Mô phỏng quá trình poisson

1 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH LÊ THÀNH TRUNG MƠ PHỎNG Q TRÌNH POISSON Chun ngành: CÔNG NGHỆ THÔNG TIN Mã ngành: 8.48.02.01 LUẬN VĂN THẠC SỸ Người hướng dẫn: TS NGUYỄN TRUNG HÒA Vinh, Năm 2018 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan kết nghiên cứu có luận văn q trình tìm hiểu, nghiên cứu tơi hỗ trợ Thầy giáo hướng dẫn người cảm ơn Nội dung luận văn có tham khảo, sử dụng số thơng tin, tài liệu từ nguồn liệt kê danh mục tài liệu tham khảo Các kết nghiên cứu đề tài trung thực chưa công bố Nghệ An, ngày 03 tháng năm 2018 TÁC GIẢ LUẬN VĂN Lê Thành Trung LỜI CẢM ƠN Luận văn thạc sĩ nghiên cứu “Mô trình Poisson” kết trình cố gắng thân giúp đỡ, động viên, khích lệ thầy, cơ, bạn bè người thân Để đạt kết ngày hôm nay, với lịng biết ơn sâu sắc, tơi xin gửi đến thầy cô Viện Kỹ thuật Công nghệ – Trường Đại học Vinh tận tình truyền đạt kiến thức quý báu tạo điều kiện thuận lợi cho tơi suốt q trình học tập nghiên cứu thực đề tài luận văn Đặc biệt xin chân thành cảm ơn thầy TS Nguyễn Trung Hòa tận tâm hướng dẫn cung cấp tài liệu thông tin khoa học cần thiết để tơi hồn thành tốt đề tài luận văn Cuối xin chân thành cảm ơn đồng nghiệp, đơn vị công tác tạo điều kiện, giúp đỡ cho tơi q trình học tập thực Luận văn Nghệ An, ngày 03 tháng năm 2018 TÁC GIẢ LUẬN VĂN Lê Thành Trung MỤC LỤC LỜI CAM ĐOAN LỜI CẢM ƠN DANH MỤC CÁC TỪ VIẾT TẮT DANH MỤC CÁC HÌNH MỞ ĐẦU Sự cần thiết vấn đề nghiên cứu Mục tiêu nhiệm vụ nghiên cứu Đối tượng phạm vi nghiên cứu Nội dung nghiên cứu Cấu trúc luận văn: CHƯƠNG 1: MỘT SỐ KIẾN THỨC LIÊN QUAN 11 1.1 Biến ngẫu nhiên phân phối xác suất 11 1.1.1 Khái niệm biến ngẫu nhiên 11 1.1.2 Các số đặc trưng biến ngẫu nhiên 11 1.2 Một số phân phối 13 1.2.1 Phân phối Bernoulli .13 1.2.2 Phân phối nhị thức 13 1.2.3 Phân phối Poisson 14 1.2.4 Phân phối mũ 14 1.2.5 Phân phối hình học 15 1.3 Quá trình ngẫu nhiên .15 1.3.1 Định nghĩa trình ngẫu nhiên 15 1.3.2 Tính theo thời gian q trình ngẫu nhiên 16 1.3.3 Tính khơng nhớ phân phối mũ 17 CHƯƠNG 2: QUÁ TRÌNH POISSON 18 2.1 Quá trình đếm .18 2.2 Quá trình Poisson 18 2.2.1 Định nghĩa 18 2.2.2 Các tính chất 19 2.3 Tách ghép trình Poisson .20 2.3.1 Q trình Poisson có phân loại 20 2.3.2 Tổng trình Poisson 22 2.4 Q trình Poisson khơng 25 CHƯƠNG 3: MƠ PHỎNG Q TRÌNH POISSON 26 3.1 Phương pháp biến đổi ngược biến ngẫu nhiên liên tục 26 3.1.1 Thuật toán biến đổi ngược biến ngẫu nhiên liên tục 26 3.1.2 Ví dụ 26 3.2 Mơ q trình 26 3.2.1 Các trình điểm chiều chiều 