =  0 I  X  I  B  − B −1 X * ( −B * X * )   I − XB −1  =   0 I  I  −1   A − XB −1 X * = I   A − XB −1 X * Do B ma trận xác định dương nên ma trận   0  B 0  xác định dương B A − XB −1 X *  hay A  XB−1 X * Do phép biến đổi T * AT bảo toàn giá trị riêng nên  A  * X  A − XB −1 X * X  ma trận xác định dương  B   A dương Vậy  * X 0  ma trận xác định B X −1 *  ma trận xác định dương A  XB X B  A A 1.3.3 Ma trận A đối xứng xác định dương   ma trận xác định dương  A A Kí hiệu A = A* A gọi phần dương hay giá trị tuyệt đối A Ta có: A Hệ 1: Với ma trận A  A  A*   ma trận xác định dương A*  A Hệ 2: Nếu ma trận A chuẩn tắc ma trận  A A*   xác định dương A  Chứng minh: Theo định nghĩa, ma trận A gọi chuẩn tắc AA* = A* A Khi A = A* A = AA* = A* Hệ suy từ hệ 1.3.4 Giả sử A, B ma trận đối xứng xác định dương Khi ấy: As B s  AB ,0  s  s Chương 2: Ứng dụng ma trận đối xứng, xác định dương 2.1 Ma trận Pascal: 2.1.1 Có cách để viết ma trận Pascal Lower-triangular matrix: ma trận tam giác ma trận Pascal Ký hiệu: Ln ma trận tam giác tam giác Pascal, vng cấp n Ví dụ: 1 L5 = 1 (1 0 0 0 0 1) Upper-triangular matrix: ma trận tam giác ma trận Pascal Ký hiệu: Un ma trận tam giác tam giác Pascal, vuông cấp n Ví dụ: U5 = 0 (0 1 0 0 3 1 1) Symmetric matrix: ma trận đối xứng tam giác Pascal Ký hiệu: Sn ma trận đối xứng tam giác Pascal, vng cấp n Ví dụ: 1 S5 = 1 (1 10 15 10 20 35 15 35 70) Ta có: Ln = U nT Sn = Ln U n det( Sn ) = 1, n  N * Chứng minh: det( Sn ) = det ( LnU n ) = det ( Ln ) det (U n ) , mà Ln Un ma trận tam giác, 𝑑𝑒𝑡 = 𝑡í𝑐ℎ 𝑐á𝑐 𝑝ℎầ𝑛 𝑡ử 𝑡𝑟ê𝑛 đườ𝑛𝑔 𝑐ℎé𝑜 𝑐ℎí𝑛ℎ = => det(𝑆𝑛 ) = Vậy ma trận Sn ma trận đối xứng xác định dương n  N * Để tính Ln U n ta sử dụng tam giác Pascal hình sau: Ma trận L3: ta điền thêm chữ số vào vị trí l12 , l13 , l23 Ma trận U3: ta điền thêm chữ số vào vị trí u12 , u13 , u23 Ma trận S3: Nếu gộp ma trận vào hình, ta được: 2.1.2 Ứng dụng Ứng dụng xác suất Ví dụ: Tam giác Pascal cho bạn thấy có cách đầu kết hợp Điều sau cho bạn thấy "tỷ lệ cược" (hoặc xác suất) kết hợp Ví dụ, bạn ném đồng xu lần, có tổ hợp cho bạn kết ngửa (NNN), có cho sấp,1 ngửa (NNS;NSN;SNN), có trường hợp sấp ngửa (NSS;SNS;NNS) trường hợp cho kết tồn ngửa (NNN) Đây mơ hình “1,3,3,1” tam giác Pascal Ném Kết (nhóm) N S NN NS SN SS NNN NNS ; NSN ; SNN NSS ; SNS ; SSN SSS NNNN NNNS ; NNSN ; NSNN ; SNNN NNSS ; NSNS ; NSSN ; SNNS ; SNSN ; SSNN NSSS ; SNSS ; SSNS ; SSSN SSSS …… Tam giác Pascal 1,1 1, 2, 1,3,3,1 1,4,6,4,1 Xác suất nhận xác mặt ngửa với lần ném đồng xu ? Có 1+4+6+4+1 = 16 kết xảy Và trường hợp số chúng cho xác mặt ngửa Vì vậy, xác suất 6/16 hay 37,5% 2.2 Ma trận hiệp phương sai: 2.2.1 Định nghĩa Ma trận hiệp phương sai tập hợp m biến ngẫu nhiên ma trận vng hạng (m × m), phần tử nằm đường chéo (từ trái sang phải, từ xuống dưới) phương sai tương ứng biến (Var(X) = Cov(X,X)), phần tử cịn lại (khơng nằm đường chéo) hiệp phương sai đôi hai biến ngẫu nhiên khác tập hợp Ký hiệu X vector cột, X i thành phần vector X = (X1 , X , , X n )T Nếu thành phần vector cột biến ngẫu nhiên