26 3.2.2 Đặc điểm trình đếm đường thẳng 27 3.2.3 Mơ trình Poisson phương pháp ngược .27 3.3 Mơ q trình khơng 28 3.3.1 Q trình Poisson khơng (NHPP) 28 3.3.2 Thuật toán sơ để mô NHPP 29 3.3.3 Hàm cường độ đa tiêu chí (Multi Criteria Intensity Function) 29 3.3.4 Mô 30 3.3.5 So sánh với dạng đơn giản .31 KẾT LUẬN 35 TÀI LIỆU THAM KHẢO 36 DANH MỤC CÁC TỪ VIẾT TẮT TT Từ viết tắt PMF NHPP Viết đầy đủ Probability Mass Function Non-Homogeneous Poisson Process DANH MỤC CÁC HÌNH Hình 2.1 Q trình với xác suất 𝒑 trình thứ hai với xác suất 𝟏 − 𝒑………………………………………………………………………22 Hình 3.1 Một trình đếm thời gian…………………………………… 27 Hình 3.2 Một trình đếm chiều……………………………………… 28 Hình 3.3………………………………………………………………… 32 Hình 3.4………………………………………………………………… 33 MỞ ĐẦU Sự cần thiết vấn đề nghiên cứu Quá trình Poisson, đặt theo tên nhà toán học người Pháp Siméon-Denis Poisson (1781 - 1840), trình ngẫu nhiên định nghĩa theo xuất biến cố Nó mơ tả số lần xuất biến cố khoảng thời gian [t,t+τ] đó, tuân theo phân bố Poisson với tham số λτ, λ>0 Cụ thể hơn, trình Poisson trình gán cho khoảng thời gian bị chặn hay vùng bị chặn khơng gian (chẳng hạn, mặt phẳng Euclid hay không gian Euclid chiều) số ngẫu nhiên biến cố, cho: Số lượng biến cố khoảng thời gian (hay vùng không gian)  không giao biến ngẫu nhiên độc lập;  Số biến cố khoảng thời gian hay vùng không gian biến ngẫu nhiên với phân bố Poisson Quá trình Poisson trình Lévy tiếng Các trình Poisson thời gian (time-homogeneous) cịn ví dụ trình Markov thời gian liên tục thời gian Một trình Poisson chiều thời gian trình sinh túy (pure-birth process) - ví dụ đơn giản trình sinh-tử (birth-death process) Quá trình Poisson ứng dụng nhiều viễn thông, liên quan đến tốn truyền tín hiệu, hệ phục vụ, tốn chuyển mạch Nếu số gọi đến tổng đài trình Poisson, gọi chiếm dụng thiết bị khoảng thời gian đó, giả sử khoảng thời gian biến ngẫu nhiên độc lập phân bố, tổng số gọi trình Poisson phức hợp Q trình Poisson X(t) mơ tả q trình đếm số lần xuất biến cố A thời điểm t Giả sử biến cố A phân thành loại A1 , A2 thời điểm việc xuất biến cố A1 𝐴2 độc lập nhau, ta có q trình Poisson có phân loại Q trình Poisson phức hợp q trình Poisson phân loại giúp ta tính sản lượng trung bình khai thác dịch vụ viễn thông Mục tiêu nhiệm vụ nghiên cứu Tìm hiểu q trình Poisson; mơ q trình Poisson không nhằm tạo đầu vào giả định, phục vụ cho việc xử lý trình Poisson Đối tượng phạm vi nghiên cứu Trong luận văn nghiên cứu khái niệm q trình hai chiều Sau đó, chúng tơi sử dụng quy trình mơ để mơ q trình dựa số phương pháp Cuối cùng, chúng tơi nghiên cứu q trình điểm Poisson trường hợp cụ thể trường hợp quan trọng phức tạp nó, tức q trình khơng kiểm tra lại hành vi dựa thuật tốn giới thiệu chúng tơi Nội dung nghiên cứu  Quá trình đếm, trình Poisson  Tính khơng q trình Poisson  Mơ ngẫu nhiên, mơ q trình Poisson không Cấu trúc luận văn: Ngoài phần Mở đầu, Kết luận Tài liệu tham khảo, luận văn bao gồm chương: Chương 1: Một số kiến thức liên quan Chương trình bày khái niệm biến ngẫu nhiên; Các số đặc trưng biến ngẫu nhiên; số phân phối quen thuộc biến ngẫu nhiên; Khái niệm trình ngẫu nhiên 10 Chương 2: Quá trình Poisson Tìm hiểu Quá trình đếm; Định nghĩa tính chất Q trình Poisson; Tách ghép q trình Poisson; Q trình Poisson khơng Chương 3: Mơ q trình Poisson Trong chương này, chúng tơi tìm hiểu q trình đếm Poisson khơng dựa vào hàm cường độ thuật toán để tạo Sau đó, chúng tơi sử dụng hàm cường độ đa tiêu chí thay hình thức đơn giản tìm hiểu thuật tốn mới, so sánh hiệu thuật toán dựa hàm cường độ sửa đổi 22 Pr{N1 (t)=m,N2 (t)=k}= (m+k)! m!k! m p (1-p) k (λt) m+k -λt e (m+k)! (2.2) Sắp xếp lại điều khoản, ta nhận được: k (pλt)m e-λpt [(1-p)λt] e-λ(1-p)t Pr{N1 (t)=m,N2 (t)=k}= m! k! (2.3) Điều cho thấy N1 (t) N2 (t) độc lập Để trình độc lập, phải k> tập hợp thời gian 0≤t1 ≤t2 ≤…≤tk {N1 (ti );1 ≤ i ≤ k} {N2 (tj );1≤ j ≤ k} độc lập ̃ (tj-1 ,tj ;1≤i≤k N ̃ (tj-1 ,tj ;1≤j≤k} với Nó tương đương với {N (trong t0 0) độc lập Đối số cho thấy độc lập i = j, i  j, tính độc lập bắt nguồn từ thuộc tính gia tăng độc lập {N (t); t> 0} 2.3.2 Tổng trình Poisson Giả sử {N1 (t);t>0} {N2 (t);t>0} trình đếm Poisson độc lập tỷ giá 𝜆1 𝑣à 𝜆2 tương ứng Chúng tơi muốn xem xét q trình tổng hợp N(t)=N1 (t)+N2 (t) cho tất t ≥ Nói cách khác {N(t),t>0} q trình bao gồm tất lượt trình trình Chúng ta {N(t),t>0} trình đếm Poisson tỷ lệ λ=λ1 +λ2 Chúng ta hiển thị điều theo cách khác nhau, trước tiên sử dụng định nghĩa q trình Poisson (vì điều tự nhiên cho vấn đề này), sau sử dụng Định nghĩa cuối Định nghĩa Sau rút số kết luận cách thức mà phương pháp tiếp cận hữu ích Kể từ {N1 (t);t>0} {N2 (t);t>0} lập sở hữu cá thuộc tính tăng dần độc lập tĩnh, theo sau định nghĩa {N(t),t>0} sở hữu thuộc tính tăng dần độc lập tĩnh Sử dụng xấp xỉ cho trình riêng lẻ, thấy rằng: ̃ (t, t+δ)} = Pr{N ̃ (t, t+δ)=0} Pr{N ̃ (t, t+δ)=0} =(1-λ1 δ)(1-λ2 δ)≈1=λδ Pr{N 23 ̃ (t, t+δ)=1} Trong λ1 λ2 δ2 bị loại bỏ Trong cách Pr{N ̃1 (𝑡, 𝑡 + 𝛿) ≥ 2} xấp xỉ 0, hai có tỷ lệ xấp xỉ 𝜆𝛿 𝑃𝑟{𝑁 thuận với δ2 Nó sau {𝑁(𝑡); 𝑡 > 0} trình