có phương sai xác định (khơng q lớn tới vơ cực), ma trận hiệp phương sai (covariance matrix) Σ ma trận mà có thành phần (i, j) hiệp phương sai: Σ𝑖𝑗 = 𝑐𝑜𝑣(𝑋𝑖 , 𝑋𝑗 ) = 𝐸[(𝑋𝑖 − 𝜇𝑖 )(𝑋𝑗 − 𝜇𝑗 ) Trong đó: 𝜇𝑖 = 𝐸(𝑋𝑖 ) giá trị kỳ vọng thành phần thứ i vector X Nói cách khác, có:  cov( X , X ) cov( X , X )   cov( X , X ) cov( X , X )  = cov( X ) =      cov( X , X ) cov( X , X ) n n  cov( X , X n )    cov( X , X n )       cov( X n , X n )  Là ma trận hiệp phương sai vector X Ma trận hiệp phương sai có nhiều ứng dụng kinh tế lượng ước lượng mơ hình 2.2.2 Tính chất: Tính đối xứng Do: Cov( X i , X j ) = Cov( X j , X i ) Tính bán xác định dương Chứng minh: xT  x = n u  i , j =1 = i uj ij n  Cov(u X , u i , j =1 i i j X j)   = Cov  ui X i ,  u j X j   j  i  Do có tính bán xác định dương nên ma trận hiệp phương sai có trị riêng khơng âm (dương ma trận xác định dương) Từ tính chất dẫn đến đặc điểm quan trọng ma trận hiệp phương sai tính bán xác định dương, điều dẫn đến phân rã Cholesky Phân rã Cholesky phân rã ma trận xác định dương thành tích ma trận tam giác chuyển vị  l11  l l T  = LU = LL =  21 22    ln1 ln  l11 l21   l22   l11  0 ln1   ln    lnn  2.2.3 Ứng dụng: Mơ hình ngẫu nhiên: Mơ hình ngẫu nhiên dạng mơ hình tài sử dụng để giúp đưa định đầu tư Loại mơ hình dự báo xác suất kết khác điều kiện khác nhau, sử dụng biến ngẫu nhiên Mô Monte Carlo kỹ thuật tài chính: Mơ Monte Carlo ví dụ Mơ hình ngẫu nhiên có ứng dụng ma trận hiệp phương sai Với công thức chuẩn cho phát triển giá cổ phiếu giả định giá cổ phiếu tuân theo chuyển động hình học Brown, giá cổ phiếu tương quan tính cách áp dụng phép phân rã Cholesky cho ma trận hiệp phương sai Nên kỹ thuật tài chính, mơ Monte Carlo đóng vai trị lớn việc định giá quyền chọn lợi nhuận phái sinh phụ thuộc vào giỏ tài sản Trong toán học, thuật toán Monte Carlo phương pháp tính số hiệu cho nhiều tốn liên quan đến nhiều biến số mà khơng dễ dàng giải phương pháp khác, chẳng hạn tính tích phân Hiệu phương pháp này, so với phương pháp khác, tăng lên số chiều toán tăng TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Đ V Vinh, Đại số tuyến tính, Hồ Chí Minh: Đại học Quốc gia Thành phố Hồ Chí Minh, 2019 [2] Đ T Sỹ, "Ma trận xác định dương số ứng dụng - Luận văn thạc sĩ," 2010 [3] Maher Moakher and Philipp G Batchelor, "Symmetric Positive-Definite Matrices: From Geometry to Applications and Visualization," Symmetric Positive-Definite Matrices: From Geometry to Applications and Visualization, p 286, 2014  ... ma trận đối xứng, xác định dương MA TRẬN ĐỐI XỨNG, XÁC ĐỊNH DƯƠNG VÀ ỨNG DỤNG Chương 1: Lý thuyết ma trận đối xứng, xác định dương 1.1 Ma trận đối xứng Ma trận A  M n [R] gọi ma trận đối xứng,. .. Ma trận đối xứng, xác định dương ứng dụng Chương 1: Lý thuyết ma trận đối xứng, xác định dương 1.1 Ma trận đối xứng 1.2 Ma trận bán xác định, xác định ... trận xác định dương  B   A dương Vậy  * X 0  ma trận xác định B X −1 *  ma trận xác định dương A  XB X B  A A 1.3.3 Ma trận A đối xứng xác định dương   ma trận xác định dương