Poisson Trong phương pháp thứ hai, có N(t)= N1 (t)+N2 (t) Từ N(t), với t nào, tổng hai giá trị Poisson độc lập, giá trị Poisson độc lập với giá trị trung bình λt=λ1 t+λ2 t Nếu người đọc không nhận thức tổng hai Poisson độc lập Poisson, bắt nguồn từ co rút rời rạc hai PMF Dễ hiểu hơn, người ta quan sát thấy ngầm thể kiện Đó là, phá vỡ khoảng thời gian I vào phân đoạn phụ, I1 𝐼2 sau số lượng khách đến I (đó Poisson) tổng số lượng khách đến I1 I2 (là Poisson độc lập) Cuối cùng, N(t) Poisson cho t, kể từ tăng cố định độc lập thuộc tính thỏa mãn, {N (t); t> 0} trình Poisson Trong cách tiếp cận thứ ba, X1 , khoảng thời gian interarrival cho trình tổng hợp, mức tối thiểu X11 , khoảng thời gian xen kẽ cho trình đầu tiên, X21 , lần khoảng thời gian cho trình thứ hai Như X1 >t X11 X21 vượt t, vậy: Pr{X1 >t}=Pr{X11 >t}Pr{X21 >t}= exp(-λ1 t-λ2 t) =exp(-λt) Sử dụng tài sản khơng có nhớ, khoảng thời gian đến liên tiếp phân tích theo cách Cách tiếp cận trực quan cho vấn đề này, địi hỏi quan tâm liên tục thứ tự độ lớn thuật ngữ bị bỏ quên Cách tiếp cận thứ hai phương pháp phân tích đơn giản (sau nhận tổng số Poisson độc lập Poisson Poisson) không yêu cầu xấp xỉ Cách tiếp cận thứ ba đơn giản nhìn lại, tự nhiên vấn đề Nếu thêm nhiều trình Poisson độc lập với nhau, rõ ràng, cách thêm chúng lúc, trình tổng 24 trình Poisson Điều thú vị nhiều q trình đếm độc lập (khơng thiết Poisson) cộng lại với nhau, trình tổng hợp thường có xu hướng xấp xỉ Poisson q trình riêng lẻ có tỷ lệ nhỏ so với tổng Để có cảm nhận trực giác thơ lý điều mong đợi, lưu ý khoảng đến liên tiếp cho q trình (giả định khơng có số lượng lớn đến) có xu hướng lớn so với khoảng đến liên triếp trung bình trình tổng hợp Do đó, lượt đến gần thời gian thường đến từ trình sai phân Số lượng khách đến khoảng thời gian lớn so với khoảng thời gian trung bình kết hợp trung bình, nhỏ so với khoảng thời gian đến thành phần, tổng số lượng khách đến từ trình sai phân; số với xác suất lớn với xác suất nhỏ, tổng xấp xỉ Poisson Chúng ta quan sát thấy khách hàng đến trình Poisson chia thành hai qúa trình mới, lần đến trình ban đầu độc lập vào trình với xác suất cố định p, trình trình Poisson độc lập Kết hữu ích việc hai trình Poisson độc lập xem tạo từ quy trình đơn theo cách Do đó, q trình có tỷ lệ λ1 q trình có tỷ lệ λ2 , chúng xem đến từ q trình có tỷ lệ λ1 +λ2 Mỗi lần đến q trình kết hợp sau gắn nhãn trình đến với xác suất p= λ1 λ1 +λ2 trình thứ hai đến với xác suất 1-p Quan điểm hữu ích cho việc tìm kiếm xác suất Pr{S1k